精品解析：山东省济宁市曲阜市2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023~2024学年度第二学期期末教学质量监测考试八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， 故选：B． 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的定义，对于两个变量x、y，若对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，那么y就叫做x的函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：B、C、D三个选项中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与之对应，故三个选项中的图象都能表示y是x的函数， A选项中，当x为正数时，对于x的每一个值，y都有两个值与之对应，故该选项中的图象不能表示y是x的函数， 故选：A． 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项解析判断后利用排除法求解： 【详解】A．矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误，不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确，符合题意； C．矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误，不符合题意； D．矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误，不符合题意． 故选B． 4. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 77 81 ■ 80 82 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（　　） A. 81，80 B. 80，82 C. 81，82 D. 80，80 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查众数，解题的关键是掌握众数的定义． 设丙的成绩为，根据算术平均数的定义列出关于的方程，解之求出的值，据此可得第1个被遮盖的数据，再利用众数的定义可得第2个被遮盖的数据，从而得出答案． 【详解】解：设丙的成绩为， 则， 解得：， ∴丙的成绩为80， 在这5名学生的成绩中80出现次数最多， 所以众数为80， 所以被遮盖的两个数据依次是80，80， 故选：D． 5. 下列关于一次函数的图象的说法中，正确的是（ ） A. 函数图象经过第二、三、四象限 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 的值随着值的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据即可判断选项A和D；求出时，的值即可判断选项B；先求出时，的值，再根据一次函数的增减性即可得判断选项C． 【详解】解：一次函数中的， 则函数图象经过第一、二、四象限，的值随着值的增大而减小，选项A、D错误； 当时，，解得， 则函数图象与轴的交点坐标为，选项B错误； 当时，， ∵的值随着值的增大而减小， ∴当时，，选项C正确； 故选：C． 6. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理等知识．由菱形的性质得，再由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【详解】解：四边形是菱形，， ， ， ， ， 故选：D． 7. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 8. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象写出不等式的解集即可. 【详解】解：函数和的图象交于点， 由函数图象可得，当时， 故选：C 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象及交点坐标，判断出关于的不等式的解集是解答本题的关键． 9. 如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图形的s轴判断行驶的总路程，从而得到①错误；根据s不变时为停留时间判断出②正确；根据平均速度=总路程÷总时间列式计算即可判断出③正确；再根据一次函数图象的实际意义判断出④错误． 【详解】①由图可知，汽车共行驶了120×2=240千米，故本小题错误； ②汽车在行驶途中停留了2-1.5=0.5小时，故本小题正确； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为 千米/时，故本小题正确； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶离出发地越来越近，是匀速运动，故本小题错误； 综上所述，正确的说法有②③共2个． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，主要利用了路程、速度、时间三者之间的关系，准确识图，理解转折点的实际意义是解题的关键． 10. 如图，矩形纸片的边长为4，将这张纸片沿折叠，使点C与点A重合，已知折痕长为，则长为（ ） A. 4.8 B. 6.4 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】过点F作于点G，则四边形是矩形，从而，在中，利用勾股定理求得．设，则．由得到，从而在中，有，代入即可解得x的值，从而得到，的长，即可得到． 【详解】过点F作于点G ∵在矩形中， ∴四边形是矩形 ∴ ∴在中， 设，则 ∵在矩形中， ∴ 由折叠得 ∴ ∴ ∵在矩形中， ∴ ∵在中， ∴ 解得 即， ∴由折叠可得 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查矩形的性质，勾股定理的应用，利用勾股定理构造方程是解决折叠问题的常用方法． 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件___（只添一个即可），使ABCD是矩形． 【答案】AC=BD（答案不唯一） 【解析】 【详解】试题分析：根据矩形的判定定理推出即可： 添加，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形； 添加∠ABC=90°等，由有一个角是直角的平行四边形是矩形可判定ABCD是矩形． 12. 已知，则的值为_________． 【答案】2024 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式．根据完全平方公式原式可变形为，再把，代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：2024 13. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第二象限，那么m的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特征是解题关键．根据一次函数的图象特征可得，解不等式组即可得． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故答案为：． 14. 如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，，，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，熟练运用相关定理是解题的关键． 15. 如图1，点F从四条边都相等的平行四边形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息、勾股定理，从函数图象中正确获取信息是解题关键．先根据函数图象可得，，的面积为，从而可得，再过点作于点，利用三角形的面积公式可得，利用勾股定理可得，从而可得，最后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由函数图象可知，，，的面积为， ∵平行四边形的四边都相等， ∴， 如图，过点作于点， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， 故答案为：． 16. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了动点最值问题，菱形的性质，平行四边形的判定及性质，勾股定理，找出取得最小值的满足的条件，再根据相关的判定方法及性质进行求解是解题的关键．连接，，，可证四边形是平行四边形，从而可得，求的最小值，求最小值即可，由垂线段最短可知，当、、三点在一条直线上时，最小值，即可求解． 【详解】解：连接，，， 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 求的最小值，求最小值即可， 由垂线段最短可知，如图，当、、三点在一条直线上时，最小值， 在中， ， ， ， 解得：， ， 故答案为：． 三、解答题：共7小题，共52分． 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再合并，即可求解； （2）先根据二次根式的性质化简，再合并，然后计算除法，即可求解． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情． 初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下： 七年级：98　96　86　85　84　94　77　69　59　94 八年级：99　96　73　82　96　79　65　96　55　96 他们的数据分析过程如下： （1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图： 请补全八年级频数分布直方图； （2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 ① 85.5 144.36 八年级 83.7 ② 251.21 根据以上数据求出表格中①，②两处的数据； （3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）． 【答案】（1）见解析 （2）84.2，89 （3）七年级比赛成绩整体较好，见解析 【解析】 【分析】（1）根据八年级的成绩统计，补全直方图即可； （2）利用平均数的计算公式，求出①处的数据，将八年级的数据进行排序后，第5个数据和第6个数据的平均数即为②处的数据； （3）利用平均数和方差进行说明即可． 【小问1详解】 解：由成绩统计可知：八年级成绩在之间的有1人，在之间的有2人，补全八年级频数分布直方图，如下： 【小问2详解】 表格中①对应的数据为：． 表格中②对应的数据是． 【小问3详解】 七年级比赛成绩整体较好． 理由：七年级成绩的平均数大于八年级，说明七年级的平均成绩好于八年级；七年级成绩的方差小于八年级，说明七年级同学的成绩波动小，故七年级比赛成绩整体较好． 【点睛】本题考查直方图，平均数和中位数，利用平均数和方差，判断稳定性．熟练掌握平均数和中位数的确定方法，是解题的关键． 19. 如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 【答案】（1）直线的解析式为，直线的解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的应用，熟练掌握待定系数法和一次函数的性质是解题关键． （1）根据点，利用待定系数法即可得直线的解析式，从而可得点的坐标，再根据可得点的坐标，然后利用待定系数法即可得直线的解析式； （2）先求出，再设点的坐标为，利用三角形的面积公式求解即可得． 【小问1详解】 解：将点代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 当时，，即， ∵， ∴， ∵点位于轴负半轴， ∴， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设点的坐标为， ∵的面积是9， ∴， 解得或， 当时，， 当时，， 则点的坐标为或． 20. 如图，已知为的角平分线，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A，D为圆心，以大于长为半径在两侧作弧，两弧交于点M，N； 第二步，作直线分别交于点E，F； 第三步，连接． （1）由作图可知，直线是线段的______； （2）判定四边形的形状并证明． 【答案】（1）垂直平分线 （2）四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据作图方法可知直线是线段的垂直平分线； （2）由线段垂直平分线的性质得到，，再证明，得到，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 解：由作图可知，直线是线段的垂直平分线， 故答案为：垂直平分线； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，证明如下： 设交于O， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵为的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查菱形的判定，线段垂直平分线的性质和尺规作图，全等三角形的性质与判定，灵活运用所学知识是解题的关键． 21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进2本A类图书和3本B类图书共需220元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划购进A，B两类图书共100本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的，已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）A类图书每本的进价是35元，B类图书每本的进价是50元 （2）该书店购进A类图书25本，B类图书75本时所获利润最大，最大利润为725元 【解析】 【分析】（1）设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元，根据题意得：，计算求解即可； （2）设购进A类图书x本，则购进B类图书本，获得利润为y元，根据题意得：，，解得，然后根据一次函数的性质进行求解作答即可． 【小问1详解】 解：设A类图书每本的进价是a元，B类图书每本的进价是b元， 根据题意得：，解得， 答：A类图书每本的进价是35元，B类图书每本的进价是50元 ； 【小问2详解】 解：设购进A类图书x本，则购进B类图书本，获得利润为y元， 根据题意得：， ，解得， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，最大值为725， ∴， 答：该书店购进A类图书25本，B类图书75本时所获利润最大，最大利润为725元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 22. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； （3）求中边上的高与边上的高的积． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）代入“海伦秦九韶公式”计算即可； （2）过作于，设，则，利用勾股定理构建方程求出，即可； （3）由三角形的面积公式求出边的高，再由（2）可得，再求出乘积即可． 【小问1详解】 解：∵三角形三边长分别为4、5、7， ． 【小问2详解】 解：过作于，设，则， 在中，， 在中，， ， 解得：． 在中，， ； 【小问3详解】 解：设三角形中边上的高为 由（2）可知三角形中边上的高 所以三角形中与边上的高的积为． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，勾股定理等知识，等积法，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 【答案】（1）①45；②； （2）结论：成立，理由如下： 将沿所在直线折叠，使点落在正方形的内部，点的对应点为， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）①由正方形的性质得出，由折叠的性质可得：，，即可求解；②由折叠的性质即可求解； （2）根据正方形的性质和折叠的性质得到是等腰直角三角形，再根据全等三角形的判定和性质求解即可； （3）证明是等腰直角三角形，求出，再由含角的性质以及勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）①∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴，即； ②由折叠的性质可得：，， ∵， ∴； （2）略 （3）∵点落在折痕上， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度第二学期期末教学质量监测考试八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共6页，第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，70分；共100分．考试时间为120分钟． 2．答题前，考生务必先核对条形码上的姓名、准考证号和座号，然后用0.5毫米黑色墨水签字笔将本人的姓名、准考证号和座号填写在答题卡相应位置． 3．答第Ⅰ卷时，必须使用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上书写．务必在题号所指示的答题区域内作答． 5．填空题请直接将答案填写在答题卡上，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 6．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图象中，不能表示y是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）． A. 两组对边分别平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 两组对角分别相等 4. 一次数学测试，某小组5名同学的成绩统计如表（有两个数据被遮盖）： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均成绩 众数 得分 77 81 ■ 80 82 80 ■ 则被遮盖的两个数据依次是（　　） A. 81，80 B. 80，82 C. 81，82 D. 80，80 5. 下列关于一次函数的图象的说法中，正确的是（ ） A. 函数图象经过第二、三、四象限 B. 函数图象与轴的交点坐标为 C. 当时， D. 的值随着值的增大而增大 6. 如图，在菱形中，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 8. 如图，函数和的图象交于点，则关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 9. 如图中的图象（折线ABCDE）描述了一汽车在某一直道上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系．根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米/时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少． 其中正确的说法有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 如图，矩形纸片的边长为4，将这张纸片沿折叠，使点C与点A重合，已知折痕长为，则长为（ ） A. 4.8 B. 6.4 C. 8 D. 10 第Ⅱ卷（非选择题共70分） 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件___（只添一个即可），使ABCD是矩形． 12. 已知，则的值为_________． 13. 在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过第二象限，那么m的取值范围是________． 14. 如图，四边形中，，E，F，G分别是AB，DC，AC的中点．若，，则的度数为________． 15. 如图1，点F从四条边都相等的平行四边形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，图2是点F运动时，的面积随时间变化的关系图象，则a的值为________． 16. 如图，菱形的对角线与相交于点O，点E，F在对角线上，且，过点E作于点G，连接．若，，则的最小值为______． 三、解答题：共7小题，共52分． 17. 计算： （1） （2） 18. 学校举办纪念“五四运动”104周年暨“青春心向党，建功新时代”演讲比赛．同学们用青春的声音和故事，激扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情． 初赛阶段两个年级各10名选手的成绩统计如下： 七年级：98　96　86　85　84　94　77　69　59　94 八年级：99　96　73　82　96　79　65　96　55　96 他们的数据分析过程如下： （1）整理、描述数据：根据上面得到的两组数据，分别绘制频数分布直方图如图： 请补全八年级频数分布直方图； （2）数据分析：两组数据的平均数、中位数、方差如表所示： 年级 平均数 中位数 方差 七年级 ① 85.5 144.36 八年级 83.7 ② 251.21 根据以上数据求出表格中①，②两处的数据； （3）推断结论：根据以上信息，判断哪个年级比赛成绩整体较好？说明理由（至少从两个不同角度说明判断的合理性）． 19. 如图，直线与直线相交于点，交y轴于点B，交y轴负半轴于点C，且． （1）求直线和的解析式； （2）若D是直线上一点，且的面积是9，求点D的坐标． 20. 如图，已知为的角平分线，按如下步骤作图： 第一步，分别以点A，D为圆心，以大于长为半径在两侧作弧，两弧交于点M，N； 第二步，作直线分别交于点E，F； 第三步，连接． （1）由作图可知，直线是线段的______； （2）判定四边形的形状并证明． 21. 4月23日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气”．某书店计划在“世界读书日”前夕，同时购进A，B两类图书，已知购进1本A类图书和2本B类图书共需135元；购进2本A类图书和3本B类图书共需220元． （1）A，B两类图书每本的进价各是多少元？ （2）该书店计划购进A，B两类图书共100本，且A类图书的购进数量不少于B类图书的购进数量的，已知A类图书每本的售价为40元，B类图书每本的售价为58元，求如何进货才能使书店所获利润最大，最大利润为多少元？ 22. 【再读教材】：我们八年级下册数学课本第页介绍了“海伦-秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么三角形的面积为． 【解决问题】：已知如图1在中，，，． （1）请你用“海伦-秦九韶公式”求的面积． （2）除了利用“海伦-秦九韶公式”求的面积外，你还有其它的解法吗？请写出你的解法； （3）求中边上的高与边上的高的积． 23. 综合与实践： 综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动． 【操作判断】 如图1，正方形纸片，将沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，得到折痕，点B的对应点为M，连接；将沿过点A的直线折叠，使与重合，得到折痕，将纸片展平，连接． （1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①______°； ②线段，，之间的数量关系为______． 【深入探究】 如图2，将沿所在直线折叠，使点C落在正方形的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接，．同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕上，此时交于点P，如图3所示． （2）小明通过观察图形，得出．请判断其是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）若正方形纸片的边长为3，当点N落在折痕上时，求出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $