第08讲 2.4.2圆的一般方程（知识清单+10类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第08讲 2.4.2圆的一般方程 课程标准 学习目标 ①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题. 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【变式1】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 题型02求圆的一般方程 【典例1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【典例3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【变式1】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为 ． 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【变式2】（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 . 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ． 【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 题型05圆过定点问题 【典例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【变式2】（2021高三·全国·专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 【变式3】（23-24高二上·江西上饶·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ． 【变式2】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 题型08圆的对称问题 【典例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【典例2】（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【变式1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 . 【变式2】（23-24高二上·安徽安庆·期中）圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 题型09圆的综合问题 【典例1】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【典例2】（23-24高二上·安徽·期中）一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数（且）的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题： (1)已知点，，若，求动点M的轨迹方程； (2)已知点N在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点． (1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程． 【变式1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【变式2】（23-24高二上·江西抚州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题： (1)已知，，若，求点的轨迹方程； (2)已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 题型10圆的实际应用 【典例1】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【典例2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程所表示的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北保定·期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22高二上·湖北孝感·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 12．（23-24高二上·四川资阳·期中）若实数满足，则的最大值为 ． 四、解答题 13．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． B能力提升 1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ． 4．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 2.4.2圆的一般方程 课程标准 学习目标 ①理解与掌握圆的一般方程的形式与条件。 ②能准确的判定圆的存在所满足的条件。 ③会判断点与圆的位置关系。 ④会用待定系数法求圆的一般方程，并能解决与圆有关的位置、距离的综合问题。 通过本节课的学习，要求会判断圆存在的条件，会将圆的标准形式与一般形式熟练转化，会根椐圆存的条件求待定参数的值，会用待定系数法求圆的一般式方程，会求简单问题中的轨迹问题，会解决与圆有关的位置与距离问题. 知识点01：圆的一般方程 对于方程（为常数），当时，方程叫做圆的一般方程. ①当时，方程表示以为圆心，以为半径的圆； ②当时，方程表示一个点 ③当时，方程不表示任何图形 说明：圆的一般式方程特点：①和前系数相等（注意相等，不一定要是1）且不为0；②没有项；③. 