4.1从问题到方程 讲义2023-2024学年苏科版数学七年级上册

4.1　从问题到方程 精讲精练及答案 要点一 一元一次方程的有关概念 1.含有未知数的等式叫做方程. 2.只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 3.使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 注意： “元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数． 【例1】（2024•河南新乡期末）下列方程是一元一次方程的是（　　） A．y=x-1 B．x-1=0 C．x2=9 D．3x-5 【解析】A、y=x-1，含有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； B、x-1=0，是一元一次方程，故此选项符合题意； C、x2=9，未知数的指数为2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意； D、3x-5不是方程，不是一元一次方程，故此选项不符合题意． 【答案】B． 要点二 根据实际问题列方程 根据实际问题列方程的步骤 (1)设未知数:一般问什么设什么,有时也可根据题意间接设未知 数; (2)找关系:用含有未知数的代数式表示题中有关的数量; (3)列方程:根据题目中的相等关系、倍数关系等列方程. 注意：准确找出等量关系是列方程的关键,可以从以下三方面入手: ①利用公式寻找,如正方形的周长=4a(a为正方形的边长); ②运用不变量寻找; ③从关键词句中寻找,如一般和差关系或倍数关系常用“一共 有”“比……多”“比……少”“是……的几倍”等语句表示. 【例2】（2024•吉林长春九台区校级月考）根据题意列出方程（只列方程）． （1）某数的40%比它的相反数的还少； （2）某长方形的周长是10，长与宽之比为3：2，则长和宽各是多少？ （3）从正方形的铁皮上截去一个2cm宽的长方形条，余下的面积是80cm2，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ 解：（1）设该数为x,则它的相反数为-x, 根据题意得： （-x）-40%x=； （2）设长方形的长为y,则宽为y, 根据题意得：2（y+y）=10； （3）设原来的正方形铁皮的边长是acm,则剩余部分的宽为（a-2）cm, 根据题意得：a（a-2）=80． 【总结】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程及由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元一次（或一元二次）方程是解题的关键． 知识点1　 一元一次方程的有关概念 1.下列方程中,属于一元一次方程的有(　　) ①3x-y=2;②-2=0;③x=;④x2+3x-2=0. A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 2.(2023•福建泉州永春期中)下列方程中,解是x=2的是(　　) A.4x+8=0　　　B.-=0 C.x=2　　　 D.1-3x=5 3.若方程(m-3)x=2是关于x的一元一次方程,则(　　) A.m≠-3　　　　　　　　　　B.m≠0 C.m≠3　　　　　　　　　　D.m>3 变式1:已知xm-1-2=0是关于x的一元一次方程,则m的值是(　　) A.1　　　　B.-1　　　　C.-2　　　　D.2 变式2:已知关于x的方程(m-1)x|m|-6=0是一元一次方程,则m的值为(　　) A.1　　　　　　　　　 　B.-1 C.1或-1　　　　　　　　　　D.以上结果均不正确 4.下列各式,哪些是等式?哪些是方程?哪些是一元一次方程? ①3a+5;②x+2y=8;③5-3=2;④y=10;⑤3y2+y=2;⑥3a-2a<0;⑦2a2-3a2;⑧x+2≠3. 5. (2022•甘肃武威古浪月考)已知(k2-4)x2+(k+2)x+1=0是关于x的一元一次方程,求k的值. 知识点2　根据实际问题列方程 6.