专题01 二次函数拓展之几何篇（优质类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求线段的长． (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 3．如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 类型二、二次函数与等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标． (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式． 【融会贯通】 1．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 类型三、二次函数与直角三角形 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 2．如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． (1)求、、三点的坐标； (2)若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 3．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 类型四、二次函数与全等三角形 【解惑】抛物线与x轴交于点、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．    (1)求点、的坐标； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线经过点和，与y轴交于点C，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点 P、点E的坐标． 类型五、二次函数与平行四边形 【解惑】已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； (3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 类型六、二次函数与菱形 【解惑】如图，二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点． (1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标； (2)点P是直线上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线L的表达式． (2)若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出抛物线的表达式：若不存在，请说明理由． 类型七、二次函数与矩形 【解惑】如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【融会贯通】 1．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． (1)请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）； (2)若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； (3)如图，是抛物线的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 2．如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积； (3)若以P，M，C为顶点的三角形是以为底角的等腰三角形时，求线段的长； (4)已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 类型八、二次函数与正方形 【解惑】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2．已知点和点在抛物线上．    (1)求的值及点的坐标； (2)点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标； (3)将抛物线向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式． 3．如图，抛物线：（b，c为常数），其顶点在正方形内或边上，已知点，，．    (1)若经过点，，求的解析式； (2)设与轴交于点，，当的顶点与点重合时，求线段的值；当顶点在正方形内或边上时，直接写出线段的取值范围 ； (3)若经过正方形的两个顶点，直接写出所有符合条件的的值 ． 类型九、二次函数与等角 【解惑】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，与轴交于点，且  (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 3．二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 类型十、二次函数与倍(半)角 【解惑】如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 2．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．    (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点P，过点P作轴与交于点E，过点P作轴与y轴交于点F，求的最大值和此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【一览众山小】 1．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 4．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为： ．若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则 ； 已知正方形的顶点分别为，，，，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为 ． 5．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      6．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求该抛物线的函数解析式． (2)为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值． (3)点在直线上，将线段沿着轴向上或向下平移，点和点的对应点分别为点和点，为使平移后的线段与抛物线只有一个公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围． 8．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知抛物线与x轴交于和两点，与轴交于点，连结，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点P在第二象限时，连结交x轴于点E，连结． ①当平分时（O为坐标原点）时，求点E的坐标； ②记的面积分别为，若，求点P的坐标； (3)如图2，当点P在第三象限时，过点P作于点M，作交抛物线于点N，当时，求点P的坐标． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数拓展之几何篇思维导图 【类型覆盖】 类型一、二次函数与等腰三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，点，，抛物线交x轴正半轴于点C，连结，． (1)求点C的坐标和直线的表达式； (2)设抛物线分别交边，延长线于点D，E． ①若与相似，求抛物线表达式； ②若是等腰三角形，则a的值为______（请直接写出答案即可）． 【答案】(1)， (2)①；② 【分析】（1）根据对称轴可得点C的坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）①设D的坐标为，根据纵坐标可得，结合题意得，即可求得，代入直线可得点，进一步代入抛物线解析式即可得；②根据点的坐标求得线段的长度，利用勾股定理逆定理判断，设E的坐标为，结合题意得，利用等面积法求得，即可得到点，再代入抛物线即可求得． 【详解】（1）解：∵， ∵O，C两点关于直线对称， ∴， 设直线：， 把，，代入得， 解得， 则； （2）①设D的坐标为，则， 若与相似，则， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴，代入抛物线解析式可得， ∴抛物线解析式为． ②∵，，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，设E的坐标为， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上， ∴， ∴， 又∵在抛物线上， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及二次函数对称轴、待定系数法求一次函数、相似三角形的性质、两点之间的距离、以及勾股定理逆定理，解题的关键是找到利用相似三角形的性质和函数的性质． 【融会贯通】 1．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴的交点，其顶点为C，对称轴为直线． (1)求顶点C的坐标及抛物线的解析式； (2)已知点M为y轴上的一个动点，是否存在点M使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， 顶点C的坐标为 (2)或或或 【分析】本题主要考查了二次函数综合，勾股定理，求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由对称轴为直线，可得抛物线解析式为，据此代入A、B坐标求解即可； （2）设点M的坐标为，则，，，再分当时， 当时， 当时，三种情况建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ∴抛物线解析式为 把点，点代入得 中得， 解得 ∴抛物线解析式为， ∴顶点C的坐标为； （2）解：设点M的坐标为， ∴，，， 当时，则，解得， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或（舍去）， ∴点M的坐标为； 当时，则，解得或， ∴点M的坐标为或； 综上所述，点M的坐标为或或或． 2．如图，关于的二次函数的图象与轴相交于点和点，与轴相交于点．    (1)求二次函数的表达式． (2)求线段的长． (3)在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数，等腰三角形的性质，轴对称的性质等知识，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键． （1）代入和，解方程组即可； （2）令，求出点B的坐标，利用两点间距离公式求解即可； （3）当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①；②；③． 【详解】（1）解：解：把和代入， 解得：，， 二次函数的表达式为：； （2）解：令抛物线，则， 解得或， 根据题意：， ， ； （3）解：， 点在轴上，当为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图，    ①当时，， 又∵， ，； ②当时，， ； ③当时， 此时与重合， ； 综上所述，点的坐标为：或或或． 3．如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或4时，为等腰三角形 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得：， 所以． （2）解：设直线，因为， ∴，解得：， 所以直线， ∴， ∴， 根据题意设有，，，过点作，垂足为点， ∴轴， ∴， ∴； ∴ ∴；； ∴；； 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①当时，有，解得：或5或0，而又，因此． ②当时，有，即，解得：或0，而又，因此． ③当时，有，解得：或0，而又，因此． 综上所述，当或或4时，为等腰三角形． 类型二、二次函数与等腰直角三角形 【解惑】如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求出抛物线L的解析式和顶点坐标． (2)点P是抛物线L对称轴右侧图象上的一点，过点P作x的垂线交x轴于点Q，作抛物线L关于直线对称抛物线，则C关于直线的对称点为，若为等腰直角三角形，求出抛物线的解析式． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的平移问题，求二次函数的解析式： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）设交于点N，根据为等腰直角三角形，可得，设点，可得点P的横坐标为5，由（1）得：原抛物线的对称轴为直线，从而得到新抛物线的顶点坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， ∴抛物线的表达式为：； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为：； （2）解：如图，设交于点N， ∵为等腰直角三角形， ∴， 设点，则 ， 解得：（舍去）或5， 即点P的横坐标为5， 由（1）得：原抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的对称轴为直线， ∴新抛物线的顶点坐标为：， ∴抛物线的解析式为：． 【融会贯通】 1．已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3)过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接，请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F，求出的长，将分成与的面积和，根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长，根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标，进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，，分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． （2）过点P作轴于点H，交于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 （3）设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴，   ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 当时，， 有 解得∶(舍去)，， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了二次函数的待定系数法求解析式和性质、求解二次函数最值、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式和解一元二次方程，解题的关键是分类讨论点所处位置及对应线段长度． 2．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与轴交于点，，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知为抛物线上一点，为抛物线对称轴上一点，以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且，求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，等腰直角三角形等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． （1）待定系数法求解析式即可； （2）求出抛物线的对称轴为直线，设对称轴与轴交于点，过点作于点，证明，设，进而得出点的坐标，代入抛物线解析式，求得的值，当点与点重合时，可得或； 【详解】（1）解：将点，，代入得： ， 解得：， 抛物线解析式为； （2）解：点，， 抛物线的对称轴为直线， 设直线与轴交于点，过点作于点， 当在轴上方时，如图： 以，，为顶点的三角形是等腰直角三角形，且， ， ，， ∴， ，， 设，则，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去）或， ； 当在轴下方时，如图： 同理可得，，， 设，则， 把代入得： ， 解得（舍去）或， ； 当点与点重合时，如图所示， ，是等腰直角三角形，且， ， 此时， 由对称性可得，点也满足条件， 综上所述，或或或； 3．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，直线与轴交于点．动点在抛物线上运动，过点作轴，垂足为点，交直线于点． (1)求抛物线的表达式； (2)当点在线段上时，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，能否使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，最大值为； (3)不存在．理由见解析． 【分析】 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定和性质等知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设，且，求得，，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可； （3）当是以为腰的等腰直角三角形时，则有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：对于直线， 令，则， ∴， 设，且， ∴，， ∴， ∴， ∵，对称轴为直线， ∴时，的值随的增大而增大， ∴当，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴， ∴当是以为腰的等腰直角三角形时，则有， ∴M点纵坐标为， ∴， 解得或， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 当时，则点M和点C重合，不能构成三角形，不符合题意，舍去， 点的坐标为，点的坐标为， 此时，，， ，则不是以为腰的等腰直角三角形， ∴不存在这样的点，使以为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形． 类型三、二次函数与直角三角形 【解惑】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧）． (1)如图①，若抛物线的对称轴为直线，． ①点的坐标为（______，______），点的坐标为（______，______）； ②由①得抛物线的函数表达式为______； (2)将（1）中的抛物线向右平移若干个单位长度，再向下平移若干个单位长度，使平移后的抛物线经过点O，且与轴正半轴交于点，记平移后的抛物线的顶点为，若是直角三角形，则点的坐标为______． 【答案】(1)①，，，0；② (2) 【分析】（1）①根据抛物线的对称轴为直线，得到，； ②利用待定系数法求解即可； （2）根据题意设平移后的抛物线的解析式为：，然后求出点C的坐标是，然后得到是等腰直角三角形，进而得到，解方程求解即可． 【详解】（1）①∵抛物线的对称轴为直线， ∴，； ②将，，代入得， 解得 ∴； （2）∵平移后的抛物线经过点O， ∴设平移后的抛物线的解析式为：， 令，即， 解得，， ∴点C的坐标是， ∵， ∴， ∴， ∵是直角三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，解得：或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，待定系数法求函数解析式，解一元二次方程，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握抛物线的性质． 【融会贯通】 1．如图，抛物线经过，与轴交于点，过点作轴，交抛物线于点，连接、，交轴于点，且． (1)求该抛物线的表达式； (2)点为抛物线对称轴上一点，且位于轴上方，连接、，若是以为直角边的直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数、二次函数与直角三角形综合，解决问题的关键是熟练掌握二次函数性质、用待定系数法确定二次函数的解析式、运用勾股定理解直角三角形． （1）根据，，得到，，对，令，则，得到，则，根据轴，得得到，把，代入，求得，的值，即可求得到抛物线解析式； （2）抛物线解析式并配方为，得到抛物线的对称轴是直线，设，写出，，,根据是以为直角边的直角三角形，分两种情况：当时，；当时，，分别列方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 在中，令，则， ∴，则， ∵轴， ∴； 把点，代入， 得：，解得：， ∴抛物线的表达式为； （2）∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的对称轴是直线， 设，， 则，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴当时，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴（不合题意，舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为 2．