第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单） -2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（北师大版）

第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　 (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 　 　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点：　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 03 题型归纳 题型一　一元二次方程的概念及求参数 例题 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 2．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 3．关于的方程是一元二次方程，则的值是（　　） A． B． C． D．为任意实数 4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 题型二　一元二次方程的根及其应用 例题 5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 巩固训练 6．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 7．若是关于的方程的解，则的值为 ． 题型三 一元二次方程的解法 例题 8．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 9．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 10．方程的解为（     ） A． B． C． D． 11．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 13．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 14．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 15．若实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或 16．一元二次方程的根是 ． 17．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 18．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 19．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 20．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 21．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 22．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 题型四 一元二次方程的代数应用 例题 23．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 巩固训练 24．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 25．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 26．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 27．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 28．如果代数式与的值相等，那么x= ． 29．已知则的值= 30．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 题型五 一元二次方程的几何应用 例题 31．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 巩固训练 32．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 33．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 34．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．    (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由． 题型六 一元二次方程的根的判别式 例题 35．关于x的一元二次方程x2﹣8x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 巩固训练 36．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 37．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 38．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 39．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 40．已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 41．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 42．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 43．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 题型七 一元二次方程的根与系数的关系 例题 44．方程的根是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 45．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 46．已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 47．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 48．若是关于的一元二次方程（为正整数）的两根，则的值为 ． 49．关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 题型八 一元二次方程的实际应用 例题 50．截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从年的万辆到年的万辆．如果设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 51．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 52．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 53．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 54．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 55．近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款汉服销售量的年平均增长率； (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 56．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 东北育才学校生态园年春季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半． 