专题01 二次函数（中等类型）-2024-2025学年九年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（浙教版）

专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据二次函数的定义求参 【解惑】若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【融会贯通】 1．若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 2．已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 3．若是二次函数，则 ． 类型二、二次函数与各项系数关系 【解惑】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【融会贯通】 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 2．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 3．已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的结论有 ．（填序号） 类型三、一次函数与二次函数 【解惑】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 2．“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 3．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    类型四、反比例函数与二次函数 【解惑】函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 2．抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    3．如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是 ． 类型五、根据对称的点求对称轴与函数值 【解惑】已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（    ） … … … … A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（    ）    A． B． C．，则 D．若，则 2．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ． 3．已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 类型六、图像法解一元二次方程(不等式) 【解惑】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【融会贯通】 1．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A．1 B．2 C．3 D．4 2．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 3．二次函数 的部分对应值列表如上：则一元二次方程：的解为 ． … 0 1 3 5 … 7 7 类型七、求y=ax²+bx+c的最值 【解惑】当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【融会贯通】 1．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则a的值为（    ） A．1或 B．2或 C．2或 D．或 2．当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ． 3．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过坐标原点O和点，其中． (1)当时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少? (2)当时，在范围内，y是否存在最大值10?若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由． 类型八、二次函数的应用——喷水问题 【解惑】某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米．    x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 【融会贯通】 1．陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 2．为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 3．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． 水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． (1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 类型九、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 【融会贯通】 1．如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 2．根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 3．如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 类型十、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【融会贯通】 1．“人间烟火气，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．青年创业者小王以每件元的价格批发一种玩具，经过一段时间的销售发现，该玩具的每天销售额y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，其中部分对应数据如下表： 销售单价x/元 …… …… 每天销售额y/元 …… …… (1)求y与x之间的函数关系式，并指出销售量随销售单价作怎样的变化； (2)小王认为，当销售额最大时，利润有最大值，请你通过计算判断小王的说法是否正确． 2． 