专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 无理数的概念 题型二 平方根与算术平方根概念理解 题型三 求一个数的算术平方根 题型四 利用算术平方根的非负性解题 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 求代数式的平方根 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 利用平方根解方程 题型十一 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 无理数的概念】 【例1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 【经典例题二 平方根与算术平方根概念理解】 【例2】（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）若，则的平方根为 ． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【经典例题三 求一个数的算术平方根】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）若x是81的算术平方根，则x的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若是个完全平方式，则的算术平方根是（    ） A．11 B．0 C．4 D．4或0 2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若和是实数的平方根，则的值为 ． 3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【经典例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）若直角三角形的两边长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B．或4 C．5或3 D．5或 2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 3．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 3．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（20-21八年级上·北京门头沟·期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ） A．179 B．109 C．210 D．104 1．（20-21八年级上·湖北十堰·期末）下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（   ） 第1行 1 第2行     2 第3行           第4行           … … A． B． C． D． 【点睛】本题是通过算术平方根的变化探究数字变化规律，观察得出规律是解题关键． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ． 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 【经典例题七 求一个数的平方根】 【例7】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，则x的平方根是（    ） A．5 B． C． D． 1．（22-23八年级上·四川宜宾·期中）若，则的平方根为（    ） A．1 B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）若实数m，n满足，则的平方根是 ． 3．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知均为实数，且． (1)　　　，　　　，　　　． (2)求的平方根 【经典例题八 求代数式的平方根】 【例8】（20-21八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 1．（2020·浙江·模拟预测）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 3．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【经典例题九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 1.（21-22八年级上·山东青岛·阶段练习）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）若与是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 3．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，求a和这个正数． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（22-23八年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 1.（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如果，那么 ． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知下列4个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)观察上述等式，请写出第5个等式； (2)写出第个等式，并证明； (3)我们还发现：第1个等式中可以写成，第2个等式中可以写成，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【经典例题十一 平方根的应用】 【例11】（19-20七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 1．