素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，    问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 求购买这批劳动工具的最少费用． 任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程 知识归纳与题型突破（八类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、一元二次方程的有关概念 1. 一元二次方程的概念： 通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 2. 一元二次方程的一般式： 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 要点：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2. 对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． 二、一元二次方程的解法 1．基本思想 一元二次方程一元一次方程 2．基本解法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 要点：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解 法，再考虑用公式法． 三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即. （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 2.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 要点：1.一元二次方程 的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题： 　　 (1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题． 2. 一元二次方程根与系数的应用很多： 　　(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数； 　　(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数； 　　(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 四、列一元二次方程解应用题 1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系； 　 　三是正确求解方程并检验解的合理性. 2.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 3.解决应用题的一般步骤： 　　　审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列 (根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）； 　　　答 (写出答案，切忌答非所问). 4.常见应用题型 数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等. 要点：　列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决. 03 题型归纳 题型一　一元二次方程的概念及求参数 例题 1．下列方程中，一定是关于的一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【解析】A. a=0时，是一元一次方程，故A错误； B. 经化简，方程是一元一次方程，故B错误； C. 经化简，方程为一元三次方程，故C错误； D. 方程为一元二次方程，故D正确； 故选D. 【点睛】此题考查一元二次方程的定义，解题关键在于掌握一元二次方程的判定. 巩固训练 2．把化成一般形式为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ． 【答案】 3 0 【分析】原式去括号、移项、合并同类项，写出二次项系数，一次项系数，常数项即可． 【解析】解：，， 去括号：， 移项合并同类项：， ∴二次项系数为：；一次项系数为：，常数项为：； 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了一元二次方程的一般式，熟知一元二次方程的一般式为：是解题的关键． 3．关于的方程是一元二次方程，则的值是（　　） A． B． C． D．为任意实数 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义得且a+2≠0，求解即可． 【解析】解：由题意，得且a+2≠0， 解得：a=2， 故选：C． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次的方程叫做一元二次方程． 4．要使方程是关于x的一元二次方程，则（    ） A．a≠0 B．a≠3 C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0 【答案】B 【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0． 【解析】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a-3≠0，a≠3． 故选B． 【点睛】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．当a=0时，上面的方程就不是一元二次方程了，当b=0或c=0时，上面的方程在a≠0的条件下，仍是一元二次方程，只不过是不完全的一元二次方程． 题型二　一元二次方程的根及其应用 例题 5．已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的一个根是，将代入原方程得到关于的一元一次方程进而即可解答．本题考查了一元二次方程的根，一元一次方程的解，理解一元二次方程的根是解题的关键． 【解析】解：∵关于的一元二次方程的一个根是， ∴将代入方程得：， 解得：， 故答案为：． 巩固训练 6．若m是方程的一个根，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 先根据一元二次方程解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：是方程的一个根， ， ， ． 故答案为：． 7．若是关于的方程的解，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的定义、代数式求值，根据方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，把代入原方程得出，整理为，整体代入计算即可，熟练掌握方程的解的定义、代数式求值是解题的关键． 【解析】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴ ， 故答案为：． 题型三 一元二次方程的解法 例题 8．一元二次方程的实数根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直接开方法解一元二次方程即可得． 【解析】， 两边同除以得：， 利用直接开方法得：， 解得， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用直接开方法解一元二次方程，熟练掌握直接开方法是解题关键． 巩固训练 9．方程y2＝-a有实数根的条件是（    ） A．a≤0 B．a≥0 C．a>0 D．a为任何实数 【答案】A 【分析】根据平方的非负性可以得出﹣a≥0，再进行整理即可． 【解析】解：∵方程y2＝﹣a有实数根， ∴﹣a≥0（平方具有非负性）， ∴a≤0； 故选：A． 【点睛】此题考查了直接开平方法解一元二次方程，关键是根据已知条件得出﹣a≥0． 