【即学即练1】（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 知识点02：圆的一般方程与圆的标准方程的特点 圆的标准方程 圆的一般方程 方程 （） 圆心 半径 知识点03：在圆的一般方程中，判断点与圆的位置关系 已知点和圆的一般式方程：（）， 则点与圆的位置关系： ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据圆心到点的距离大于半径即可列不等式求解. 【详解】圆的标准方程为， 由于点在圆外， 所以，解得， 故答案为： 题型01圆的一般方程的理解 【典例1】（23-24高二上·广东·期末）已知方程表示一个圆，则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程表示圆的条件可得结果. 【详解】因为方程表示一个圆， 所以， 即，所以或， 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·上海·课后作业）已知表示圆，求实数的值． 【答案】 【分析】将方程化为一般方程，利用方程表示的曲线为圆可得出关于实数的等式，求出的值，再代值检验即可得解. 【详解】解：由题意可知，则方程可化为. 所以，即，解得或， 当时，方程为，方程配方得，不符合题意； 当时，方程为，方程配方得，符合题意； 综上所述，. 【变式1】（23-24高二上·广东江门·期末）方程表示一个圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由计算即可得. 【详解】，即. 故选：D. 【变式2】（多选）（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 题型02求圆的一般方程 【典例1】（2024·吉林长春·三模）经过，，三个点的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设经过，，三个点的圆的方程为，代入三点坐标可得答案. 【详解】设经过，，三个点的圆的方程为 ， 由题意可得，解得， 且满足， 所以经过，，三个点的圆的方程为， 即为. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）已知圆的圆心在直线上，且过点，，则圆的一般方程为 . 【答案】 【分析】方法一：设出圆的标准方程，代入点的坐标，建立方程组，求出答案； 方法二：求出线段AB的垂直平分线方程，联立求出圆心坐标，进而计算出半径，写出圆的标准方程，化为一般方程. 【详解】方法一：设所求圆的标准方程为， 由题意得:， 解得： 故所求圆的方程为， 即. 方法二：线段的中点坐标为，即， 直线的斜率为， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 所以线段的垂直平分线方程为，即， 由几何性质可知：线段的垂直平分线与的交点为圆心， 联立， 得交点坐标， 又点到点的距离，即半径为， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 【典例3】（23-24高二上·安徽阜阳·期末）已知的三个顶点分别为. (1)求的面积； (2)求的外接圆的方程. 【答案】(1)13； (2). 【分析】（1）利用两点距离求出，再求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出高，即可求出面积； （2）设出的外接圆的方程，将三点坐标代入求解即可. 【详解】（1）， 直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 所以的面积； （2）设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 【变式1】（23-24高三上·江苏·期末）已知的顶点是，，，则的外接圆的方程是 ． 【答案】 【分析】设圆的一般方程为，分别将三个点坐标代入圆的方程，解方程组求出，即可得结论. 【详解】设所求圆的一般方程为， 因为点，，在圆上， 所以， 解得， 则所求圆的一般方程为：， .故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·青海西宁·期末）若圆C过三个点，，，则圆C的方程为 ． 【答案】 【分析】设圆的方程为，根据圆过点，，，代入求解. 【详解】解：设圆的方程为， 因为圆过点，，， 所以，解得， 所以圆的方程为， 即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海·课后作业）求经过、、三点的圆的方程． 【答案】 【分析】设过三点的圆的方程为：，代入求解即可. 【详解】设过三点的圆的方程为：， 则解得 所求圆的方程为. 题型03圆的一般方程与标准方程转化 【典例1】（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解. 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 【典例2】（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知圆C的方程为，则圆C的半径为 . 【答案】 【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径. 【详解】由可得， 所以半径为， 故答案为： 【变式1】（23-24高二下·上海杨浦·期末）已知圆的方程是，则圆心的坐标是 ． 【答案】 【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆的方程是，即， 所以圆心的坐标为. 