（2024•广州中考）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　　） A．1.2x+1100=35060 B．1.2x-1100=35060 C．1.2（x+1100）=35060 D．x-1100=35060×1.2 7.有一道题:今有人共买羊,人出七,不足三;人出八,盈十六,问人数、羊价几何?译文为现在有若干人共同买一只羊,若每人出7钱,则还差3钱;若每人出8钱,则剩余16钱.问买羊的人数和这只羊的价格分别是多少?设买羊的人数为x,根据题意,可列方程为(　　) A.7x+3=8x+16　　　　B.7x-3=8x-16 C.7x+3=8x-16　　　　D.7x-3=8x+16 8.(2022•重庆七中期中)学校在举办“读书月”的活动中,将一些图书分给了七年级一班的学生阅读,若每人分2本,则剩余15本;若每人分3本,则还缺20本.若设该校七年级一班有学生x人,则下列方程正确的是(　　) A.2x+15=3x-20　　　B.2x-15=3x+20 C.2x-15=3x-20　　　D.2x+15=3x+20 9.为丰富校园文化,某校举办校园艺术节,某班45名同学参加文艺演出,项目有独唱、合唱和诗朗诵,要求每人只能参加一项.已知合唱人数是独唱人数的2倍,诗朗诵的人数比合唱人数少5.设参加独唱的有x人,可列方程　　　　　　　　.  10.(2023•湖南双峰五中期中)如图,用8块相同的长方形地砖拼成了一个长方形图案(地砖间的缝隙忽略不计),设每块地砖的宽为x cm,根据题意,列出的方程为　　　　　.  11.根据下列题干设未知数并列方程,然后判断所列方程是不是一元一次方程. (1)从60 cm长的木条上截去两段同样长的木条,还剩下10 cm长的木条,截下的每段木条的长为多少厘米? (2)小红对小敏说:“我是6月份出生的,我的年龄的2倍加上10,正好是我出生的那个月的总天数,你猜我几岁?” 12.(2022•北京顺义期末)下列是一元一次方程的是(　　) A.x2-2x-3=0　　　　　　　　　　B.x+1=0 C.3x-2　　　　　　　　　　D.2x+y=5 13.关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,则a+m的值为(　　) A.9　　　　B.8　　　　C.5　　　　D.4 14.(2022•贵州六盘水中考)我国“DF-41型”导弹俗称“东风快递”,速度可达到26马赫(1马赫=340米/秒),则“DF-41型”导弹飞行多少分钟能打击到12 000千米处的目标?设飞行x分钟能打击到目标,可以得到方程(　　) A.26×340×60x=12 000 B.26×340x=12 000 C.=12 000 D.=12 000 15.(2022•江苏泗阳期末)在矩形ABCD中放入六个长、宽都相同的小长方形,所标尺寸如图所示,求小长方形的宽AE.设AE=x cm,依题意可列方程为(　　) A.6+2x=14-3x　　　　B.6+2x=x+(14-3x) C.14-3x=6　　　 　D.6+2x=14-x 16.“曹冲称象”是流传很广的故事,按照他的方法:先将象牵到大船上,并在船侧面标记水位,再将象牵出.然后往船上抬入20块等质量的条形石,并在船上留3个搬运工,这时水位恰好到达标记位置.如果再抬入1块同样的条形石,船上只留1个搬运工,水位也恰好到达标记位置.已知搬运工体重均为120斤(1斤=0.5千克),设每块条形石的质量是x斤,则可列出方程为(　　) A.3×120=x-120 B.20x+3×120=(20+1)x+120 C.20x-3×120=(20+1)x D.20x+120=(20+1)x 17.方程x+=3x,处是被墨水盖住的实数,已知方程的解是x=2,那么处的实数是　　　　. 18.(2023•浙江杭州拱墅锦绣育才教育集团月考)若关于x的一元一次方程ax+3x=2的解是x=1,则a=　　　　.  19.方程(a-6)x|a|-5+2=a+6是关于x的一元一次方程,则a=　　　　. 20.用方程描述下列实际问题中各数量之间的等量关系. (1)七年级某班为希望工程共捐款159元,比平均每人捐3元多24元,这个班的学生有多少人? (2)某市出租车的收费标准:起步价为8元,路程3千米内(含3千米)按起步价收费,超过3千米后,每千米加收2元(不足1千米,按1千米计算),某人乘出租车从甲地到乙地共付费16元.