精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题

汽开三中2023—2024学年度下学期期末考试 高一数学学科试卷 命题人： 审题人： 注意事项：本试卷共3页，总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求共轭复数，再根据复数代数形式的除法运算化简复数即可. 【详解】因为，所以， 所以. 故选：D. 2. 已知内角，，的对边分别为，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理求解即可. 【详解】因为，故，， 由正弦定理，. 故选：A 3. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面位置关系的判定与性质，逐项判断即可求解. 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 4. 今年6月初，某市采取了鼓励地摊经济的做法，该市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（ ） A. 210，24 B. 210，50 C. 1500，24 D. 1500，50 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件直接求出样本容量与A区被抽取的食品摊位数. 【详解】样本容量为 A区被抽取的食品摊位数. 故选：A. 【点睛】本题考查分层抽样的知识点，属于基础题型. 5. 已知数据的平均数是，数据的平均数是，则（ ） A. 13 B. 14.4 C. 15 D. 15.2 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均数的性质求解即可. 【详解】由已知得，故D正确. 故选：D 6. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量法求出点到直线距离即可. 【详解】，， . 故选：A. 7. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，，利用空间向量运算得，，利用数量积的运算律求解数量积，即可解答. 【详解】设，，，则，， ， ， 所以， 故直线CE与DF所成的角为. 故选：D 8. 降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可求出圆台高，再计算其体积，即可得到结果. 【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为， 根据题意，且， 解得，则， 降水量的体积， 降水深度为，属于小雨等级. 故选：A． 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 小胡同学参加射击比赛，打了发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的第百分位数是 D. 这组数据的标准差是 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、百分位数、标准差逐项判断即可. 【详解】将这组数据从小到大排序得， 对于A，这组数据的众数为，故A正确； 对于B，平均数为，故B错误； 对于C，因为，所以第百分位数为，故C正确； 对于D，方差为 所以标准差为，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据模长公式即可求解A，根据向量的线性的坐标运算即可求解B，根据夹角公式即可求解C，根据投影向量的定义，即可求解D. 【详解】对于A，，故A错误， 对于B, ,而，故与不共线，故B错误， 对于C，，由于，故与的夹角为，C正确， 对于D，在上的投影向量为，故D正确， 故选：CD 11. 如图，已知正方体的棱长为1，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 若，则的轨迹长度为 D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据等体积法可计算出三棱锥的体积，可判断；对B，建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，设，根据线面平行的向量表示和垂直得向量数量积为列式，从而判断选项B；对C，根据且为底面内判断即可；对D，利用线面垂直的判定定理得平面，再证明四点共面，从而得平面，再由面面平行的性质可得平面截正方体的截面为正六边形，根据正六边形的性质计算面积即可判断. 【详解】对于A，由等体积法，三棱锥的高为， 底面积，所以， 所以三棱锥的体积为定值，A正确； 对于B，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 若平面，则， 所以，即表示线段， 则当点在线段时，平面， 所以存在点，使得平面，B正确；    对于C，因为且为底面内，故的轨迹为以为圆心，1为半径的四分之一圆，故轨迹长度为，故C错误； 对于D，如图取中点，连接， 由题可得，平面， 连接，因为，平面， 则，，又，     平面，则平面， 又取中点为，则， 有四点共面，则平面即为平面， 又由两平面平行性质可知，，，， 又都是中点，故是中点，是中点， 则平面截正方体的截面为正六边形， 又正方体棱长为，则， 故截面面积为，D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共15分.） 12. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，，则的面积为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用直观图与原图形的面积关系求解即可. 【详解】由三角形面积公式得，设的面积为， 由直观图与原图形的面积关系得，解得. 故答案为： 13. 若样本数据的标准差为8，则数据的方差为_____________ 【答案】256 【解析】 【分析】利用方差和标准差的关系结合方差的性质求解即可. 【详解】因为样本数据的标准差为8，则其方差为64， 故数据的方差为. 故答案为：256 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则_____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理得到，利用余弦定理得到，再利用正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】在中，因为，由正弦定理得， 解得，由余弦定理得， 化简得，由正弦定理得， 所以， 而，为三角形内角，所以，所以. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中，． （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用长方体和半圆柱的体积公式计算即可； （2）直接算各个面的面积相加即可. 【小问1详解】 长方体的体积为， 半圆柱的底面积为， 半圆柱的体积为， 该几何体的体积为. 【小问2详解】 长方体去掉上底面后的表面积为， 由（1）得半圆柱的底面积为， 半圆柱的侧面积为， 所以该几何体的表面积为. 16. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? （3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】（1），79.5 （2）合格 （3）总样本平均值为86，总样本方差为96 【解析】 【分析】（1）利用频率和为1，即可求出a的值，再求平均值即可； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75，求估计分位数为，即可判断； （3）根据题意结合总样本的平均数、方差公式，即可求出． 【小问1详解】 由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． 【小问2详解】 超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 以为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． 【小问3详解】 把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96． 17. 如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点. （1）证明：是直角三角形； （2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） 是的直径，则， 又垂直于所在的平面，即 平面，又平面， 则，又，于是平面， 又平面，则，即， 故是直角三角形； （2）正弦值为 【解析】 【分析】（1）证明平面即可； （2）先算出三棱锥的边长数据，在根据线面角的定义和等体积法，求出到平面的距离，与平面所成角的正弦值为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题可得平面， 则与平面所成角为，即，， 计算易得，则， 由（1）知，是直角三角形，， 设到平面的距离为，由线面角的定义， 于是与平面所成角的正弦值为， 三棱锥的体积：， 又， 根据，解得， 于是与平面所成角的正弦值为 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据三角形内角和定理及两角和得正弦公式化简即可得解； （2）利用余弦定理及向量化求出，即可得解； （3）先利用等面积法求出与的关系，再结合余弦定理可求出与的关系，再结合基本不等式及三角形的面积公式即可得解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 又由，得. 因为，所以； 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，① 设的中点为，则， 则， 则，② 由①②得， 联立，解得， 所以，即的周长为； 【小问3详解】 由（1）得， 由内切圆半径为1，得，即， 由余弦定理得，所以， 得，因为，所以， 解得或， 又因为的面积大于其内切圆面积，即， 得，所以， 当且仅当时，的面积取到最小值. 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略： （1）利用正弦定理实现“边化角”； （2）利用余弦定理实现“角化边”. 求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类： （1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解； （2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2023—2024学年度下学期期末考试 高一数学学科试卷 命题人： 审题人： 注意事项：本试卷共3页，总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知内角，，的对边分别为，，，若，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 今年6月初，某市采取了鼓励地摊经济的做法，该市各区的地摊的摊位数和食品摊位比例分别如图1、图2所示，现用分层抽样的方法抽取的摊位进行调查，则抽取的样本容量与A区被抽取的食品摊位数分别为（ ） A. 210，24 B. 210，50 C. 1500，24 D. 1500，50 5. 已知数据的平均数是，数据的平均数是，则（ ） A. 13 B. 14.4 C. 15 D. 15.2 6. 在空间直角坐标系中，已知，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在三棱锥P-ABC中，，，，点D，E，F满足，，，则直线CE与DF所成的角为（ ） A. B. C. D. 8. 降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（ ） A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 小胡同学参加射击比赛，打了发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ） A. 这组数据的众数为 B. 这组数据的平均数是 C. 这组数据的第百分位数是 D. 这组数据的标准差是 10. 已知向量，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在上的投影向量为 11. 如图，已知正方体的棱长为1，为底面内（包括边界）的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 若，则的轨迹长度为 D. 若点是的中点，点是的中点，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为 三、填空题（本题共4个小题，每题5分，共15分.） 12. 如图，是水平放置的的斜二测直观图，若，，，则的面积为_____________ 13. 若样本数据的标准差为8，则数据的方差为_____________ 14. 在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则_____________ 四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图，这是由一个半圆柱和一个长方体组合而成的几何体，其中，． （1）求该几何体的体积； （2）求该几何体的表面积． 16. 2023年以来，河北省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，以丰富的旅游业态和高品质的文旅服务不断提升游客出游体验，促进文旅消费增长的同时，也使“这么近，那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．现为进一步发展河北文旅，提升河北经济，在5月份对来冀旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． （1）求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．河北省5月份文旅成绩合格了吗? （3）河北文旅6月份继续对来冀旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 17. 如图，是⊙O的直径，垂直于所在的平面，C是圆周上不同于的一动点. （1）证明：是直角三角形； （2）若，且当直线与平面所成角的正切值为时，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 19. 在中，角所对的边分别为，满足. （1）求的值； （2）当与边上的中线长均为2时，求的周长； （3）当内切圆半径为1时，求面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $