精品解析：山东省淄博市临淄区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

2023—2024学年度第二学期期末质量检测初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 同角的补角相等 【答案】D 【解析】 【分析】分析是否为真命题，需要判断各题设是否能推出结论，结合平行线的性质、对顶角的定义、全等三角形的判定以及补角的性质逐项判断，从而得出答案． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故原命题是假命题，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故原命题是假命题，不符合题意； D、同角的补角相等，故原命题是真命题，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题主要考查命题与真理，熟练掌握相关知识是解答的关键． 2. 如图，能判定的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠3 C. ∠3=∠4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ， 故A符合题意； 由不能判定， 故B不符合题意； 由， ， 故C不符合题意； ， ， 故D不符合题意； 故选：A． 3. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形内角和为度，求出每一个角的度数即可得到答案． 【详解】解：A、∵，， ∴，即， ∴是直角三角形，不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是直角三角形，不符合题意； D、∵，， ∴，即， ∴不是直角三角形，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，熟知三角形三个内角的度数之和为度是解题的关键． 4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐一判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴，该选项正确，不合题意； 、∵， ∴当时，，则； 当时，，则； ∴该选项错误，符合题意； 、∵， ∴， ∴，该选项正确，不合题意； 故选：． 5. 如图，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】延长DC交AB于点G， ∵CD∥BE，∴∠5=∠3， ∴∠3－∠1=∠5－∠1=∠4， ∴∠2+∠3－∠1=∠2+∠4=180°. 故选D. 点睛：本题关键在于辅助线的构造，结合平行线的性质、三角形外角的性质解题. 6. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ） A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 蓝球 【答案】A 【解析】 【分析】根据概率的求法，因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大． 【详解】在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球， 因为红球的个数最多，所以摸到红球的概率最大， 摸到红球的概率是： 故选：A 【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P (A) = ． 7. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题中条件可得，即，可由与、的差表示，进而求解即可． 【详解】∵， ∴， 在和中 ∴（SAS）， ∴， ， ∵． ∴， ∴． 故选B． 【点睛】考查了全等三角形判定及性质，解题关键是熟记其判定和性质，并灵活运用解题问题． 8. 如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（ ） A. 8.5 B. 9 C. 12.5 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质是解题的关键．设交于点，连接，，根据垂直平分线的性质得出，，当点与点重合时，的周长最小，据此即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点，连接，， 垂直平分， ，， 的周长为： ， 当点与点重合时，的周长最小， ，， 的周长最小值为：， 故选：B 9. 若不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出不等式组的解集，根据不等式组无解，求出a的取值范围． 【详解】由（1）得：， 由（2）得：， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了求不等式组的解集．弄清不等式组无解的意义是解本题的关键． 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．利用证明，得，从而说明是等腰直角三角形，可知①正确；过点作于，利用证明，得，，可说明②正确；设，则，，，得，可知③正确；由，知，而点并不是的中点，可说明④错误． 【详解】解：①， ， ， ∴, ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，故①正确； ②由①知，， 过点作于， 则， ， ， 点是的中点， ， 在与中， ， ， ，， ， ， ，故②正确； ③由，， 设，则，，， ，故③正确； ④， ， 由①知，，， ， ， 由①知，， ， ， ， ， ， ， ，故④错误， 正确的有①②③ 故选：B 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，得出是解题的关键．根据二元一次方程组的解的定义得出，整体代入即可求解． 【详解】解：是二元一次方程的一个解， ， ， 故答案为：． 12. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，邻补角，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，邻补角，平行线的性质是解题的关键． 由，可得，由折叠的性质可得，，，由，可得，进而可求的度数． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是_____． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出AB两点间的距离，再根据距离的定义找出符合条件的点即可． 【详解】解：∵AB间距离为6，点C到表示1的点的距离不大于2的点是﹣1到3之间的点， 满足条件的点组成的线段的长是4， ∴其概率为=． 故答案为． 【点睛】本题考查了几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），线段DE的两个端点的坐标分别为D（﹣1，6），E（﹣1，2）．