求甲、乙两地的最大路程. 21.根据“欢欢”与“乐乐”的对话,解决下面的问题. 欢欢:“我手中有四张卡片,它们上面分别写有8,3x+2,x-3,.” 乐乐:“我用等号将这四张卡片中的任意两张卡片上的数或式子连接起来,就会得到等式或一元一次方程.” 问题: (1)乐乐一共能写出几个等式? (2)在她写的这些等式中,有几个一元一次方程?请写出这几个一元一次方程. 答案： 1.A解析：①3x-y=2,含有两个未知数;②-2=0,不是整式; ③x=,属于一元一次方程;④x2+3x-2=0,未知数的最高次数是2. 所以属于一元一次方程的有1个. 2.B解析：把x=2分别代入各方程验证,可得x=2是方程-=0的解.故选B. 3.C解析：因为方程(m-3)x=1是关于x的一元一次方程,所以m-3≠0,所以m≠3. [变式1]D解析：根据题意得m-1=1,所以m=2. [变式2]B解析：根据题意,得|m|=1且m-1≠0,解得m=-1. 4.解：①3a+5中没有等号,是代数式; ②x+2y=8中有等号,是等式,同时含有2个未知数,是方程,但不是一元一次方程; ③5-3=2,是等式,不含有未知数,不是方程; ④y=10,是等式,同时含有1个未知数,是方程,也是一元一次方程; ⑤3y2+y=2,是等式,同时含有1个未知数,是方程,未知数的最高次数是2,不是一元一次方程; ⑥3a-2a<0,不是等式; ⑦2a2-3a2中没有等号,是代数式; ⑧x+2≠3,不是等式. ∴等式有②③④⑤;方程有②④⑤;一元一次方程有④.: 5.解:因为(k2-4)x2+(k+2)x+1=0是关于x的一元一次方程, 所以k2-4=0且k+2≠0, 所以k=2. 6.A解析：根据题意等量关系：今年5月交付新车的数量=1.2×去年5月交付的新车数量+1100，得1.2x+1100=35060，故选A． 7.C解析：已知买羊的人数为x,则这头羊的价格是(7x+3)钱或(8x-16)钱,根据羊的价格不变,即可得出关于x的一元一次方程. 8.A解析：由题意可列方程为2x+15=3x-20.故选A. 9.x+2x+(2x-5)=45解析：已知参加独唱的有x人,则合唱人数是3x,诗朗诵的人数是(3x-4),根据总人数为45,可得方程x+3x+(3x-4)=45. 10.4x=32解析：每块地砖的宽为x cm,由题图知,4×小长方形的宽=32 cm, ∴4x=32. 11.解：(1)设截下的每段木条的长为x cm, 由题意得60-2x=10,是一元一次方程. (2)设小红x岁, 由题意得2x+10=30,是一元一次方程. 12.B解析：A选项中未知数的最高次数是2;C选项不是等式;D选项中含有两个未知数.故选B. 13.C解析：因为关于x的一元一次方程2xa-2+m=4的解为x=1,所以a-2=1,2+m=4,所以a=3,m=2,所以a+m=3+2=5.故选C. 14.D解析：根据题意得=12 000. 15.B解析：如图,AE的长为x cm,则AM的长为(14-3x)cm, ∵AN=MW,∴AN+6=x+MR, 即6+2x=x+(14-3x). 16.B解析：∵20块等质量的条形石的质量和+3个搬运工的体重和=21块等质量的条形石的质量和+1个搬运工的体重,搬运工体重均为120斤, ∴20x+3×120=(20+1)x+120. 故选B. 17.4解析：把x=2代入方程,得2+=6,∴=6-2=4. 18.-1解析：将x=1代入方程ax+3x=2,得a+3=2,所以a=2-3=-1. 19.-6解析：∵方程(a-6)x|a|-5+2=a+6是关于x的一元一次方程, ∴a-6≠0且|a|-5=1,∴a=-6. 20.解：(1)设这个班的学生有x人,根据题意可列方程为3x+24=159. (2)因为16元>8元,所以甲、乙两地的路程大于3千米.设甲、乙两地的最大路程为x千米,根据题意可列方程为8+2(x-3)=16. 21.解：(1)根据题意,得3x+2=8;x-3=8;=8;3x+2=x-3;3x+2=x-3=,共6个等式. (2)一元一次方程有3个,分别为3x+2=8;x-3=8;3x+2=x-3. 学科网（北京）股份有限公司 $$