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 2．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 1．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）下列说法正确的是（   ） A．0没有算术平方根 B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C．无理数可以用分数来表示，例如 D．任意一个无理数的绝对值都是正数 2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 4．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 5．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2025步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值； 正确的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）一个数值转换器，如图所示： 若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值 ． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若满足，则 ． 8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）以下各数：①；②，③；④；⑤（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有 ．（只填序号） 9．（23-24七年级下·云南保山·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 10．（2024·山东威海·一模）已知，，则 ． 11．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）计算： 12．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知的平方根为，的算术平方根为4，求a、b的值． 13．（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）已知都是实数，且满足，求的平方根． 14．（23-24七年级下·湖北·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．并使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．（结果不用化简） 15．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到） (3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平方根重难点题型专训（11大题型+15道拓展培优） 题型一 无理数的概念 题型二 平方根与算术平方根概念理解 题型三 求一个数的算术平方根 题型四 利用算术平方根的非负性解题 题型五 求算术平方根的整数部分与小数部分 题型六 与算术平方根有关的规律探索题 题型七 求一个数的平方根 题型八 求代数式的平方根 题型九 已知一个数的平方根，求这个数 题型十 利用平方根解方程 题型十一 平方根的应用 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 特别说明：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 特别说明：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 【经典例题一 无理数的概念】 【例1】（23-24七年级下·吉林·期末）在实数，，，，中，无理数的个数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数，结合所给数据进行判断即可，解题的关键是正确理解无理数的几种形式． 【详解】解：是有理数，不符合题意； 是有理数，不符合题意； 是无理数，符合题意； 是无理数，符合题意； 是有理数，不符合题意； 共个无理数， 故选：． 1．（23-24九年级上·河南周口·期末）从数据，，1.9，，，0.010010001…中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查无理数的概念，概率的计算，解决本题的关键是要熟练掌握概率计算方法． 【详解】解：从数据，，1.9．，，中任选一个数，抽到的无理数的有，这2种可能， 从数据，，1.9．，，中任选一个数，则该数恰好为无理数的概率是． 故选：B． 2．（23-24七年级下·安徽铜陵·期中）在实数，，，，…，，，中，无理数有 个． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的定义，解题的关键是熟练掌握无理数的定义．根据无理数的定义，结合所给数据即可求解． 【详解】解：，， ， 在实数，，，，…，，，中，有理数有个， 无理数有（个）， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·浙江金华·期中）把下列各数的序号填在相应的大括号里： ①，②，③0，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 整数：{                        } 负分数：{                    } 无理数：{                    } 【答案】③④⑤；②⑦⑧；①⑥ 【分析】本题考查有理数的分类和无理数的定义，根据相关定义逐一填写即可，有限小数或无限不循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，这是区分有理数与无理数的关键． 