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ (2)要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 3．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【一览众山小】 1．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 2．对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 3．已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 5．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 6．已知二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，则二次函数的图象与的另一个交点的坐标是 ． 7．已知二次函数，是实数，）． (1)若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若该函数图象的对称轴为直线，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，； (3)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围． 8．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．    (1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? (2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 9．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元． 【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表： 第x天 销售量 m/箱 15 【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示． (1)求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式； (2)若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 10．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01二次函数思维导图 【类型覆盖】 类型一、根据二次函数的定义求参 【解惑】若是关于x的二次函数，则a的值是（　　） A．1 B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义等知识点，根据二次函数定义可得且，求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴且， 解得， 故选：B． 【融会贯通】 1．若是二次函数，则a的值是（　　） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得且，即可求解；理解定义：“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数叫做二次函数．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 且， 解得：， 故选：B． 2．已知是关于的二次函数，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴且， 解得． 故答案为：． 3．若是二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解决问题的关键． 根据二次函数的定义得：且，由此即可求出m的值． 【详解】解：是二次函数， 根据二次函数的定义得：且， 由解得：，由解得：， ． 故答案为：． 类型二、二次函数与各项系数关系 【解惑】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③若实数，则；④若，则，其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④. 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， ， 时，， ， ， ，故②正确； ③对称轴为直线，， 最小值， ∵， ∴， ∴， 故③正确； ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：C 【融会贯通】 1．如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤，其中含所有正确结论的选项是（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．③④⑤ 【答案】C 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行分别推理，进而逐项判断即可． 【详解】解：①由抛物线开口向上，则， ∵点B在和之间， ∴， ∴，①错误； ②∵， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线过， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故③错误； ④∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； ⑤∵图象与y轴的交点B在和之间， ∴， ∵， ∴， ∴，故⑤正确． 故选：C． 2．如图，抛物线的顶点的坐标为，与轴的一个交点位于0和1之间，则以下结论：①；②；③若抛物线经过点，则；④若关于的一元二次方程无实数根，则．其中正确结论是 （请填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根的判别式，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质．①利用抛物线的顶点坐标和开口方向即可判断；②利用抛物线的对称轴求出，根据图象可得当时，，即可判断；③利用抛物线的对称轴，设两点横坐标与对称轴的距离为，求出距离，根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大，即可判断；④根据图象即可判断． 