第07讲 2.4.1圆的标准方程（知识清单+6类热点题型讲练+分层强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）

第07讲 2.4.1圆的标准方程 课程标准 学习目标 ①理解圆的定义及确定圆的几何要素。 ②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。 ③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。 通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题. 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（23-24高二·全国·课堂例题）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练3】（2024高三·全国·专题练习）圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 题型01求圆的标准方程 【典例1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（23-24高二上·福建三明·期末）已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高二下·湖南邵阳·期中）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【变式3】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 题型02由圆的方程求圆心或半径 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【典例2】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型03点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点和，求以线段AB为直径的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上． 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 【变式3】（23-24高二·全国·随堂练习）已知，两点，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，在圆上、圆内，还是在圆外． 题型04与圆有关的最值问题 【典例1】（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【典例2】（2024高三下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为 ． 【变式1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【变式3】（2014高二·全国）已知点在圆上，点在曲线上，则的最小值为 ． 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2024·全国·模拟预测）圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ． 【变式1】（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 【变式3】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）圆关于直线对称的圆的方程为 ． 题型06轨迹方程 【典例1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【典例2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【典例3】（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【变式1】（23-24高一上·甘肃天水·期末）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．当时，求PQ的中点M的轨迹方程； 【变式3】（23-24高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆O：x2+y2=13，经过圆O上任P一点作y轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（    ） A． B．1或 C．或3 D．3 3．（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 8．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 9．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 10．（23-24高二·全国·课后作业）（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 12．（2024·四川·模拟预测）已知点在圆上运动，且，点，则 ． 四、解答题 13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，求圆上的点到点的距离的最大值与最小值． 14．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． B能力提升 1．（2024·广西南宁·模拟预测）已知坐标原点在直线上的射影为点，则为必然满足的关系是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知平面向量均为单位向量，且，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·河南三门峡·期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ． 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． C新定义题型 1．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. (1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线在曲面上； (3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 2.4.1圆的标准方程 课程标准 学习目标 ①理解圆的定义及确定圆的几何要素。 ②理解与掌握平面直角坐标系中圆的标准方程.。 ③会根据相关条件写出圆的标准方程及圆的圆心，半径。 通过本节课的学习，了解与掌握确定圆的位置，大小的几何要素，能根据相关条件求出圆的标准方程，并能解决与圆有关的问题. 知识点01：圆的定义 平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. 如图，在平面直角坐标系中，的圆心的坐标为, 半径为, 为圆上任意一点， 可用集合表示为： 知识点02：圆的标准方程 我们把方程称为圆心为半径为的圆的标准方程. 【即学即练1】（23-24高二上·广东湛江·期中）在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 知识点03：点与圆的位置关系 判断点与：位置关系的方法: （1）几何法（优先推荐） 设到圆心的距离为，则 ①则点在外 ②则点在上 ③则点在内 （2）代数法 将点带入：方程内 ①点在外 ②点在上 ③点在内 【即学即练2】（23-24高二·全国·课堂例题）求圆心为，半径为5的圆的标准方程，并判断点，是否在这个圆上． 【答案】，点在这个圆上，点不在这个圆上 【分析】根据点的坐标与圆的方程的关系，只要判断一个点的坐标是否满足圆的方程，就可以得到这个点是否在图上． 【详解】圆心为，半径为5的圆的标准方程是, 因为，所以点的坐标满足圆的方程， 所以点在这个圆上． 因为，所以点的坐标不满足圆的方程， 所以点不在这个圆上（如图）．    知识点04：圆上的点到定点的最大、最小距离 设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记; ①若点在外，则; ②若点在上，则; ③若点在内，则; 【即学即练3】（2024高三·全国·专题练习）圆(x－2)2＋y2＝1上的点到原点距离的取值范围是（    ） A．(0，3] B．[0，3] C．[1，3] D．[2，3] 【答案】C 【详解】 圆心为(2，0)，半径1，所以圆上的点到原点的距离d满足2－1≤d≤2＋1，即1≤d≤3. 题型01求圆的标准方程 【典例1】（23-24高二下·安徽·阶段练习）已知，，圆M经过A，B两点，且圆的周长被x轴平分，则圆M的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出线段的中垂线，求得与轴的交点即为圆心坐标，进而求得圆的方程. 【详解】由题意，，中点为， 所以线段的中垂线为，令得， 所以，半径，所以圆M的标准方程为． 故选：B. 【典例2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）过和两点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 求出以为直径的圆的方程可得正确的选项. 【详解】 设过和两点的圆的圆心为，半径为， 则， 故，当且仅当为中点时等号成立， 故过和两点的圆的面积最小时直径为， 此时圆的圆心为，故其标准方程为， 故选：C. 【典例3】（23-24高二上·福建三明·期末）已知点，，以线段AB为直径的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】求出圆心坐标和半径可得. 【详解】因为圆心的坐标为，， 所以该圆的标准方程为. 故答案为：. 【变式1】（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 【变式2】（22-23高二下·湖南邵阳·期中）圆心在y轴，半径为1且过点的圆的标准方程为： 【答案】 【分析】 根据给定条件，求出圆心坐标即可得解. 【详解】依题意，设圆心为，则，解得， 所以所求圆的标准方程是. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·上海青浦·阶段练习）已知圆心为，半径，写出圆的标准方程 ． 【答案】 【分析】根据圆的标准方程的形式，将圆心和半径代入整理即得. 【详解】因圆的圆心坐标为，圆的半径为，故圆的标准方程为：. 故答案为：. 题型02由圆的方程求圆心或半径 【典例1】（23-24高二上·山西太原·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．，3 D．，3 【答案】A 【分析】利用给定圆的方程直接求出圆心坐标及半径即得. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为. 故选：A 【典例2】（23-24高二上·四川雅安·阶段练习）已知圆的方程是，其圆心和半径分别是（    ） A．，2 B．，4 C．，2 D．，4 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程的特点即可求解. 【详解】因为圆的标准方程的圆心为，半径为， 所以圆的圆心和半径分别为，2. 故选：C. 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）圆的圆心坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程可直接得到结果. 【详解】由圆的标准方程， 得圆心为， 故选:C. 【变式2】（23-24高二上·北京丰台·期中）已知圆，则圆心与半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】直接利用圆的标准方程写出圆的圆心与半径即可 【详解】圆的方程为为标准形式， 即圆心与半径分别为， 故选：D. 题型03点与圆的位置关系 【典例1】（23-24高二上·重庆·期中）若点在圆外，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的方程可得圆心和半径，结合点与圆的位置关系分析求解. 【详解】由题意可知：圆的圆心，半径， 若点在圆外，则， 解得或，所以实数的取值范围是. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）已知点和，求以线段AB为直径的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上． 【答案】圆的方程：；点，不在圆上． 【分析】由已知可求圆心与半径，从而可求圆的方程，再由点到圆心的距离与半径的大小关系判断点是否在圆上 【详解】设圆心为，因为AB为圆的直径，且，， 所以圆心坐标为，半径， 所以，以线段AB为直径的圆的方程为， 因为， ，， 所以点，不在这个圆上． 