【详解】解：整数：{0，， } 负分数：{，，} 无理数：{ ，} 故答案为：③④⑤；②⑦⑧；①⑥． 【经典例题二 平方根与算术平方根概念理解】 【例2】（2024·山东菏泽·二模）下列说法正确的是（    ） A．64是8的算术平方根 B．9是的算术平方根 C．的算术平方根是 D．一个数的算术平方根等于它本身，这个数只能是1 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根的概念，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，由此即可判断，关键是掌握算术平方根的定义． 【详解】解：A、8是64的算术平方根，故A不符合题意； B、9是81的算术平方根，故B不符合题意； C、的算术平方根是，正确，故C符合题意； D、一个数的算术平方根等于它本身，这个数是0或1，故D不符合题意． 故选：C． 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）关于平方根的说法：①1是1的平方根；②1的平方根是1；③的平方根是；④2是的平方根；⑤的平方根是．若正确的用“✓”，错误的用“×”．下列判断正确的是（　　） A．①√②×③×④√⑤× B．①×②√③×④×⑤× C．①×②×③×④√⑤× D．①×②×③√④×⑤√ 【答案】A 【分析】本题考查对平方根的定义的理解，正数的平方根有两个，且互为相反数；根据平方根的意义与性质进行判断即可． 【详解】①1的平方根是，故1是1的平方根，①对； ②1的平方根是，故1的平方根是1错，故②错； ③负数没有平方根，故的平方根是错，故③错； ④的平方根，所以是的平方根对，故④对； ⑤的平方根是，所以的平方根是错，故⑤错； 故选：A． 2．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）若，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的应用，涉及平方根定义、算术平方根非负性、平方的非负性等知识，根据非负数和为零的条件得到值，代值求解即可得到答案，熟练掌握非负数和为零的条件是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得， ， 的平方根为， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·吉林长春·期末）一个正数有两个平方根，它们互为相反数．例如：若，则或． (1)根据上述平方根的意义，试求方程的解． (2)自由下落物体的高度（单位：米）与下落时间（单位：秒）的关系是，若有一个物体从离地米高处自由落下，求这个物体到达地面所需的时间． 【答案】(1)或 (2)秒 【分析】本题考查平方根及应用， （1）由平方根的知识可得，从而求出方程的解； （2）将代入，得到，再根据平方根的定义求出t的值即可； 熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ∴或； （2）根据题意，得：， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 答：这个物体到达地面所需的时间为秒． 【经典例题三 求一个数的算术平方根】 【例3】（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）若x是81的算术平方根，则x的值为（　　） A．3 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的知识，解决本题的关键是掌握会求一个数的算术平方根． 根据和算术平方根的知识可得． 【详解】解：，则． 故选：C． 1．（23-24八年级上·四川眉山·期中）若是个完全平方式，则的算术平方根是（    ） A．11 B．0 C．4 D．4或0 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值,，进而即可求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得：或. ∴或0， ∴的算术平方根是4或0 故选D 2．（23-24七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若和是实数的平方根，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平方根的定义、求算术平方根，由一个数的平方根互为相反数或相等得出或，求出的值，从而得出的值，再根据算术平方根计算即可得出答案． 【详解】解：∵和是实数的平方根， ∴或 解得：或 ∴或 ∴或 故答案为：或． 3．（23-24七年级下·河南商丘·阶段练习）我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”．例如：这三个数，，，其结果6，3，2都是整数，所以这三个数称为“完美组合数”． (1)这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由； (2)若三个数…是“完美组合数”，其中有两个数乘积的算术平方根为10，求a的值． 【答案】(1)三个数是“完美组合数”，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了算术平方根，读懂题意，理解“完美组合数”的定义是解题的关键． （1）根据“完美组合数”的定义判断即可； （2）分两种情况讨论：当时；当时；分别计算即可． 【详解】（1）是“完美组合数”，理由如下： ∵，，，10，5，2都是整数， ∴三个数是“完美组合数”． （2）当时，， 解得．不符合定义，舍去． 当时，， 解得． 此时， ，且10，40，20都是整数， ∴，是“完美组合数”，符合题意． 综上，． 【经典例题四 利用算术平方根的非负性解题】 【例4】（23-24七年级下·安徽淮北·期末）若实数x，y满足，则的值为（    ） A． B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根的非负性，负整指数幂，以及代数式求值，根据算术平方根的非负性，可得出，，然后代入代数式求值即可． 