【详解】解：①∵抛物线的顶点的坐标为， ∴， ∴，即， 由图可知，抛物线开口方向向下，即， ∴， 当时，， ∴，故①正确，符合题意； ②∵直线是抛物线的对称轴， ∴， ∴， ∴ 由图象可得：当时，， ∴，即，故②正确，符合题意； ③∵直线是抛物线的对称轴， 设两点横坐标与对称轴的距离为， 则，， ∴， 根据图象可得，距离对称轴越近的点的函数值越大， ∴，故③错误，不符合题意； ④如图， ∵关于x的一元二次方程无实数根， ∴，故④正确，符合题意． 故答案为：①②④ 3．已知二次函数图像的一部分如图所示，该函数图像经过点，对称轴为直线，对于下列结论：①；②；③多项式可因式分解为；④无论为何值时，代数式的值一定不大于．其中正确的结论有 ．（填序号） 【答案】①④/④① 【分析】先根据图像的开口方向和对称轴可判断①；由抛物线的对称轴为可得抛物线与x轴的另一个交点为，由此可判断②；根据抛物线与x轴的两个交点坐标可判断③；根据函数的对称轴为可知时y有最大值，由此可判断④． 本题主要考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数图像和系数的关系． 【详解】∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴结论①正确； ∵抛物线与x轴的一个交点为，且对称轴为直线， 由，得， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 即当时，， ∴， ∴， ∴结论②错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为，， ∴多项式可因式分解为， ∴结论③错误； ∵对称轴为直线，且函数开口向下， ∴当时，y有最大值， 由得， 时，， 时，， ∴无论m为何值时， ， ∴ ∴结论④正确； 综上：正确的有①④． 故答案为：①④． 类型三、一次函数与二次函数 【解惑】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 【融会贯通】 1．直线 与抛物线 在同一坐标系里的大致图象正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中和的正负情况和二次函数图象中的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，，而抛物线对称轴位于轴右侧，则，故选项不符合题意； 、由一次函数的图象可知，，由二次函数的性质可知图象，，对称轴位于轴左侧，则，故选项符合题意； 故选：． 2．“”是一款数学应用软件，用“”绘制的函数和的图象如图所示．若分别为方程和的解，则根据图象可知a b．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的解之间的关系，关键是利用数形结合，把方程的解转化为函数图象之间的关系．根据方程的解是函数图象交点的横坐标，结合图象得出结论． 【详解】解：∵方程的解为函数图象与直线的交点的横坐标， 的一个解为一次函数与直线交点的横坐标， 如图所示： 由图象可知：． 故答案为：． 3．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则关于x的方程的解为 ．    【答案】， 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题，利用图象法即可解决问题，方程的解就是两个函数图象的交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知，关于x的方程的解，就是抛物线与直线的两个交点坐标分别为，的横坐标， 即，． 故答案为：，． 类型四、反比例函数与二次函数 【解惑】函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、反比例函数图象与系数的关系，先根据二次函数图象得到字母系数的正负，再判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为， A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确； B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误； C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； 故选：A． 【融会贯通】 1．函数与的图象如图所示，当（    ）时，，均随着的增大而减小． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 2．抛物线与双曲线的交点的横坐标为，则不等式的解集为 ．    【答案】 【分析】根据函数图象直接可得结论． 【详解】解：∵抛物线与双曲线的交点的横坐标为， ∴的解集为， 即不等式的解集为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根据函数图象交点求不等式的解集，数形结合是解题的关键． 3．如图抛物线y=ax2与反比例函数交于点C（1，2），不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】根据两函数图象的上下关系结合点C的坐标，即可得出不等式的解集． 【详解】解：从图象得出当或时，二次函数y=ax2的图象在双曲线的上方， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或 【点睛】本题考查了二次函数与反比例函数的综合问题，关键是由C点坐标，利用数形结合的思想解决问题． 类型五、根据对称的点求对称轴与函数值 【解惑】已知二次函数的与的部分对应值如下表．则这条抛物线的对称轴是（    ） … … … … A．直线 B．直线 C．直线 D．轴 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 根据当、时的函数值都是，结合二次函数的对称性求解即可， 【详解】解：∵当、时的函数值都是， ∴这个二次函数图象的对称轴是直线，即， 故选． 【融会贯通】 1．已知二次函数的图象如图所示，，是函数图象上的两点，下列结论正确的是（    ）    A． B． C．，则 D．若，则 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数的图像与系数关系，解答该题的关键是掌握二次函数图像和性质的相关知识点，根据二次函数的系数与图像的关系解答即可． 【详解】解：A、根据函数图像可得当时，，故A错误； B、根据对称轴为直线可得：故，故B正确； C、根据函数图像可得当，则，故C错误； D、根据函数的对称性得：，则，故D错误； 故选：B． 2．如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），其顶点P在线段MN上移动．