专题01 二次函数（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的应用——图形问题 【解惑】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【融会贯通】 1．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 2．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 3．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； (3)围成菜地的最大面积为 平方米． 类型二、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【融会贯通】 1．如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 2．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 3．已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点P从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点M，连接，分别交于点E，F．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使将分成和四边形面积比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)延长交于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 类型三、二次函数中的将军饮马 【解惑】如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点 (1)求的值； (2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 3．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 类型四、二次函数的铅锤高 【解惑】如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【融会贯通】 1．如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； (3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 2．如图1，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为____________； (2)连接、、，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连接交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 3．如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，其中，，点从点出发，在线段上以1单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作PQ∥BC，交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)用含的代数式表示直线的解析式； (3)当为何值时，的面积最大？求出面积的最大值． 类型五、二次函数中的定值 【解惑】抛物线C1：y＝ax2﹣x+2（a＞0）与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，若A（2，0），连AC、BC． ①直接写出C1的解析式及△ABC的面积； ②将△AOC绕某一点逆时针旋转90°至△A′O′C′（其中A、O、C的对应点分别为A′、O′、C′）．若旋转后的△A′O′C′恰有一边的两个端点落在抛物线C1的图象上，求点A′的坐标； （2）如图2，平移抛物线C1使平移后的新抛物线C2顶点在原点，P（，0）是x轴正半轴上一点，过P作直线交C2的图象于A、B，过A的直线y＝x+b交C2于点C，过P作x轴的垂线交BC于点M，设点M的纵坐标为n，试判断an是否为定值？若是，求这个定值，若不是，说明理由． 【融会贯通】 1．如图，直线l：交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线． (1)求证：当变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； (2)当变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理由； (3)设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论怎么变化，恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由． 2．抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上． (1)填空：________，________，点的坐标为________； (2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标； (3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值． 3．抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 类型六、二次函数中的比值 【解惑】在平面直角坐标系中，，． (1)若抛物线过、两点，且与轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过、两点的抛物线如果与轴负半轴交于点，为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【融会贯通】 1．如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点． （1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值； 2．如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 3．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．    (1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标． (2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． (3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 类型七、二次函数中的新定义 【解惑】定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是________； (2)如图②，已知、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点： ①求出，，三条线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 【融会贯通】 1．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数为边界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数：是边界函数，其边界值是2． ​ (1)函数① 和② 中是边界函数的为　 　（只填序号即可），其边界值为　 　； (2)如果函数 的边界值是a，且这个函数的最大值超过 ，求b的取值范围； (3)如果函数 是以 为边界值的边界函数，直接写出实数a的值． 2．新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 3．定义：在平面直角坐标系中，当点在一个函数图象上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为函数图象的“等坐标点”． (1)点在直线上，则点______一次函数图象上的“等坐标点”（填“是”或“不是”）； (2)点是反比例函数图象上的一个“等坐标点”，则该函数图象上的另一个“等坐标点”的坐标是______，求的值和直线的表达式； (3)已知点，是抛物线上的两个“等坐标点”，点在点的左侧，点是抛物线的顶点，连接，，且交轴于点．求的值和的度数． 类型八、二次函数中的平移 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴上，顶点的坐标为． (1)求的值及顶点的坐标． (2)如图2，将矩形沿轴正方向平移2个单位得到对应的矩形．已知边分别与函数的图象交于点，连结，过点作于点．求的长． 【融会贯通】 1．如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式．； (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点． ①若点在二次函数的图像上，求的最大值． ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围． 2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 3．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可） 类型九、二次函数中的翻折 【解惑】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．    (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值 【融会贯通】 1．已知抛物线经过点和点 (1)填空：_______，_______． (2)如果直线与此抛物线有且只有一个交点，求k的值和该交点的坐标； (3)将该抛物线x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为M，若直线与图象M有两个交点，求n的取值范围． 2．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的直线为y＝kx+4． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得SAOP＝SABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 类型十、二次函数中的旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）． (1)求抛物线W1的表达式； (2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 2．