【详解】解：变形为：， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 1．（23-24八年级上·广东深圳·期中）若直角三角形的两边长分别为，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．5 B．或4 C．5或3 D．5或 【答案】D 【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再分情况讨论，利用勾股定理进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即，， ∴，， 当长度为4的边为直角边时，第三边长为：； 当长度为4的边为斜边时，第三边长为：． 综上所述，该直角三角形的第三边长为5或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了算术平方根和绝对值非负性的应用、完全平方公式和勾股定理等知识，解题关键是正确求出的值并运用分类讨论的思想分析问题． 2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）已知，则的平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数的开方和非负数的性质，平方根，根据非负数的性质列式求出的值，然后代入代数式，最后根据平方根的定义即可解答，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：，， ∴， ∴的平方根为， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·江西宜春·期末）【课本再现】 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即，那么这个正数x叫做a的算术平方根，记为；0的算术平方根是0，即．所以被开方数a为非负数． 【探究新知】 （1）若，则a的取值范围是________． 【知识应用】 （2）若，求的值． 【拓展应用】 （3）若，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法； （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数，可把原式化为，再结合算术平方根的含义可得答案． 【详解】解：（1），则a的取值范围是； 故答案为：； （2）∵， ∴， 解得：， ∴； （3）∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴； 【经典例题五 求算术平方根的整数部分与小数部分】 【例5】（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，一块面积为16平方米的正方形墙上镶嵌着一块正方形石雕，石雕四个角恰好分别在墙的四边的中点，请估计石雕边长的整数部分为（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查算术平方根的估算．求出石雕的边长是解题的关键． 由于正方形的面积等于边长的平方，故边长等于面积的算术平方根，据此先求出正方形墙面的边长，进而利用割补法算出石雕的面积，再根据算术平方根求出石雕的边长，最后利用估算无理数大小的方法估算出石雕边长的取值范围即可． 【详解】解：∵正方形墙的面积为， ∴正方形墙的边长为， ∵石雕的四个角分别在墙的四边的中点， ∴石雕的面积为； ∴石雕的边长为， ∵， ∴， ∴石雕边长的整数部分为2． 故答案为：B． 2．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）已知的整数部分是，小数部分是，则 ， ． 【答案】 【分析】根据的取值范围，根据整数部分和小数部分的定义，即可求解， 本题考查了，求算术平方根的整数部分和小数部分，解题的关键是：熟练掌握相关定义． 【详解】解：∵的整数部分是，小数部分是，， ∴，， 故答案为：，． 3．（23-24七年级上·浙江湖州·期中）如图，在甲、乙两个4×4的方格图中，每个小正方形的边长都为1． （1）求图甲中阴影正方形的面积和边长； （2）请在图乙中画一个与图甲阴影部分面积不相等的正方形，要求它的边长为无理数，并求出它的边长，及边长的整数部分和小数部分（答案直接写在横线上即可）． 解：（1）甲：面积______；边长______． （2）乙：边长______，该边长的整数部分为______该边长的小数部分为______． 【答案】（1）10；；（2）；2； 【分析】本题考查了作图，无理数等知识． （1）根据用整体正方形的面积减去周围四个三角形的面积即可； （2）令正方形的边长为即可，再根据算术平方根的估算即可求解． 【详解】解：（1）面积为， 边长为：； 故答案为：10；； （2）正方形如图所示， 面积为， 边长为：； ， 该边长的整数部分为2；该边长的小数部分为． 故答案为：；2； 【经典例题六 与算术平方根有关的规律探索题】 【例6】（20-21八年级上·北京门头沟·期中）已知：，，，，若符合上面规律，则的值为（   ） A．179 B．109 C．210 D．104 【答案】B 【分析】分析数据可得：，有；，有；若，必有；且，则；则． 【详解】解：，可得； ，可得； ，则，， 则， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了根据算术平方根的性质化简，根据题意找到规律是解题的关键． 1．（20-21八年级上·湖北十堰·期末）下面是一个按某种规律排列的数表，那么第7行的第2个数是：（   ） 第1行 1 第2行     2 第3行           第4行           … … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据观察，可得规律（n-1）最后一个数是（n-1），可得第n行的第二个数的算术平方根是，可得答案． 【详解】解：第二行的第二个数是， 第三行的第二个数是， 第四行的第二个数是， …… 第n行的第二个数的算术平方根是， 第7行的第2个数是 故答案为：B． 【点睛】本题是通过算术平方根的变化探究数字变化规律，观察得出规律是解题关键． 