10．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】移项后利用直接开平方法解答即可． 【解析】解：移项，得， 两边直接开平方，得， 即或， 解得：，． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题型，熟练掌握直接开平方法是解题的关键． 11．形如的方程，下列说法错误的是（    ） A．时，原方程有两个不相等的实数根 B．时，原方程有两个相等的实数根 C．时，原方程无实数根 D．原方程的根为 【答案】D 【分析】根据应用直接开平方法求解的条件逐项判断即得答案． 【解析】解：A、当时，原方程有两个不相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； B、当时，原方程有两个相等的实数根，故本选项说法正确，不符合题意； C、当时，原方程无实数根，故本选项说法正确，不符合题意； D、当时，原方程的根为，故本选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基本题目，熟练掌握应用直接开平方法求解的条件是关键． 12．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（    ） A．化为 B．化为 C．化为 D．化为 【答案】B 【分析】根据配方的步骤计算即可解题． 【解析】 故B错误．且ACD选项均正确， 故选：B 【点睛】考查了用配方法解一元二次方程，配方步骤：第一步平方项系数化1；第二步移项，把常数项移到右边；第三步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第四步左边写成完全平方式；第五步，直接开方即可． 13．用配方法解方程ax2+bx+c＝0（a≠0），四个学生在变形时得到四种不同结果，其中配方正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据配方法的步骤：先把二次项系数化为1，然后把常数项移到右边，两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可得到答案． 【解析】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选C． 【点睛】本题主要考查了配方法，解题的关键在于能够熟练掌握配方法． 14．方程的根的个数是（      ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】移项得=24,然后两边同时开四次方得x-=±2，由此即可解决问题． 【解析】解：∵ ∴=24， ∴x=±2， ∴方程的根是x=±2. 故选B. 【点睛】本题考查高次方程的解法，解题的关键是降次，这里通过开四次方把四次降为了一次． 15．若实数，满足，则的值为（    ） A．5 B．2.5 C．2.5或 D．5或 【答案】A 【解析】略 16．一元二次方程的根是 ． 【答案】， 【分析】方程变形为x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，然后利用因式分解法解方程． 【解析】解：x（2x﹣5）＝4x﹣10， x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0， （x﹣2）（2x﹣5）＝0， x﹣2＝0或2x﹣5＝0， 所以，． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想），掌握因式分解解方程的方法是解题的关键． 17．方程(x＋1)(x－3)＝5的解是    (    ) A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝4， x2＝－2 C．x1＝－1， x2 ＝3 D．x1＝－4， x2＝2 【答案】B 【分析】先把一元二次方程展开合并，再根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【解析】∵， ∴， ∴， ∴x-4=0或x+2=0， ∴． 故选B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，掌握十字相乘因式分解，是解题的关键． 18．用求根公式解方程，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先把化成一般式，直接运用公式法解题即可． 【解析】解：， 则一般式是， 则，，， 那么， 把，，都代入中， 得， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，正确掌握公式法是解题的关键． 19．当时，下列一元二次方程中两个根是实数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据公式法，判断选项中的一元二次方程的实数根是否是题目中给出的那个． 【解析】一元二次方程，当，的时候，它有两个实数根． 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程的解法——公式法，解题的关键是掌握求根公式． 20．解下列方程：①2x2－18＝0；②9x2－12x－1＝0；③3x2＋10x＋2＝0；④2(5x－1)2＝2(5x－1)．用较简便的方法依次是(    ) A．①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B．①直接开平方法，②公式法，③、④因式分解法 C．①因式分解法，②公式法，③配方法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②、③公式法，④因式分解法 【答案】D 【解析】①2x2=18，所以利用直接开平方法.②9x2－12x－1＝0，公式法.③3x2＋10x＋2＝0，公式法. ④ 2(5x－1)2-2(5x－1)=0,利用因式分解法. 所以选D. 21．用适当方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， (5) (6)， 【分析】利用直接开平方法，配方法、因式分解法，公式法解出方程的解． 【解析】（1）解： 直接开平方可得：， 或 ∴原方程的解为：，； （2）解： 因式分解得：， ∴原方程的解为：，； （3）解：， 平方差因式分解得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （4）， 提取公因式可得：， 整理得：， ∴原方程的解为：，； （5）解：∵方程， ， ∴原方程的解为：； （6）， ， 因式分解得：， ∴原方程的解为：， 【点睛】本题主要考查利用恰当的方法求解一元二次方程，解题时注意对方法的合理选择． 22．下面是小明用因式分解法解一元二次方程的过程，请仔细阅读，并完成相应的问题． 解一元二次方程： 解：原方程可以化为：第一步 两边同时除以得：第二步 系数化为1，得：第三步 任务： (1)小明的解法是不正确的，他从第_________步开始出现了错误； (2)请你继续用因式分解法完成这个方程的正确解题过程． 【答案】(1)二 (2)或，过程见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程——因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法． （1）第二步不符合等式的性质； （2）先移项得到，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程． 【解析】（1）解：他从第二步开始出现了错误， 故答案为：二； （2）解： 或， 解得：或． 题型四 一元二次方程的代数应用 例题 23．代数式的最小值为（    ）． A． B．0 C．3 D．5 【答案】A 【分析】利用配方法对代数式做适当变形，通过计算即可得到答案． 【解析】代数式 ∵， ∴即代数式， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式和不等式的知识；解题的关键是熟练掌握完全平方公式和不等式的性质，从而完成求解． 巩固训练 24．