如图，已知抛物线与轴交于、两点点在点的左边，与轴交于点，连接． (1)求、、三点的坐标； (2)若点为线段上的一点不与、重合，轴，且交抛物线于点，交轴于点，当线段的长度最大时，求点的坐标； (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上有一点，使得为直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，， (2)点坐标 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）在抛物线解析式中，令可求得点坐标，令y=0则可求得、的坐标； （2）由、的坐标可求得直线的解析式为，则可表示出点坐标，从而可用表示的长，再利用二次函数的性质即可求解； （3）由（2）可知点坐标，设点，则可用分别表示出、及，分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况，分别根据勾股定理可得到关于的方程，可求出的值，可求得点坐标． 【详解】（1）解：对于，令，则， ， 令，则， 解得：，， ，； （2）设的表达式为， 则， 解得， 直线的表达式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，最大， 此时点坐标为； （3）， 抛物线的对称轴为直线， 设，且，， ，，， 为直角三角形， 分点为直角顶点、点为直角顶点和点为直角顶点三种情况， 当点为直角顶点时，则有 即， 解得：， 此时点坐标为； 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：，， 此时点坐标为或， 当点为直角顶点时，则有， 即， 解得：， 此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法函数与坐标轴的交点，三角形的面积，二次函数的性质，勾股定理，方程思想以及分类讨论思想等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 3．如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D． (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，的面积S有最大值 (3)存在，点F的坐标为或或或 【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解； （2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值． （3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，，其对称轴为直线， ∴，解得 ∴． （2）解：设直线的解析式为，则 解得 ∴直线解析式为． 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得 ∴ 过点E作轴，交于点G， 设，则 的面积 ∴ ∴当时，的面积有最大值． 此时，， ∴． （3）解：存在． 设点，则 ； ； ； ①若，则， ∴，解得， ∴； ②若，则， ∴，解得， ∴； ③若，则， ∴， 解得， ∴或 综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键． 类型四、二次函数与全等三角形 【解惑】抛物线与x轴交于点、B两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写n的取值范围； (3)抛物线的对称轴与x轴交于点M，点D坐标为，试问在该抛物线上是否存在点P，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，P的坐标为或 【分析】（1）将A，C两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求n的取值范围； （3）在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点点代入得： ，解得： 故抛物线的表达式为：； （2）令，则或，即点， ∴函数的对称轴为， ∵， ∴该函数有最小值，最小值为，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，n的取值范围； （3）解：在x轴上方的P不存在，点P只可能在x轴的下方， 如下图当点P在对称轴右侧时，点P为点D关于x轴的对称点，此时与全等， 即点； 当点在对称轴左侧时，也满足与全等，此时点和点P关于对称轴对称，与点C重合， 即点； ∵当时，，当时，， ∴点和点都在抛物线上， 故存在点P，使与全等，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到函数表达式的求解、点的对称性、三角形全等等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧），其顶点为，对称轴与轴交于点．    (1)求点、的坐标； (2)连接，点是该二次函数图象第四象限上的动点，过作轴于点，点是轴上一点，是否存在以点、、为顶点的三角形与全等？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)存在，点的坐标为：或 【分析】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，顶点坐标，全等三角形的判定，即可． （1）根据题意，则，求出，的坐标，把换成顶点式，即可得到点的坐标； （2）设点，根据全等三角形的判定，分类讨论：，，即可． 【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于、两点（在的左侧）， ∴， 解得：，， ∴点，； ∵， ∴顶点． （2）存在，理由如下： ∵点在二次函数的对称轴上且交于轴， ∴点， ∵，， ∴，， 设点， ∵过作轴于点，点是轴上一点， ∴点， ∴， ∵以点、、为顶点的三角形与全等， ∴当时，， ∴， 解得：，（舍）， ∴当时，， ∴点； 当时，， ∴， 解得：，（舍）， ∴当时，， ∴点； 综上所述，当点的坐标为：或时，存在以点、、为顶点的三角形与全等． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)已知点在抛物线上，当时，直接写出的取值范围； (3)抛物线的对称轴与轴交于点，点坐标为，试问在该抛物线上是否存在点，使与全等？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）将，两点的坐标代入解析式可得抛物线的解析式； （2）根据二次函数的性质可求的取值范围； （3）在x轴上方的不存在，点只可能在轴的下方，按照题意，分别求解即可． 【详解】（1）解：将、代入抛物线得： ， 解得：， 抛物线的函数解析式为：； （2）令， 解得：或，即、， 抛物线的对称轴为， ∵， ∴当时，， 当时，函数的最小值为顶点纵坐标的值：， 故的取值范围为； （3）存在 到轴的距离为，由图象可知， 则点在轴下方，点到轴的距离为， 当时，， 解得：或， 点的坐标为或． ∵关于x轴对称 ∴与全等， ∵关于抛物线的对称轴对称 ∴与全等 3．如图，抛物线经过点和，与y轴交于点C，它的对称轴为直线． (1)求该抛物线的表达式； (2)P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点，要使以P，D，E为顶点的三角形与全等，求满足条件的点 P、点E的坐标． 【答案】(1) (2)点或，点或 【分析】（1）由题意，利用待定系数法解答； （2）分别解得A、B、C的坐标，抛物线的对称轴，推理出当时，以为顶点的三角形与全等，据此再分两种情况讨论：当点P在抛物线对称轴的右（或左）侧时解答即可． 【详解】（1）解：将点和代入抛物线中， ， ； （2）令，则 令 抛物线的对称轴为直线，且， 当时，以为顶点的三角形与全等，如图， 设 当点P在抛物线对称轴的右侧时， 或 当点P在抛物线对称轴的左侧时， 由抛物线的对称性得，此时点E的坐标同上， 综上所述，点或，点或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是根据题意推出两个三角形全等的条件，掌握待定系数法、二次函数的对称性及坐标轴上点的特征，充分利用数形结合与分类讨论的思想方法解题． 类型五、二次函数与平行四边形 【解惑】已知抛物线与x轴交于两点，顶点为P，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式及点P的坐标． (2)将这条抛物线平移，使斜平移后的抛物线经过点Q，交y轴于点E． 若点Q恰好在原抛物线上，是否存在以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出符合条件的点Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质，两点中点坐标公式，求二次函数解析式等等： （1）先利用待定系数法求出函数解析式，再把解析式化为顶点式即可求出点P的坐标； （2）先求出点A的坐标，设，，再分当为对角线时，当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：， 解得， ∴抛物线解析式为， ∴抛物线顶点P的坐标为； （2）解：在中，当， 解得或， ∴， 设，， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 当为对角线，由平行四边形对角线中点坐标相同可得， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； 综上所述，存在点Q的坐标为或使得以为边、且以A、P、Q、E四点为顶点的四边形是平行四边形． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于，两点，过点A的直线l交抛物线于点. (1)求抛物线的解析式； (2)点D为x轴上一点，在抛物线上是否存在一点F，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，理由见解析，满足条件的点F的坐标为或或 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质， （1）将，代入，得，进行计算即可得； （2）在中，当时，，则点C的坐标为，设抛物线与y轴的交点为K，由题意，得，根据得轴，①当点F在x轴下方时，易知；②当点F在x轴上方时，令，得，进行计算即可得； 掌握二次函数的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）存在，理由如下： 解：在中，当时，， 点C的坐标为， 如图，设抛物线与y轴的交点为K， 由题意，得， ∵， 轴. ①当点F在x轴下方时，易知； ②当点F在x轴上方时，令，得， ， 解得， ，. 综上所述，满足条件的点F的坐标为或或． 