【变式1】（2024高二上·全国·专题练习）点在圆的内部，则a的取值范围是（    ） A． B． C． 或 D．   【答案】A 【分析】由点在圆内得，求得a的取值范围. 【详解】点在圆的内部， 所以，化简得，解得， 故选:A 【变式2】（2024高二上·全国·专题练习）已知点不在圆C：的内部，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】根据点不在圆的内部列不等式，然后解不等式即可. 【详解】由题意，得点在圆上或圆的外部， ∴， ∴，∴， 又， ∴的取值范围是. 【变式3】（23-24高二·全国·随堂练习）已知，两点，求以线段为直径的圆的标准方程，并判断点，，在圆上、圆内，还是在圆外． 【答案】答案见解析 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】线段的中点坐标为， ， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 点代入，所以点在圆上， 点代入，所以点在圆外， 点代入，所以点在圆内. 题型04与圆有关的最值问题 【典例1】（2024·山东枣庄·一模）在平面直角坐标系中，已知为圆上动点，则的最小值为（   ） A．34 B．40 C．44 D．48 【答案】B 【分析】借助点到直线的距离公式与圆上的点到定点距离的最值计算即可得. 【详解】设，则 ， 即等价于点到点的距离的平方的两倍加八， 又， 即. 故选：B. 【典例2】（2024高三下·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，已知，，P为上一动点，则最小值为 ． 【答案】 【分析】 根据题意画出图象，在y轴取点C，使得，由比例关系求得并得的坐标，再用比例关系得，进而当共线时取得最小值. 【详解】根据题意画出图象如下： 连接，则， 在y轴取点C，使得，则有， 即， ，又，即. 所以，. 当共线且在之间时取等号. 故答案为：. 【变式1】（2024·河南信阳·模拟预测）已知圆O：，点和点在圆上，满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将点代入圆中得并结合，可得，再使用重要不等式求解即可. 【详解】由题意可知，点在圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 又因为， 所以，当且仅当取等号. 故选：B. 【变式2】（23-24高二下·广西桂林·开学考试）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值. 【详解】由题知：直线恒过定点. 直线化简为：，当时，，直线恒过点. 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则. 当时，，，，则. 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且. 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为（除点外），圆的半径， 因为表示圆上的点到原点距离的平方，设， 则，所以的最大值为64. 故选：D. 【变式3】（2014高二·全国）已知点在圆上，点在曲线上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】 将看成点和距离的平方，画出曲线和圆即可求解. 【详解】 的最小值就是双曲线和圆上点的最小距离的平方，如下图， 由对称性，不妨设，则，当且仅当时等号成立， 即当坐标为时，点距离圆心最近， 即的最小值为， 故答案为：. 题型05与圆有关的对称问题 【典例1】（23-24高二上·安徽黄山·期末）圆与圆N关于直线对称，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称性求得圆的圆心和半径，进而求得圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 关于直线的对称点是， 所以圆的圆心是，半径是， 所以圆的方程为. 故选：D 【典例2】（23-24高二上·四川成都·期末）圆关于直线对称后的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据已知圆的圆心求出关于直线对称的圆的圆心，求出半径，即可得到所求结果. 【详解】因为圆，所以圆的圆心为，半径为， 设点关于直线对称的点为， 所以，解得：， 所以所求圆的圆心为，半径为, 故所求圆的方程为：. 故选：A. 【典例3】（2024·全国·模拟预测）圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意求得点关于直线l对称的点的坐标，即可写出圆的方程. 【详解】由题意知圆C的圆心为，半径为2； 设点关于直线l对称的点为，则， 解得， 因此圆C：关于直线l：对称的圆的标准方程为， 故答案为： 【变式1】（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】 若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 【变式2】（23-24高三上·湖南·阶段练习）已知圆关于直线l对称的圆为圆，则直线l的方程为 . 【答案】 【分析】分别求得圆心和圆心，根据题意，求得两圆心和关于直线对称，由，得到，及的中点坐标，结合直线的点斜式，即可求解. 【详解】由题意可知圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆与圆关于直线对称，可得两圆心和关于直线对称， 又由，可得，且的中点为， 所以直线的方程为，即. 故答案为： 【变式3】（23-24高二上·内蒙古呼和浩特·期末）圆关于直线对称的圆的方程为 ． 【答案】 【分析】设对称的圆的圆心为，构造方程组，求出，写出方程. 【详解】设圆关于对称的圆的圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为：. 故答案为： 题型06轨迹方程 【典例1】（23-24高二上·湖北武汉·期中）点在动直线上的投影点为，则点的轨迹方程是 . 【答案】 【分析】求出动直线过定点，再由得出点在以为直径的圆上运动，进而得出点的轨迹方程. 【详解】将动直线整理为， 联立，可得，所以动直线过定点. 又，所以点在以为直径的圆上运动， 设，则， ， 即. 故答案为： 【典例2】（23-24高二上·河南周口·期末）的三个顶点坐标是； (1)的外接圆方程； (2)若线段MN的端点N的坐标为，端点M在△ABC的外接圆的圆上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用待定系数法可求圆的方程； （2）定义代入法求线段MN的中点P的轨迹方程． 