若点M、N的坐标分别为、，点B的横坐标的最大值为3，则点A的横坐标的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合题的知识点，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的图象对称轴的特点，此题难度一般．根据顶点在线段上移动，又知点、的坐标分别为、，分别求出对称轴过点和时的情况，即可判断出点坐标的最小值． 【详解】解：根据题意知，点的横坐标的最大值为3， 即可知当对称轴过点时，点的横坐标最大， 此时的点坐标为， 当可知当对称轴过点时，点的横坐标最小，此时的点坐标为， 此时点的坐标最小为， 故点的横坐标的最小值为， 故答案为：． 3．已知抛物线经过三点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】由抛物线，可知抛物线开口向上，与轴的交点为，由抛物线经过，，三点，得出对称轴为直线，然后根据点的坐标特征得出或，解不等式（组即可．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线， 抛物线开口向上，与轴的交点为， 抛物线经过，，三点， 对称轴为直线， ， 或， 解得或． 故的取值范围是或． 故答案为：或． 类型六、图像法解一元二次方程(不等式) 【解惑】已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据函数图象经过即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； ∵函数图象经过， ∴， ∴，即，故③正确； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有3个， 故选C． 【融会贯通】 1．已知二次函数的部分图象如图所示，图象经过点，其对称轴为直线．下列结论中正确的有（　　）个． ① ②若点，均在二次函数图象上，则 ③关于x的一元二次方程有两个相等的实数根 ④满足的x的取值范围为 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，函数与方程的关系，数形结合是解题的关键．依据题意，由图象可得抛物线的对称轴是直线，与y轴的交点为，当时，，然后逐个选项判断即可得解． 【详解】解：由题意，∵抛物线的对称轴是直线， ∴． 又由图象，可得当时，， ∴，故①错误． ∵抛物线的对称轴是直线， ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴，故②错误． 由题意，令， ∴抛物线与直线有两个不同的交点． ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，故③错误． ∵当时，y＝2， 又∵抛物线的对称轴是直线x＝﹣1， ∴当时，． 又抛物线开口向下， ∴满足的x的取值范围为，故④正确． 故选：A． 2．如图，一次函数与二次函数的图象分别交于点，．则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系，方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是二次函数与一次函数两个函数交点的横坐标， ∵二次函数与一次函数的图象相交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 3．二次函数 的部分对应值列表如上：则一元二次方程：的解为 ． … 0 1 3 5 … 7 7 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，解题的技巧性在于得到．由表格中的数据知，当或时，．找到对称轴，则列式或．进行计算即可作答． 【详解】解：由抛物线的对称性质知，当或时， ∴对称轴是直线 ∵，且一元二次方程的解为 ∴． ∴或． 解得或． 所以一元二次方程的解为： 故答案为： 类型七、求y=ax²+bx+c的最值 【解惑】当时，二次函数的最小值为15，则的值为（   ） A．或8 B．8 C．6 D．或6 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征以及二次函数的最值，利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值是解题的关键．利用二次函数图象上点的坐标特征找出当时的值，结合当时函数有最小值15，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：当时，有， 解得：，． 当时，函数有最小值15， 或， 或， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知二次函数，当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，则a的值为（    ） A．1或 B．2或 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】依据题意，由，故抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向下，又当时，二次函数的最大值为，最小值为，若，进而分类讨论计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线的对称轴是直线，抛物线开口向下． ①当时，即， ∵时，y随x的增大而增大， ∴当时，取最小值为； 当时，取最大值为； 又∵， ∴ ∴，不合题意． ②当时， ∵时，y随x的增大而减小， ∴当时，取最大值为； 当时，取最小值为； 又∵， ∴， ∴，不合题意． ③当时，即. ∴当时，取最大值为 若当时，取最小值为； ∴， ∴（舍去）或． 当时，取最小值为； ∴， ∴， ∴（舍去）或． 综上，或． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数的最值，一元二次方程的解法，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 2．当时，二次函数的最大值是，最小值是，若，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，利用配方法将原方程转化为顶点式二次函数的解析式，然后根据二次函数图象的特点进行分情况讨论即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由， ∴二次函数的对称轴为直线， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得（舍去）， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得或（舍去）， 若，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得或（舍去）， 若时，即， 当时，，当时，， ∵， ∴，解得（舍去）， 综上可知：的值是或， 故答案为：或． 