1.1 集合的概念 （教学设计）-【上好课】高一数学必修第一册同步高效课堂（人教A版2019）

第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念 教学设计 1、 教学目标 （1） 课堂教学目标解析 作为现代数学基础的的集合论，集合语言是现代数学的基本语言，使用集合语言，可以简洁、准确地表达数学中一些冗长的文字语言．它是中学数学的一个重要的基本概念，这节是本章学习的基础，主要介绍集合的基本概念。本节课的学习，是阶段性的要求，学生将领悟集合的抽象性及其具体性，学会使用最基本的集合语言去表示有关的数学对象，逐渐发展运用数学语言进行交流的能力。 集合相关知识的学习对于接下来函数的学习至关重要，高中函数的概念将建立在集合间关系的基础上的。   集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题. （2） 学科素养 1.数学抽象：集合的含义； 2.逻辑推理：选择集合不同的语言形式描述具体的问题； 3.数学运算：由集合与元素之间的关系求值； 4.直观想象：在理解集合含义及特性过程中，运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。 （3） 达成上述目标的标志： ①通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系. ②针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合. ③在具体情境中，了解全集与空集的含义. 2、 重点难点 1.教学重点：元素与集合的“属于”关系，用符号语言刻画集合.； 2.教学难点：集合中元素的特性，列举法、描述法表示集合. 3、 学情分析&教材分析 本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换.养成良好的数学习惯。 集合为高一上学期开学后的第一次授课知识，是学生从初中到高中的过渡知识，部分同学还沉浸在暑假的懒散中，从而增加了授课的难度。 再者，与初中直观、具体、易懂的数学知识相比，集合尤其是无限集合就显得抽象、不易理解，这会给学生产生一定的心理负担，对高中数学知识的学习产生排斥心理。因此本节授课方法就显得十分重要。而且对于高一的新生来说，有一定的自主学习能力和探究能力，但在运算能力和思维能力方面参差不齐，学生学好高中数学的自信心不强，学习积极性不高，会产生厌学情绪。 4、 学习目标 1.通过实例了解集合的含义，理解集合以及有关概念。 2.初步体会“属于”关系的意义，掌握元素与集合关系的表示方法，及熟悉常用数集的专用符号。 3.感知数学知识与实际生活的密切联系，培养学生解决实际的能力； 5、 导入新知 情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（1829-1920，德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。 情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点， 在学校体育馆举行军训动员大会. 问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？ 高一学生全体 6、 学习新知 1. 认识新知 初中阶段，我们学习过哪些集合？ 代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合； 几何方面：点的集合等． 在初中学习中，我们用集合描述过什么？ 圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合． 【设计意图】通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。 （1） 元素和集合的含义 1.考察下列问题： （1）1～10以内的所有偶数； （2）立德中学今年入学的全体高一学生； （3）所有正方形； （4）到直线l的距离等于定长d的所有的点; （5）方程的所有实数根； （6）地球上的四大洋。 思考: 上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？ 2、归纳新知 （1）集合的含义 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）. （2）集合与元素的表示 通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素. 集合中元素的性质 （2） 元素、集合及其关系的表示 1.已知下面的两个实例： （1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合. （2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学. 思考：那么a，b与集合A分别有什么关系? 【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素. 【设计意图】集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉. 2.元素与集合的“属于”关系 如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA. ③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R. 1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？ 不能.其中的元素不确定集合中的元素是确定的 2.由1,3,0,5,︱-3︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？ 不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5. 集合中的元素是互异的 3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？ 集合没有变化集合中的元素是没有顺序的 归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？ 师生共同总结出集合中元素的基本性质： 1.确定性： 集合的元素必须是确定的。一个集合中的元素必须是确定的，即一个集合一旦确定，则某一个元素要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一。这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合。 2.互异性： 集合的元素一定是互不相同的。集合中的元素必须是互异的。对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。 3.无序性： 集合的元素没有先后顺序。集合与其中元素的排列顺序无关，如a，b，c组成的集合与b，c，a组成的集合是相同的集合。这个特性通常被用来判断两个集合的关系。 4.构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 【设计意图】通过交流讨论，使学生明确集合中元素所具有的性质，从而进一步明确集合的概念。 （3） 集合的表示：列举法和描述法 1.列举法 思考1：方程的所有实数根组成的集合如何表示？ 【提示】{-1,-2} 思考2：地球上的四大洋组成的集合如何表示？ 【提示】可以这样表示：{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}. 问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？ 把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开； ⑵元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。 思考3：a与{a}有什么区别？ 【答案】a是一个元素，{a}是集合。 使用列举法表示集合时需注意的几点 (1)元素之间用“，”隔开； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号． 2. 描述法 思考4：能否用列举法表示不等式x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？ 【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质： （1）集合中的元素都小于10.（2）集合中的元素都是实数． 这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示， 写作: 思考5：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？ ，或； 【设计意图】集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法. 问题2：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？ 在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或。 注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}. 【设计意图】学生通过对实例或问题的思考，去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。 7、 应用新知 例1用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程的所有实数根组成的集合. 解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么. （2）设方程所有实数根组成的集合为B，那么. 由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此一个集合可以有不同的列举方法.例如，例1（1）的集合还可以写成等. 注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，②用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。 变式：集合可用列举法表示为______，集合可用列举法表示为______. 【答案】         【分析】 根据集合的描述法可得A中的代表元素为y，再结合满足条件即得，B中代表元素为结合满足的条件即得. 【详解】 由，，，知x可取的值为0，，， 当时，，当时，，当时，， 所以集合；由题知集合B表示点集，所以. 故答案为：，. 【师生活动】师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示，师生共同补充完善. 例2试分别用描述法和列举法表示下列集合： （1）方程的所有实数根组成的集合A； （2）由大于10且小于20的所有整数组成的集合B. 解：（1）设，则x是一个实数，且.因此，用描述法表示为. 方程有两个实数根，，因此，用列举法表示为. （2）设，则x一个整数，即，且.因此，用描述法表示为. 大于10且小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19， 因此，用列举法表示为. 变式:用列举法表示集合　　. 【解析】根据,且可得: 时,时,时,; 时,时,时,; 故. 【点拨】 1 看集合先确定元素类型(本题中元素是，而不是，再看元素需要满足的条件； ②集合若能化简先化简，用最简洁的形式表示能让我们更好理解集合. 思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？ 自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法. 【设计意图】通过具体的例子推理出元素的性质，教会学生解决和研究问题。 2. 总结新知 8、 能力提升 题型一：集合含义有关问题 【练习1】设,集合,则　　　　.  【解析】由题意知,因为. 所以,则,所以,. 故. 【答案】0 总结：解决与集合含义有关问题的关键有三点：一是确定集合的类型是点集、数集，还是其它类型的集合；二是确定元素的一般特征；三是根据元素的限制条件（满足的条件）构造关系式解决相应问题. 提醒　集合中元素的互异性容易忽略，求解问题时要特别注意. 题型二：元素与集合的关系 【练习2】已知集合，若，则中所有元素之和为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】C 【解析】根据，依次令中的三个元素分别等于1，根据集合中元素的互异性作出取舍，求得结果. 【详解】若，则，矛盾； 若，则，矛盾，故， 解得（舍）或， 故，元素之和为， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关集合的问题，在解题的过程中，关键是用好集合中元素的互异性对参数的值进行取舍. 【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 练习2.1(多选题)已知集合,若,则满足条件的实数可能为( )。 A.2 B.-2 C.-3 D.1 【答案】AC 【解析】由题意得或。 若,即,则或。 检验:当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 当时,,与元素互异性矛盾,舍去。 若,即,则或, 经验证或为满足条件的实数。故选AC。 题型三：两个集合相等 【练习3】下列集合中表示同一集合的是 A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)} B．M＝{2，3}，N＝{3，2} C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1} D．M＝{2，3}，N＝{(2，3)} 【答案】B 【解析】选项A中的集合M是由点(3，2)组成的点集，集合N是由点(2，3)组成的点集，故集合M与N不是同一个集合； 选项C中的集合M是由一次函数y＝1－x图象上的所有点组成的集合，集合N是由一次函数y＝1－x图象上的所有点的纵坐标组成的集合，即N＝{y|x＋y＝1}＝R，故集合M与N不是同一个集合； 选项D中的集合M是数集，而集合N是点集，故集合M与N不是同一个集合；对于选项B，由集合中元素的无序性，可知M，N表示同一个集合． 