故答案为： 【变式2】（23-24高三下·上海·期中）已知圆的面积为，则实数的值为 . 【答案】 【分析】根据圆的面积可求出圆的半径，再根据圆的标准式即可求解. 【详解】设圆的半径为r，则由题意， 故，将圆一般式化为标准式得， 则， 故答案为：2. 题型04点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·湖北荆门·期末）已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的一般化为标准方程，再结合点在圆外，得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】由题意得，圆的标准方程为， 故，， 又点在圆外，所以， ，或， 所以m的取值范围为． 故选：D. 【典例2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知点在圆的外部，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据点在圆外列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】方程表示圆，则， 由于点在圆的外部， 所以， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·安徽合肥·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由方程表示圆可得，再由点在圆外即可得，求得实数的取值范围是. 【详解】易知圆可化为，可得，即； 又在圆外部，可得，解得； 可得. 故选：B. 【变式2】（23-24高三上·河南南阳·期末）若点在圆的外部，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据方程表示圆可得，由点在圆外可得，解不等式组即可. 【详解】由在圆的外部， 得，解得，或， 故答案为： 题型05圆过定点问题 【典例1】（23-24高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 【典例2】（22-23高二上·江苏·阶段练习）已知圆经过，两点. (1)当，并且是圆的直径，求此时圆的标准方程； (2)如果是圆的直径，证明：无论a取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，求出这个定点坐标. 【答案】(1)； (2)定点坐标为，证明见解析. 【分析】（1）求出的坐标，根据两点间的距离公式求出，从而可求解； （2）设点是圆上任意一点，由是圆的直径，得，从而可求出圆的方程，即可得出结论 【详解】（1）当，，故，， 所以此时圆的标准方程为. （2）设点是圆上任意一点， 因为是圆的直径，所以， 即， 所以圆的方程为：， 则，，等式恒成立，定点为， 所以无论取何正实数，圆恒经过除外的另一个定点，定点坐标为. 【典例3】（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 【变式1】（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 【变式2】（2021高三·全国·专题练习）判别方程（k为参数，）表示何种曲线?找出通过定点的坐标. 【答案】圆心在，半径为的圆；定点的坐标为 【分析】由题通过配方整理可得方程表示圆，将原方程整理为关于k的方程可得定点. 【详解】将原方程整理得， 即， 方程表示圆心在，半径为的圆， 将原方程整理为关于k的方程：， 由 解得 即圆过定点. 【变式3】（23-24高二上·江西上饶·阶段练习）在平面直角坐标系中，设二次函数的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C. (1)求实数b的取值范围； (2)请问圆C是否经过某定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论. 【答案】(1)，且 (2)过定点和，证明见解析. 【分析】（1）由题意可令得抛物线与轴交点是，得出方程，再由根的判别式求解即可. （2）设出所求圆的一般方程，根据题意可分别令和令代入得出与的关系，从而得出含的圆的一般方程，再用恒等思想求解即可. 【详解】（1）令得抛物线与轴交点是； 令， 由题意，且，解得，且． 即实数的取值范围，且． （2）设所求圆的一般方程为， 由题意得函数的图像与两坐标轴的三个交点即为圆和坐标轴的交点， 令得，，由题意可得，这与是同一个方程，故，． 令得，，由题意可得，此方程有一个根为，代入此方程得出， ∴圆的方程为（，且）． 把圆的方程改写为，令， 解得或，故圆过定点和． 题型06求动点的轨迹方程 【典例1】（23-24高二上·吉林长春·期末）已知点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出的坐标，利用相关点法求解出的轨迹方程. 【详解】设， 由题意可知，所以， 又因为， 所以， 化简可得， 所以的轨迹方程为， 故选：A. 【典例2】（2024高三·全国·专题练习）已知A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，点B(1，1)，P，Q为圆O上的动点. (1)求线段AP中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程. 【答案】(1)(x－1)2＋y2＝1 (2)x2＋y2－x－y－1＝0 【详解】（1）设线段AP的中点为M(x，y). 由中点坐标公式可知，点P的坐标为(2x－2，2y). ∵ A(2，0)为圆O：x2＋y2＝r2上一点，∴ 圆O的方程为x2＋y2＝4.又点P在圆O上，∴ (2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1. （2）设线段PQ的中点为N(x，y). 