3．在平面直角坐标系中，已知二次函数的图象经过坐标原点O和点，其中． (1)当时，求y关于x的函数表达式，并求出当x为何值时，y有最大值，最大值是多少? (2)当时，在范围内，y是否存在最大值10?若存在，求出相应的a和x的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，当时，有最大值，最大值为2 (2)当的值为5，的值为4时，取得最大值10 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是分类讨论思想的应用． （1）依据题意，当时，，再把，代入计算求出，即可得解析式，化成顶点式即可判断得解； （2）依据题意，二次函数的图象经过原点O和点，可得，从而可得解析式为，进而可得抛物线的对称轴为直线，从而分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解：当时，， 把，代入得：， ∴． ∴关于的函数表达式为， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为2． （2）在范围内，存在最大值10，理由如下： ∵二次函数的图象经过原点O和点，， ∴． ∴． ∴． ∴抛物线的对称轴为直线． ∵， ∴， ①当，即时， ∴当时，取得最大值． ∴， 解得：． ∴当的值为5，的值为4时，取得最大值10； ②当，即时， ∴当时，取得最大值． ∴． 解得：（小于0，舍去）或（大于4，舍去）， 综上所述，当的值为5，的值为4时，取得最大值10． 类型八、二次函数的应用——喷水问题 【解惑】某景观公园内人工湖里有一组小型喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．建立如图所示的平面直角坐标系，设距水枪水平距离为x米，水柱距离湖面高度为y米．现测量得到如下数据，喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米．    x（米） 0 1 2 3 4 y（米） 2.0 4.0 5.2 5.6 5.2 请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题： (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求喷泉的落水点距水枪的水平距离． 【答案】(1)抛物线的表达式为 (2)喷泉的落水点距水枪的水平距离为米 【分析】（1）由表格中的数据可知抛物线的顶点，利用待定系数法求出二次函数的关系式即可； （2）把代入解方程即可． 【详解】（1）解：由题可知喷泉最高点距离湖面的高度为5.6米； 可设抛物线的函数表达式为． 将代入， 得， ∴抛物线的表达式为． （2）由题可知，当喷泉落水时．即， 解得，（舍去）． 所以喷泉的落水点距水枪的水平距离为米． 【融会贯通】 1．陕西八大怪之一的“房子半边盖”包含了节约土地、节约建材、邻里和睦相处的理念．当下雨时雨水流向自己的院子，不仅避免了邻里纠纷，而且可以将水收集起来缓解缺水的问题．如图为陕西某古建筑景点处一栋房屋的侧面示意图，下雨时，雨水顺着房顶流下，呈抛物线型落到院中地面上点．以地面为轴，过点且垂直于地面的直线为轴建立平面直角坐标系，雨水落下的图象可近似看作二次函数的部分图象．已知屋檐高为，雨水落点距屋檐的水平距离为． (1)求该二次函数的表达式； (2)若墙面与屋檐下端的水平距离为，现计划在院中安装一个高为的圆柱形洗手池，洗手池下面连接储水装置，为了使下雨时雨水正好可以落在洗手池的顶部中心点处，请按设计求出洗手池的顶部中心到墙面的水平距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意知，抛物线过点，，用待定系数法即可求解； （2）将代入所求函数解析式中，求得x的值，即可求解． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线过点，， 将，分别代入， 得， 解得， 该二次函数的表达式为； （2）解：由题意，将代入， 得， 解得（舍去）， ， 洗手池的顶部中心到墙面的水平距离为． 2．为了美化校园，某校准备在校园广场中心安装一个圆形喷水池，喷水池中央设置一柱形喷水装置高2米，点处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．位于圆形喷水池中心的水面处，按照如图所示建立直角坐标系，该设计水流与的水平距离为1米处时，喷出的水柱可以达到最大高度3米． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)为了使喷出的水流不至于溅落在圆形喷水池外，需要在水流落回水面处的外侧预留1米距离，则该圆形喷水池的半径至少设计为多少米合理？ 【答案】(1)； (2)该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的应用． （1）设水流所在抛物线解析式为：，把代入解析式，求出的值即可得到答案； （2）令，得到，求出的值即可． 【详解】（1）解：喷出的水流距柱子1米处时达到最大高度3米， 抛物线的顶点坐标为， 设水流所在抛物线解析式为：， 米， ， 将代入得：， 解得：， 水流所在抛物线解析式为； （2）解：当时，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：该圆形喷水池的半径至少设计为米合理． 3．高楼火灾越来越受到重视，某区消防中队开展消防技能比赛，如图，在一废弃高楼距地面的点A和其正上方点B处各设置了一个火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点C处，水流恰好到达点A处，且水流的最大高度为．待A处火熄灭后，消防员退到点D处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点B处，已知点D到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． 