已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． (1)若，，． ①求该抛物线解析式； ②抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若中恰有两个点落在抛物线上，求此时点的坐标；（点不与点重合） (2)如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 3．已知一系列抛物线，，，，，，（为非负整数）．抛物线与轴相交于点，（点在点的左边），顶点为． (1)抛物线的顶点坐标是________，与轴的交点，的坐标分别是________． (2)①通过该系列抛物线所有顶点的图象是___________，其函数解析式是__________； ②抛物线的解析式是________________． (3)探究下列结论： ①若轴于点，求的值． ②将抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，点，的对应点分别为，． Ⅰ．直接写出抛物线的解析式； Ⅱ．设四边形的面积是，求与的关系式． 【一览众山小】 1．二次函数v的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 2．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 3．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 4．已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 5．已知二次函数，图象上有四点，，，，则，，的大小关系是 ． 6．小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，作直线，点是直线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，设的长度为，点的横坐标为，当随的增大而减小时，求出的横坐标的取值范围． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的最大值与最小值的差； (3)为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，设的面积为，的面积为，求的最大值，并求出点的坐标． 9．已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 10．如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（），连接． (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． (2)当与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为（），请直接写出m的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数的应用——图形问题 【解惑】园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米． (1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）； (2)若苗圃的面积为，求x的值； (3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？ 【答案】(1)（36-3x） (2)8 (3)当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米 【分析】（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，即得BC的长为（36-3x）米；（2）根据题意得，，即可解得x的值；（3）设苗圃的面积为w，，由二次函数的性质可得答案． 【详解】（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米， BC的长为32-3x+4=（36-3x）米， 故答案为：（36-3x）； （2）根据题意得，， 解得，x=4或x=8， ∵当x=4时，36-3x=24>14， ∴x=4舍去， ∴x的值为8； （3）设苗圃的面积为w， ， ∵4<36-3x14， ∴， ∵-3<0，图象开口向下， ∴当时，w取得最大值，w最大为； 答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式． 【融会贯通】 1．某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形花园，花园的一边靠墙，另三边用总长的栅栏围成（如图所示）．若设花园的边长为，花园的面积为． (1)求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； (2)满足条件的花园面积能否达到？若能，请求出的值；若不能，请说明理由； (3)当是多少时，矩形场地面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)， (2)时，花园的面积能达到 (3)时，的最大值为 【分析】对于（1），先表示，再根据面积公式求出函数关系式，然后确定自变量的取值范围； 对于（2），令，求出解即可； 对于（3），先确定抛物线的开口方向和对称轴，再根据二次函数的增减性得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：由题意可知为米，则 ∴ 因为墙长. ∴， 自变量的取值范围是； （2）此花园面积能达到，理由如下：， 解得（舍），， 时，花园的面积能达到 ； （3）， ∵，， 当随的增大而减小， ∴时，的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合问题，求二次函数关系式，二次函数与一元二次方程，求二次函数的极值，确定自变量的取值范围是解题的关键． 2．如图，现打算用的篱笆围成一个“日”字形菜园（含隔离栏），菜园的一面靠墙（篱笆的宽度忽略不计） (1)菜园面积可能为吗？若可能，求边长的长，若不可能，请说明理由； (2)因场地限制，菜园的宽度不能超过，求该菜园面积的最大值． 【答案】(1)可能， (2)288平方米 【分析】本题考查了矩形的面积与周长，一元二次方程的应用，熟练掌握矩形的性质，一元二次方程的应用是解题的关键，根据题意，列出方程计算即可． （1）设，则矩形的长，依题意，得：，解方程计算即可． （2）设，则，依题意列出关于的面积，根据函数性质计算即可． 【详解】（1）设，则矩形的长，依题意，得：， 即， 解得：，， 当时，，舍去， 当时，成立， 答：花园面积可能是，此时边的长为14米． （2）∵，则，依题意，得： ， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，y最大，最大为288． 答：该菜园面积的最大值为288平方米． 3．《劳动教育》成为一门独立的课程，某校率先行动，在校园内开辟了一块劳动教育基地．八年级数学兴趣小组在课余时间里，利用一面学校的墙（墙的最大可用长度为22米），现用长为34米的篱笆（篱笆正好要全部用完，且不考虑接头的部分），围成中间隔有一道篱笆的长方形菜地，在菜地的前端各设计了两个宽1米的小门，供同学们进行劳动实践．设垂直于墙的篱笆边长为米． (1)求当为何值时，围成的菜地面积为81平方米； (2)要想围成菜地面积为120平方米，可能吗？请计算说明理由； (3)围成菜地的最大面积为 平方米． 【答案】(1)米 (2)不能，理由见详解 (3)108 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的性质． （1）根据各边之间的关系，可知为米，根据围成的菜地面积为平方米，可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可； （2）根据菜地面积若为平方米，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式即可判断； （3）利用二次函数的性质求其最大值即可． 【详解】（1）解：∵篱笆的总长为米，菜地的前端各设计了两个宽米的小门，且垂直于墙的篱笆边为米， ∴长为米． 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故当围成的菜地面积为平方米时，为米． （2）解：不能围成面积为平方米的菜地，理由如下： 依题意得：， 整理得：， ∵， ∴该方程无实数根， 即不能围成面积为平方米的菜地． （3）， 则当时，， 故围成菜地的最大面积为108平方米． 类型二、二次函数的应用——图形运动问题 【解惑】如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．如果P，Q分别从点A，B同时出发； (1)经过几秒的面积等于？ (2)在运动过程中，的面积有最 值（填“大”或“小”），是 ． 【答案】(1)秒或秒后,的面积等于； (2)大；9 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用和二次函数及其最值，根据题意，正确表示出线段长度及利用二次函数的性质求出最值，是解答本题的关键． （1）设秒后,的面积等于,分别表示出线段和线段的长，然后根据面积为列出方程求得时间即可； （2）根据，当时，即可取得最大值9． 【详解】（1）解：设秒后,的面积等于,则,,, 根据题意得： ， 解得:或， 答：秒或秒后,的面积等于； （2）解：∵ ， ，开口向下， ∴当时，取得最大值9， ∴经过3秒，的面积最大，最大值是9． 故答案为：大；9． 【融会贯通】 1．如图，在中，，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程． (1)当t为何值时，P、Q两点的距离为？ (2)当t为何值时，的面积为？ (3)请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】(1)1 (2)2或1.5 (3)点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质，勾股定理： （1）根据题意可得，再根据勾股定理即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得到关于t的方程，即可求解； （3）根据四边形的面积为，进而求出四边形的面积最小值． 【详解】（1）解： 根据题意得：， ∵P、Q两点的距离为，且， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）；， 即当t为1时，P、Q两点的距离为； （2）解：根据题意得：， ∵的面积为 ∴， 解得：或1.5， 即当t为2或1.5时，的面积为； （3）解：根据题意得：， ∴的面积为， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时，四边形的面积取得最大值，最大值为． 