故选B． 题型四：元素与集合的关系 【练习4】若集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A． 【答案】实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 【解析】若集合A只有一个元素，则方程kx2－8x＋16＝0只有1个实根或有两个相等的实根． 当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2. 此时集合A＝{2}． 当k≠0时，则关于x的一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根， 只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1. 此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意． 综上所述，实数k的值为0或1. 当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}． 9、 课堂总结 10、 作业设计 教材第5页习题1.1第1,2题 11、 板书设计 1.1集合的概念 1.元素与集合的概念 2.集合元素的基本性质 确定性互异性无序性 3.集合相等 4.元素与集合关系 3. 列举法 描述法 例题1 例题2 小结 作业 希沃白板 PPT展示区 练习 练习 1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由： （1）与定点A，B等距离的点；（2）高中学生中的游泳能手. 【答案】（1）是，理由见解析；（2）不是，理由见解析. 【解析】 【分析】 （1）与定点A，B等距离的这些点是确定的，根据集合的确定性判断； （2）游泳能手没有一个固定的标准，即不满足集合的确定性. 【详解】（1）与定点A，B等距离的点可以组成集合，因为这些点是确定的. （2）高中学生中的游泳能手不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的. 【点睛】本题主要考查了判断是否构成集合，一般从集合的确定性进行判断，属于基础题. 2.用符号“”或“”填空： 0______N；______N；0.5______Z；______Z；______Q；______R. 【答案】①.②.③.④.⑤.⑥. 【解析】 【分析】 根据自然数，整数，有理数，实数的定义即可判断. 【详解】是自然数，则；不是自然数，则；不是整数，则； 是有理数，则；是无理数，则 故答案为：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6) 【点睛】本题主要考查了元素与集合间的关系，属于基础题. 3.用适当的方法表示下列集合： （1）由方程的所有实数根组成的集合； （2）一次函数与图象的交点组成的集合； （3）不等式的解集. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）求出方程的根，用列举法表示即可； （2）求出交点，用列举法表示即可； （3）化简不等式，用描述法表示即可. 【详解】（1），则该方程所有实数根组成的集合为； （2）由解得：，则图象的交点组成的集合为； （3）不等式可化为，则该集合为 【点睛】本题主要考查了用列举法以及描述法表示集合，属于基础题. 习题1.1 复习巩固 4.用符号“”或“”填空： （1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国______________A，美国__________A，印度____________A，英国_____________A； （2）若，则-1_____________A； （3）若，则3________________B； （4）若，则8_______________C，9.1____________C. 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】 （1）根据国家的地理位置直接得到答案. （2）计算得到，再判断关系. （3）计算得到，再判断关系. （4）计算得到，再判断关系. 【详解】（1）根据国家的地理位置直接得到答案：中国，美国，印度，英国； （2），故； （3），故； （4），故； 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4） 【点睛】本题考查了元素和集合的关系，属于简单题. 5.用列举法表示下列集合： （1）大于1且小于6的整数； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据描述直接列举出集合中的元素即可； （2）求出一元二次方程的解，即可得出结果； （3）解一元一次不等式组，进而结合整数集的概念即可得出结果. 【小问1详解】 大于1且小于6的整数组成的集合为； 【小问2详解】 【小问3详解】 综合运用 6.把下列集合用另一种方法表示出来： （1）； （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； （3）； （4）中国古代四大发明 【答案】（1）{且} （2） （3） （4）{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【解析】 【分析】 （1）用描述法写出集合得到答案. （2）用列举法写出集合得到答案. （3）用列举法写出集合得到答案. （4）用列举法写出集合得到答案. 【详解】（1）{且}. （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数： . （3）. （4）中国古代四大发明：{造纸术，印刷术，指南针，火药} 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的理解和掌握. 7.用适当的方法表示下列集合： （1）二次函数的函数值组成的集合； （2）反比例函数的自变量组成的集合； （3）不等式的解集 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】 （1）求二次函数的值域得到答案. （2）求反比例函数的定义域得到答案. （3）解不等式得到答案. 【详解】（1）二次函数的函数值为y， ∴二次函数的函数值y组成的集合为. （2）反比例函数的自变量为x ∴反比例函数的自变量组成的集合为. （3）由，得，∴不等式的解集为. 【点睛】本题考查了集合的表示方法，意在考查学生对于集合表示方法的应用. 拓广探索 8．集合论是德国数学家康托尔于19世纪末创立的．当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念．关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”．请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识． 康托尔（GeorgCantor，1845—1918） 学科网（北京）股份有限公司 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$