水流的高度与到高楼的水平距离之间的函数关系式为． (1)求消防员第一次灭火时，水流所在抛物线的解析式； (2)若两次灭火时，水流所在抛物线的形状相同，求A、B之间的距离； (3)若消防员站在到高楼水平距离为的地方，想要扑灭距地面高度范围内的火苗，当水流最高点到高楼的水平距离始终为时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)之间的距离为 (3) 【分析】（1）根据题意，设顶点式，利用待定系数法将代入即可得到答案； （2）根据题意，设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，利用待定系数法求出表达式，令，则，根据，，即可得到答案； （3）根据题意，由待定系数法得到灭火过程中与始终满足，由要扑灭距地面高度范围内的火苗，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可知第一次灭火时水流最高点的坐标为， 设水流所在抛物线的解析式为， 点在抛物线上， ，解得， ， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线解析式为； （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为3米， 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为， 由题意可知该抛物线过点， ， 解得， ， 令，则， ， ， ， 即之间的距离为； （3）解：由题意可知灭火过程中与始终满足， 将代入后可得， ， ， 当抛物线过点时，，解得； 当抛物线过点时，，解得； ． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求函数表达式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解决问题的关键． 类型九、二次函数的应用——拱桥问题 【解惑】图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？ 【答案】 【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y=-1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系.设二次函数的解析式为(a≠0). ∵图象经过点（2，-2）， ∴-2=4a， 解得：. ∴. 当y=-3时，. 答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般． 【融会贯通】 1．如图所示，有一抛物线形状的桥洞．桥洞离水面最大距离为，跨度． (1)请你建立适当的直角坐标系，并求出在此坐标系下的抛物线的关系式； (2)一艘小船上平放着一些长，宽且厚度均匀的矩形木板，要使小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米？ 【答案】(1)； (2)这些木板最高可堆放米 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． （1）可令O为坐标原点，平行于的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则可设此抛物线函数关系式为，由题意可得B点的坐标为，由此可求出抛物线的函数关系式． （2）当时，求得的值，据此求解即可． 【详解】（1）解：以O点为坐标原点，过O且平行于线段的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的函数关系式为， 由题意可得B点坐标为， ∴，解得， ∴抛物线的函数关系式为； （2）解：当时，， ∵， ∴木板最高可堆放(米)． 2．根据以下素材，探索解决下列问题． 素材1：图①中有一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面．以矩形长的中点为原点O，竖直方向为y轴，水平方向为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，大棚顶部的最高点为P． 素材2：为了让苗木更好的生长需要在大棚内安装补光灯，补光灯采用吊装模式悬挂在顶部，已知补光灯在距离地面时补光效果最好． (1)求大棚上半部分形状所在抛物线的函数表达式； (2)若在距离B处水平距离的地方挂补光灯，为了使补光效果最好，求补光灯悬挂部分的长度．（灯的大小忽略不计） 【答案】(1) (2)补光灯悬挂部分的长度应是 【分析】本题考查了二次函数的应用： （1）根据图象，利用待定系数法即可求解； （2）当时，得，进而可求解； 熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据图中的坐标系以及题意可得，点P的坐标为，点B的坐标为， 抛物线的顶点坐标为点， 可设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得， 解得：． 抛物线的函数表达式为． （2）， 当时，， ， 补光灯悬挂部分的长度应是． 3．如图1，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接．已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点P离桥面的高度为，若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求这条抛物线对应的函数表达式； (2)若在抛物线最低点P左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点P和右侧主索最高点D． （i）求主索到射灯光线的最大竖直距离； （ii）现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索．则最多向右平移___________米． 【答案】(1) (2)（i）最大距离为  （ii） 【分析】本题考查二次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键. （1）利用待定系数法代入数据求解即可； （2）（i）作垂直与x轴的直线与，抛物线分别交于.利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论; （ii）根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论. 【详解】（1）解：由题意可知,抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为：， 由∵， ， 解得：， ∴解析式为：； （2）(i)设直线为 将 ，代入可得 ，解得：， 解析式为； 如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，设点的坐标为则为 ， 当时， ， 故时有最大值； 当时， ， 时，随的增大而减小，， ∴当时，有最大值为：， 综上所述，最大距离为； (ii)设平移后的直线为：， 联立 ， ， 当 时 ， 解得：， 时, ， 时, ， ∴向右最多平移 (米)， 故答案为: . 类型十、二次函数的应用——销售问题 【解惑】某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克． (1)若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？ (2)通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)18元 (2)销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元 【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果； （2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值． 【详解】（1）解：设每千克水果应涨价x元，根据题意，得：， 解得：，， ∵要尽可能让利于顾客，只能取， ∴售价应为（元）， 答：每千克特产商品的售价应为18元； （2）解：设每天获得的利润为W，销售价格为x，则 ∴销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元． 【点睛】本题考查一元二次方程和配方法的应用，掌握实际问题中的等量关系和配方法是解题的关键． 【融会贯通】 1．“人间烟火气，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．青年创业者小王以每件元的价格批发一种玩具，经过一段时间的销售发现，该玩具的每天销售额y（元）与销售单价x（元）之间满足我们学过的某种函数关系，其中部分对应数据如下表： 销售单价x/元 …… …… 每天销售额y/元 …… …… (1)求y与x之间的函数关系式，并指出销售量随销售单价作怎样的变化； (2)小王认为，当销售额最大时，利润有最大值，请你通过计算判断小王的说法是否正确． 【答案】(1)，销售量随着销售单价的增长而降低，即每长1元，销售量减少2件 (2)错误 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）由表格可知，y是x的二次函数，且顶点坐标为．设表达式为，代入即可求解； （2）设销售该玩具每天获利w元．可得利润与销售单价的函数关系式，即可求解； 【详解】（1）解：由表格可知，y是x的二次函数，且顶点坐标为． 设表达式为，代入， 解得． ∴表达式为，化为一般式为．   ∵销售量为， ∴销售量随着销售单价的增长而降低，即每长1元，销售量减少2件． （2）解：设销售该玩具每天获利w元． 则． ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为200. 而时，销售额有最大值，此时利润为元，小于元． ∴销售额最大时，利润不是最大，小王的说法是错误的． 2． 一家商店于春节后购进了一批新款春装，从销售中记录发现，平均每天可售出件，每件盈利元为把握换季营销，商店决定采取适当的降价活动，以扩大销售量，增加盈利市场调研认为，若每件降价元，则平均每天就可多售出2件． (1)若活动期间平均每天的销售量为件，求每件春装盈利是多少元？ (2)要想平均每天销售这款春装能盈利元，又能尽量减少库存，那么每件应降价多少元？ (3)平均每天销售这款春装盈利的最大值是多少元？ 【答案】(1)元 (2)元 (3)最大值元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的性质， （1）利用每件新款春装的销售利润为：盈利减去增加销量的一半，即可得； （2）设每件新款春装应降x元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：，进行计算即可得； （3）设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， ，利用二次函数的性质即可得； 理解题意，掌握一元二次方程，二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意得：（元）． （2）解：设每件新款春装应降价元，则每件盈利元，平均每天可售出件， 根据题意得：， 整理得：， ， 解得：，， ∵要尽量减少库存， ． （3）解：设每件新款春装应降价元，每天销售这款春装盈利元，根据题意得， 即最大值元， 答．平均每天销售这款春装盈利的最大值是元． 3．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得 ，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ． （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 【一览众山小】 1．如表中列出的是一个二次函数的自变量与函数的几组对应值，则下列关于这个二次函数的结论中，正确的是（    ） 0 3 4 0 A．图象的开口向下 B．有最小值 C．图象与轴的一个交点是 D．图象的对称轴是 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质等知识点，学会根据表格中的信息求得函数的解析式是解题的关键． 由表格中的几组数求得二次函数的解析式，然后通过函数的性质即可得出结果． 【详解】解：设二次函数的解析式为（、、为常数，）， 由题意可知， 解得， 二次函数的解析式为 ， 函数的图象开口向上，顶点为，图象与轴的交点分别为和， 图象的对称轴是，函数有最小值， 选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 2．对于二次函数 的性质，下列描述正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．抛物线可由向右平移1个单位得到 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象平移的规律．熟练掌握上述知识是解题关键． 根据二次函数的解析式可判断该二次函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，从而可判断A和B、C．再根据二次函数图象平移的规律“上加下减，左加右减”即可判断D． 【详解】∵二次函数的解析式为：， ∴， ∴该二次函数图象开口向上，故A错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数对称轴为直线，故B错误，不符合题意； 由解析式可知该二次函数顶点坐标为，故C错误，不符合题意； 将函数图象向右平移一个单位得到的新函数的解析式为，故D正确，符合题意； 故选D． 3．已知关于x的函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点，则实数a的可能值有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】根据函数的图象与两坐标轴共有两个交点，可知该函数可能为一次函数，也可能为二次函数，然后分类讨论即可求得a的值，本题得以解决．本题考查抛物线与x轴的交点、根的判别式、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和分类讨论的思想解答． 