即点P运动时间时，四边形的面积最小，最小面积是． 2．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 3．已知：如图，在矩形中，，，对角线，交于点O，点P从点C出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作，交于点M，连接，分别交于点E，F．设运动时间为，解答下列问题： (1)当t为何值时，？ (2)设的面积为，求S与t的函数关系式． (3)是否存在某一时刻t，使将分成和四边形面积比为？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (4)延长交于点N，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， (4) 【分析】（1）根据矩形的性质得出，，再根据平行线分线段成比例定理得出，从而得出，然后根据根据平行分线段即可得出答案； （2）过点作于点，交于点，根据相似三角形的判定及性质得出，从而得出，再根据代入化简即可得出答案； （3）首先得，然后证明出，得到，然后证明出，得到，然后代数求解即可． （4）连接，过点作于点，根据垂直平分线的性质得出，再根据平行线分线段成比例定理得出，然后根据勾股定理求解即可得出答案． 【详解】（1）四边形是矩形， ，， ， ， 即， ， ， 若，则，即， 解得：， 即当为时，； （2）如图1，过点作于点，交于点， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 与的函数关系式为； （3）存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为， 理由如下： 若和四边形面积比为，则， ∵， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴存在某一时刻，使将分成和四边形面积比为，t的值为； （4）如图2，连接，过点作于点， 点在线段的垂直平分线上， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得（舍去），， 答：为时，在线段的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、垂直平分线的性质，二次函数的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 类型三、二次函数中的将军饮马 【解惑】如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点 (1)求的值； (2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解． 【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于点 ∴， 解得， ∴； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， ∵,设关于对称的点为，连接， ∴，， ∴， ∴当三点共线时最小，最小值为， ∵， 设经过的直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 令，解得， 即． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，勾股定理，求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上找一点 P，使的周长最小，求的周长的最小值及此时点P的坐标； (3)若M为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形的面积的最大值及此时点M的坐标. 【答案】(1)； (2)的周长的最小值为，点P的坐标为； (3)的最大值为，此时． 【分析】题目主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，最短周长及最大面积问题，理解题意，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）连接交对称轴于点，此时的周长最小，利用勾股定理以及待定系数法求得直线的解析式，据此求解即可； （3）连接，设，根据列得二次函数的解析式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 连接交对称轴于点，此时，取得最小值，最小值为的长， 令，则， ∴， ∵，， ∴，， ∴的周长的最小值为， 设直线的解析式为， 则， 解得, ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：连接，设， 依题意得 ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为，此时． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的解析式是，直线的解析式是，点，点是在该抛物线上的动点，连接，过作． (1)求证：； (2)设点，求的最小值及此时点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)的最小值为，此时点的坐标为 【分析】本题考查抛物线的性质，两点间距离公式，线段的最值问题等： （1）设点P的坐标为，根据两点间距离公式求出，可证； （2）由可得，当E，P，N共线时，等号成立． 【详解】（1）证明：点是在该抛物线上的动点， 设点P的坐标为， ， ； ，直线的解析式是， ， ； （2）解：， 点在抛物线的上方， 由（1）知， ，当E，P，N共线时，等号成立，如图： ，当时，， 的最小值为，此时点的坐标为． 3．如图所示，抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点． (1)求点C及顶点M的坐标； (2)求点A、B的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得的值最小，若存在，清求出点P的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2)；， (3)． 【分析】（1）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题以及二次函数顶点坐标，函数图像与y轴的交点可得点C坐标；顶点坐标通过对函数解析式配成顶点式即可得到． （2）本题主要靠考查二次函数图像与坐标轴交点问题，函数图像与轴的交点，转化为解一元二次方程即可求解． （3）本题主要考查了最短距离问题，点B是点A关于抛物线的对称轴对称的点，根据两点之间线段最短，线段即为所求最短距离． 【详解】（1）解：二次函数， 令，得到：． ∴； ， ∴． （2）∵二次函数与x轴相交于A、B两点， 令， 得到：，， ∴；． （3）假设存在点，使得的值最小 ∵点B与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 又∵，， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴ 又∵， ∴, 即，的最小值为． 类型四、二次函数的铅锤高 【解惑】如图，已知二次函数与一次函数相交于两点，是线段上一动点，是拋物线上的动点，且平行于轴，求在移动过程中，线段的最大值． 【答案】2 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数与一次函数的解析式设出点C，D的坐标,然后然后用点C的纵坐标减去点D纵坐标表示出，再根据二次函数的最值问题解答． 【详解】解：设， ， 当时，有最大值，最大值为2． 【融会贯通】 1．如图1，已知二次函数的图象与x轴相交于两点，与y轴相交于点C． (1)求该二次函数的表达式； (2)点D是二次函数图象上位于第三象限内的点． ①如图2，当点D是抛物线的顶点时，连接，求的面积； ②当点D到直线的距离为最大值时，求此时点D的坐标； (3)若点M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使得以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标（不写求解过程）． 【答案】(1)二次函数的解析式为； (2)①；②点到直线的距离取得最大时，； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（1）利用待定系数法解决问题即可； （2）①求得直线的解析式，再求得直线与对称轴直线的交点坐标，再利用列式计算即可求解； ②如图1中连接，．由题意点到直线的距离取得最大，推出此时的面积最大．过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，则，推出，利用二次函数的性质求解即可； （3）分两种情形：是平行四边形的边或对角线分别求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 则有， 解得， ∴二次函数的解析式为； （2）解：①令，得到， ∴， ，则顶点，抛物线的对称轴为直线， 设直线解析式为：， 将代入得，， 解得， ∴直线的解析式为， 设直线与对称轴直线的交点为， ∴， ∴； ②如图，连接，． 点到直线的距离取得最大， 此时的面积最大， 过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为， 则， 点在第三象限， ， ， 当时，，点， 点到直线的距离取得最大时，； （3）解：存在． 如图2中，抛物线的对称轴为直线， 当是平行四边形的边时， ，， ∴点的横坐标为0或， 时，， 时，， ∴或， 当为对角线时，点的横坐标为2， 时，， ． 综上所述，满足条件的点的坐标为或或． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值、平行四边形的性质，明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想是解答本题的关键． 2．如图1，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，且．点为抛物线第二象限上一动点． (1)直接写出该二次函数的表达式为____________； (2)连接、、，求四边形面积的最大值； (3)如图2，连接交于点，过点作轴的平行线交于点．当为等腰三角形时，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形面积的最大值为； (3)点的坐标为． 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由四边形面积，即可求解； （3）如果，则，则，故不存在；当时，则点在的中垂线上，则，即可求解；当时，即，即可求解． 