2．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）观察下列各式：①，②，③，……，根据以上规律，写出第10个等式： ． 【答案】 【分析】本题考查的是数字的变化规律和算术平方根，根据上述等式找出一般规律是解题的关键． 根据上述等式，得出一般规律：第个等式为，即可得出第10个等式． 【详解】解：根据上述等式，得出一般规律：第个等式为， 第10个等式：， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·辽宁鞍山·阶段练习）阅读下列解题过程： …… (1)计算： (2)按照你所发现的规律，猜想： （n为正整数）； (3)计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了实数的运算，数式规律探究，发现数字运算的规律并熟练应用是解题的关键． （1）利用算术平方根的意义解答即可； （2）利用式子的规律解答即可； （3）利用上面的规律将每个算术平方根化简，再利用分数的乘法的法则运算即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：依据上述运算的规律可得：＝， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【经典例题七 求一个数的平方根】 【例7】（22-23七年级下·河北石家庄·阶段练习）若，则x的平方根是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据算术平方根相等可得，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴x的平方根是， 故选：C． 【点睛】本题考查平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解题的关键． 1．（22-23八年级上·四川宜宾·期中）若，则的平方根为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先运用积的乘方与幂的乘方计算已知式子左边，再运用单项式除法法则计算已知式子左边，然后根据底数相同，幂相等，则指数相等列关于m、n的方程求出m、n的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， 解得：， ∴的平方根， 故选：D． 【点睛】本题考查积的乘方与幂的乘方，单项式除法，平方根，熟练掌握积的乘方与幂的乘方、单项式除法运算法则是解题的关键． 2．（23-24八年级下·山东聊城·阶段练习）若实数m，n满足，则的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数，以及平方根，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关键．两个非负数的和为0，须两个非负数同为0，须被平方的式子与被开方的式子都为0，求得m、n的值，进而得到的平方根． 【详解】解：， 且， 解得，， ， 的平方根是； 故答案为：． 3．（23-24七年级下·广东江门·期中）已知均为实数，且． (1)　　　，　　　，　　　． (2)求的平方根 【答案】(1)，，； (2)的平方根为． 【分析】（）先根据非负数的性质即可求出的值； （）把的值代入求出值，然后计算平方根即可； 本题考查了非负数的性质和平方根，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴，，； 故答案为：，，； （2）当，，时， 则， ∴的平方根为． 【经典例题八 求代数式的平方根】 【例8】（20-21八年级上·广东江门·期中）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将两边平方得出，再求得即可得答案． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键 1．（2020·浙江·模拟预测）关于x的多项式与多项式相加后不含x的二次和一次项，则平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】将两个多项式相加，根据相加后不含x的二次和一次项，求得m、n的值，再进行计算． 【详解】＋ ＝ 由题意知，， ， ∴，， ∴， 9的平方根是， ∴平方根为， 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键，同时考查了平方根的定义，熟练掌握正数有两个平方根，0的平方根是0，负数没有平方根． 2．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键． 3．（23-24八年级上·湖北黄冈·期末）请认真观察下列等式： ；； 并解决下列问题： (1)填空：①______； ②已知，则______； (2)计算：①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)①4；② (2)①；② 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值以及求一个数的平方根，解题的关键是理解并掌握完全平方公式． （1）①根据题干提供的信息，利用完全平方公式进行计算即可；②先利用完全平方公式变形求出，然后求出的值即可； （2）①先将两边都除以，得出，然后求出，再求出，即可获得答案；②分两种情况讨论：当时和当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：① ； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：①4；②； （2）①已知，， 则两边同时除以，可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②当时，， ∴， ∴， ∵， ∴不合题意，舍去； 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∴． 【经典例题九 已知一个数的平方根，求这个数】 【例9】（23-24七年级下·广东汕尾·阶段练习）若一个数的平方根是和，则这个数是（　　） A．