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　） A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0 【答案】B 【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案. 【解析】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1， 所以此时方程为： 即： 小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4， 所以此时方程为： 即： 从而正确的方程是： 故选： 【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键. 25．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，二次根式的化简，先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【解析】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故选：D． 26．方程ax2+bx+c=0（a＜0）有两个实根，则这两个实根的大小关系是（  ） A．≥ B．＞ C．≤ D．＜ 【答案】A 【解析】因为,且 a＜0,所以≥,故选A. 27．已知多项式A＝x2﹣x+(3)，若无论x取何实数，A的值都不是负数，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据配方法可进行求解． 【解析】解：∵A＝x2﹣x+（3）＝x2﹣x+（3）＝（x）2（3）， 若x取任何实数，A的值都不是负数， ∴（3）≥0， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查配方法的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． 28．如果代数式与的值相等，那么x= ． 【答案】2 【分析】由题可得，整理得到即解出即可． 【解析】解：根据题意得 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解此题的关键． 29．已知则的值= 【答案】或 【分析】依题意解后，分a=b与进行讨论即可． 【解析】解：依题意得a,b是方程的解， 解得：， 当时，a+b=， 当时，a+b=， 当时，， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的问题，掌握一元二次方程的解以及分类讨论是解题的关键． 30．已知关于x的一元二次方程（a，b，c为常数，且），此方程的解为，．则关于x的一元二次方程的解为 ． 【答案】或/或 【分析】将和分别代入，可求得，，之间的等量关系，代入一元二次方程即可消去参数，从而解一元二次方程即可． 【解析】解：一元二次方程的解为，， ，解得， 一元二次方程可化为， ， ， 解得，． 一元二次方程的解为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解决本题的关键是利用一元二次方程的解求得，，之间的等量关系，从而代入求解． 题型五 一元二次方程的几何应用 例题 31．已知三角形其中两边之和为10，第三边长是是方程的一个根，则该三角形的周长为（    ） A．11 B．21 C．11或21 D．11或1 【答案】A 【分析】先求出方程的根，然后分x＝1和x＝11两种情况，利用三角形三边关系进行判断即可． 【解析】解：由可得， ∴或， 解得x＝1或x＝11， 当x＝1时，因为10＞1，所以能组成三角形，此时该三角形的周长为11； 当x＝11时，因为10＜11，所以不能组成三角形， 故选：A． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，三角形三边关系的应用，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 巩固训练 32．已知：a、b、c是的三边，且，的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】等式配方成，利用非负数性求得a、b、c的长，再利用勾股定理的逆定理即可求解． 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴的形状是直角三角形． 故答案为：直角三角形． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，勾股定理的逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 33．已知2，3，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣x+k2+1＝0的根，则k的值为 ． 【答案】-5或或 【分析】根据等腰三角形的定义，分a=2和a=3，分别代入方程，解之可得k值． 【解析】解：∵2，3，a分别是等腰三角形三边的长， 当a=2时，即x=2，代入， 得：， 解得：k=-5，或k=1（舍）， 当a=3时，即x=3，代入， 得：， 解得：k=，或k=， 故答案为：-5或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解一元二次方程，解题的关键是要注意根据等腰三角形的定义进行分类讨论． 34．如图，在中，，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．点P，Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动，设运动时间t秒．    (1)填空：______，______；（用含t的代数式表示）； (2)当t为几秒时，的长度等于； (3)是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在， 【分析】（1）根据路程=速度×时间，，，结合已知解答即可． （2）根据勾股定理，列式计算即可． （3）根据列式计算即可． 【解析】（1）∵，点P从A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动． ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）∵，， ， ∴， 整理，得， 解得， 当运动时间为或运动时间为时，的长度等于． （3）∵，， ， ∴， ∴， 整理，得， 解得（舍去）， 故当运动时间为2秒时，四边形的面积等于面积的． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形中的动点问题，一元二次方程的应用，熟练掌握勾股定理，解方程是解题的关键． 题型六 一元二次方程的根的判别式 例题 35．关于x的一元二次方程x2﹣8x+3＝0的根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的判别式即可求出答案． 【解析】解：由题意可知：△＝64﹣4×1×3＝52＞0， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：C． 【点睛】本题考查的是一元二次方程系数与根的情况，比较简单，需要牢记根的判别式的取值与方程根的个数的关系. 巩固训练 36．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握知识点是本题的关键．根据一元二次方程根的判别式，有两个不相等的实数根，即根的判别式，结合一元二次方程的定义计算出答案即可． 【解析】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 解得 ∵方程是一元二次方程 ∴， ∴且， 故选：D． 37．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则可取的最大整数是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分，最后解得可取的最大整数． 