精品解析：福建省福州格致中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

福州格致中学2023-2024学年第二学期期末考试 高一数学 一、单选题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解方程求出后，进行集合的运算 【详解】解方程得，，则 故选：A 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，由此可得出复数的虚部. 【详解】因为，， 因此，复数的虚部为. 故选：D 3. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，用复数除法运算求，进而求即可. 【详解】由条件知， 所以. 故选：D． 4. 在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（ ） A. 内不存在与共面的直线 B. 内不存在与异面的直线 C. 内不存在与垂直的直线 D. 内不存在与相交的直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出图形，利用空间线线，线面性质逐项判断从而可求解. 【详解】由题意作出下图，在正方体中，设所在直线为，平面所在平面为， 对A：由图及正方体性质可知，且平面，此时与共面，故A错误； 对B：由图及正方体性质可知与异面，且平面，故B错误； 对C：由图及正方体性质可知，且平面，故C错误； 对D：由平面，且平面，故D正确. 故选：D. 5. 如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ） A. 14 B. 7 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原出原几何体为三棱台以及各边的关系，先证明平面，得出棱台的高.然后求出上下底面的面积，根据棱台的体积公式，即可得出答案. 【详解】 如图，由三视图还原可得，原几何体为三棱台， 且有，，，. 因为平面，平面，， 所以平面. 又，所以，三棱台的高即为. 又，，，，，， 所以，， 所以，由棱台的体积公式. 故选：C. 6. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由偶函数的定义以及指对幂函数的单调性判断即可. 【详解】对于A，令，，故A错误； 对于B，令，，则为偶函数，当时，，则在上单调递减，故B正确； 对于C，，，故C错误； 对于D，当时，，上单调递增，故D错误； 故选：B 7. 已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. D. 平面 【答案】D 【解析】 【分析】 根据线面平行、垂直的判定定理逐一判断即可. 【详解】对于A，因为与平面相交，平面，所以与是异面直线，A正确； 对于B，因为是中心关于平面的对称点，所以平行且等于， 即平面为平行四边形，所以 因为是正方体中心，所以经过点，即平面 因为平面，所以平面，B正确； 对于C，由题，，所以平面，所以， 又因为，所以，C正确； 对于D，由图可知，必不垂直于平面，又因为，所以必不垂直于平面，D错误. 故选：D. 【点睛】本题考查学生的空间想象能力，关键点在于要找到，进而将需要证明的线进行替换. 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由，判断出在上是增函数，然后再根据函数的奇偶性以及单调性即可求出的解集. 【详解】解： 对任意的，都有 ， 在上是增函数， 令， 则， 为偶函数， 在上减函数， 且， ， 当时，， 即，解得：， 当时，， 即，解得：， 综上所述：的解集为：. 故选：A. 【点睛】方法点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 二、多选题 9. 下列运算法则正确的是（ ） A. B. C. （且） D. 【答案】CD 【解析】 【分析】取可判断A选项的正误；取，可判断B选项的正误；利用对数的换底公式可判断C选项的正误；利用指数的运算性质可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，若，则无意义，A选项错误； 对于B选项，若，，则无意义，B选项错误； 对于C选项，由换底公式可得（且），C选项正确； 对于D选项，当，、时，，D选项正确. 故选：CD. 10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ） A. 甲、乙两组成绩的平均分相等 B. 甲、乙两组成绩的中位数相等 C. 甲、乙两组成绩的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】 根据条形统计图计算出甲、乙两组成绩的平均分、中位数、极差与方差，进而可判断各选项的正误. 【详解】对于A选项，甲组成绩的平均数为， 乙组成绩的平均分为， 所以甲组成绩的平均分小于乙组成绩的平均分，A选项错误； 对于B选项，甲、乙两组成绩的中位数都为，B选项正确； 对于C选项，甲、乙两组成绩的极差都为，C选项正确； 对于D选项，甲组成绩的方差为， 乙组成绩的方差为， 所以甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差，D选项正确. 故选：BCD. 11. 如图，点M是正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使平面 B. 点M存在无数个位置满足 C. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值 D. 存在点M，使异面直线与AB所成的角是 【答案】ABC 【解析】 【分析】取的中点为M，则可证明平面，又可证明平面，从而可判断B的正误，通过计算可判断CD的正误. 【详解】连接，取与的交点为，连接，它们的交点为， 连接. 由正方体可得 故四边形为平行四边形， 故，. 由正方形为正方形可得为的中点，同理为的中点， 故 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，故平面，故A正确. 由正方体可得平面， 而平面，故， 由正方形可得，而，故平面， 无论在何处，总有平面，故，故B成立. 当变化时，到平面的距离为定值， 当与重合时，三棱锥的体积最大， 此时，故C正确. 设正方体的棱长为1，因为，故异面直线与AB所成的角即为或其补角 ， 在直角三角形中，,， 故，故不存在点M，使异面直线与AB所成的角是. 