1 B． C．4 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根． 根据一个正数的两个平方根互为相反数，可知，求得，继而得，即可由求出答案． 【详解】解：∵一个数的平方根是和， ∴， 解得：， ∴， ∴，即这个数为16． 故选：D． 1.（21-22八年级上·山东青岛·阶段练习）如果一个正数的平方根是a+3及2a﹣15，那么这个正数是(   ) A．441 B．49 C．7或21 D．49或441 【答案】B 【分析】根据正数的平方根有两个，且互为相反数，由此可得a的方程，解方程即可得到a的值；进而可得这个正数的平方根，最后可得这个正数的值． 【详解】解：∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3和2a﹣15互为相反数， 即(a+3)+(2a﹣15)＝0； 解得a＝4， 则a+3＝﹣(2a﹣15)＝7； 则这个数为＝49； 故选：B． 【点睛】本题考查了平方根的概念、解一元一次方程，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 2．（23-24七年级下·河南漯河·期中）若与是某个正数的平方根，则这个正数是 ． 【答案】或1 【分析】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义，利用分类讨论思想求出的值是解此题的关键．根据平方根的定义得出或，求出，再求出的值，即可求出个正数． 【详解】解：∵与是一个正数的平方根， ∴或， 解得：或， ∴或1， ∴这个正数是或1， 故答案为：或1． 3．（23-24七年级下·甘肃金昌·期中）已知一个正数的两个不同的平方根分别为和，求a和这个正数． 【答案】，81 【分析】本题考查平方根，根据一个正数的两个平方根互为相反数即可得出相关的方程，计算即可．解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数． 【详解】∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴， 解得：． ∴． ∴这个数为81． 【经典例题十 利用平方根解方程】 【例10】（22-23八年级下·重庆永川·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．2或3 【答案】D 【分析】根据算术平方根的定义解答即可. 【详解】      故选：D 【点睛】本题主要考查了算术平方根的定义：如果一个正数的平方等于a，那么这个正数叫做a的算术平方根，记作．正确理解算术平方根的定义是解题的关键. 1.（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是利用完全平方公式的变形求解代数式的值，利用平方根的含义解方程，直接利用完全平方公式的变形进行计算即可； 【详解】解：∵，， ∴ ； ∴； 故选B 2．（23-24八年级上·山东青岛·期中）如果，那么 ． 【答案】或/或 【分析】此题考查了平方根的应用，根据平方根的定义两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，解题的关键是能根据定义得出两个一元一次方程． 【详解】两边同时除以，, 两边开方得：， ∴或 ， 解得：或， 故答案为：或． 3．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知下列4个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)观察上述等式，请写出第5个等式； (2)写出第个等式，并证明； (3)我们还发现：第1个等式中可以写成，第2个等式中可以写成，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)，3612，3613或13，84，85 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据所给已知条件，找出规律． （1）观察给出的等式得出规律，写出第5个等式即可； （2）根据已知等式得出规律，根据整式混合运算法则进行证明即可； （3）先根据题意找出规律，得出第n组：第一个数为：，第二个数为：，第三个数为；分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； （2）解：解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第n个等式：； 证明：左边， 右边； ∴左边右边． （3）解：∵第一组：，，， 第二组：，，， 第三组：，，， 第四组：，，， …… 则第n组：第一个数为：，第二个数为：，第三个数为； ∴当时，解得：， 此时第二个数为：， 第三个数为：； 当时，整理得：， 开平方得：， 解得：， ∵为整数， ∴此时不符合题意舍去； 当时，整理得：， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时第一个数为，第二个数为，第三个数为； 综上分析可知，其中一个数为85的“勾股数”为：，3612，3613或13，84，85． 【经典例题十一 平方根的应用】 【例11】（19-20七年级下·河北邯郸·阶段练习）已知≈4.858，≈1.536，则﹣≈（　　） A．﹣485.8 B．﹣48.58 C．﹣153.6 D．﹣1536 【答案】A 【分析】根据平方根小数点的移动规律解答． 【详解】解：236000是由23.6小数点向右移动4位得到，则﹣＝﹣485.8； 故选：A． 【点睛】此题考查了平方根小数点的移动规律：当被开方数的小数点向右每移动两位，则平方根的小数点向右移动一位；当被开方数的小数点向左每移动两位，则平方根的小数点向左移动一位． 1．（22-23八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）若正方形的面积与长为4，宽为3的长方形面积相等，则该正方形的边长为（   ） A．6 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，根据长方形与正方形面积相等进行求解即可． 