【解析】解：已知关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， ∵，，， ∴， 即， 解得且， ∴其中可取的最大整数是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．本题中二次项系数不为零是易错点． 38．已知分别是的边长，则一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】由于这个方程是一个一元二次方程，所以利用根的判别式可以判断其根的情况．而△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2，根据三角形的三边关系即可判断． 【解析】解：△=（2c）2-4（a+b）（a+b）=4c2-4（a+b）2=4（c+a+b）（c-a-b）． ∵a，b，c分别是三角形的三边， ∴a+b＞c． ∴c+a+b＞0，c-a-b＜0， ∴△＜0， ∴方程没有实数根． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系、一元二次方程的根的判别式等知识点．重点是对（2c）2-4（a+b）（a+b）进行因式分解． 39．小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是．他核对时发现所抄的比原方程的值小1，则原方程的根的情况是（    ） A．不存在实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有另一个根是 D．有两个相等的实数根 【答案】A 【分析】直接把已知数据代入，进而得出的值，再根据根的判别式判别即可． 【解析】解：小刚在解关于的方程时，只抄对了，，解出其中一个根是， 代入得：， 解得：， ∵核对时发现所抄的比原方程的值小1， 故原方程中， 原方程为， ∴ ∴原方程的根的情况是不存在实数根， 故选：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解和根的判别式，正确得出的值是解题关键． 40．已知：关于x的一元二次方程． (1)当m取何值时，此方程没有实数根； (2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键． （1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答； （2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值． 【解析】（1）解：关于x的一元二次方程， 可得， 当，即时，此方程没有实数根； （2）解：∵有两个实数根， ∴， ∴； ∴m的最小整数值为． 41．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【答案】(1)见详解 (2)的周长为11或10． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质. （1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明． （2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长． 【解析】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 42．关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若c是方程的一个实数根，则一定有成立 C．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 D．若m是方程的一个实数根，则 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式及根的定义逐个判断即可． 【解析】解：A、若，则是方程的解，由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知：，正确，故此选项不符合题意； B、是方程的一个根，，，当时，等式成立，当，，等式仍然成立，故不一定成立，故一定有成立错误，故此选项符合题意； C、∵方程没有实数根，，，方程的判别式，方程必有两个不相等的实根，正确，故此选项不符合题意； D、若m是一元二次方程的根，由求根公式可得：，，，正确，故此选项不符合题意； 故选：B． 43．已知一元二次方程，，，其中a，b，c是正实数，且满足．设这三个方程不相等的实数根的个数分别为，，，则下列说法一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，正确记忆一元二次方程根的判别式的相关知识是解题关键． 由题意得，，根据、判定出、的符号，再由得，代入即可确定判别式的符号，得出的值，从而确定答案． 【解析】解：A、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意； B、∵，，∴，，即，，∴∵，∴，∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，，，，即，，， 而，，，，；故此选项符合题意； D、∵，，∴，，即，，∵，∴，∵，无法确定的符号，∴的值无法确定，故此选项不符合题意； 故选：C． 题型七 一元二次方程的根与系数的关系 例题 44．方程的根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【解析】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 巩固训练 45．已知、是一元二次方程的两根，则的值等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系：是一元二次方程的两根时，． 先把通分后化为，根据根与系数的关系得代入进行计算即可． 【解析】解：∵、是一元二次方程的两根， ， ， 故选：A． 46．已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【解析】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 47．设、是一元二次方程的两个根，且，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系得出，再利用因式分解法解一元二次方程，最后代入计算即可得出答案，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解此题的关键． 【解析】解：、是一元二次方程的两个根，且， ， 原方程为， 解得：，， ， 故答案为：． 48．若是关于的一元二次方程（为正整数）的两根，则的值为 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系以及分式的混合运算，首先由一元二次方程根与系数的关系求出，再将变形为，可得，再把所求式子进行裂项变形计算即可得到结果 【解析】解：∵是关于的一元二次方程（为正整数）的两根， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ； 故答案为：2024． 49．关于x的方程， 的两个实数根为 (1)若等腰三角形，其中两边的长度为 且另一边的边长为6，求 的周长； (2)若 求m的值 【答案】(1)的周长为或 (2)或 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一元二次方程根的定义，等腰三角形的定义； （1）根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得判别式大于，据此建立关于的不等式，进而根据等腰三角形的定义，分类讨论求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系，可分别表示出与的值，利用条件可得到关于的方程，可求得的值． 【解析】（1）解：∵的两个实数根为 ∴ 解得： 当时，， 则 解得： ∵等腰三角形其中两边的长度为 且另一边的边长为6， ∴周长为 当，则有一个根为， ∴ 解得：或（舍去） ∴原方程为 解得: ∴的周长为， 综上所述，的周长为或 （2）∵的两个实数根为 ∴ 又∵ ∴， ∴ ∵ ∴ ∴或 由（1）可得，当时， 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述，或 题型八 一元二次方程的实际应用 例题 50．截止2023年底，我国新能源汽车销量连续9年位居世界第一．随着消费人群的不断增多，某品牌新能源汽车的销售量逐年递增，销售量从年的万辆到年的万辆．如果设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，那么可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“销售量从年的万辆到年的万辆”列方程求解． 【解析】解：设从年到年该品牌新能源汽车销售量的平均年增长率为，根据题意得 ， 故选：B． 巩固训练 51．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数大4．设个位数字为，则方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，数的表示方法，要会利用未知数表示两位数，然后根据题意列出对应的方程求解． 根据个位数与十位数的关系，可知十位数为，那么这两位数为：，这两个数的平方和为：，再根据两数的值相差4即可得出答案． 【解析】解：依题意得：十位数字为：，这个数为： 这两个数的平方和为：， 两数相差4， ． 故选：D． 52．某小区计划在一块长32m、宽20m的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列一元二次方程解实际应用题．将三条路平移，草坪是一个长方形，如图所示，根据剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为，利用长方形面积公式得到，从而确定答案． 【解析】解：将三条路平移，如图所示： 剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，设道路的宽为， ， 故选：C． 53．下图是某一个月的日历表，在表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．请用方程知识解答下列问题： (1)若在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为84，求最小数． (2)在圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能为33吗？请说明理由． 【答案】(1)6 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程求解即可； （2）设左上角的数为x，则右下角的数为，列出方程解，结合图形进行分析即可． 【解析】（1）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， ∴最小的数为6． （2）解：设左上角的数为x，则右下角的数为， ， 解得：（舍去）， 由图可知，当最小的数为3时，不能圈出4个数， ∴最小数与最大数的乘积不能为33． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解． 54．小明设计了点做圆周运动的一个动画游戏，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程与时间满足关系：，乙以的速度匀速运动，半圆的长度为． (1)甲运动后的路程是多少？ (2)甲、乙从开始运动到第三次相遇时，它们运动了多少时间？ 【答案】(1) (2)它们运动了秒 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．根据等量关系，正确的列一元二次方程是解题的关键． （1）将代入，计算求解即可； （2）由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆，则，计算求出满足要求的解即可． 【解析】（1）解：当时，， 答：甲运动后的路程是； （2）解：由题意知，甲、乙从开始运动到第三次相遇总路程为5个半圆， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）． 答：它们运动了秒． 55．近几年，汉服的火爆“出圈”，引得不少年轻人为之心动，它已然成为当下的一种流行趋势．随着群体的喜爱，受众的普及，汉服市场也在不断扩大，某汉服专卖店统计了近三年店内汉服的销售量，2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同． (1)求该款汉服销售量的年平均增长率； (2)若该专卖店打算以进价为100元/套的价格购进一批汉服，经在市场中测算，当售价为130元/套时，年销售量为2000套，若在此基础上售价每上涨1元/套，则年销售量将减少20套，为使年销售利润达到72000元，而且尽可能让顾客得到实惠，该款汉服的实际售价应定为多少元？ 【答案】(1)该款汉服销售量的年平均增长率为 (2)该款汉服的实际售价应定为140元 【分析】本题考查了列一元二次方程解决实际问题，解题关键是准确理解题意，找出等量关系且熟练掌握解一元二次方程的方法． （1）设该款壮族服饰销售量的年平均增长率为x，根据“2021年销售量为3000套，2023年销售量为4320套，且从2021年到2023年销售量的年平均增长率相同”列一元二次方程求解即可； （2）设该款汉服的实际售价为y元/套，根据题意，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可求出答案． 【解析】（1）解：设该款汉服销售量的年平均增长率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该款汉服销售量的年平均增长率为； （2）解：设该款汉服的实际售价为y元/套， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，， ∵要尽可能让顾客得到实惠， ∴ 答：该款汉服的实际售价应定为140元． 56．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 东北育才学校生态园年春季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半． 素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，    问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 求购买这批劳动工具的最少费用． 任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．） 【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元 任务二；购买这批劳动工具的最少费用为元 任务三；（1）；（2）8；（3）不能 【分析】任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务二；设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，依题意得， ，可求，，根据一次函数的图象与性质求解作答即可； 任务三；（1）依题意得，的长是，计算求解即可；（2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判断作答即可． 【解析】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二；解：设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元， 依题意得， ， 解得，， ， ∵， ∴当时，总费用最少，元， ∴购买这批劳动工具的最少费用为元； 任务三；（1）解：依题意得，的长是（）， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴的值为8； （3）解：令，整理得，， ∵， ∴方程无实数解， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！32 学科网（北京）股份有限公司 $$