【详解】解：函数的图象与坐标轴共有两个不同的交点， 当时，此时与两坐标轴两个交点， 当时，则或， 解得，或， 由上可得，的值是0，或1，共4个． 故选：A． 4．抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，求b、c的值为 ． 【答案】， 【分析】此题考查了二次函数的平移规律，由一般式转化为顶点式， 首先将化为，然后根据函数平移的规律求解即可． 【详解】∵抛物线， ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即． ∴，． 故答案为：，． 5．如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P处）的高度是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是．若实心球落地点为M，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式；当时，求得x的值，即为实心球被推出的水平距离． 【详解】解：以点O为坐标原点，射线方向为x轴正半轴，射线方向为y轴正半轴，建立平面直角坐标系， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． 设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 当时，， 解得，（舍去），， 即此次实心球被推出的水平距离为． 故答案为： 6．已知二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为，则二次函数的图象与的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，先求出二次函数的对称轴，再根据与轴的一个交点的坐标为，即可作答． 【详解】解：依题意，二次函数的对称轴， ∵二次函数的图象与轴的一个交点的坐标为， ∴ ∴二次函数的图象与的另一个交点的坐标是， 故答案为： 7．已知二次函数，是实数，）． (1)若该函数图象经过点，，求该二次函数的表达式及顶点坐标； (2)若该函数图象的对称轴为直线，，，为该函数图象上的任意两点，其中，求当，为何值时，； (3)若该二次函数满足当时，总有随的增大而减小，且过点，当时，求的取值范围． 【答案】(1)二次函数的表达式为，顶点坐标为 (2)， (3) 【分析】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将点，代入二次函数上，即可得出、 的值，再化成顶点式即可得出答案； （2）由对称轴为直线，可得，进而可得出，由已知条件可得，进而可以得出答案； （3）由题意得，，再由过点可得，解得的范围，再结合求解即可． 【详解】（1）解：点，在二次函数上， ， 解得：， 二次函数的表达式为， ， 顶点坐标为， 综上所述：二次函数的表达式为，顶点坐标为． （2）对称轴为直线， ， ， ， 当时，即， ， ， ，， 当，时，． （3）二次函数满足当时，总有随的增大而减小， ，， ， 二次函数过点， ，， ， 又， ． ． ， ， 又， ， ． 8．如图1，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似地看成抛物线． 图2 是喷灌架为一坡地草坪喷水的平面示意图，喷水头的高度(喷水头距喷灌架底部的距离)是 1 米，当喷射出的水流与喷涨架的水平距离为米时，达到最大高度6米，现将喷灌架置于坡地底部点处，草坡上距离的水平距离为 米处有一棵高度为米的小树 ，垂直水平地面且 点到水平地面的距离为3米．    (1)计算说明小树是否会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响? (2)求水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值． 【答案】(1)不会，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握建模的数学思想是解题关键． （1）设该抛物线的解析式为，将点代入即可求出解析式；求出当时的函数值，即可判断； （2）由题意得直线的解析式为：，确定水流的高度与斜坡铅垂高度差的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的解析式为：， 将点代入得：， 解得： ∴ 当时， ∴水流能浇灌到树后面的草坪，小树不会对水流浇灌到树后面的草坪造成影响 （2）解：由题意得， ∴直线的解析式为： 水流的高度与斜坡铅垂高度差， ∴水流的高度与斜坡铅垂高度差的最大值为 9．根据以下素材，探索完成任务． 【素材1】某水果店购进某种橙子，保质期为30天，每箱橙子的售价为100 元． 【素材2】由于橙子需要冷藏保存，因此成本也会逐日增加，设第x天的销售量为m，m与x之间的关系如表： 第x天 销售量 m/箱 15 【素材3】每箱橙子的成本为y元，y与x的函数关系如图所示． (1)求每箱橙子的成本y（元）与x的函数表达式； (2)若每天的销售利润为 W元，求W与x的函数表达式，并求出第几天时当天的销售利润最大？最大销售利润是多少元？ 【答案】(1) (2)第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元． 【分析】本题主要考查一次函数、二次函数与销售，利润的计算问题，掌握一次函数图象，二次函数图象的性质，增减性是解题的关键． （1）根据题意，设与的函数表达式为，运用待定系数法即可求解； （2）分类讨论，当时，根据一次函数图象的性质即可求解；当时，根据二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x的函数表达式为， 把和分别代入得： ， 解得： ， ∴y与x的函数表达式为． （2）当时， ， ∵， ∴W随x的增大而减小， ∴当时， ， 当时， ， ∵不在范围内，当时，W随x的增大而减小， ∴当时，， ∵， ∴第20天时，当天的销售利润最大，最大销售利润是600元． 10．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)11.25， (2) (3)她当天的比赛不能成功完成此动作 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米   对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴    ∵ ∴； （3）解： ∴点坐标为     ∴ ∴    当时，     ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 6 学科网（北京）股份有限公司 $$