在Rt△PBQ中，PN＝BN，连接ON(图略)，则ON⊥PQ， ∴ OP2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，∴ x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，即x2＋y2－x－y－1＝0. ∴ 线段PQ中点N的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0. 【变式1】（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以直线过点， 直线过点， 因为，所以，设， 所以，所以， 所以，化简可得：. 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知两点，，动点P到点A的距离是它到点B的距离的3倍，则点P的轨迹方程是 ． 【答案】 【分析】设出点，结合距离公式计算即可得. 【详解】设，由题意可得， 化简可得，即. 故答案为：. 【变式3】（23-24高二上·北京·期末）已知点和点，直角以BC为斜边，求直角顶点A的轨迹方程 . 【答案】 【分析】根据圆的定义可以求解，或直接设，由求解. 【详解】方法一：设点， ，，，， 由题意可知：， ，， 整理得：， 三点不共线， ，，应去除. 直角顶点的轨迹方程为：. 方法二：设BC中点为，则，即A在以D为圆心， 为半径的圆上(不能和B、C重合)， 故A的轨迹方程为. 题型07与圆有关的最值问题 【典例1】（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知直线：与圆：交于两点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析可知直线过定点，取线段的中点，可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，结合圆的性质分析求解. 【详解】由题意可知：直线：过定点， 圆：，即， 可知圆心为，半径， 取线段的中点，则， 可知点的轨迹为以的中点为圆心，半径的圆，    可得， 当且仅当在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 【典例2】（23-24高二上·青海海东·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离比为，则点到直线：的距离的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出点的轨迹方程，再结合点到直线的距离公式计算即得. 【详解】设点，由，得，整理得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 点到直线：的距离为， 所以点到直线最大距离为. 故答案为： 【典例3】（23-24高二上·江苏盐城·期末）若实数满足，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】利用两点间距离几何意义求解最值. 【详解】设点，由实数满足可得： 点在以原点为圆心，以为半径的圆上， 设点，则的几何意义为动点到定点的距离， 由，则点在圆外， 结合图形可知，. 的最大值是. 故答案为：.    【变式1】（2024·湖北武汉·模拟预测）已知是边长为的正三角形，点是所在平面内的一点，且满足，则的最小值是（    ） A．1 B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】可由重心的性质结合向量运算得到点的轨迹，再结合圆上的点到圆外定点的距离最小值为圆心到定点减半径得到；亦可建立适当平面直角坐标系，借助向量的坐标运算结合圆的性质得解. 【详解】法一：设的重心为，则， 点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 又，的最小值是. 法二：以所在直线为轴，以中垂线为轴建立直角坐标系， 则， 设，即， 化简得，点的轨迹方程为， 设圆心为，，由圆的性质可知当过圆心时最小， 又，故得最小值为. 故选：C. 【变式2】（23-24高二上·广西桂林·期末）已知点，、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动，利用圆的几何性质可知，当为射线与圆的交点时，取最大值，即可得解. 【详解】如下图所示： 圆的圆心为原点，半径为， 因为、是圆上的两个动点，且满足，为线段的中点， 由垂径定理可知，，则， 所以，点在以原点为圆心，半径为的圆上运动， 则. 当且仅当为射线与圆的交点时，等号成立， 故的最大值为. 故选：B. 【变式3】（23-24高三下·浙江·开学考试）是圆上一动点，为的中点，为坐标原点，则的最大值为 . 【答案】 【分析】写出圆的参数方程，进而可得点坐标，结合两点间距离公式转化为求三角函数的最值即可. 【详解】如图所示， 因为圆：的参数方程为， 所以设点，则的中点， 所以， 当时，取得最大值为. 故答案为：. 题型08圆的对称问题 【典例1】（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 【典例2】（23-24高二下·上海·期末）若直线是曲线的一条对称轴，则的最小值是 . 【答案】4 【分析】先求出圆的圆心，然后由题意可知直线过圆心，则可得所以，化简后利用基本不等式可求得结果. 【详解】由，得， 所以曲线表示的是以为圆心的圆， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以直线过点， 所以，即 所以 （当且仅当时，等号成立） 故答案为：4 【变式1】（23-24高三上·陕西咸阳·阶段练习）圆 关于直线对称的圆的方程为 . 