【详解】（1）解：， 则点，， 将点的坐标代入抛物线表达式得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：， 故答案为：； （2）解：设直线的表达式为：， 将代入得， 解得， ∴直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 则四边形面积 ， ， 故四边形面积存在最大值， 当时，四边形面积的最大值为； （3）解：设点，则点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：，则点的坐标为：， 由直线的表达式知，其和轴正半轴的夹角为， 如果，则，则，故不存在， 则， 而， 当时， 则点在的中垂线上，则， ， 解得：（舍去）或， 即点； 当时，即， 解得：或（均舍去）， 综上，点的坐标为． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 3．如图，抛物线（，是常数）的顶点为，与轴交于，两点，其中，，点从点出发，在线段上以1单位长度/秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作PQ∥BC，交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)用含的代数式表示直线的解析式； (3)当为何值时，的面积最大？求出面积的最大值． 【答案】(1) (2)直线为 (3)当时，面积最大，最大面积为 【分析】（1）利用交点式直接可得抛物线的解析式； （2）先求解顶点坐标为，再求解的解析式，结合进一步解答即可； （3）先求解的解析式为：，再求解，利用，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线（，是常数）过，， ∴； （2）解：∵， ∴顶点坐标为， 设直线为， ， 解得：， ∴为， ∵， 设为， ∵， 当时， ∴，即， 当时， ∴，即， ∴， ∴， ∴直线为； （3）∵，， 同理可得：的解析式为：， ∴， 解得：， ∴， ∴ ， 当时，面积最大，最大面积为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，一次函数的应用，二次函数与动态图形的面积，熟练的表示，的坐标是解本题的关键． 类型五、二次函数中的定值 【解惑】抛物线C1：y＝ax2﹣x+2（a＞0）与x轴交于A、B（点A在点B左侧），与y轴交于点C． （1）如图1，若A（2，0），连AC、BC． ①直接写出C1的解析式及△ABC的面积； ②将△AOC绕某一点逆时针旋转90°至△A′O′C′（其中A、O、C的对应点分别为A′、O′、C′）．若旋转后的△A′O′C′恰有一边的两个端点落在抛物线C1的图象上，求点A′的坐标； （2）如图2，平移抛物线C1使平移后的新抛物线C2顶点在原点，P（，0）是x轴正半轴上一点，过P作直线交C2的图象于A、B，过A的直线y＝x+b交C2于点C，过P作x轴的垂线交BC于点M，设点M的纵坐标为n，试判断an是否为定值？若是，求这个定值，若不是，说明理由． 【答案】（1）①y＝x2﹣x+2，2；②A′（6，2）；（2）an为定值，an＝． 【分析】（1）①将A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0），可得抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣x+2（a＞0），求出C（0，2），OC＝2B（4，0），AB＝4﹣2＝2，所以S△ABC＝AB•OC＝×2×2＝2； ②若C'、Q'在抛物线C1上，当x＝3时，y＝﹣，可得O'（3，﹣），A'（3，）；若C'、A'在抛物线C1上，设C'（t，﹣t+2），则A'（t+2，﹣t +4），将A'代入C1解得t＝4，A′（6，2）； （2）平移后的新抛物线C2的解析式为：y＝ax2，设AP的直线解析式为y＝k（x﹣），联立，ax2﹣kx+＝0，xA+xB＝，xAxB＝，xAxB＝（xA+xB），联立，ax2﹣x﹣b＝0，xA+xC＝，xC＝﹣xA，直线BC的解析式为y＝px+q，联立，ax2﹣px﹣q＝0，xB+xC＝，xBxC＝﹣，可得xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②，由①②可得q＝，将M代入y＝px+q，求得an＝． 【详解】解：（1）①将A（2，0）代入y＝ax2﹣x+2（a＞0）， 得：0＝4a﹣3+2，解得：a＝， ∴抛物线C1的解析式为：y＝x2﹣x+2（a＞0） 令x＝0，得y＝2， ∴C（0，2），OC＝2 令y＝0，得x2﹣x+2＝0，解得：x1＝2，x2＝4， ∴B（4，0）， ∴AB＝4﹣2＝2 ∴S△ABC＝AB•OC＝×2×2＝2； ②若C'、Q'在抛物线C1上， ∵C'O'＝CO＝2， ∴当x＝3时，y＝﹣， ∴O'（3，﹣）， ∴A'（3，）； 若C'、A'在抛物线C1上，设C'（t，﹣t+2），则A'（t+2，﹣t+4）， 将A'代入C1得：（t+2）2﹣（t+2）+2＝﹣t+4， 解得t＝4， ∴A′（6，2）； （2）∵平移后的新抛物线C2顶点在原点，∴平移后的新抛物线C2的解析式为：y＝ax2， 设AP的直线解析式为y＝k（x﹣）， 联立，ax2﹣kx+＝0， ∴xA+xB＝，xAxB＝， ∴xAxB＝（xA+xB）， 联立，ax2﹣x﹣b＝0， ∴xA+xC＝，xC＝﹣xA， 设直线BC的解析式为y＝px+q，联立，ax2﹣px﹣q＝0， ∴xB+xC＝，xBxC＝﹣， ∴xB+（﹣xA）＝， ∴xB﹣xA＝①，xB（﹣xA）＝﹣，xB﹣xA＝﹣2q②， 由①②可得q＝，将M代入y＝px+q， ∴n＝q•+＝， ∴an＝． 【点睛】本题考查二次函数的综合；熟练掌握二次函数、一次函数的图象及性质，熟练应用韦达定理，并能数形结合解题是关键． 【融会贯通】 1．如图，直线l：交x轴、y轴的正半轴分别于E、D点，有抛物线． (1)求证：当变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； (2)当变化时，抛物线是否恒经过定点？若经过，求出定点的坐标，若不经过，说明理由； (3)设直线l与抛物线交于M、N两点探究：在直线l上是否存在点P．使得无论怎么变化，恒为定值？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，并说明点P是否在线段MN上；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)抛物线恒经过定点；或 (3)在直线l上是存在点P．使得无论怎么变化，恒为定值．符合条件点的坐标为，点P不在线段上． 【分析】（1）根据，即可求证； （2）由，即可求解； （3）设点M，N的横坐标为，联立可得，从而得到，，设点，再由是等腰直角三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴当变化时，抛物线与x轴恒有两个交点； （2）解：当变化时，抛物线恒经过定点； ∵， ∴当，即或2时，抛物线恒经过定点，定点为或； （3）解：存在，理由如下： 根据题意画出图象如下： 设点M，N的横坐标为， 联立得：， 整理得：， ∴，， 设点， 对于， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴当时，恒为定值，此时点， 当时，，此外当点P和点M或N重合时，是定值， 当M、N不是定点，故舍去， 此时对应抛物线上的点的纵坐标为：， 即时，抛物线上对应点在点P的上方，故点N在点P的左方， 故点P不在线段上， 综上，符合条件点的坐标为：，点P不在线段上． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根和系数的关系的运用等，其中（3），用根和系数的关系求解复杂数据是本题的亮点． 2．抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），点，在抛物线上． (1)填空：________，________，点的坐标为________； (2)如图1，在抛物线上存在一点，使，求点的横坐标； (3)如图2，点是轴下方的抛物线上任意一点，是线段上的一个定点（点不与点、重合），过点作轴的平行线与射线，分别交于，两点，若为定值，求的值． 【答案】(1)，， (2)或 (3) 【分析】（1）将点，代入计算可得抛物线的解析式，再求出时，的值即可得点的坐标； （2）分两种情况：①点在轴下方的抛物线上；②点在轴上方的抛物线上，根据求解即可得； （3）设点的坐标为，先利用待定系数法求出直线的解析式，再设点的坐标为，则，，从而可得，然后根据点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值可求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为， 当时，，解得或， 则点的坐标为， 故答案为：，，． （2）解：①如图，当点在轴下方的抛物线上时，设交轴于点， 则，， 要使，则， ， ， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立，解得或（即为点）， ，符合题设， ∴此时点的横坐标为； ②如图，当点在轴上方的抛物线上时， 要使，则， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∴点与点关于二次函数的对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 综上，点的横坐标为或． （3）解：设点的坐标为， 设直线的解析式为， 将点，代入得：， 解得， 则直线的解析式为， 同理可得：直线的解析式为， 设点的坐标为，则，， ∴，， ， ∵点是轴下方的抛物线上任意一点，为定值，即对于在内的任意的值，为定值， ， 解得， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的几何应用、一次函数等知识，较难的是题（2），正确分两种情况讨论是解题关键． 3．抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，直线l是抛物线的对称轴， (1)直接写出A、B、C三点坐标； (2)如图1，若一次函数的图像与抛物线相交与M、N两点， ①若时，点E是直线MN上方抛物线上的一个动点，过点E作轴交MN于点D，连接ME，NE；当的面积最大时，试求面积的最大值； ②取MN的中点P，过点P作轴交抛物线于点Q，试判断是否为一个定值，若是，求出这一定值；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②是， 【分析】（1）对于，当时，，令，则或3，即可求解； （2）①由的面积，即可求解；②求出点，则点，得到，由点M、N的坐标得， 即可得出结论． 【详解】（1）​解：对于， 当时，， 令，则或3， 即点A、B、C的坐标分别为：； （2）①时，一次函数的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：，则， 设点，则点， 则的面积， 即的面积最大值为； ②是定值，理由： 联立一次函数和抛物线的表达式得：， 则， 则， 则，即，点， 得到， 由点M、N的坐标得，， 则，则，为定值． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 类型六、二次函数中的比值 【解惑】在平面直角坐标系中，，． (1)若抛物线过、两点，且与轴交于点，求此抛物线的顶点坐标； (2)如图，小敏发现所有过、两点的抛物线如果与轴负半轴交于点，为抛物线的顶点，那么与的面积比不变，请你求出这个比值． 