故选：ABC. 【点睛】思路点睛：对于与立体几何中的动点的恒成立线线关系问题，一般可转化为线面关系的判定问题，而与动点相关的最值或范围问题，则通过极端位置对应的值来讨论. 12. 在四面体中，，，直线，所成的角为60°，，，则四面体的外接球表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】直线，所成的角为60°，则△分顶角为的等腰三角形、等边三角形两种情况，过作且，连接、、，且与交于O点，易证面，进而得到面面，根据矩形、等边或等腰三角形的性质，结合四面体的外接球球心、半径与两个垂直平面外接圆圆心、半径的关系，即可求外接球半径，进而求表面积. 【详解】当四面体如下图示， 过作且，连接、、，且与交于O点，则△为等边三角形，为矩形且O点为外接圆圆心，即，又，， ∴面，面，则面面， 过为中点，连接、，若为面外接圆圆心，为四面体的外接球球心，则，，有，如下图示， ∴四面体的外接球半径，则外接球表面积为. 当四面体如下图示， 过作且，连接、、，且与交于O点，则△为等腰三角形，为矩形且O点为外接圆圆心，即，又，， ∴面，面，则面面， 过为中点，连接，若为面外接圆圆心，为四面体的外接球球心，则，，如下图示， ∴四面体的外接球半径，则外接球表面积为. 故选：CD 【点睛】关键点点睛：注意△分顶角为的等腰三角形、等边三角形两种情况，再证面面垂直，根据外接球球心及半径与两个垂直平面外接圆圆心及半径的几何关系，求球体半径. 三、填空题 13. 已知集合，则__________ 【答案】3 【解析】 【分析】直接由交集的定义即可求解. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：3. 14. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义可得，然后利用二倍角公式可得，再利用齐次式，代入即可求解. 【详解】由题意可得， . 故答案为： 【点睛】本题考查了三角函数的定义、二倍角的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题. 15. 函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】第一空：当时、时可得答案；第二空：至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以；分、、讨论结合图象可得答案. 【详解】第一空：当时，当时，，解得； 当时，，无零点， 故此时的零点个数是1； 第二空：显然，至多有2个零点，故在上至少有2个零点，所以； ① 若恰有2个零点，则，此时恰有两个零点，所以，解得， 此时； ② 若恰有3个零点，则，此时， 所以恰有1个零点，符合要求； ③当时，，所以恰有1个零点， 而至少有4个零点， 此时至少有5个零点，不符合要求，舍去. 综上，或. 故答案为：1；. 【点睛】方法点睛：求零点的常用方法：①解方程；②数形结合；③零点存在定理；④单调+存在求零点个数，复杂的函数求零点，先将复杂零点转化为较简单函数零点问题. 四、解答题 16. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求的伴随向量的模； （2）记的伴随函数为，求使得关于的方程在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的诱导公式化简函数，结合已知的新定义求得伴随向量的坐标，再由模的计算公式求模； （2）根据给出的，求得其伴随函数，由给出的的范围求得的值域，再结合函数的单调性求使得关于的方程在，内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围． 【详解】（1）， ． 故； （2）， 的伴随函数， ， ， 故，． 当时，函数单调递增，且； 当时，函数单调递减，且，． 使得关于的方程在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围为． 17. 去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下： （1）下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 面试分数 [0，100) [100，200) [200，300) [300，400) 人数 15 a 4 1 频率 b （2）该大学的招生办从25～30号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率． 【答案】（1）a＝10，b＝；面试分数的平均值为120分；（2）． 【解析】 【分析】（1）由已知及频率分布表即可求参数，进而根据所得表格数据求平均值即可. （2）列举出25～30号学生的所有可能的两人组合，根据折线图有25，26，27这三个号的学生面试分数均在200分以上，即可求概率. 【详解】（1）面试分数在[100,200)内的学生共有30－15－4－1＝10(名)，故a＝10，b＝＝， 估计这些学生面试分数的平均值为50×＋150×＋250×＋350×＝120(分)． （2）从25～30号学生中任选两人的选择方法有(25,26)，(25,27)，(25,28)，(25,29)，(25,30)，(26,27)，(26,28)，(26,29)，(26,30)，(27,28)，(27,29)，(27,30)，(28,29)，(28,30)，(29,30)共15种，而由折线图知：25号，26号，27号学生的面试分数均在200分以上， ∴选择的两人的面试分数均在200分以上的选择方法有(25,26)，(25,27)，(26,27)共3种，故选择的两人的面试分数均在200分以上的概率为，即． 18. 如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平面，得到，再由四边形为正方形得到，从而证明平面，从而得到，再结合，即以及直线与平面垂直的判定定理证明平面；（2）先证明、、三条直线两两垂直，然后以点为坐标原点， 、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值. 【详解】（1）平面， ，又，， 平面， ，又，平面, 平面，即平面； （2）设，则中，，又， ，，由（1）知， ，， ，又， ，，同理， 如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则， ，，，， 设是平面的法向量，则，又， 所以，令，得，， 由（1）知平面的一个法向量， 设二面角的平面角为，可知为锐角， ，即所求. 19. 