【答案】 【分析】先求出圆心的对称点，然后求解对称圆的方程即可. 【详解】圆的圆心为， 则关于对称的点设为：，故. 与的中点为：， 中点在直线上，所以. 解得：，所以对称圆的圆心为：. 所以圆 关于直线对称的圆的方程为： . 故答案为：. 【变式2】（23-24高二上·安徽安庆·期中）圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为 . 【答案】 【分析】首先求出圆心坐标，依题意可得直线过圆心，则，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】圆，即，圆心为， 因为圆上存在两点关于直线对称， 所以直线过圆心， 所以，即， 又，， 所以， 当且仅当，即、时取等号， 所以的最小值为． 故答案为： 题型09圆的综合问题 【典例1】（23-24高二上·云南昆明·期中）已知点，O为坐标原点，若动点满足． (1)试求动点P的轨迹方程 (2)过点P作y轴的垂线，垂足为Q，试求线段PQ的中点M的轨迹方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，列出方程化简即得动点P的轨迹方程. （2）设出点的坐标，表示出点的坐标，代入点P的轨迹方程得解. 【详解】（1）由动点满足，得，化简得， 所以动点P的轨迹方程是. （2）设点，由轴于点，且是中点，得，即， 由（1）知，， 因此，整理得. 所以点M的轨迹方程是. 【典例2】（23-24高二上·安徽·期中）一般地，平面内到两个定点P，Q的距离之比为常数（且）的动点F的轨迹是圆，此圆便是数学史上著名的“阿波罗尼斯圆”．基于上述事实，完成如下问题： (1)已知点，，若，求动点M的轨迹方程； (2)已知点N在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）设，求出、，代入化简可得答案； （2）设，，求出、，代入化简，再由点N在圆上，两个方程对比可得答案. 【详解】（1）设，则，， 故， 故， 化简得； （2）设，， 故，， ∵，故， 即， 而点N在圆上，即， 对照可知，，解得， 故存在定点，使得． 【典例3】（23-24高二·全国·课后作业）在平面几何中，通常将完全覆盖某平面图形且直径最小的圆，称为该平面图形的最小覆盖圆．最小覆盖圆满足以下性质：①线段AB的最小覆盖圆就是以AB为直径的圆；②锐角三角形ABC的最小覆盖圆就是其外接圆．已知x，y满足方程，记其构成的平面图形为W，平面图形W为中心对称图形，，，，为平面图形W上不同的四点． (1)求实数t的值及三角形ABC的最小覆盖圆的方程； (2)求四边形ABCD的最小覆盖圆的方程； (3)求平面图形W的最小覆盖圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据点A在曲线上求解；进而得到点A的坐标，然后设△ABC的外接圆方程为，将A，B，C的坐标代入求解； （2）根据线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，求出圆的方程，再判断点A，C在圆内即可； （3）根据平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上一点，由最小求解. 【详解】（1）因为点A的坐标满足，则，解得或（舍），故， 设的外接圆的方程为，则，解得， 故的外接圆的方程为，又是锐角三角形， 所以的最小覆盖圆的方程为； （2）因为线段BD的最小覆盖圆是以BD为直径的圆，所以线段BD的最小覆盖圆的方程为，又， 故点A，C在圆内，所以四边形ABCD的最小覆盖圆的方程为； （3）因为平面图形W是中心对称图形，设是平面图形W上的一点， 则， 当，即时，取得最大值， 故平面图形W的最小覆盖圆的方程为． 【变式1】（23-24高二上·湖北十堰·期末）已知直线，圆． (1)求与垂直的的直径所在直线的一般式方程； (2)若圆与关于直线对称，求的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出圆的标准方程，由，设的方程，从而可求解. （2）设的圆心，由与关于直线对称得，从而可求解. 【详解】（1）将的方程转化为，可知的圆心为，半径为4． 因为，所以可设的一般式方程为， 将代入，解得， 故的一般式方程为． （2）设的圆心为，由与关于直线对称， 可得，解得 所以的标准方程为． 【变式2】（23-24高二上·江西抚州·期中）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深入而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：若动点与两定点，的距离之比为，那么点的轨迹就是阿波罗尼斯圆.基于上述事实，完成以下两个问题： (1)已知，，若，求点的轨迹方程； (2)已知点在圆上运动，点，探究：是否存在定点，使得恒成立，若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，定点 【分析】（1）由两点间距离公式列式求解， （2）设出点坐标后列式化简，与圆的方程对比求解， 【详解】（1）设，则，， 故，故， 化简得点的轨迹方程为 （2）假设存在定点，使得恒成立，设，， 故，， 因为，故， 即，而点在圆上，即， 对照可知，，解得 故存在定点，使得恒成立. 题型10圆的实际应用 【典例1】（23-24高二上·北京丰台·期中）赵州桥，又名安济桥，位于河北省石家庄市赵县的洨河上，距今已有多年的历史，是保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，其高超的技术水平和不朽的艺术价值，彰显了中国劳动人民的智慧和力量．2023年以来，中国文旅市场迎来强劲复苏，某地一旅游景点为吸引游客，参照赵州桥的样式在景区兴建圆拱桥，该圆拱桥的圆拱跨度为，拱高为，在该圆拱桥的示意图中建立如图所示的平面直角坐标系．    (1)求这座圆拱桥的拱圆的方程； (2)若该景区游船宽，水面以上高，试判断该景区游船能否从桥下通过，并说明理由. 【答案】(1) (2)可以从桥下通过，理由见解析 【分析】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为，将，，，代入化简即可得出答案； （2）将当代入圆的方程求出，与相比即可得出答案. 【详解】（1）设这座圆拱桥的拱圆的一般方程为， 因为该拱圆过，，， 所以，解得． 所以拱圆的一般方程为， 即． （2）当时，， 得 所以该景区游船可以从桥下通过． 【典例2】（23-24高二上·广东揭阳·期中）如图所示，、分别为某市两条互相垂直的主干道所在的直线，其中为、的交点.若、两点分别为该市1路公交车的起点站和终点站，且、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧，站点到直线、的距离分别为和，站点到直线、的距离分别为和. (1)建立适当的坐标系，求公交线路所在圆弧的方程； (2)为了丰富市民的业余生活，市政府决定在主干道上选址建一游乐场，考虑到城市民居集中区域问题和环境问题，要求游乐场地址（注：地址视为一个点，设为点）在点上方，且点到点的距离大于且小于，并要求公交线路（即圆弧）上任意一点到游乐场的距离不小于，求游乐场C距点距离的最大值. 【答案】(1)（，） (2) 【分析】（1）由题意建立适当的直角坐标系，可以用待定系数法来确定圆弧的方程. （2）由题意，结合可得对任意的恒成立，从而即可求得的范围. 【详解】（1）以为坐标原点，直线、分别为轴和轴建立平面直角坐标系如图所示， 则由题意，，设圆弧所在圆的方程为， 又因为、之间的公交线路是圆心在上的一段圆弧， 所以，解得， 故公交线路所在圆弧的方程为（，）. （2）如图所示： 因为游乐场距点的距离为，所以， 设为公交线路上任意一点， 则（，），即， 且，对公交线路上任意点均成立， 整理得，对任意的恒成立， 令，因为， 所以函数在上单调递减， 所以，解得或， 又，故， 即游乐场C距点距离的最大值为. 【点睛】关键点睛：第一问比较常规用待定系数法来做就可以了，第二问的关键是结合两点间的距离公式把问题转换为恒成立问题来做. 【变式1】（23-24高二上·吉林长春·阶段练习）某大型企业在修建一个单行路的涵洞时，经测量此涵洞被垂直于地面的平面截的断面洞口边缘是一个半圆如图，已知圆的直径是米，建立如图所示的直角坐标系. (1)写出点C的坐标，并求出这个圆的标准方程； (2)若一个大型载重卡车宽6米，高4.2米，是否能顺利通过这个涵洞？说明理由. 【答案】(1)， (2)能，理由见解析 【分析】（1）利用数形结合思想，根据圆的标准方程，可得答案； （2）利用圆的对称性，求隧道边缘最高点，比大小，可得答案. 【详解】（1）因为，所以C的，由圆心，，则圆C的方程是. （2）当时，米，因此正常行驶时卡车可以顺利通过. 【变式2】（23-24高一·全国·课后作业）某圆拱梁的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36m，拱高OP是6m，在建造时，每隔3m需要一个支柱支撑，求支柱的长（精确到0.01m）．      【答案】5.39m 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设出圆的一般方程并利用待定系数法求出圆方程，代入点的横坐标即可求出支柱的长. 【详解】以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的中点O为坐标原点，建立直角坐标系xOy， 易知点A，B，P的坐标分别为，，． 设圆拱所在的圆的方程是． 因为点A，B，P在所求的圆上， 所以，解得． 故圆拱所在的圆的方程是． 将点的横坐标代入上述方程，解得（负值舍去）； 即支柱的长约为5.39m． A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（2024·云南曲靖·二模）曲线所围成的区域的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的一般方程化为圆的标准方程，确定圆的半径，即可求解. 【详解】由， 得， 故该曲线围成区域的面积为半径为3的圆的面积为 . 故选：D. 2．（2024高三·全国·专题练习）圆x2＋y2＝4上的点到点(1，0)的距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】 因为点(1，0)在圆x2＋y2＝4内，且点(1，0)到圆心(0，0)的距离为1，所以圆上的点到点(1，0)的距离的最大值为2＋1＝3. 3．（23-24高二上·全国·课后作业）若方程表示圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用二元二次方程表示圆的充要条件，列出不等式求解即得. 【详解】依题意，，解得或， 所以实数的取值范围为. 故选：B 4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）方程所表示的圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把圆的方程化成标准形式，再求出圆心坐标即得. 【详解】方程化为：， 所以方程所表示的圆的圆心坐标为. 故选：B 5．（23-24高二上·河北保定·期中）过圆的圆心且与直线垂直的直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程 【详解】因为圆，即， 所以圆心为，又直线的斜率为，所以所求直线的斜率为， ∴所求直线的方程为，即. 故选：C 6．（21-22高二上·湖北孝感·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程表示圆，化为标准式得出，由点在圆外，得出，即可结合得出答案. 