2．如图，已知抛物线与x轴交于，两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第四象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点D作轴于点F，交直线于点E，连接，若，求出点D的坐标； (3)若P为x轴上一动点，Q为抛物线上一动点，是否存在点P、Q，使得以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)点的坐标为 (3)存在，P的坐标为、、、 【分析】（1）因为经过，两点，所以，再代，即可作答． （2）先把、代入，并解出直线BC的解析式为，因为，所以，解得，得，即可作答． （3）结合平行四边形的性质，要进行分类讨论，即①当为对角线；②当为对角线；③当为对角线，然后列出方程组解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设抛物线为， 经过，两点， ， 把代入得：， ， 抛物线的解析式为． （2）解：设直线的解析式为， 把、代入得： 直线的解析式为， 设，则，， ，， ， ， ， 解得（不符合，舍去），， 经检验：是方程的解 把代入，解得 点的坐标为． （3）解：存在，过程如下： 依题意，设，且，， ∵以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形 ∴①当为对角线时，则 ， ； ②当为对角线时，则 ， ，； ③当为对角线时，则 ， ． 综上所述，P的坐标为、、、． 【点睛】本题考查了二次函数的几何综合，平行四边形的性质，二次函数与一次函数的解析式、二次函数与一次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．如图，二次函数图象的顶点为坐标原点，且经过点，一次函数的图象经过点和点，一次函数图象与轴相交于点． (1)求二次函数与一次函数的解析式； (2)如果点在线段上（不与重合），与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，，求点的坐标； (3)当点在直线上的一个动点时，与轴平行的直线与二次函数图象相交于点，以点、为顶点的四边形能成为平行四边形吗？请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)能成为平行四边形，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．平行四边形的性质以及一元二次方程的解法． （1）利用待定系数分别求出二次函数与一次函数的解析式； （2）由轴，，得到，则，设点的坐标为，那么点的坐标为，因此列方程，解方程得到，即可得到点坐标； （3）由，若，以点为顶点的四边形为平行四边形；分类讨论：①当点在点上方，②当点在下方，分别求解即可得到点坐标． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，把代入得， 二次函数的解析式为； 设一次函数的解析式为， 把分别代入得，， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：轴， ， ， ， ，即， 设点的坐标为，那么点的坐标为， ，， 又直线与轴交于点， 当时， 点的坐标为，， ， 解得（不合题意，舍去），， 点的坐标为； （3）解：以点为顶点的四边形能成为平行四边形． 理由如下： 若，则以点为顶点的四边形为平行四边形， ①当点在点上方，， 得（舍去），， （2）当点在下方，，得． 当，； 当，． 所以点的坐标为：或或． 类型六、二次函数与菱形 【解惑】如图，二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点． (1)求该二次函数的解析式及其图象的顶点坐标； (2)点P是直线上方的抛物线上任意一点，点P关于y轴的对称点记作点，当四边形为菱形时，求点P的坐标 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可求解； （2）根据四边形为菱形，可得， 从而得到点P的纵坐标，即可求解． 【详解】（1）解： 二次函数的图象经过点，与x轴点． ，解得：， ∴抛物线的解析式为； ∵， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：如图， 连接交于点K， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， 解得： 点P是直线上方的抛物线上任意一点， ，即 ． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为（4，0），与y轴交于C（0，﹣4）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点． （1）求这个二次函数的表达式； （2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x2-3x-4；（2）存在，P点的坐标为（，-2）． 【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值； （2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标． 【详解】解：（1）将B、C两点的坐标代入得 ，解得：， 所以二次函数的表达式为：y=x2-3x-4； （2）存在点P，使四边形POP′C为菱形； 设P点坐标为（x，x2-3x-4）， 若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO； 如图，连接PP′，PP′交CO于E，则PE⊥CO于E， ∵C（0，-4）， ∴CO=4， 又∵OE=EC， ∴OE=EC=2， ∴y=-2； ∴x2-3x-4=-2，即x2-3x-2=0， 解得：x1=，x2==（不合题意，舍去）， ∴P点的坐标为（，-2）． 【点睛】本题考查了二次函数解析式的确定、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的对角线互相垂直，菱形的四条边都相等． 2．如图，抛物线 与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接． (1)求出直线，的函数表达式． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线的函数表达式为，直线的函数表达式为 (2)存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 【分析】本题考查了二次函数图形的性质、一次函数图形的性质、菱形的性质，熟练掌握菱形的性质和待定系数法是解题的关键． （1）分别令即可求出三点的坐标；根据三点的坐标求直线的函数表达式即可； （2）根据直线的表达式设点，然后分为四边形是菱形和四边形是菱形两种情况分别讨论即可． 【详解】（1）解：当时 ， 故点 当时，有 解得： 设直线的表达式为：； 将代入得： ， 解得： 故直线的表达式为： ； 同理可得：直线的表达式为：； （2）解：①存在：设点D的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向左移动2各单位长度，向下移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴， 解得：，（舍去）， ∴点D的坐标为， ∵点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E， ∴点E的坐标为； 综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为或； 3．已知抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点． (1)求抛物线L的表达式． (2)若点P是直线上的一动点，将抛物线L平移得到抛物线，点B的对应点为Q，是否存在以A、B、P、Q四个点为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，求出抛物线的表达式：若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据已知条件画出符合题意的图形，利用等腰直角三角形的性质和菱形的性质确定平移方式，再根据函数的平移规律“上加下减，左加右减”即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． 抛物线L的表达式为； （2）解：存在以四个点为顶点的四边形是菱形．理由： 点，点， ， 如图，当四边形为菱形时， ， ， 四边形为菱形， ， ， 四边形为正方形， ， ， 此时，抛物线的平移方式为：先将抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位， ∵ ∴抛物线的表达式为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数图象的性质，二次函数图象上点的坐标的特征，一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，抛物线的平移，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 类型七、二次函数与矩形 【解惑】如图，平面直角坐标系中，抛物线过原点，与轴正半轴交于另一点，且经过点． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为，以为对角线作矩形，垂直于轴， ①当抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升时，直接写出的取值范围； ②当矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4时，求的值； ③如图3，抛物线的顶点为点，点是轴下方、抛物线对称轴上一点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①，且；②或或；③ 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①首先得到，抛物线开口向下，对称轴为，当时，y随x的增大而增大，进而求解即可； ②根据题意分点M的纵坐标为和点M的纵坐标为两种情况讨论分别代入抛物线表达式求解即可； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，根据，得，，求出直线解析式，然后把点Q的坐标代入即可求解． 