若网格中有一点F，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则点F的坐标为 ________________． 【答案】（﹣3，8）或（﹣3，0） 【解析】 【分析】分第三个顶点在点E下方和上方两种情形求解即可． 【详解】∵A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3）， ∴AB＝﹣2+6＝4， ∵D（﹣1，6），E（﹣1，2）， ∴DE＝6﹣2＝4， ∴DE＝AB， 设第三顶点为F, ∵D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则分两种情况： ①如果△DEF≌ABC，DF＝AC， 所以点F的坐标为（﹣3，8）； ， ②如果△DEF≌BAC，那么EF＝AC， 所以点F的坐标为（﹣3，0）； 综上所述，点F的坐标为（﹣3，8）或（﹣3，0）． 故答案为：（﹣3，8）或（﹣3，0）． 【点睛】本题考查了三角形的全等，坐标的确定，分类思想，熟练掌握三角形全等性质，坐标的定义是解题的关键． 15. 已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________． 【答案】5 【解析】 【分析】过D作，，交延长线于F，然后根据全等三角形的性质和角直角三角形的性质即可求解． 【详解】过D作，，交延长线于F， ∵AD平分，，， ∴，， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 和中， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形和角平分线的性质，解题的关键是作出辅助线构造全等三角形． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分，满分90分；解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）已知二元一次方程，请用关于x的代数式表示y，并写出此方程的正整数解； （2）解方程组． 【答案】（1），正整数解为，，；（2）方程组的解为 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）先把原方程变形为，再由x，y为正整数，即可求解； （2）利用加减（代入）消元法解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴． 当时，； 当时，； 当时，； ∴正整数解为，，． （2）方法一：由①得：③， 将③代入②得：， 解得：， 把代入③得：， ∴方程组的解为：； 方法二：得：③， ②+③得：， 解得：， 把代入①得：， ∴方程组的解为：． 17. 如图，，． （1）求证：； （2）若，，求度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质． （1）根据平行线的性质得到，根据已知可得，从而可以判断； （2）首先求出，再得到，根据平行线的性质可得． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， ∵， ∴， ∵， ∴． 18. 如图，，，的垂直平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）根据三角形的内角和得到，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点D． ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，平时要熟练掌握各性质定理． 19. 如图，在中，，点D在线段的延长线上，点E是中点，点F是边上一点． （1）尺规作图：作的角平分线，连接并延长，交于点G（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断与的关系并给出证明． 【答案】（1）见解析 （2）与平行且相等，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据尺规作图的原则作出角平分线即可； （2）根据平行的判定判断，再证明得到相等即可． 【小问1详解】 如图为求作的图形． 【小问2详解】 与平行且相等． 证明：， ． ． ，即， 平分， ， ． ． 是中点， ． 在和中，，，． ． ． 【点睛】本题主要考查了作图，角平分线性质，等腰三角形的性质，画出正确的图形是解题的关键． 20. 定义一种新运算“”如下：当时，；当时，． （1）计算：； （2）若，求x的值． 【答案】（1） （2）的值为 【解析】 【分析】（1）根据定义新运算的运算法则即可求解； （2）分类讨论，①当时，运用计算；②当时，运用，根据的取值判定符合条件的值即可． 【小问1详解】 解： ∵， ∴． 【小问2详解】 解：①当时，， ∴，解得， ∵， ∴符合题意； ②当时，， ∴，解得， ∵， ∴不符合题意，故舍去， ∴的值为． 【点睛】本题主要考查有理数的定义新运算，理解定义新运算的运算规程，掌握有理数的运算法则，解方程的方法，分类讨论的思想是解题的关键． 21. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 【答案】（1）见解析；（2）5；（3）60° 【解析】 【分析】（1）依据等边三角形的性质，由SAS即可判定△ABD≌△ACE； （2）依据等边三角形的性质以及全等三角形的性质，即可得出BD=CE，DE=AE，进而得到AE+CE=BE，代入数值即可得出结果； （3）依据等边三角形的性质可得∠ADE=60°，进而可得∠ADB=120°，由全等三角形的性质可得∠AEC=120°，由∠BEC=∠AEC-∠AED即可得出∠BEC的度数． 【详解】（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE， 在△ABD和△ACE中，， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∵△ADE 是等边三角形， ∴DE＝AE， ∵DE+BD＝BE， ∴AE+CE＝BE， ∴BE＝2+3＝5； （3）解：∵△ADE 是等边三角形， ∴∠ADE＝∠AED＝60°， ∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠AEC＝∠ADB＝120°， ∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°． 【点睛】本题考查了等边三角形性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 22. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元， （1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元? （2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根? 