1.2 空间向量基本定理（5大题型）-2024-2025学年高二数学同步题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第一册）

1.2 空间向量基本定理 知识点 1 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得． 2、向量的线性表示 若，则叫作向量的线性表达式或线性组合，或者说向量可以由线性表示． 3、基底与基向量 如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． 【注意】（1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念；（2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 知识点 2 空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示． 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1、判断基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 2、用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； （3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 题型一 对空间向量基本定理的理解 【例1】（23-24高二上·陕西榆林·月考）（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24高二上·广东佛山·月考）（多选）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 题型二 用基底表示空间中的某一向量 【例2】（23-24高二上·天津·月考）如图，在三棱柱中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24高二上·浙江杭州·月考）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ） A． B． C． D． 题型三 利用空间向量基本定理求参数 【例3】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【变式3-1】（23-24高二上·浙江金华·月考）如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则 . 【变式3-3】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型四 空间向量的正交分解 【例4】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（23-24高二上·海南·月考）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【变式4-2】（23-24高二上·陕西榆林·月考）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ． 【变式4-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的余弦值为 . 题型五 利用空间向量基本定理解决平行垂直问题 【例5】（22-23高二上·陕西榆林·月考）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：. 【变式5-1】（23-24高二上·湖北黄冈·开学考试）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【变式5-2】（23-24高二下·甘肃白银·月考）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点． (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【变式5-3】（22-23高二上·湖北武汉·月考）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 空间向量基本定理 知识点 1 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得． 2、向量的线性表示 若，则叫作向量的线性表达式或线性组合，或者说向量可以由线性表示． 3、基底与基向量 如果三个向量不共面，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可以看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底，都叫做基向量． 【注意】（1）一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，两者是相关联的不同概念；（2）空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 知识点 2 空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示． 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 1、判断基底的基本思路及方法 （1）基本思路：判断三个空间向量是否共面，若共面，则不能构成基底，若不共面，则能构成基底； （2）方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底；②假设（），运用空间向量基本定理，建立的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底． 2、用基底表示向量的步骤 （1）定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底； （2）找目标：用确定的基底（或已知基底）表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果； （3）下结论：利用空间向量的一个基底可以表示出空间所有向量，表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 题型一 对空间向量基本定理的理解 【例1】（23-24高二上·陕西榆林·月考）（多选）已知是空间中三个向量，则下列说法错误的是（    ） A．对于空间中的任意一个向量，总存在实数，使得 B．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 C．若，，则 D．若所在直线两两共面，则共面 【答案】ACD 【解析】对A，由空间向量基本定理，可知只有当不共面时， 才能作为基底，才能得到，故A错误； 对B，若是空间的一个基底，则不共面， 设， 则，因为无解，所以也不共面， 所以也是空间的一个基底，故B正确； 对C，若，，则不一定平行，故C错误； 对D，若所在直线两两共面，则不一定共面，故D错误，故选：ACD. 