【答案】(1) (2) 【分析】考查的是二次函数图象上点的坐标特点，待定系数法求函数解析式，及三角形的面积，注意某个图形无法解答时，常常放到其他图形中，利用图形间的“和差”关系求解． （1）由于抛物线过，两点，且与轴交于点，可用待定系数法求出抛物线的解析式，再求出顶点坐标； （2）先设出过，两点抛物线的解析式，作轴于，再分别求出、、、各点的坐标，再根据图形求各三角形的面积，最后由三角形之间的和差关系的面积进行计算； 【详解】（1）解：设过抛物线，两点，且与轴交于点，的抛物线解析式为， 把，，点代入 得， 解得， 故此抛物线的解析式为， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：由题意，设，即， 当，， 而， ∴，， ， 而， ， 作轴于， 又， ∴． 【融会贯通】 1．如图，抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点． （1）请求抛物线顶点M的坐标（用含m的代数式表示），A，B两点的坐标； （2）经探究可知，△BCM与△ABC的面积比不变，试求出这个比值； 【答案】（1）M的坐标为（1，m），A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0） （2）1:2 【详解】试题分析：（1）将抛物线的解析式化为顶点坐标式，即可得到顶点M的坐标；抛物线的解析式中，令y=0，可求得A、B的坐标． （2）易求得C点坐标，即可得到OC的长，以AB为底，OC为高，即可求出△ABC的面积；△BCM的面积无法直接求得，可用割补法求解，过M作MD⊥x轴于D，根据B、C、M四点坐标，可分别求出梯形OCMD、△BDM的面积，它们的面积和减去△BOC的面积即为△BCM的面积，进而可得到△ABC、△BCM的面积比 试题解析：（1）∵y＝mx2―2mx―3m＝m（x2―2x―3）＝m（x－1）2―4m， ∴抛物线顶点M的坐标为（1，-4m）， ∵抛物线y＝mx2―2mx―3m（m＞0）与x轴交于A、B两点， ∴当y＝0时，mx2―2mx―3m＝0， ∵m＞0， ∴x2―2x―3＝0， 解得x1＝－1，x,2＝3， ∴A，B两点的坐标为（－1,0）、（3,0）. （2）当x＝0时，y＝―3m， ∴点C的坐标为（0，－3m）， ∴S△ABC＝×|3－（－1）|×|－3m|＝6|m|＝6m， 过点M作MD⊥x轴于D， 则OD＝1，BD＝OB－OD＝2， MD＝|－4m |＝4m. ∴S△BCM=S△BDM+S梯形OCMD-S△OBC = = =3m． ∴S△BCM：S△ABC=1：2 考点：二次函数的综合题 2．如图，一次函数与二次函数的图像交于A、D两点（点A在点D左侧），与二次函数的图象交于B、C两点（点B在点C左侧）． (1)如图1，若，，请求出的值． (2)如图1，若，点B与A横坐标之差为1，试探究的值是否为定值？如果是，请求出这个比值：如果不是，请说明理由． (3)如图2，若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出点A、B、C、D的坐标，再根据两点之间的距离公式，求出，即可解答； （2）先求出点A、B、C、D的横坐标，过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q，易证，则，根据点B与A横坐标之差为1，德吹，，进而得出，再求出，即可解答． （3）先求出点A、B、C、D的横坐标，由（2）同理可得：，，推出，进而求出，即可解答． 【详解】（1）解：若，，则一次函数为， 联立和得： ， 解得或， ，， 联立和得： ， 解得或， ，， ， ， ． （2）解：当时，一次函数为， 联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 过点A、B、C、D分别作x轴的垂线，垂足分别为点E、F、G、H；过点A作于点P，过点C作于点Q， ∵轴，轴， ∴， ∴， 又，， ∴， ∴， ∵点B与A横坐标之差为1， ∴，，即， 整理得：， ∵， ∴． （3）解：联立和得： ， 解得， 联立和得： ， 解得：， 由（2）可得：， ∴， 整理得：， 由图可知：一次函数图象经过二、四象限，则， 两边同时除以m得：， 令，则， 解得：， ∴， ∴， 同理可得：． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数综合，解题的关键是熟练掌握求二次函数和一次函数交点的方法和步骤． 3．定义：由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线C1：y＝x2+2x﹣3与抛物线C2：y＝ax2+2ax+c组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线C1和抛物线C2与x轴有着相同的交点A（﹣3，0）、B（点B在点A右侧），与y轴的交点分别为G、H（0，﹣1）．    (1)求抛物线C2的解析式和点G的坐标． (2)点M是x轴下方抛物线C1上的点，过点M作MN⊥x轴于点N，交抛物线C2于点D，求线段MN与线段DM的长度的比值． (3)如图②，点E是点H关于抛物线对称轴的对称点，连接EG，在x轴上是否存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝x2+x﹣1，G（0，﹣3） (2) (3)存在，（﹣2，0）或（﹣﹣2，0） 【分析】（1）将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中，即可求函数的解析式． （2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0），分别求出MN，DM，再求比值即可． （3）先求出E（﹣2，﹣1），设F（x，0），分来两种情况讨论：①当EG＝EF时，，可得F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）；②当EG＝FG时，2＝，F点不存在． 【详解】（1）解：将A（﹣3，0）、H（0，﹣1）代入y＝ax2+2ax+c中， ∴， 解得， ∴y＝x2+x﹣1， 在y＝x2+2x﹣3中，令x＝0，则y＝﹣3， ∴G（0，﹣3）． （2）设M（t，t2+2t﹣3），则D（t，），N（t，0）， ∴NM＝﹣t2﹣2t+3，， ∴＝． （3）存在点F，使得△EFG是以EG为腰的等腰三角形，理由如下： 由（1）可得y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1， ∵E点与H点关于对称轴x＝﹣1对称， ∴E（﹣2，﹣1）， 设F（x，0）， ①当EG＝EF时， ∵G（0，﹣3）， ∴EG＝2， ∴2＝， 解得x＝﹣2或x＝﹣﹣2， ∴F（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）； ②当EG＝FG时，2＝， 此时x无解； 综上所述：F点坐标为（﹣2，0）或（﹣﹣2，0）． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 类型七、二次函数中的新定义 【解惑】定义：平面直角坐标系中，当点在图形的内部，或在图形上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为图形的“梦之点”． (1)如图①，矩形的顶点坐标分别是，，，，在点，，，中，是矩形“梦之点”的是________； (2)如图②，已知、是抛物线上的“梦之点”，点是抛物线的顶点： ①求出，，三条线段的长度； ②判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)①，，；②是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、勾股定理以及勾股定理逆定理： （1）根据“梦之点”的定义判断这几个点是否在矩形的内部或者边上即可得到答案； （2）①根据“梦之点”的定义求出A，B的坐标，再求出顶点的坐标，计算出，，的长； ②根据勾股定理逆定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的顶点坐标分别是，，，， ∴矩形的“梦之点”满足， ∴点，，是矩形的“梦之点”，不是矩形的“梦之点”． 故答案为：，， （2）解：①、是抛物线上的“梦之点”， ∴， 解得：， 当时，，当时，， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， ∴， ， ； ②是直角三角形，理由如下： ∵，， ∴， ∴是直角三角形． 【融会贯通】 1．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数M，对于任意的函数值y，都满足，那么称这个函数为边界函数．在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数：是边界函数，其边界值是2． ​ (1)函数① 和② 中是边界函数的为　 　（只填序号即可），其边界值为　 　； (2)如果函数 的边界值是a，且这个函数的最大值超过 ，求b的取值范围； (3)如果函数 是以 为边界值的边界函数，直接写出实数a的值． 【答案】(1)②，0 (2) (3) 【分析】（1）根据边界函数的定义即可进行判断； （2）根据一次函数的增减性可得的取值范围，结合“边界值是a，且这个函数的最大值超过”即可求b的取值范围； （3）分类讨论、、三种情况即可求解． 【详解】（1）解：① ∴①不是边界函数． ②， ∴ ∴． ∴②是边界函数，边界值为0． 故答案为：②，0； （2）解：∵，y随x值的增大而减小， ∴当时，， ∵边界值是a， ∴， ∵函数的最大值超过， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴b的取值范围为： （3）解：的对称轴为直线， 当时，y的最小值为， ∴（舍去）； 当时，y的最小值为， 解得（舍去）； 当时，y的最小值为， 解得或（舍去）． 综上所述：a的值为． 【点睛】本题以新定义题型出发，考查了二次函数和一次函数的相关知识点．掌握函数的相关结论是解题关键． 2．新定义：若函数图像一定过点，我们称为该函数的“永固点”．如：一次函数，无论k值如何变化，该函数图像一定过点，则点称为这个函数的“永固点”． 【初步理解】一次函数的“永固点”的坐标是______； 【理解应用】二次函数落在x轴负半轴的“永固点”A的坐标是______，落在x轴正半轴的“永固点”B的坐标是______； 【知识迁移】点P为抛物线的顶点，设点A到直线的距离为，点P到直线的距离为，请问是否为定值？如果是，请求出的值；如果不是，请说明理由． 【答案】【初步理解】；【理解应用】，；【知识迁移】为定值． 【分析】本题考查二次函数的性质和新定义，关键是对新定义的理解和运用． 初步理解：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 理解应用：把化为，根据“永恒点”的定义得出结论； 知识迁移：先求出顶点P的坐标，分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求出E，F坐标，然后求出，再由，求出为定值． 