1.2 集合间的基本关系（教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

1.2 集合间的基本关系 教学设计 1、 内容和内容解析 1.内容 集合之间的包含与相等的含义；子集、真子集与空集的概念；集合的 Venn图表示。 2.内容解析 本节类比实数，发现和提出“集合是否像实数一样具有相等关系、大小关系”的问题，抽象概括出包含关系，并从子集角度再认识相等关系. 包含关系是集合的基本关系，包含关系和相等关系也都是从元素与集合之间的关系定义集合之间的关系.也就是说，当我们判断集合间关系时，其实是回归到了元素与集合的关系.明确了这一点，对于辨析属于关系、包含关系及理解其符号表示都是很有帮助的.如就是“对于任意”. 符号化是数学的重要特征.在集合的学习中，需要建立符号表示和数学意义之间的联系，Venn图则是梳理集合间的关系以及后面所学的运算的直观且有效的工具.通过各种问题，建立自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）之间的联系，有利于表示数学问题，也有助于提升学生数学抽象素养. 结合以上分析，确定本节课的教学重点：集合间包含与相等的含义. 2、 目标和目标解析 1.目标 （1）理解集合之间的包含与相等的含义； （2）能识别给定集合的子集，了解空集含义； （3）能进行自然语言、图形语言（Venn图）、符号语言间的转换，提升数学抽象素养 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）会通过类比实数间关系，发现和提出需要研究的问题；能从元素与集合间关系的角度，分析两个集合之间的包含与相等关系，并用符号语言、图形语言表示这些关系；体会研究数学新对象的基本方法. （2）对于具体的集合，能写出集合的子集；能判断一个集合是否是另一个集合的子集；知道空集也是一个集合，以及空集与其他集合的关系。 （3）在具体问题情景中，能根据需求进行自然语言、符号语言和图形语言（Venn图）的转换，熟悉符号语言和图形语言的表述方式，并能有意识地使用符号语言表述数学对象，积累数学 3、 重点难点 1.教学重点：集合间的包含与相等关系，子集与其子集的概念； 2.教学难点：属于关系与包含关系的区别． 4、 学情分析&教材分析 学生优势：学生在义务教育阶段数学学习中，已经接触过集合，对于数集、点集等有了一定的感性认识.从初中到高中，从直观到抽象，了解集合的含义及其性质，并不困难 学生劣势：难点在于两种关系的识别——元素与集合、集合与集合，特别是符号语言的表述，提升了这部分内容学习的抽象度，例如，{a} A 与a∈A，A  B 与 B  A 、A  B 等. 本节课的教学难点是集合基本关系的符号表述及识别，对空集的了解. 本节内容来自人教版高中数学必修一第一章第一节集合第二课时的内容。集合论是现代数学的一个重要基础，是一个具有独特地位的数学分支。高中数学课程是将集合作为一种语言来学习，在这里它是作为刻画函数概念的基础知识和必备工具。本小节内容是在学习了集合的含义、集合的表示方法以及元素与集合的属于关系的基础上，进一步学习集合与集合之间的关系，同时也是下一节学习集合间的基本运算的基础，因此本小节起着承上启下的关键作用.通过本节内容的学习，可以进一步帮助学生利用集合语言进行交流的能力，帮助学生养成自主学习、合作交流、归纳总结的学习习惯，培养学生从具体到抽象、从一般到特殊的数学思维能力，通过Venn图理解抽象概念，培养学生数形结合思想。 5、 学习目标 1、理解集合之间包含与相等的含义； 2、理解子集、真子集的概念； 3、能利用韦恩图表达集合间的关系； 4、了解空集的含义． 6、 导入新知 问题1：实数有相等.大小关系，如5=5，5＜7，5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？ 【设计意图】由实数间的关系让学生思考集合间的关系。 让学生自由发言，教师不要急于做出判断。而是继续引导学生；欲知谁正确，让我们一起来观察.研探. 观察 问题2：观察下面几个例子,类比实数之间的相等关系、大小关系,你能发现下面两个集合之间的关系吗? (1); (2)为立德中学高一（2）班全体女生组成的集合,为这个班全体学生组成的集合; (3)是两条边相等的三角形是等腰三角形. 可以发现,在(1)中,集合的任何一个元素都是集合的元素.这时我们说集合包含于集合,或集合包含集合.(2)中的集合与集合也有这种关系. 【设计意图】使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系，从而类比得出两个集合之间的关系: 一般地,对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就称集合为集合的子集(subset),记作读作“包含于”(或“包含”). 在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.这样,上述集合与集合的包含关系,可以用图1.2-1表示. 【师生活动】教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么类似之处。 请你举出几个具有包含关系、相等关系的集合实例. 总结：判断集合间关系的常用方法 (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列出集合中的全部元素，通过定义得出集合之间的关系． (2)集合元素特征法：首先确定集合的代表元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． (3)数形结合法：利用Venn图、数轴等直观地判断集合间的关系．