【变式1-1】（23-24高二上·陕西西安·月考）已知是空间的一个基底，则可以和构成空间的另一个基底的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易知：，则与共面， 同理，， 即、均与共面， 所以A、B、D三项均不能和构成空间的另一个基底，故A、B、D错误； 设，显然无法成立， 即与不共面，故C正确.故选：C 【变式1-2】（23-24高二上·广东佛山·月考）（多选）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】对于选项：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故A错误； 对于选项：因为， 所以三个向量共面， 故不能构成空间的一个基底，故D错误； 因为是空间中不共面的三个向量， 对于选项B：设，显然不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故B正确； 对于选项C：设， 则，方程无解，即不存在实数使得该式成立， 所以不共面，可以作为基底向量，故C正确；故选：BC. 【变式1-3】（23-24高二上·重庆永川·月考）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量可以作为空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】因为构成空间的一个基底，则不共面. 对于A，因为， 所以向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B，因为， 所以向量共面，不能构成基底，故B错误； 对于C，假设向量共面， 则，即， 可得，则，此时， 这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故C正确； 对于D，假设向量共面， 则，即， 可得，则无解， 这与题设矛盾，假设不成立，可以构成基底，故D正确；故选：CD. 题型二 用基底表示空间中的某一向量 【例2】（23-24高二上·天津·月考）如图，在三棱柱中，若，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，故选：C 【变式2-1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如图，在平行六面体中，为与的交点.若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】.故选：B. 【变式2-2】（23-24高二上·浙江杭州·月考）如图，在四面体中，是棱上靠近的三等分点，分别是的中点，设，，，用，，表示，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意 .故选：D. 【变式2-3】（23-24高二上·山东枣庄·月考）如图，在四面体中，点E，F分别是，的中点，点G是线段上靠近点E的一个三等分点，令，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接， .故选：A. 题型三 利用空间向量基本定理求参数 【例3】（23-24高二上·贵州黔东南·期末）如图，在三棱锥中，点满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】， 所以，故．故选：C. 【变式3-1】（23-24高二上·浙江金华·月考）如图，在三棱台中，且，设，点在棱上，满足，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 又，所以故选：A. 【变式3-2】（23-24高二上·陕西咸阳·月考）如图，为矩形所在平面外一点，且平面，、分别为、上的点，且，，，则 . 【答案】 【解析】因为，，则，， ， 所以，，，，故. 故答案为：. 【变式3-3】（23-24高二上·安徽黄山·期中）已知点D在△ABC确定的平面内，O是平面ABC外任意一点，实数x，y满足，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】因为，且四点共面， 由空间四点共面的性质可知，即， 所以， 所以当时，有最小值.故选：D 题型四 空间向量的正交分解 【例4】（23-24高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为．故选：B. 【变式4-1】（23-24高二上·海南·月考）已知是空间的一个单位正交基底，向量是空间的另一个基底，用基底表示向量 . 【答案】 【解析】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 【变式4-2】（23-24高二上·陕西榆林·月考）定义：设是空间的一个基底，若向量，则称有序实数组为向量在基底下的坐标．已知是空间的单位正交基底，是空间的另一个基底，若向量在基底下的坐标是．则向量在基底下的坐标是 ． 【答案】 【解析】因为向量在基底下的坐标是， 所以， 所以向量在基底下的坐标是. 故答案为： 【变式4-3】（23-24高二上·云南昭通·期末）已知是空间的一个单位正交基底，且，则与夹角的余弦值为 . 【答案】 【解析】由题意可知，， ，， 所有. 故答案为： 题型五 利用空间向量基本定理解决平行垂直问题 【例5】（22-23高二上·陕西榆林·月考）如图，，，，，E，F分别是，的中点，M，N分别是，的中点，证明：. 【答案】证明见解析 【解析】由题意，连接，如下图： ， 同理， 故 由，，，，则， 故. 【变式5-1】（23-24高二上·湖北黄冈·开学考试）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且． (1)用向量表示向量； (2)求证：共面； (3)当为何值时，． 【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)1 【解析】（1）． （2）证明：，， ，共面． （3）当，， 证明：设， 底面为菱形，则当时，， ，， ， ， ． 【变式5-2】（23-24高二下·甘肃白银·月考）如图，在正方体中，，，，点M，N分别是，的中点． (1)试用，，表示． (2)求证：平面． 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1） 因为，所以， 同理，， 所以； （2）证明：因为，所以，即， 因为平面，平面，所以平面． 【变式5-3】（22-23高二上·湖北武汉·月考）在正四棱锥中，点分别是棱上的点，且，其中． (1)若，且平面，求的值； (2)若，且点平面，求的值． 【答案】(1)1；(2) 【解析】（1）且， 在正四棱锥中， 可得， 即， 又平面所以存在实数使得， 即， 又且不共面， 解的. （2）由（2）可知 又且， 可得 又点平面，即四点共面 所以解得. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$