【详解】圆化为标准式：， 则，即， 又点在圆的外部， ，解得， 综上：. 故选：C. 7．（23-24高二上·天津河东·期中）若圆关于直线对称，则（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】得到圆心在直线上，先求出圆心，代入即可. 【详解】圆关于直线对称, 即圆心在直线上， 由，得圆心， 则，得. 故选：D 8．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点的距离之比为时，则动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两点距离公式代入化简，结合圆的方程即可得解. 【详解】依题意，设， 又动点M与两定点的距离之比为，即， 所以，整理可得，即， 所以动点M所形成的轨迹阿波罗尼斯圆的方程为，其圆心为. 故选：A. 二、多选题 9．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知方程表示一个圆，则实数m可能的取值为（    ） A．－1 B．0 C． D．1 【答案】BC 【分析】由圆的一般式，根据即可判断的可能取值. 【详解】因为方程表示一个圆， 令， 所以由， 化简得，解得. 故选：BC. 10．（23-24高二上·甘肃白银·期末）如图，在直角坐标系中，坐标轴将边长为4的正方形分割成四个小正方形.若大圆为正方形的外接圆，四个小圆分别为四个小正方形的内切圆，则下列方程是图中某个圆的方程的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由各小圆的圆心和半径，求出圆的标准方程和一般方程，对照选项判断. 【详解】由题可知小正方形边长为2，则内切圆半径为1， 可得第一象限的小圆的圆心为，方程为， 即，A选项正确； 第二象限的小圆的圆心为，方程为， 即，B选项正确； 第三象限的小圆的圆心为，方程为， 即，C选项正确； 第四象限的小圆的圆心为，方程为， 即，没有选项符合； 外接圆圆心为，半径为，方程为，没有选项符合. 故选：ABC 三、填空题 11．（2024高三·全国·专题练习）当m变化时，圆x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0恒过定点 . 【答案】（0，－2）和（0，1） 【详解】解析：方程x2＋y2＋（m＋2）x＋y－2＝0可化为（x2＋y2＋2x＋y－2）＋mx＝0.由得所以定点坐标是（0，－2）和（0，1）. 12．（23-24高二上·四川资阳·期中）若实数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据两点间距离公式，结合圆的几何性质进行求解即可. 【详解】因为点在圆上， 所以表示圆上点与点连线的距离， 又因为圆心为，半径为1， 故的最大值为. 故答案为： 四、解答题 13．（23-24高二上·河南郑州·阶段练习）（1）将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心和半径： ①； ②． （2）已知点在圆的内部，求实数的取值范围. 【答案】（1）① 答案见解析；②答案见解析；（2）． 【分析】（1）①②化圆的方程为标准方程，再写出圆心、半径即得. （2）由点与圆的位置关系，列出不等式并求解即得. 【详解】（1）①标准方程为，圆心为，半径为3； ②圆的标准方程为，圆心为，半径为. （2）由点在圆的内部， 得，解得， 所以实数的取值范围是. 14．（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B． (1)求圆的圆心坐标； (2)求线段的中点M的轨迹C的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）根据题意，将圆的一般式化为标准式，即可得到结果； （2）根据题意，由列出方程，化简即可得到结果. 【详解】（1） 圆的方程可变形为， 故的圆心坐标为，半径为2. （2） 设，因为点M是的中点，， ， 故， 由此可得， 故轨迹方程为，轨迹是以圆心为，半径为的圆. B能力提升 1．（23-24高三上·江苏镇江·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，利用可得，即点轨迹为圆心为，半径为的圆，则可设，利用辅助角公式化简，即可求出最值. 【详解】设点， 由，得， 解得， 即点轨迹为圆心为，半径为的圆， 可设，为任意角， 则，， 所以 ， 所以当时， 最大，且为. 故选：A 2．（23-24高二上·湖北武汉·阶段练习）已知实数满足，，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的参数方程，转化为三角函数求最大值即可. 【详解】由可得， 设， 则， 故当时，， 故选：C 3．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设，先求出直线和恒过的定点，，由可得，即可得出答案. 【详解】因为，所以直线过点， 直线过点， 因为，所以，设， 所以，所以， 所以，化简可得：. 故答案为：. 4．（2024高二·全国·专题练习）已知曲线：． (1)当取何值时，方程表示圆？ (2)求证：不论为何值，曲线必过两定点． 【答案】(1)； (2)证明见解析； 【分析】（1）当时，方程为表示一条直线，当时，化简整理已知方程，可知满足圆的方程； （2）将已知方程整理为，从而可得方程组，解方程组求得两定点坐标，结论可证得. 【详解】（1）当时，方程为表示一条直线． 当时，， 整理得， 由于， 所以时，方程表示圆. （2）证明：方程变形为， 由于取任何值，上式都成立，则有， 解得或， 所以曲线必过定点，， 即无论为何值，曲线必过两定点． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$