一般地，判断不等式的解集之间的关系，适合画出数轴． 提示：若A⊆B和AB同时成立，则AB更能准确表达集合A，B之间的关系. 在(3)中,由于“两条边相等的三角形”是等腰三角形,因此,集合都是由所有等腰三角形组成的集合.即集合中任何一个元素都是集合中的元素,同时,集合中任何一个元素也都是集合中的元素.这样,集合的元素与集合的元素是一样的 一般地,如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,那么集合与集合相等,记作. 与实数中的结论“若,且,则”相类比,你有什么体会? 也就是说,若,且,则.如果集合,但存在元素,且,就称集合是集合的真子集(propersubset),记作 例如（1）,但,且,所以集合是集合的真子集. 我们知道,方程没有实数根,所以方程2的实数根组成的集合中没有元素. 一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集(emptyset),记为,并规定:空集是任何集合的子集. 你能举出几个空集的例子吗? 【师生活动】根据学生举例的情况，教师可以补充一些例子，帮助学生提升对概念的理解，比如集合“{0}”是否为空集等例子.根据追问的问题（4），教师可以引导学生获得教科书第8页的两个结论. 思考 包含关系与属于关系有什么区别?试结合实例作出解释. 由上述集合之间的基本关系,可以得到下列结论: (1)任何一个集合是它本身的子集,即 （2）对集合如果,且,那么. 【设计意图】对于难度不大的内容，特别是符号比较多时，通过阅读，熟悉自然语言、符号语言和图形语言，并建立它们之间的对应关系；通过阅读，提出自己的困惑，学会质疑，深入理解概念；通过举例子，抽象概念具体化，深入理解概念. 7、 应用新知 例题1. 写出集合的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 【分析】根据子集与真子集的定义枚举判断即可. 【解析】 集合的所有子集为,,,.真子集为,,. 【点睛】本题主要考查了子集与真子集的辨析,属于基础题型. 变式1：满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个． 【解析】 由题意可得{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下： 含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}； 含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}； 含有五个元素：{1,2,3,4,5}． 故满足题意的集合M共有7个． 子集和真子集的区别与联系是什么？ 总结： 1.假设集合A中含有n个元素，则有： (1)A的子集有2n个； (2)A的非空子集有(2n－1)个； (3)A的真子集有(2n－1)个； (4)A的非空真子集有(2n－2)个． 2．求给定集合的子集的两个注意点： (1)按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写； (2)在写子集时要注意不要忘记空集和集合本身． 求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【师生活动】学生分析解题思路，教师给出解答示范. 【设计意图】巩固子集和真子集的概念和性质，体会分类的原则和方法，为保证不重不漏，要按照一定顺序写出子集，比如可以根据子集中元素的个数分类. 例题2. 判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由. （1），是8的约数}； （2）是长方形），是两条对角线相等的平行四边形}. 【分析】 (1)根据8的约数判断即可. (2)根据平行四边形的特殊性质判断即可. 【解析】 （1）因为3不是8的约数,所以集合A不是集合B的子集. （2）因为若x是长方形,则x一定是两条对角线相等的平行四边形,所以集合A是集合B的子集. 【点睛】本题主要考查了子集的辨析与约数和特殊平行四边形的性质,属于基础题型. 变式2:指出下列各对集合之间的关系： (1)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x－5<0}； (2)A＝{x|x是正方形}，B＝{x|x是矩形}； (3)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}； (4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}． 【解析】　(1)集合B＝{x|x<5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知A⊆B. (2)正方形是特殊的矩形，故A⊆B. (3)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系． (4)M＝{正奇数}，N＝{不含1的正奇数}，故N⊆M. 判断集合间关系的常用方法 【师生活动】学生判断，教师给出解答示范. 