【详解】解：设正方形的边长为x， 由题意得：， （舍去）， 故选：D． 【点睛】本题考查了平方根的应用，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24九年级上·河北保定·开学考试）中国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位．学习了勾股定理后，小明也绘制了一幅“赵爽弦图”，如图①所示，已知他绘制的大正方形的面积是5，且图中四个全等的直角三角形与中间的小正方形恰好能拼成如图②所示的大长方形ABCD．    （1）图中四个全等的直角三角形中较长直角边长为a，较短直角边为b，则 （直接填数字）． （2）图②中大长方形ABCD的周长是 ． 【答案】 2 12 【分析】设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（），矩形图可知小正方形的边长为b，易得，根据矩形的面积与大正方形的面积相等列方程求得，进而求出a值，即可解决问题． 【详解】解：设直角三角形的较长直角边长度为a，较短直角边长度为b，则中间的小正方形长度为（）， 由图②可得，小正方形的边长为b， ，即， ∴围成的矩形长为：， ∴围成的矩形面积为：， ∵矩形的面积与大正方形的面积相等， ， 解得：（舍去负值）， ， ， 矩形的周长为：， 故答案为：2，12． 【点睛】本题考查了赵爽弦图，注意利用图形之间关系进行求解． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期中）小明同学每次回家进入电梯时，总能看见物业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间（单位：秒）和高度（单位：米）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒．物体落地时产生的动能物体质量重力加速度高度，动能的单位名称为焦耳，例如：一个1千克重的花盆从30米高空坠落到地面产生的动能为：焦耳． (1)一个物品从80米的高楼坠落到地面需要几秒？ (2)一个0.5 千克的物品坠落到地面产生了200焦耳的动能，请推算该物品坠落到地面用了几秒？（结果精确到0.1 秒，） 【答案】(1)大约需要4秒 (2)大约2.8秒 【分析】本题考查了平方根的应用，理解公式，正确代入求值是解此题的关键． （1）将米代入得：，即，计算即可得解； （2）先求出米，再将米代入得，即，计算即可得出答案． 【详解】（1）解：把米代入得：，即， 解得：（负值舍去）， 答：一个物品从80米的高楼坠落到地面大约需要4秒 （2）解：由题意得：， 解得， 把代入得：，即， 解得（负值舍去）， ∴秒， 答：该物品坠落地面用了大约2.8秒． 1．（23-24七年级下·甘肃平凉·期末）下列说法正确的是（   ） A．0没有算术平方根 B．两个整数相除，如果被除数除以除数永远除不尽，那么结果一定是个无理数 C．无理数可以用分数来表示，例如 D．任意一个无理数的绝对值都是正数 【答案】D 【分析】本题考查了平方根、无理数、绝对值，理解无理数的概念是解答的关键． 根据平方根、无理数、绝对值的定义逐一判断即可求解， 【详解】解：A．0的算术平方根是0，则错误，故不符合题意； B．两个整数相除，而循环小数是有理数，则错误，故不符合题意； C．无理数不可以用分数来表示，不是分数，则错误，故不符合题意； D．任意一个无理数的绝对值都是正数，则正确，故符合题意． 故选：D． 2．（23-24七年级下·河北廊坊·期末）已知x，y为实数，且，则下列式子的值最大的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质、代数式求值、有理数的大小比较，根据非负数的性质求得，，分别代入求解，再进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，，，， ∴的值最大， 故选：A． 3．（23-24七年级下·辽宁葫芦岛·期末）已知，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查非负数的性质和代数式的值，根据非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 4．（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 5．（23-24七年级下·重庆铜梁·期末）某计算器中有、、三个按键，以下是这三个按键的功能．①：将屏幕显示的数变成它的算术平方根；②：将屏幕显示的数变成它的倒数；③：将屏幕显示的数变成它的平方．输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第1步到第3步循环按键．例如：当输入5时，第1步操作的结果是25，第2步操作的结果是，第3步操作的结果是，…．下列说法： ①若开始输入的数据为2，那么第5步操作之后，显示的结果是4； ②若开始输入的数据为，那么第2025步操作之后，显示的结果是； ③若开始输入一个数据，经过若干步操作后，得到的结果为16，则a有6种不同的值； 正确的个数是（    ）    A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要结合计算器的使用考查规律，根据题中的按键顺序确定出显示的数的规律，对各说法逐一判断即可． 【详解】解：①若开始输入的数据为2，那么 第1步操作后显示的结果是， 第2步操作后显示的结果是， 第3步操作后显示的结果是， 第4步操作后显示的结果是， 第5步操作后显示的结果是，故说法①正确； ②若开始输入的数据为，那么 第1步操作后显示的结果是， 第2步操作后显示的结果是， 第3步操作后显示的结果是， 第4步操作后显示的结果是， 第5步操作后显示的结果是， 第6步操作后显示的结果是， 第7步操作后显示的结果是， ……， 由此可以发现，操作后结果是按照，，，每4步一个循环， ∵， ∴第2025步操作之后，显示的结果是，故说法②错误； ③若开始输入的数据为，输入经过若干步操作后，得到的结果为16，则 或或， ∴或或．故说法③错误． 综上，说法正确的只有1个． 故选：B 6．