【详解】（1）∵抛物线过原点， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）①∵抛物线； ∴抛物线开口向下，对称轴为 ∴当时，y随x的增大而增大， ∵是抛物线上一点（不与点重合），其横坐标为， ∴当，且时，抛物线在矩形内部的图象从左到右逐渐上升； ②∵，矩形内部的图象（包括边界）的最高点纵坐标与最低点的纵坐标之差为4 ∴当点M的纵坐标为时， ∴ 解得； 当点M的纵坐标为时， ∴ 解得， 综上所述，或或； ③过点A作交的延长线于点Q，过点Q作轴于点H，令交x轴于点M，顶点，    解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴ ， ∴，， 令点，则， ∴， 设直线解析式为，则， 解得， ∴， 将点Q代入可得：， 解得：， ∵点P在y轴下方， ∴， ∴， ∴P点的坐标为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，数形结合是解答本题的关键． 【融会贯通】 1．如果一条抛物线与轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”． (1)请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）； (2)若抛物线的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求的值； (3)如图，是抛物线的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点为对称中心的矩形？若存在，求出过三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)等腰三角形 (2) (3)存在，抛物线的解析式为，理由见详解 【分析】（1）根据抛物线的对称轴，两交点中点所在直线的关系可得，抛物线对称轴为两交连线的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解； （2）根据材料提示的“抛物线三角形”的定义，可得抛物线的顶点坐标，结合等腰直角三角形的性质可得，由此即可求解； （3）如图所示，作与关于原点成中心对称，根据矩形的判定和性质可得，当时，平行四边形是矩形，可得是等边三角形，作，根据含角的直角三角形的正切值的计算可得，结合（2）中抛物线的性质可得，可求出的坐标，运用待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线与轴交于，， ∴的中点坐标的横坐标为，且， ∴设中点坐标为， ∴中点所在直线为， ∵顶点坐标的横坐标为，设顶点为， ∴两交点的中点所在直线与对称轴是同一条直线， ∴对称轴是两交点连线的垂直平分线， ∴，， ∴“抛物线三角形”的是等腰三角形； （2）解：抛物线 ∴顶点坐标为， ∴， 解得，； （3）解：存在，理由如下， 如图所示，作与关于原点成中心对称，连接，则四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是矩形， ∵， ∴是等边三角形， ∴， 作于点， ∴，则， 由（2）可知，抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得，， ∴，， ∴，， 设过点的抛物线的解析式为， ∴， 解得，， ∴所求抛物线的解析式为． 【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，特殊角正切值的计算，特殊四边形的判定和性质，掌握二次函数图象与几何形的综合运用技巧，特殊四边形判定和性质等知识是解题的关键． 2．如图1，抛物线和直线交于A，两点，过点作直线轴于点． (1)求的度数． (2)如图2，点从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点运动，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段向点A运动，点，同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为秒．以为边作矩形，使点在直线上． ①当为何值时，矩形的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当为何值时，恰好有矩形的顶点落在抛物线上． 【答案】(1) (2)①当时，矩形的面积最小： ；②、或2. 【分析】本题属于二次函数的综合应用，主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题、相似三角形的判定和性质、矩形的性质、二次函数求最值等知识点，掌握数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． （1）设直线与轴交于点，然后确定点 、，进而说明是等腰直角三角形，最后根据等腰直角三角形的性质即可解答； （2）①如图，过点作轴于点，根据题意可得、、，再联立和可得，秒时点坐标为、点坐标为，即；再证明可得，即,进而得到再结合可得，然后根据二次函数的性质即可解答；②由（1）点坐标为、、；由①证得可得，进而说明 、，然后讨论M、N、Q的位置情况并分别求出t值即可． 【详解】（1）解：设直线与轴交于点， 当时，， ， 当时，， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； （2）解：①如图，过点作轴于点，   ，点速度为每秒个单位长度，点的速度为每秒2个单位长度， ，，， 联立和可得， ，， 秒时点坐标为，点坐标为， ， 矩形， ， ，， ， 又， ， ， 矩形的面积， ， ， 当时， 矩形的面积最小：； ②当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 由（1）点坐标为，，， ， ， ， 点坐标为， 矩形对边平行且相等，，，， 点坐标为， 当在抛物线上时，则有，解得：， 当点到时，在抛物线上，此时， 当在抛物线上时，，重合： ，解得：， 综上所述，当、或2时，矩形的顶点落在抛物线上． 3．如图，已知抛物线与x轴交于点A，（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线，P是第一象限内抛物线上一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)过点P作轴，与线段交于点M，垂足为点H，若时，求的面积； (3)若以P，M，C为顶点的三角形是以为底角的等腰三角形时，求线段的长； (4)已知点Q是直线PC上一点，在（3）的条件下，直线上是否存在一点K，使得以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点K的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）先求出点坐标，进而求出直线的解析式，设，则：，根据列出方程，求出的值，进而求出点坐标，分割法求出三角形的面积即可； （3）分和两种情况，进行讨论求解； （4）求出直线的解析式，设，利用平移思想求出点坐标，进而求出点坐标，再验证即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴，解得：， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∵图象过点，对称轴为直线， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∵， ∴，即：， 解得：或（舍去）； ∴， ∴， ∴； （3）设，则：， ∴， ①当时，过点作，则， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 解得：（舍去）或； ∴； ②当时，过点作，则：， ∵， ∴， 解得：（不合题意，舍去）； 故； （4）存在： 由（3）可知：，， 设直线的解析式为，把代入得：， ∴， 设， 若以Q，M，C，K为顶点的四边形是矩形，只能是四边形为矩形， ∴， ∵点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴将点先向右平移个单位，再向下平移个单位，得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 则四边形为矩形，满足题意； 故． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及求二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． 类型八、二次函数与正方形 【解惑】如图，已知抛物线的对称轴为直线，且与y轴的交点坐标为，直线l与x轴相交于点C．    (1)求该抛物线的表达式； (2)如图，点P是该抛物线对称轴右侧图象上一动点，过点P作轴，，垂足分别为A，B．设点P的横坐标为m．当四边形为正方形时，求m的值． 【答案】(1) (2)0或1 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）根据题意可得，再由正方形的性质可得，从而得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵直线与x轴相交于点C． ∴点， ∵轴，，垂足分别为A，B．点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 解得：（舍去）或或（舍去）或， 综上所述，m的值为0或1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的的综合题，涉及了求二次函数的解析式，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于、两点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点N在坐标平面内，请问在抛物线上是否存在点M，过点M作x轴的垂线交x轴于点H，使得四边形是正方形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在的坐标为或时，使得四边形是正方形 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象及性质、二次函数综合问题． （1）利用将、代入，利用待定系数法即可求解； （2）由题意，设，四边形是正方形，可知，得则，分两种情况：当时，当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，将、代入， 得：，解得：， ∴抛物线的函数表达式为； （2）存在的坐标为或时，使得四边形是正方形，理由如下： 由题意，设， ∵，四边形是正方形，轴，则， ∴， 则， 即：， 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 当时， 解得：，（舍去）， 则，即； 综上，存在的坐标为或时，使得四边形是正方形． 2．已知点和点在抛物线上．    (1)求的值及点的坐标； (2)点在轴上，且是以为直角边的三角形，求点的坐标； (3)将抛物线向右并向下平移，记平移后点的对应点为，点的对应点为，若四边形为正方形，求此时抛物线的表达式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了二次函数图像上点的特征、一次函数，学会待定系数法确定函数解析式，两条垂直的直线，的乘积为是解答本题的关键． （1）把点代入，得到，再把点代入抛物线解析式即可解决问题． （2）求出直线解析式，再分别求出过点垂直于的直线的解析式，过点垂直于直线的解析式，可解决问题． （3）先求出点坐标，确定是如何平移的，再确定抛物线顶点的坐标即可解决问题． 