【详解】解：初步理解：∵， ∴无论m值如何变化，该函数图象恒过点， ∴一次函数的永固点的坐标是， 故答案为：； 理解应用：， 当或时，， ∴无论m值如何变化，恒过定点和， ∴，， 故答案为：，； 知识迁移：为定值． ∵， ∴顶点，， 作轴交直线于点E，作轴交直线于点F， 则，，， 分别过点P、A作直线的垂线，垂足为Q、C，则    ∴，， ∴， ∴， 即． 3．定义：在平面直角坐标系中，当点在一个函数图象上，且点的横坐标和纵坐标相等时，则称点为函数图象的“等坐标点”． (1)点在直线上，则点______一次函数图象上的“等坐标点”（填“是”或“不是”）； (2)点是反比例函数图象上的一个“等坐标点”，则该函数图象上的另一个“等坐标点”的坐标是______，求的值和直线的表达式； (3)已知点，是抛物线上的两个“等坐标点”，点在点的左侧，点是抛物线的顶点，连接，，且交轴于点．求的值和的度数． 【答案】(1)是； (2)，，直线的表达式为； (3)，． 【分析】（）根据“等坐标点”定义即可求解； （）根据“等坐标点”定义即可求的坐标，再利用待定系数法即可； （）先求出抛物线解析式为，然后联立求出点，再求出直线解析式为，通过勾股定理逆定理求出，最后由角度和差即可求解； 本题考查了一次函数和二次函数的性质，待定系数法求解析式，勾股定理逆定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， ∴点是一次函数图象上的“等坐标点”， 故答案为：是； （2）∵点是反比例函数图象上的一个“等坐标点”， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，解得，， 则点， 设直线的表达式为， ∴，解得：， ∴直线的表达式为； （3）∵是抛物线上的“等坐标点”， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， ∴点， 由题意联立，解得，， ∴点， 如图，    同理直线解析式为， 当时，，则， ∵， ∴轴， ∴， 由，，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴． 类型八、二次函数中的平移 【解惑】如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的交点坐标为，图象的顶点为．矩形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴上，顶点的坐标为． (1)求的值及顶点的坐标． (2)如图2，将矩形沿轴正方向平移2个单位得到对应的矩形．已知边分别与函数的图象交于点，连结，过点作于点．求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质和平移的性质， （1）把代入二次函数解析式即可求得，将二次函数解析式化为顶点式即可求得，顶点； （2）根据题意可得点、点、点和点的横坐标，即可求得点和点，利用勾股定理即可求得． 【详解】（1）解：把代入，得， 则二次函数解析式为， ， 那么，顶点的坐标是； （2）∵点的坐标为， ∴点A和点B的横坐标为1， ∵矩形沿轴正方向平移2个单位， ∴点和点的横坐标为2，点和点的横坐标为3， 当时，，则点， 当时，，所以点， 所以． 所以． 【融会贯通】 1．如图，二次函数的图像与直线的图像交于，两点，点的坐标为，点的坐标为． (1)求二次函数的表达式．； (2)点是线段上的动点，将点向下平移个单位得到点． ①若点在二次函数的图像上，求的最大值． ②若，线段与二次函数的图像有公共点，请求出点的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】（1）待定系数法计算即可． （2）①设点的坐标为，则点的坐标为， 把代入构造h为函数的二次函数计算即可．②当，点的坐标为代入解析式，确定m的值，结合图像计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得，， ∴． （2）①设点的坐标为，则点的坐标为． 把代入，得： ， ， ∵，当时，且满足， ∴． ②设点的坐标为，则点的坐标为． 当，点的坐标为， 把代入得：， ∴或． ∴或 【点睛】本题考查了抛物线的解析式，最值，点的平移，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键． 2．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点（点在点的右边）．    (1)求抛物线的表达式； (2)为抛物线上任意一点，将点向上平移2个单位长度得到点，若点关于原点的对称点恰好落在抛物线上，求此时点的坐标； (3)将抛物线向右平移个单位长度得到抛物线，若点，均在抛物线上，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或； (3) 【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质、二次函数的平移、点的平移、关于原点对称的点的坐标特征等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将代入求得a的值即可解答； （2）设，根据题意分别求出，关于原点对称的点的坐标为，再由，求出t的值即可确定P点坐标； （3）平移后的抛物线解析式为，则抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：将代入中可得，，解得：， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，则将点P向上平移2个单位长度得到点， ∴， ∵关于原点对称的点的坐标为， ∴，解得， 或． （3）解：∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴，解得， ， ． 3．如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点在点的左侧），点，在抛物线上．设，当时，． (1)求抛物线的函数表达式； (2)当为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点，，且直线平分矩形的面积时，求平移后的拋物线的顶点坐标．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2)当时，矩形的周长有最大值，最大值为 (3) 【分析】（1）由点E的坐标设抛物线的交点式，再把点C的坐标代入计算可得； （2）由抛物线的对称性得，据此知，再由时，，根据矩形的周长公式列出函数解析式，配方成顶点式即可得； （3）①根据，结合四边形是矩形，可得A、C坐标，连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据直线平分矩形的面积，得到直线过点P，由平移的性质可知，四边形是平行四边形，根据矩形的性质得到点P是的中点，求出P、Q坐标，进而证明四边形是平行四边形，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， ∵当时，， ∴点B的坐标为， ∵四边形是矩形， ∴点C的坐标为， ∴将点C坐标代入解析式得， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）解：由抛物线的对称性得， ∴， 当时，点C的纵坐标为， ∴矩形的周长 ， ∵ ∴当时，矩形的周长有最大值，最大值为； （3）解：∵当时，， ∴点B的坐标为， ∴点C的坐标为，点A的坐标为， 连接，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，如图：    ∵直线平分矩形的面积， ∴直线过点P， 由平移的性质可知，,， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点P是的中点，Q是的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴抛物线向右平移的距离是4个单位， ∵ ∴平移后的抛物线解析式为， ∴平移后抛物线的顶点坐标为． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，矩形的性质，勾股定理，平移的性质等等，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、二次函数的性质及平移变换的性质等知识点． 类型九、二次函数中的翻折 【解惑】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且经过点，与x轴的另一个交点为B．    (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上的一点，且到y轴的距离小于3，求出点M的纵坐标的取值范围； (3)将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象，当直线与新图象有2个公共点时，请直接写出n的值 【答案】(1) (2) (3)0或 【分析】（1）根据对称轴和点A利用待定系数法求出抛物线解析式； （2）根据题意得，求出相对应的纵坐标，但注意抛物线在顶点时取得最小值； （3）如图，当直线与新图象有2个公共点时，即时交于A、B两点，或时交于C、D两点． 【详解】（1）∵抛物线的对称轴为直线， ∴对称轴， ∴． 将点代入抛物线，得， ∴， ∴抛物线的表达式是． （2）由题意得， ∴当时，， 当时，． ∵且抛物线的对称轴为直线， ∴当时，抛物线取得最小值，最小值为． ∴点M的纵坐标的取值范围是． （3）n的值为0或，    如图所示，将抛物线在点B右侧的图象沿x轴向下翻折， 当直线时，与新图象有2个公共点，即A、B两点； 当直线时，与新图象有2个公共点，即C、D两点； 综上所述，n的值为0或． 【点睛】本题考查二次函数的应用，待定系数法求解析式，直线与抛物线交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．已知抛物线经过点和点 (1)填空：_______，_______． (2)如果直线与此抛物线有且只有一个交点，求k的值和该交点的坐标； (3)将该抛物线x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后得到的图象与原图象剩余部分组成一个新的图象，该图象记为M，若直线与图象M有两个交点，求n的取值范围． 【答案】(1) (2)k=-7；（-2，-3） (3)n>3或-6<n<2 【分析】 （1）把点和点代入，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得k=-7，再联立两函数解析式，即可求出交点坐标； （3）根据题意可得将该抛物线x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后得到的新抛物线的解析式为，由可得 再由直线与图象M有两个交点，可得n>3，再把点（1，0）和点（-3，0）分别代入，可得当-6<n<2时，与M有两个交点，即可求解． 