【设计意图】检验学生对子集概念的掌握情况，进一步明确判断两个集合之间关系的基本方法 定义法. 8、 能力提升 题型一：集合间的基本关系 【练习1】 下列各式中，正确的个数是(　　) ①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}． A．1　　　　　　　　 　B．2 C．3 D．4 解析：选B　对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的． 1.空集是任何集合的子集 2.空集是任何非空集合的真子集 3.任何一个集合是它本身的子集 4.当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论． 题型二：由集合间的关系解决参数问题 【练习2】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，非空集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}， 若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】因为B≠∅，且B⊆A，如图所示． 则解得2≤m≤3. 所以实数m的取值范围是{m|2≤m≤3}． 利用集合间的关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 9、 课堂总结 1.本节知识框图 2．知识清单： (1)子集、真子集的概念与性质． (2)子集的个数． (3)由集合间的关系求参数范围． 3．方法归纳：分析法、观察法、元素特征法、数形结合、分类讨论． 4．常见误区：在解决问题时，容易遗忘空集；求含参的问题时，容易遗漏端点的取值，应注意讨论． 10、 作业布置 教科书习题1.2第1,2,3,4,5题 教科书第8页练习 1. 写出集合的所有子集. 【分析】 根据子集的定义枚举列出即可. 【解析】集合的所有子集有： ,,,,,,,. 【点睛】本题主要考查了子集的定义与辨析,属于基础题型. 2. 用适当的符号填空： （1）a_____；（2）0____；（3）____； （4）____N；（5）____；（6）____. 【分析】 根据元素与集合,集合与集合的关系填空即可. 【解析】(1)元素属于集合,故. (2)元素满足,故. (3)因为在时无解,故 (4)因为0,1均属于自然数,故集合 (5)因为,故. (6)因为的根为.故. 【点睛】本题主要考查了元素与集合和集合与集合间的基本关系,属于基础题型. 3. 判断下列两个集合之间的关系：（1），； （2），； （3）是4与10的公倍数}，. 【分析】 (1)根据数轴上的范围判断即可. (2)根据集合表示的数分析即可. (3)根据集合表示的数分析即可. 【解析】(1)根据数轴可知, 表示左边的数的集合, 表示左边的数的集合,故. (2) 表示3的整数倍 , 表示6的整数倍.故. (3) 是4与10的公倍数}即 20的正整数倍, 也表示20的正整数倍.故 【点睛】本题主要考查了对集合的范围的理解,属于基础题型. 习题1．2 复习巩固 1. 选用适当的符号填空： （1）若集合，， 则______， ______ ，______ ， ______ （2）若集合，则______，______ ，______ ，______； （3）是菱形______是平行四边形；是等边三角形}______是等腰三角形 【分析】（1）求出集合，，由此能求出结果．（2）求出集合，由此能求出结果．（3）利用菱形与平行四边形的关系和等腰三角形与等边三角形的关系进行求解． 【解析】（1）∵集合， ∴．故答案为：． （2）∵集合，∴，故答案为：． （3）是菱形是平行四边形；是等边三角形是等腰三角形}．故答案为：． 2. 指出下列各集合之间的关系，并用Venn图表示： A={是四边形}，B={是平行四边形}，C={是矩形}，D={是正方形}. 【分析】 根据四边形，平行四边形，矩形，正方形的范围关系得到答案. 【解析】各集合之间的关系为DCBA用Venn图表示如图所示： 【点睛】本题考查了集合的包含关系，韦恩图，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 综合运用 3. 举出下列各集合的一个子集： （1）A={是立德中学的学生}； （2）B={是三角形}； （3）； （4）. 【分析】 根据子集的定义写出一个子集即可. 【解析】（1）{是立德中学的女生} （2）{是直角三角形} （3） （4） 【点睛】本题考查了集合的子集，属于简单题. 4. 在平面直角坐标系中，集合表示直线，从这个角度看，集合表示什么？集合C，D之间有什么关系？ 【分析】 集合表示两条直线的交点，解得交点得到集合关系. 【解析】集合表示直线与直线交点的集合， 即. DC 【点睛】本题考查了集合表示的意义，集合的包含关系，意在考查学生对于集合的理解和掌握. 拓广探索 5. 请解决下列问题： （1）设，若，求的值； （2）已知集合，若，求实数a的取值范围. 【分析】 （1）直接根据集合相等得到答案. （2）根据集合的包含关系得到得到答案. 【解析】（1）由于，所以，且，. （2），且， 如图所示. 【点睛】本题考查了根据集合相等和集合的包含关系求参数，意在考查学生的理解能力. 11、 板书设计 1.2 集合间的基本关系 1.两个集合之间的关系 （集合间包含关系、集合相等） 2.子集与真子集的概念 3.空集：空集是任何集合的子集 4.两个集合相等 例1…… 例2 希沃白板 PPT展示区 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$