【详解】（1）解：把点代入，得到， 抛物线为， 时，， 点坐标， ，点坐标． （2）设直线为， 则有，解得， 直线为， 过点垂直的直线为，与轴交于点， 过点垂直的直线为，与y轴交于点， 点在轴上，且是以为直角边的三角形时， 点P坐标为或． （3）如图，四边形是正方形，过点作轴的垂线，过点、点作轴的垂线得到点、．   直线解析式为， ，都是等腰直角三角形， ， ， 点坐标为， 点到点是向右平移个单位，向下平移个单位得到， 抛物线的顶点，向右平移个单位，向下平移个单位得到， 此时抛物线为． 3．如图，抛物线：（b，c为常数），其顶点在正方形内或边上，已知点，，．    (1)若经过点，，求的解析式； (2)设与轴交于点，，当的顶点与点重合时，求线段的值；当顶点在正方形内或边上时，直接写出线段的取值范围 ； (3)若经过正方形的两个顶点，直接写出所有符合条件的的值 ． 【答案】(1) (2) (3)或1或 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）求出，，则，进而求解． （3）若经过正方形的两个顶点，则可能经过、；、；、，当抛物线过点、时，将点、的坐标代入抛物线表达式即可求解；当抛物线过点、或过点、时，同理可解． 【详解】（1）解：把，代入解析式可得： ， 解得， 的解析式为：． （2）从图上看，点的横坐标和点的横坐标相同，其纵坐标和点的纵坐标相同， 故点的坐标为， 当的顶点与点重合时，顶点的坐标为， 抛物线解析式为， 把代入得：， 解得，， 即，， 则； 当点的坐标为时， 抛物线解析式为， 解得：，， 即，， ； 点过顶点时，最大，点过顶点时，最小， 当顶点在正方形内或边上时，， 故答案为：； （3）若经过正方形的两个顶点，则可能经过、；、；、， 由于顶点在正方形内或边上，故不可能经过、， 当抛物线过点、时， 将点、的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得， 即； 当抛物线过点、时，同理可得； 当抛物线过点、时，同理可得， 故答案为：或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、正方形的性质等，其中小题要注意分类求解，避免遗漏． 类型九、二次函数与等角 【解惑】如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D是的中点，点P是抛物线上的一个动点． (1)求该抛物线的表达式． (2)当时，求点P的坐标． (3)如图2，过点P作直线的垂线，垂足为M．以为对角线作正方形，当点Q落在抛物线的对称轴上时，请写出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或； (3)P的横坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的表达式为； （2）分两种情况：①当在轴下方时，设交轴于，求出，直线解析式为，由，知，可得直线解析式为，联立，即可解得；②当在轴上方时，交轴于，可知与关于轴对称，从而可得，直线解析式为，联立，可解得； （3）分两种情况：①当在对称轴左侧时，延长交轴于，求得抛物线对称轴为直线，证明，即轴，知直线，故当在直线上时，也在直线上，求得，；设，得，即可解得此时的横坐标为；②当在对称轴右侧时，同理可知，；设，有，可解得此时的横坐标为． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得：， 抛物线的表达式为； （2）解：①当在轴下方时，设交轴于，如图： 点是的中点，， ， 设直线解析式为 把，代入 ∴ 得直线解析式为， ， ， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得， 直线解析式为， 联立， 解得或； ； ②当在轴上方时，交轴于，如图， ， ∴与关于轴对称， 由①知直线解析式为， ， ， 由，得直线解析式为， 联立， 解得或， ； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：当在对称轴左侧时，延长交轴于，如图： 由可得抛物线对称轴为直线， ，， ，直线解析式为， ， ， ， 四边形为正方形， ， ， ， ，即轴， 抛物线对称轴直线垂直轴， 直线， 当在直线上时，也在直线上， 如图： 由得， ，； 设，则，， ， ， 解得（舍去）或， 此时的横坐标为； ②当在对称轴右侧时，如图： 同理可知，； 设，则，， ， ， 解得或（舍去）， 此时的横坐标为； 综上所述，的横坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，一次函数的性质，涉及待定系数法，梯形的面积，正方形，公式法解一元二次方程等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 【融会贯通】 1．如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、两点点在点的左侧，与轴交于点，且  (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限的抛物线上一点，且满足，求点的坐标； (3)如图，点为第四象限的抛物线上一点，直线交轴于点，过点作直线，交轴于点，当点运动时，线段的长度是否会变化？若不变，求其值；若变化，求变化范围． 【答案】(1)； (2)； (3)线段的长度不会改变，长度为12． 【分析】（1）将代入中，得，令，即，求出点的坐标，进而求出的值； （2）当点在第一象限抛物线上时，时，过点作，，，设，，，在中，，可得，则，求出直线解析式为，则，由在抛物线上，可得，求出的值，即可求解； （3）设，分别求出直线、直线的解析式，根据可得的解析式，可得出、的坐标，即可得线段的长度． 【详解】（1）解：由图象，可知， 将代入中，得， 点， ， 令，即， 解得，， 点A在点B的左侧， 点，， ， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，当点在第一象限抛物线上时，，过点A作于，   ， ， ， ， ， ， ， 设，，， 在中，， ， 解得或（负值不合题意，舍去）， ∴， 直线解析式为， 在抛物线上， ，解得（不合题意，舍去）或4， ； （3）解：设， ， 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 同理得：直线的解析式为， ∵， 设的解析式为， ， ，解得， 的解析式为， ， 线段的长度为， 线段的长度不会改变，线段的长度为12． 【点睛】本题是二次函数综合题．考查了运用待定系数法求直线及抛物线的解析式、三角形的面积、勾股定理、求直线与抛物线的交点坐标等知识，掌握数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； (3)如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)相等，理由见解析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 【详解】（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 3．二次函数的图象与x轴相交于点和点，与y轴相交于点C，顶点为点D． (1)求该二次函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴l交x轴于点E，点P是线段上的一个动点（不与点E重合），连接，作交x轴于点，求k的取值范围； (3)连接、，点M、N分别在线段、上（均含端点），且，若是等腰三角形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为或或 【分析】（）由待定系数法即可求解； （）由,得 在 中,根据( 列方程即可得到根据a的取值范围即可求出的取值范围; （3）证明，并求出的取值范围，分①若；②若 ；③若 ；三种情况讨论，结合等腰三角形的性质即可求出点的坐标. 【详解】（1）由题意得: 解得：， 则抛物线的表达式为：， （2）由抛物线的表达式知，点的坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 由点在线段上，设点的坐标为，则， ， ， ， ， 在中, ， ， 整理得 ， ∴当时, 取得最大值； 当 时，取得最小值； ； （3）由抛物线对称性可得, , ∵, ∴, 把代入； 解得 ∴点的坐标为, 设点的坐标为, ∵点在线段上 (含端点) , ∴, ①若, 则, ∵, ∴, 得点与点重合，则点与点重合， ∴点的坐标为； ②若, 则, ∵, ∴, ∴, 即 解得：， ∴点的坐标为； ③若, 则, ∵是的外角, ∴, ∵, ∴, ∵ ∴, ∴, ， 解得： ∴点的坐标为 ； 综上所述，若是等腰三角形，则点的坐标为或或 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理，等腰三角形的额性质与判定，二次函数与等腰三角形的存在性问题，本题的关键是把握题目等腰三角形的条件，利用分类讨论思想解决问题. 类型十、二次函数与倍(半)角 【解惑】如图1，抛物线与x轴相交于A、B两点，交y轴于点 C，点D在抛物线上，且点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，P为第一象限点D右侧抛物线上一点，设点P的横坐标为m，连接、，的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出m的取值范围）； (3)如图2，在（2）的条件下，过点P作轴于E，连接，并延长交于点F，若，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将将代入即可求解； （2）利用即可求解； （3）连接并延长交、于、,利用，证，得出，过点作，交轴于点，先证，再证，得，求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：， 则抛物线的解析式为：； （2）由点的横坐标为m， 则点坐标为， 当时， 解得：，， 即，， 则， 则， 即； （3）连接并延长交、于、， ∵，， ∴轴， ∵轴， ∴，， ∴四边形为矩形， ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作，交轴于点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍）， 代入，得：， 故． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及待定系数法，二次函数与三角形面积，三角形全等的判定与性质，一元二次方程，矩形的判定与性质，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【融会贯通】 1．