【详解】（1） 解：把点和点代入，得： ，解得：， 故答案为：1，-3； （2） 解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴k=-7， 解方程组，得：， ∴交点的坐标为（-2，-3）； （3） 解：根据题意得：将该抛物线x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后得到的新抛物线的解析式为， 由，得：， 当时，解得：n＝3， 即当n>3时，与M有两个交点， 把点（1，0）代入，得：n=2， 把点（-3，0）代入，得：n=-6， 即-6<n<2时，与M有两个交点， 综上所述，若直线与M有两个交点，n>3或-6<n<2． 【点睛】 本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的折叠问题，熟练掌握二次函数与一次函数的性质是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中．抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3．且经过A、C两点的直线为y＝kx+4． （1）求抛物线L的函数表达式； （2）若将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L′，抛物线L′上是否存在一点P使得SAOP＝SABC，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2+3x+4；（2）存在，点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，﹣）或（﹣3﹣，﹣） 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）根据将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，得到抛物线L'的表达式y＝﹣x2﹣3x﹣4，设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x﹣4），由S△AOP＝×AO×|﹣x2﹣3x﹣4|＝×4×|﹣x2﹣3x﹣4|＝S△ABC，即可求解． 【详解】解：（1）将点A的坐标代入一次函数表达式得：0＝﹣4k+4，解得k＝1， 故一次函数的表达式为y＝﹣x+4，令x＝0，则y＝4，故点C的坐标为（0，4）， ∵点A的坐标为（﹣4，0），抛物线的对称轴是直线x＝﹣3，则点B的坐标为（﹣2，0）， 设抛物线L的表达式为y＝a（x+2）（x+4）＝a（x2+6x+8）＝ax2+6ax+8a， 故8a＝4，解得a＝， 故抛物线的表达式为y＝x2+3x+4； （2）存在，理由： 将抛物线L沿x轴翻折，得到新抛物线L'，则该抛物线的表达式为y＝﹣x2﹣3x﹣4； 设点P的坐标为（x，﹣x2﹣3x﹣4）， 由点AB的坐标知，AB＝2， 则S△ABC＝×AB•CO＝×2×4＝4， 则S△AOP＝×AO×|﹣x2﹣3x﹣4|＝×4×|﹣x2﹣3x﹣4|＝S△ABC＝1， 解得：x＝﹣3或﹣3+或﹣3﹣， 故点P的坐标为（﹣3，）或（﹣3，﹣）或（﹣3﹣，﹣）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、面积的计算、图形的翻折等，有一定的综合性，难度适中． 3．综合与探究 如图1，抛物线与x轴交于点、，与y轴交于点C．直线l为该二次函数图象的对称轴，交x轴于点E． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)点D是x轴上方二次函数图象上一动点． ①连接将沿直线翻折，得到，点恰好落在直线l上，请依题意，在图1中补全图形并求直线的解析式； ②如图2，连接，交于点F；求的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1)，点 (2)①   ②的最大值为，点D的坐标为 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题. （1）由待定系数法即可求解； （2）①由、求出点，即可利用待定系数法求解； ②证明 ，即可求解. 【详解】（1）由题意得： ∴解得： 则抛物线的表达式为：， 当时，， ∴点； （2）①由抛物线的表达式知，其对称轴为直线 设交抛物线的对称轴于点，如图， 设点、的坐标分别为：， 则，， ， 解得： ， 则点， 设直线的解析式为 把点、的坐标代入得， ，解得， ∴直线的表达式为：； ②过点作轴的平行线交的延长线于点，过点作轴的平行线交于点， 则 ∴， 由点的坐标得，直线的表达式为： 当时，， ∴点 ，即， 设点则点则 则 ， ∴的最大值为，这时，点D的坐标为． 类型十、二次函数中的旋转 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线W1与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣6），顶点为D（﹣2，2）． (1)求抛物线W1的表达式； (2)将抛物线W1绕原点O旋转180°得到抛物线W2，抛物线W2的顶点为D'，在抛物线W2上是否存在点M，使S△D′AD＝S△D′DM？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）表示出顶点式，将点代入即可； （2）由题意求得抛物线W2的顶点坐标和解析式，在坐标系中画出抛物线W2的图象，利用S△DAD′＝S△ADO+S△AOD′求出三角形DD′A的面积；设，过点M作轴交于点N，表示出MN，列方程求解即可． 【详解】（1）解：， 设抛物线的表达式为：，将点代入得： ，解得：， ， （2）解：， ， ，连接， ， ， ， 设，过点M作轴交于点N， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，待定系数法确定二次函数的解析式，二次函数图象与几何变换，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【融会贯通】 1．定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“平衡点”．例如，点是函数的图象的“平衡点”． (1)在函数①，②，③，④的图象上，存在“平衡点”的函数是_____；（填序号） (2)设函数与的图象的“平衡点”分别为点、，过点作轴，垂足为．当为等腰三角形时，求的值； (3)若将函数的图象绕轴上一点旋转，旋转后的图象上恰有个“平衡点”时，求的纵坐标． 【答案】(1)①② (2)的值为或或或； (3) 【分析】（1）根据“平衡点”的定义求解即可； （2）先求得；，，从而得，，，然后分类讨论秋季即可； （3）设，由，得抛物线的顶点为，从而得点关于的对称点为，旋转后的抛物线解析式为，再根据新定义列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据“平衡点”的定义，“平衡点”的横、纵坐标互为相反数， 在中，令得， ∴或， ∴当时，当时，， ∴的图象上存在“平衡点”和， 同理可得，，的图象上不存在“平衡点”，的图象上存在“平衡点”； 故答案为：①②； （2）解：在中，令得， 解得或， ， ； 在中，令得， 解得， 当时，， ，，， 若，则， 解得； 若，则， 解得或； 若，则， 解得或（此时，重合，舍去）； 的值为或或或； （3）解：设， ， 抛物线的顶点为， 点关于的对称点为， 旋转后的抛物线解析式为， 在中，令得： ， ， 旋转后的图象上恰有个“平衡点” 有两个相等实数根， ，即， ， ∴的纵坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程根与系数的关系，反比例函数求自变量的值，等腰三角形的定义，熟练掌握二次函数的图像及性质以及一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 2．已知抛物线与轴交于点、（在的左侧），与轴交于点． (1)若，，． ①求该抛物线解析式； ②抛物线上点的横坐标为，点坐标为，连接，，点为平面内任意一点，将绕点旋转得到对应的（点，，的对应点分别为点，，），若中恰有两个点落在抛物线上，求此时点的坐标；（点不与点重合） (2)如图2，点和点在抛物线上，其中在点左侧抛物线上，点在轴右侧抛物线上，直线交轴于点，直线交轴于点，设直线解析式为，当，试证明为一个定值，并求出定值． 【答案】(1)①；②或 (2)为定值1，证明见解析 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，运用待定系数法求函数解析式，以及中心对称等知识： （1）①运用待定系数法求解即可； ②根据中心对称的性质，分在抛物线上，三种情况讨论求解即可； （2）设直线的解析式为，直线的解析式为，则，，由得，联立方程组，由根与系数和关系可得出结论 【详解】（1）解：①将，，代入得： 解得 故抛物线解析式为， ②解：∵，，则 又∵ ∴，即， 依题意，轴，， 当两个点落在抛物线上，如图所示， 设的纵坐标为， 则即的解为的横坐标，设的横坐标为 ∴， ∵ ∴ 即 解得：， 解方程 解得：， ∴ 又∵， 设 ∴ 解得：； ∴； ②如图所示，当在抛物线上时， 依题意，四边形是平行四边形，为对角线交点， ∴， ∵， 设，根据平移的性质可得 又∵，在抛物线上， ∴ ∴ ∵，观察图形，不能同时落在抛物线上， 综上所述，或 （2）解：∵抛物线解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为，直线的解析式为 ∴， ∴   ∵ ∴ ∴   ∴ （即  即点是的中点） ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，， ∴   ∴ 又∵直线经过抛物线上两点、 ∴ ∴的两个根为和 ∴ ∴而   ∴ ∴ ∴为定值1． 3．已知一系列抛物线，，，，，，（为非负整数）．抛物线与轴相交于点，（点在点的左边），顶点为． (1)抛物线的顶点坐标是________，与轴的交点，的坐标分别是________． (2)①通过该系列抛物线所有顶点的图象是___________，其函数解析式是__________； ②抛物线的解析式是________________． (3)探究下列结论： ①若轴于点，求的值． ②将抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点为，点，的对应点分别为，． Ⅰ．直接写出抛物线的解析式； Ⅱ．设四边形的面积是，求与的关系式． 【答案】(1)，，； (2)一条直线；；； (3)；． 