某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 【答案】该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费最小值为5000元 【解析】 【详解】设楼房每平方米的平均综合费为元，依题意得 当且仅当上式取”=” 因此，当时，取得最小值5000(元) 答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层， 每平方米的平均综合费最小值为5000元 20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若侧棱PC上的点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【详解】（1）∵BC=CD=2，∴△BCD为等腰三角形，再由 ，∴BD⊥AC． 再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD． 而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC． （2）∵侧棱PC上的点F满足PF=7FC， ∴三棱锥F﹣BCD的高是三棱锥P﹣BCD的高的． △BCD的面积S△BCD=BC•CD•sin∠BCD==． ∴三棱锥P﹣BDF的体积 V=VP﹣BCD﹣VF﹣BCD=﹣=× ==． 21. 已知定义在上的函数，且恒成立 （1）求实数的值; （2）若，且，求证： 【答案】(1) ； (2)见证明. 【解析】 【分析】（1）由绝对值不等式的性质得，故，转化为即可求解（2）由及，利用均值不等式求解. 【详解】（1）因为，所以 在上恒成立解得， （2） ，即， 所以， 当且仅当，即时取等号， 故 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的性质及基本不等式的应用，属于中档题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福州格致中学2023-2024学年第二学期期末考试 高一数学 一、单选题 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 复数满足，则（ ） A. B. C. D. 4. 在空间中，若直线平行于平面，则下列结论成立的是（ ） A. 内不存在与共面的直线 B. 内不存在与异面的直线 C. 内不存在与垂直的直线 D. 内不存在与相交的直线 5. 如图，网格小正方形的边长为1，网格纸上绘制了一个多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ） A. 14 B. 7 C. D. 6. 下列函数既是偶函数，又在上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是正方体的中心关于平面的对称点，则下列说法中错误的是（ ） A. 与是异面直线 B. 平面 C. D. 平面 8. 设是定义在上的奇函数，对任意的，满足：，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 下列运算法则正确的是（ ） A. B. C. （且） D. 10. 为了普及环保知识，增强环保意识，某学校分别从两个班各抽取位同学分成甲、乙两组参加环保知识测试，得分（十分组）如图所示，则下列描述正确的有（ ） A. 甲、乙两组成绩的平均分相等 B. 甲、乙两组成绩的中位数相等 C. 甲、乙两组成绩的极差相等 D. 甲组成绩的方差小于乙组成绩的方差 11. 如图，点M是正方体中的线段上的一个动点，则下列结论正确的是（ ） A. 存在点M，使平面 B. 点M存在无数个位置满足 C. 若正方体的棱长为1，三棱锥的体积最大值 D. 存在点M，使异面直线与AB所成的角是 12. 在四面体中，，，直线，所成的角为60°，，，则四面体的外接球表面积为（ ） A B. C. D. 三、填空题 13. 已知集合，则__________ 14. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线上，则_____. 15. 函数，当时，的零点个数为_____________；若恰有4个零点，则的取值范围是______________. 四、解答题 16. 已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数伴随向量，同时称函数为向量的伴随函数． （1）设函数，试求伴随向量的模； （2）记的伴随函数为，求使得关于的方程在内恒有两个不相等实数解的实数的取值范围． 17. 去年我校有30名学生参加某大学的自主招生面试，面试分数与学生序号之间的统计图如下： （1）下表是根据统计图中的数据得到的频率分布表，求出a，b的值，并估计这些学生面试分数的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)； 面试分数 [0，100) [100，200) [200，300) [300，400) 人数 15 a 4 1 频率 b （2）该大学的招生办从25～30号这6位学生中随机选择两人进行访谈，求选择的两人的面试分数均在200分以上的概率． 18. 如图，四边形为正方形，平面，，于点，，交于点. （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值. 19 某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房．经初步估计得知，如果将楼房建为x（x12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？ （注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=） 20. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，． （1）求证：BD⊥平面PAC； （2）若侧棱PC上点F满足PF=7FC，求三棱锥P﹣BDF的体积． 21. 已知定义在上的函数，且恒成立 （1）求实数的值; （2）若，且，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$