如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴正半轴交于点C． (1)直接写出抛物线的解析式为：__________； (2)如图1，连接，D为x轴上方抛物线上的点，且满足，求D点坐标； (3)如图2，M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点，N为抛物线上另一点，分别连接、、，且，抛物线对称轴为直线l，线段、与直线l分别交于点P、Q，延长交直线l于点R，若满足，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）直接由待定系数法求解析式即可； （2）设，分类讨论，当时，由，建立关于m的方程并求解即可；当时，由，建立关于m的方程并求解即可； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F，设直线的直线解析式为：，求出P点坐标，联立并求出点坐标，由等腰三角形的性质和中点坐标公式求出E点坐标，利用待定系数法求出的解析式，并求出Q点坐标，进而求出，联立求出N点坐标，利用待定系数法求出的解析式，求出R坐标，进而求出，再根据，建立关于k的方程，解方程求解即可； 【详解】（1）把和代入得， ，解得：， 抛物线的解析式为， 故答案为：； （2）设， 当时，， ， ， 当时，如图， ， ， 解得，（舍）， ， ， 当时，如图， ， ， 解得（舍），， ， ， 综上所述，或； （3）延长交x轴于E，过M作轴于F， 抛物线的解析式为， 对称轴为直线， 设直线的直线解析式为：， 把代入得，， 直线的直线解析式为：， 当时，， ， 联立， 得 ，即， 解得， 当时，， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， 把，，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， 联立，得，即， 解得， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， ，解得， 直线的解析式为， 当时，， ， ， ， ， 解得：或， M为对称轴右侧第一象限内抛物线上一点， ， ， 直线的解析式为：； 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数的解析式，面积问题，角度问题，等腰三角形的性质和判定，中点坐标公式等知识点；解题的关键是分割法求面积，根据，建立关于k的方程； 2．综合与探究： 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点C，抛物线经过A，C两点且与x轴的正半轴交于点B．    (1)求k的值及抛物线的解析式． (2)如图1，若点D为直线上方抛物线上一动点，当时，求D点的坐标； (3)如图2，若是线段的上一个动点，过点作直线垂直于轴交直线和抛物线分别于点、，连接．设点的横坐标为． ①当为何值时，线段有最大值，并写出最大值为多少； ②是否存在以，，为顶点的三角形与相似，若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的坐标为 (3)①当时，线段有最大值为4；②存在，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）将点的坐标直接代入直线解析式可得出的值；再求出点的坐标，将，的坐标代入抛物线解析式，即可得出结论； （2）由（1）可得，则，所以，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，则，设，可表达点的坐标，代入抛物线的解析式即可得出结论； （3）①由点，坐标可得出直线的解析式，由此可表达点，的坐标，进而表达的长度，结合二次函数的性质可得出结论； ②根据题意需要分两种情况，当时，当时，分别求出的值即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点， ， ， 直线的表达式为； 当时，， 点的坐标为， 将点的坐标为，点的坐标为，代入， 得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作轴交抛物线于点，过点作的垂线，垂足为，   轴， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ∴的坐标为， 将点的坐标代入解析式可得，， 解得或（舍去） ∴的坐标为； （3）解：①由（1）可知，直线的解析式为：， 点的横坐标为， 点的坐标为，点的坐标为， 设线段的长度为， 则 ， 当时，线段有最大值为4； ②存在，理由如下： 由图形可知， 若与相似，则需要分两种情况， 当时，由（2）可知，，此时； 当时，过点作轴交抛物线于点，    令， 解得（舍或， 即此时 综上，当的值为或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查的是待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、相似三角形的判定与性质，解题的关键是第（3）问中需分两种情况讨论． 3．如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点，作直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，已知直线上方抛物线上有一点P，过点P作轴与交于点E，过点P作轴与y轴交于点F，求的最大值和此时点P的坐标； (3)如图2，将原抛物线向下平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与y轴交于点D，已知点M为新抛物线上的一点，且，请直接写出所有符合条件的点M的横坐标． 【答案】(1) (2)的最大值为，此时点P的坐标为 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，则，求出直线的解析式，则，则，利用二次函数的性质求出的最大值，即可得出的最大值和此时点P的坐标； （3）分点M在直线上方和下方两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：设点，则， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：原抛物线的解析式为， 新抛物线的解析式为， 令，则， ， 当点在直线上方时，如图，连接，过点作轴的垂线，交新抛物线于点H，过点M作轴的平行线，交直线于点G，交直线于点T，过点M作，垂足为， ，， ， 平分， ， ， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 设点，则， ，， ，， ， ， ， 解得：或（舍去） ； 当点在直线下方时，如图，连接，过点作轴的垂线，交新抛物线于点H，连接，过点H作轴的垂线，垂足为，交于点Q，连接并延长交新抛物线于点W， 令，则, 解得：或， 根据题意，得，则， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 点M在直线上，即两点重合， 设直线的解析式为，则， ， 直线的解析式为， 联立直线与新抛物线得， 解得：或（舍去）， ； 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、坐标与图形、平移性质、等腰三角形的性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合和转化思想求解是解答的关键． 【一览众山小】 1．如图，已知抛物线过点与x轴交点的横坐标分别为，，且，，则下列结论： ①； ②方程有两个不相等的实数根； ③； ④； ⑤．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键；由当时，，可判断①，由函数的最小值，可判断②，由抛物线的对称轴为直线，且，可判断③，由时，，当时，，可判断④，由根与系数的关系可判断⑤； 【详解】解：①抛物线开口向上，，， ∴当时，，故①不符合题意； ②∵抛物线过点， ∴函数的最小值， ∴有两个不相等的实数根； ∴方程有两个不相等的实数根；故②符合题意； ③∵，， ∴抛物线的对称轴为直线，且， ∴，而， ∴， ∴，故③不符合题意； ④∵抛物线过点， ∴， ∵时，， 即， 当时，， ∴， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤∵，， ∴， 由根与系数的关系可得：，， ∴ ∴， ∴，故⑤符合题意； 故选：C． 2．如图，正方形的顶点，在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为（），下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．依据题意，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点，先证明．可得，．点、的横坐标分别为、，可得，．，，，设，则，，，，，．再由，进而可以求解判断即可． 【详解】解：如图，连接、交于点，过点作轴于点，过点作于点， 四边形是正方形， 、互相平分，，， ，， ． ，， ． ，． 点、的横坐标分别为、， ，． ，，， 设，则，， ，，，． 又，， ，． ． ． ． 点、在轴的同侧，且点在点的右侧， ． ． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，抛物线（a，b，c为常数，且）经过和两点．已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，则a的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，构建不等式解决问题． 由，得，，则其顶点坐标为，可知当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，分两种情况：当顶点在线段上方时，当顶点在线段上时，分别讨论即可求解． 【详解】解：将，代入中， 得，解得：， ∴，，则其顶点坐标为， 当时，，当时，， 当时，随增大而增大，当时，随增大而减小， 当顶点在线段上方时，，即：， ∵当时，随增大而减小， ∴此时，抛物线与线段有一个交点， 即：在上方，在下方， ∴，可得； 当顶点在线段上时，，可得； 综上：或． 故答案为：或． 4．定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点P，作该函数图象中，点P及点P右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点P及点P右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数”．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数”的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数”的解析式为： ．