【分析】（）观察规律及根据二次函数的性质即可求解； （）的顶点坐标是，的顶点坐标是，的顶点坐标是，的顶点坐标是，的顶点坐标是，观察可得通过该列抛物线所有顶点的图象是一条直线然后用待定系数法即可求解， 观察这列抛物线的顶点坐标，由规律可知的顶点坐标是，即可求出抛物线的解析式是； （）由（）可知，求出，可得，把点)的坐标代入到的解析式即可求解； 令，即，解得：，，则，，然后用面积求解即可； 本题考查了二次函数的图象及性质，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【详解】（1）∵， ∴抛物线顶点坐标是， 令，即， 解得：，， ∵点在点的左边， ∴，， 故答案为：，，； （2）的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 的顶点坐标是， 观察可得通过该列抛物线所有顶点的图象是一条直线， 设该直线的解析式为， 将，和，代入直线解析式，得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：一条直线；； 观察这列抛物线的顶点坐标，由规律可知的顶点坐标是， ∴抛物线的解析式是， 故答案为：； （3）由（）可知：， ∴， ∵轴， ∴， 把点)的坐标代入到 的解析式得： ， 解得； ∵顶点坐标为是旋转得到抛物线， ∴； ．令，即， 解得：，， ∴， ∵， 由（）可知， ∴， 由题意可知四边形为平行四边形， ∴ 整理得：． 【一览众山小】 1．二次函数v的图象如图所示，则函数值时，x的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，理解抛物线与x轴的交点坐标利用数形结合思想解决问题是关键．根据函数图象，得到抛物线与x轴的两个交点坐标，再根据函数图象在x轴的上方部分求解即可． 【详解】解：根据图象可知抛物线与x轴的一个交点为且其对称轴为， 则抛物线与x轴的另一个交点为． 当时，函数的图象在x轴的上方，由左边一段图象可知，由右边一段图象可知， 因此，或， 故选：D． 2．如图，二次函数的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是，顶点坐标为，则下列说法正确的是（    ）    A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C．当时，y随x的增大而减小 D．二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，利用二次函数的性质，对称性，增减性判断选项A、B、C，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再求出与y轴的交点坐标即可判定选项D． 【详解】解∶ ∵二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，故选项A错误； ∵二次函数的图象与x轴的一个交点的横坐标是，对称轴是直线， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是1，故选项B错误； ∵抛物线开口向下， 对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故选项C错误； 设二次函数解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 当时，， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3，故选项D正确， 故选D． 3．如图，在等腰中，，，动点E，F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下做正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为下列图像能反映y与x之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查动态问题与函数图象，能够明确y与x分别表示的意义，并找到几何图形与函数图象之间的关系，以及对应点是解题的关键，根据题意并结合选项分析当与重合时，及当时图象的走势，和当时图象的走势即可得到答案． 【详解】解：当与重合时，设，由题可得： ∴，， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向上的抛物线的一部分， 当在下方时，设，由题可得： ∴，， ∵，, ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∵， ∴图象为开口向下的抛物线的一部分， 综上所述：A正确， 故选：A． 4．已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 5．已知二次函数，图象上有四点，，，，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，二次函数图象的性质，先根据解析式得到二次函数图象开口向上，离对称轴越远，函数值越大，再由对称性求出对称轴为直线，据此求出A、C、D三点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：二次函数解析式为， 二次函数图象开口向上， 离对称轴越远，函数值越大， ，都在二次函数图象上， 对称轴为直线， ，，，都在二次函数图象上，且， ， 故答案为：． 6．小王和小李先后从地出发沿同一直道去地设小李出发第时，小李、小王离地的距离分别为、，与之间的函数表达式是，与之间的函数表达式是． （1）小李出发时，小王离地的距离为 ． （2）小李出发至小王到达地这段时间内，当小李出发 时两人相距最近这个最近距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的综合，掌握一次函数与二次函数在行程中的数量关系是解题的关键． （1）根据小李出发时，时间为零，代入计算即可求解； （2）设两人相距，根据题意可得，结合二次函数最值的计算方法即可求解． 【详解】解：（1）小李：，小王：， 当时，小李：，小王：， ∴（米）； （2）设小李和小王相距米， ∴ ， ∴当时，小李与小王相距最近，最近为米， ∴小李出发分钟时两人相距最近，最近距离为米， 故答案为：，， ． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，作直线，点是直线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作轴，交抛物线于点，设的长度为，点的横坐标为，当随的增大而减小时，求出的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、增减性等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由点、点求得抛物线的对称轴，进而可得；将代入解析式求得即可； （2）求出直线的解析式，分类讨论①当时②当时③当时，三种情况即可求解； 【详解】（1）解： 抛物线与轴交于点、点， 对称轴为， 解得， 将代入解析式，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：对于，当时，， ， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 下面进行分类讨论： ①当时，如图1，此时由图象可知：随的增大而减小，符合题意； ②当时，如图2，此时由图象可知：随的增大而增大，不符合题意； ③当时，如图3，此时点的纵坐标为：， ， 当时，达到最大值． 若使随的增大而减小，则需满足． 综上：的取值范围是或． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． (1)求抛物线的解析式； (2)当时，求的最大值与最小值的差； (3)为直线上方抛物线上一动点，连接、、、，设的面积为，的面积为，求的最大值，并求出点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)的最大值为，此时，点 【分析】（1）由的待定系数法即可求解； （2）当时，取得最大值为4，当时，取得最小值为0，即可求解； （3）由，利用坐标与图形性质即可求解． 【详解】（1）解：直线与轴交于点，与轴交于点，则点， 由题意得：，解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时， 当时，取得最大值为4， 当时，取得最小值为0， 故的最大值与最小值的差为； （3）解：由点、的坐标得，直线的表达式为：， 过点作轴交于点， 设点，则点， ，当时取等号， 则的最大值为，此时，点． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数解析式、面积的计算、函数的最值、坐标与图形等知识，熟悉二次函数的图象和性质是解题的关键． 9．已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，由，即可求解； （）由，即可求解； （）证明，则且，求取，进而求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 则， 则抛物线的表达式为：， ∵， 则点； （2）当时，直线的表达式为：，如题干图， 设点，则点， 则， 故的最大值为； （3）过点作于点， ∵，则为等腰直角三角形， 则， 过点作轴的垂线交轴于点，交点和轴的平行线于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 则且， 即且， 解得：， 即点， 设直线的表达式为， 由点的坐标得，， 解得：， ∴直线的表达式为：， 将上式和抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）或， 则． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 10．如图，在直角坐标系中，O为原点，抛物线交y轴于点A，点B，C在此抛物线上，其横坐标分别为m，3m（），连接． (1)当点B与抛物线的顶点重合，求点C的坐标． (2)当与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和． (3)设此抛物线在点B与点C之间部分（包括点B，C）的最高点与最低点的纵坐标之差为（），请直接写出m的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）化成顶点式，求得顶点坐标，即可求得，则的横坐标为，把代入解析式即可求得的纵坐标； （2）利用抛物线的对称性求得，代入解析式求得的纵坐标，进而即可求得点与点的纵坐标的和为：； （3）分三种情况：，则，不合题意；当时，当时，分别根据题意建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：， 顶点为， 点与抛物线的顶点重合， ， ， 把代入得，， 点的坐标为； （2）解：当与轴平行时，则点，的纵坐标相同，两点关于对称轴直线对称， ， ， 点的纵坐标为， 点与点的纵坐标的和为：； （3）解：若，则，与矛盾，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为， 最高点与最低点的纵坐标之差为， ， 解得， ，不合题意； 当时，最高点的纵坐标为，最低点纵坐标为 则， 解得：或（舍去）． 综上所述，的值为． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，解一元二次方程等，熟练运用二次函数的图象和性质是解题关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$