（23-24八年级下·山东聊城·期末）一个数值转换器，如图所示： 若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值 ． 【答案】1或0 【分析】本题考查算术平方根，无理数的定义，根据算术平方根是它本身的数进行判断即可，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：因为1的算术平方根是1，0的算术平方根是0， 所以无论经过多少次运算其算术平方根还是有理数； 故答案为：1或0． 7．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）若满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，代数式求值，根据非负数的性质可得，，即可求出的值，再把的值代入代数式计算即可求解，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·陕西西安·期末）以下各数：①；②，③；④；⑤（相邻两个1之间依次多一个0），其中是无理数的有 ．（只填序号） 【答案】②③⑤ 【分析】本题考查了无理数的定义、算术平方根、立方根等知识点，对含根号的数进行化简是解题的关键． 根据无理数的定义、算术平方根、立方根这个判断即可． 【详解】解：①是有理数；②是无理数；③是无理数；④是有理数；⑤（相邻两个1之间依次多一个0）是无理数． 故答案为：②③⑤． 9．（23-24七年级下·云南保山·期中）已知，是4的算术平方根，则的值为 ． 【答案】11 【分析】本题主要考查的是算术平方根，代数式求值，熟练掌握相关定义是解题的关键．首先依据算术平方根的定义求得x、y的值，从而可求得代数式的值． 【详解】解：，是4的算术平方根， ， ， 故答案为：11． 10．（2024·山东威海·一模）已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查算术平方根的知识，根据计算得出结论即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）计算： 【答案】7 【分析】本题考查了零指数幂，绝对值，负整数指数幂，算术平方根．先分别计算零指数幂，绝对值，负整数指数幂，算术平方根，然后进行加减运算即可．熟练掌握零指数幂，绝对值，负整数指数幂，算术平方根是解题的关键． 【详解】解： ． 12．（23-24七年级下·广东汕头·阶段练习）已知的平方根为，的算术平方根为4，求a、b的值． 【答案】， 【分析】本题考查了算术平方根，平方根等知识．熟练掌握算术平方根，平方根是解题的关键． 由题意知，，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，． 13．（23-24七年级下·河南许昌·阶段练习）已知都是实数，且满足，求的平方根． 【答案】的平方根为 【分析】本题主要考查整式的混合运算，绝对值，算术平方根的非负性等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 根据绝对值的性质化简原式，可得，由此即可求解的值，再根据平方根的计算即可求解． 【详解】解：∵，，中， ∴， 又， ∴化简得：， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴的平方根为． 14．（23-24七年级下·湖北·期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．并使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．（结果不用化简） 【答案】小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片，此长方形纸片长宽分别为， 【分析】本题主要考查了算术平方根的实际应用，设长方形纸片的长为，宽为，根据长方形面积公式得到，求出，，则长方形纸片的长与正方形的边长相等，宽小于正方形的边长，由此即可得到结论． 【详解】解：长方形纸片的长宽之比为， ∴可设长方形纸片的长为，宽为， ， ， ∴，， ∵正方形纸片的面积为，即正方形的边长的平方等于， ∴长方形纸片的长与正方形的边长相等，宽小于正方形的边长 小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片，此长方形纸片的长的，宽的为． 15．（23-24七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）数感和量感都是“数”的表达，二者密切相关，相互依存． (1)有多大呢？完成下列问题．在教材中“有多大呢？”的探究活动，有同学是下面这样探究的．我们知道面积是的正方形边长是，且因为，，所以．设，画出示意图一．由面积公式，可得．因为值很小，所以可以忽略不计，则得到，解方程得______（保留到），即______． (2)黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，现在仿照上面探究“有多大呢？”的过程，请你写出探究“有多大”的过程，然后计算出黄金分割数的近似值．（结果均保留到） (3)怎样画出？教材中告诉了如何画的方法，用两个面积为的小正方形分别沿对角线剪开，拼成一个面积为2的大正方形，如图二．可以求出大正方形的边长为．现有5个边长为1的小正方形，排列形式如图三，类比图二的方法，请你在图三中用实线把它们分割，然后在图四中拼接成-一个新的大正方形．要求：在图三中画出分割线，并在正方形网格图四中直接用实线画出拼接成的新的大正方形，且大正方形的边长为． 【答案】(1)， (2)，过程见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，算术平方根，解题的关键是数形结合． （1）根据题意计算即可； （2）由（1）的方法求解即可； （3）根据题意画出图形即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：，； （2），， 设，画出示意图， 由面积公式，可得， 值很小，所以可以忽略不计， ， 解方程得：， 即， 黄金分割数； （3）如图： 学科网（北京）股份有限公司 $$