若函数关于直线的“迭代函数”图象经过，则 ； 已知正方形的顶点分别为，，，，函数关于直线的“迭代函数”的图象与正方形有4个公共点，则n的取值范围为 ． 【答案】 或或 【分析】本题考查二次函数及反比例函数的综合应用；理解并运用新定义“迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．根据题意可得，关于直线的对称点在原抛物线上，代入即可得出的值；根据题意，作出此“迭代函数”，结合图象可得出结论． 【详解】解：根据题意可得，关于直线的对称点在原抛物线上， ∴，解得； 如图3﹣1，当时，此迭代函数与正方形有5个交点， 如图3﹣2时，当时，此迭代函数与正方形有4个交点，符合条件； 如图3﹣3时，当时，此迭代函数与正方形有4个交点，符合题意； 当时，此迭代函数与正方形有3个交点，其中一个交点坐标为； 如图3﹣4，当时，此迭代函数过点D，迭代函数与正方形有5个交点， 当时，迭代函数与正方形有5个交点，符合题意； 故答案为：；或或 5．如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当的值最小时，点C的坐标为 ．      【答案】 【分析】在y轴上取点，证明四边形是平行四边形，得出，利用抛物线的对称性得出，则，当E、C、F三点共线时，最小，利用待定系数法求出直线解析式，然后把代入，即可求出C的坐标． 【详解】解：， ∴对称轴为， 如图，设抛物线与x轴另一个交点为F，    当时，， ∴， 当时，， 解得，， ∴，， 在y轴上取点，连接，，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵抛物线对称轴为， ∴， ∴， 当E、C、F三点共线时，最小， 设直线解析式为， ∴， 解得， ∴， 当时，， ∴当最小时，C的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，两点之间线段最短等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点顺时针旋转后得到，向右平移4个单位，向上平移2个单位得到．点为的顶点，作直线．点为平面内一动点，将点向上平移两个单位长度得到点，过点作y轴的垂线交直线于点，以、为边构造矩形．设、、的图象为．当矩形与图象有三个公共点时，的取值范围为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的交点，二次函数图象的平移等知识；利用二次函数的性质，分情况利用数形结合的方法分析求解即可． 【详解】解：由题意知，的解析式为，的解析式为； ①当B与原点重合时，，此时矩形不存在； ②当Q在与y轴的交点上时，矩形与图象G有三个公共点，如图： 当时，，即； 故当时，矩形与图象G有三个公共点； ③时，矩形与图象G只有两个公共点，如下图所示； ④由②中可知，当时，矩形与图象G有四个公共点； ⑤如图，当点D在上时，矩形与图象G有三个公共点； 设直线的解析式为，把点A坐标代入得， 即； ∵点Q向上平移两个单位长度得到点B， ， ∴点D的纵坐标为， 即，把点D坐标代入，得：， 解得：（舍去）， ； 即点Q的纵坐标为， 故； ⑥当时，矩形与图象G只有三个公共点，如图； ⑦当时，矩形与图象G只有两个公共点，如图； 综上，当或或时，矩形与图象G有三个公共点． 7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，点的坐标为，点的坐标为．    (1)求该抛物线的函数解析式． (2)为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值． (3)点在直线上，将线段沿着轴向上或向下平移，点和点的对应点分别为点和点，为使平移后的线段与抛物线只有一个公共点，设点的纵坐标为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)面积的最大值为 (3)或； 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数解析式为； （2）过P作轴交于Q，求出直线解析式为，设，则可得，故，根据二次函数性质可得面积的最大值为； （3）先求解，如图，当线段向上平移到落在抛物线时，可得，当平移后的线段与抛物线只有一个公共点，，可得此时，如图，当线段向下平移到与抛物线只有1个交点时，结合根的判别式可得答案； 【详解】（1）解：把代入得：， 解得， ∴抛物线的函数解析式为； （2）解：过P作轴交于Q，如图：    由得直线解析式为， 设，其中，则 ， ， ∵， ∴当时，取最大值， 面积的最大值为； （3）解：∵点在直线上， ∴， ∴， 如图，当线段向上平移到落在抛物线时，    ∴， 当平移后的线段与抛物线只有一个公共点，， ∴此时， 如图，当线段向下平移到与抛物线只有1个交点时，    ∵为，时，而， ∴为：， ∴只有1组解； 整理得：， ∴， 解得：； 综上：与抛物线只有1个交点时，或； 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，平移的性质，二次函数与直线的交点问题，熟练的利用数形结合的方法解题是关键. 8．如图，抛物线与直线相交于两点，与轴相交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上的一个动点（不与重合），过点作直线轴于点，交直线于点，当时，求点坐标； (3)抛物线上是否存在点使的面积等于面积的一半？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）把代入求出，再用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）设，则，，由，可得，解出的值可得的坐标为； （3）过作轴交直线于，求出，知，故，设，则，可得，，根据的面积等于面积的一半，有，可得，即或，解出的值可得答案． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设，则，， ， ， 解得或（此时不在直线上方，舍去）； 的坐标为； （3）解：抛物线上存在点，使的面积等于面积的一半，理由如下： 过作轴交直线于，过点B作，延长交x轴于点F，如图： 在中，令得， 解得或， ，， ， ， ， 设，则， ， ∵ ， 的面积等于面积的一半， ， ， 或， 解得或， 的坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，涉及待定系数法求函数解析式，抛物线与坐标轴交点问题，解一元二次方程，三角形面积等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度． 9．已知抛物线与x轴交于和两点，与轴交于点，连结，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图1，当点P在第二象限时，连结交x轴于点E，连结． ①当平分时（O为坐标原点）时，求点E的坐标； ②记的面积分别为，若，求点P的坐标； (3)如图2，当点P在第三象限时，过点P作于点M，作交抛物线于点N，当时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①，② (3)或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）①设，则，则，即可求解； ②的面积为6，而，则的面积为10，即可求解； （3）设点，，，得到，进而求解． 【详解】（1）由题意得：， 则， 解得：， 即抛物线的表达式为：； （2）①如图，过作于， 平分， ， ， 设， ， ， 解得：， ，； ②连结、，设交轴于点， 的面积为6， 而， 的面积为10， 设点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， 则点，则， 的面积， 解得：（舍去）或， 即点； （3）如图，连结， ， 是等腰直角三角形， 过点作轴的平行线交直线于， 由点、的坐标得，直线的函数表达式为， 设， 直线的函数表达式为， 设点，，， ， ， 设点，，， ， ， ，， ， 解得：或9（舍， ， 解得或， 即点或． 【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． 10．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点在轴上，抛物线经过点两点，且与直线交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点为顶点的四边形是以或边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)P为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接，探究是否存在最小值．若存在，请求出这个最小值及点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 (3)存在，的最小值为， 【分析】（1）由四边形为正方形及点D的坐标，可求得点B的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）由抛物线解析式求出抛物线的对称轴，则可得点E的坐标，从而求得； 分两种情况：①当吋；②当时，设点F坐标为，利用或建立关于a的方程，求出a的值，即可求得点F的坐标； （3）连接，易得四边形BOMP是平行四边形，则，从而有 ，故当的值最小时，则值最小，当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，且由勾股定理可求得的值，即可求得的最小值；再求出的解析式，即可求得它与对称轴的交点M的坐标，从而求得点P的坐标． 【详解】（1）解:四边形为正方形，， ， ， ； 把点B、D坐标代入得：，解得：， 拋物线的解析式为： （2）解：由（1）得，抛物线解析式为， 则抛物线的对称轴为直线， 点与点关于抛物线的对称轴对称， ， ， 设点，当以点为顶点的四边形是以为边的菱形时，则根据菱形的性质可分：①当吋，如图所示： 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； ②当时，如图所示: 由两点距离公式可得，即， 解得:， 点的坐标为或； 综上所述：点的坐标为或或或； （3）解：由题意可得如图所示： 连接， 由(2)可知点D与点关于抛物线的对称轴对称，， ； 过点作抛物线对称轴的垂线，垂足为， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 若使的值为最小，即为最小， ∴当点三点共线时，的值为最小，此时与抛物线对称轴的交点为M，如图所示： ， ， 的最小值为，即的最小值为， 设线段的解折式为，代入点的坐标得：， 线段的解析式为， ， ． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，勾股定理，两点间线段最短等知识，综合性强，注意分类讨论及数形结合． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$