【答案】（1）A种跳绳的单价是25元，B种跳绳的单价是30元 （2）最多可以购买B种跳绳37根 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种跳绳的单价是元，种跳绳的单价是元，根据购买3根种跳绳和1根种跳绳共需105元；购买5根种跳绳和3根种跳绳共需215元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买种跳绳根，则购买种跳绳根，根据总费用不超过1388元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 设种跳绳的单价是元，种跳绳的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 答：种跳绳的单价是25元，种跳绳的单价是30元； 【小问2详解】 设购买种跳绳根，则购买种跳绳根， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 得最大值为37， 答：最多可以购买种跳绳37根． 23. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，　 　，　 　． （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 【答案】（1） （2）当时， （3）或 【解析】 【分析】（1）由平角的定义求出，进而求出的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求出，由三角形内角和定理可判断的变化； （2）当时，由“”可证； （3）根据题意进行分类讨论：①当时，不符合题意，舍去；②当时，③当时． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， 理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：①当时， ∵， ∴， ∵， ∴点E和点C重合，不符合题意； ②当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴， ∵， ∴． 综上：或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年度第二学期期末质量检测初二数学试题 本试卷共8页，满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本题共10小题，在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的，每小题4分，满分40分，错选、不选、多选，均记0分） 1. 下列命题中，属于真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 相等的角是对顶角 C. 面积相等的两个三角形全等 D. 同角的补角相等 2. 如图，能判定的是（ ） A. ∠1=∠2 B. ∠1=∠3 C ∠3=∠4 D. 3. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A B. C. D. 5. 如图，，则的度数等于（ ） A. B. C. D. 6. 在一个不透明的布袋内，有红球5个，黄球4个，白球1个，蓝球3个，它们除颜色外，大小、质地都相同．若随机从袋中摸取一个球，则摸中哪种球的概率最大（ ） A. 红球 B. 黄球 C. 白球 D. 蓝球 7. 如图，在中，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，EF垂直平分AC，点P为直线EF上一动点，则周长的最小值是（ ） A. 8.5 B. 9 C. 12.5 D. 15 9. 若不等式组无解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论为（ ） A. ①③ B. ①②③ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题4分，共20分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值是______． 12. 如图，将长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为______度． 13. 如图，数轴上两点A，B，在线段AB上任取一点C，则点C到表示1的点的距离不大于2的概率是_____． 14. 如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣6，1），B（﹣2，1），C（﹣8，3），线段DE的两个端点的坐标分别为D（﹣1，6），E（﹣1，2）．若网格中有一点F，且以D，E，F为顶点的三角形与△ABC全等，则点F的坐标为 ________________． 15. 已知，△ABC中，∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，∠BDC＝60°，AB＝2，AC＝3，则AD的长是________． 三、解答题（第16，17，18，19题每题10分；第20，21题每题12分，第22，23题每题13分，满分90分；解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）已知二元一次方程，请用关于x的代数式表示y，并写出此方程的正整数解； （2）解方程组． 17. 如图，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 18. 如图，，，的垂直平分线交于点D． （1）求的度数； （2）求证：． 19. 如图，在中，，点D在线段延长线上，点E是中点，点F是边上一点． （1）尺规作图：作的角平分线，连接并延长，交于点G（保留作图痕迹，不写作法）； （2）试判断与关系并给出证明． 20. 定义一种新运算“”如下：当时，；当时，． （1）计算：； （2）若，求x的值． 21. 如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上. （1）求证：△ABD≌△ACE； （2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长； （3）求∠BEC的度数 22. “体育承载着国家强盛、民族振兴梦想，体育强则中国强，国运兴则体育兴．”为引导学生在体育锻炼中享受乐趣、增强体质，学校开展大课间活动，七年级五班拟组织学生参加跳绳活动，需购买A，B两种跳绳若干，已知购买3根A种跳绳和1根B种跳绳共需105元；购买5根A种跳绳和3根B种跳绳共需215元， （1）求A，B两种跳绳的单价各是多少元? （2）如果班级计划购买A，B两型跳绳共48根，总费用不超过1388元，那么最多可以购买B种跳绳多少根? 23. 如图，在中，，，点D在线段上运动（点D不与点B、C重合），连接，作，交线段于点E． （1）当时，　 　，　 　． （2）线段的长度为何值时，，请说明理由； （3）在点D的运动过程中，的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求的度数；若不可以，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$