【详解】（1）设△ABC的外接圆方程为 . 把A（0，1），B（2，1），C（3，4）代入圆的方程得: 解此方程组，得. ∴△ABC的外接圆方程是 （2）设点，， ∵点P是MN的中点，∴. ∵点M在上运动，∴. 即，整理得：. 所以，点P的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 【典例3】（23-24高二上·山西太原·期中）已知圆心为C的圆经过点和点两点，且圆心C在直线上． (1)求圆C的标准方程； (2)已知线段MN的端点M的坐标，另一端点N在圆C上运动，求线段MN的中点G的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由圆心为C的圆经过点和点两点，可知圆心过线段的垂直平分线，将其与直线联立可求得圆心C，再求半径，即可得到圆的标准方程； （2）设线段MN的中点，由G为线段MN的中点可得，代入圆C的方程，即可得到G的轨迹方程. 【详解】（1）因为圆C经过点和点两点， 所以圆心C在线段的垂直平分线上，即上， 联立可解得，即， 所以圆C的半径为 则圆C的标准方程； （2）设线段MN的中点， 又M的坐标，且G为线段MN的中点， 所以， 又N在圆C上运动， 可得， 化简可得， 所以，线段MN的中点G的轨迹方程. 【变式1】（23-24高一上·甘肃天水·期末）已知圆心为的圆经过和，且圆心在直线上 (1)求圆心为的圆的标准方程； (2)线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由和的坐标，求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出线段垂直平分线的斜率，再由和的坐标，利用线段中点坐标公式求出线段的中点坐标，由中点坐标和求出的斜率，得出线段垂直平分线的方程，与直线联立组成方程组，求出方程组的解集得到圆心的坐标，再由和的坐标，利用两点间的距离公式求出的值，即为圆的半径，由圆心和半径写出圆的标准方程即可. （2）设出和的坐标，由中点坐标公式把的坐标用的坐标表示，然后代入圆即可得到答案． 【详解】（1）因为，，所以，所以弦的垂直平分线的斜率为 又弦的中点坐标为， 所以弦的垂直平分线的方程为，即， 与直线联立解得：，， 所以圆心坐标为所以圆的半径， 则圆C的方程为：； （2）设，线段的中点为，，为中点， 所以，则，①； 因为端点在圆上运动，所以， 把①代入得：， 所以线段的中点M的轨迹方程是. 【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知点P，Q是圆上的两个动点，若直线OP与OQ的斜率都存在且满足．当时，求PQ的中点M的轨迹方程； 【答案】 【分析】先根据判断出为等腰直角三角形以及点的限制条件，求出，再利用两点间距离公式化简可得到点的轨迹方程. 【详解】设点，，. 如图所示： 点P，Q是圆上的两个点，直线OP与OQ的斜率都存在. ，. 当时，， ，为等腰直角三角形. 点M是PQ的中点 在中， 由两点间距离公式得，其中， 即， 所以PQ的中点M的轨迹方程为． 【变式3】（23-24高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）已知圆O：x2+y2=13，经过圆O上任P一点作y轴的垂线，垂足为Q，求线段PQ的中点M的轨迹方程. 【答案】 【分析】先设PQ中点M坐标，利用中点坐标公式确定点P坐标；再将点P的坐标代入圆的方程，即可求得M的轨迹方程. 【详解】   设PQ中点坐标为， 由题意可得：，. ∵点P在圆x2+y2=13上， ∴4x2+y2=13，整理得：. 即PQ中点的轨迹方程为. A夯实基础 B能力提升 C新定义题型 A夯实基础 一、单选题 1．（23-24高二上·安徽马鞍山·阶段练习）已知圆的圆心在，半径为5，则它的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的标准方程得解. 【详解】因为圆心为，半径为5， 所以圆的标准方程为， 故选：C 2．（2024·全国·模拟预测）圆的圆心到直线与直线的距离相等，则实数（    ） A． B．1或 C．或3 D．3 【答案】C 【分析】由题意可知，则，解之即可求解. 【详解】由，知， 则，解得或． 故选：C． 3．（2024高三·全国·专题练习）若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是（    ） A．{a|－1＜a＜1} B．{a|0＜a＜1} C．{a|a＜－1或a＞1} D．{a|－1＜a＜0} 【答案】A 【详解】点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，∴ (2a)2＋a2＜5，解得－1＜a＜1. 4．（23-24高二上·江苏徐州·期末）圆的圆心坐标和半径分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆的标准方程即可求得圆心坐标和半径. 【详解】根据圆的标准方程， 即可得圆心坐标为，半径为. 故选：D 5．（23-24高二上·河南周口·期末）若曲线上相异两点P、Q关于直线对称，则k的值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】 根据圆上的任意两点关于直径对称即可求解. 【详解】 若曲线上相异两点P、Q关于直线对称， 则圆心在直线上，故代入解得， 故选：D． 6．（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知点，点为圆上的动点，则的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的中点，则，代入圆的方程化简可得答案. 【详解】设的中点，则， 因为点为圆上的动点，所以， 即. 故选：D. 7．（23-24高二上·黑龙江鸡西·期末）点与圆的位置关系是（    ） A．在圆外 B．在圆内 C．在圆上 D．不确定 【答案】B 【分析】利用点与圆的位置关系进行判断即可. 【详解】因为 所以点在圆内. 故选：B. 8．（2024·河南·模拟预测）已知点在以原点为圆心，半径的圆上，则的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】由题可得点满足的圆方程，进而，然后利用基本不等式结合条件即得. 【详解】由题意可得点的坐标满足，所以，． 因此， . 当且仅当时，即时取等号． 故选: D． 二、多选题 9．（23-24高二上·青海海南·期中）已知，两点，以线段为直径的圆为圆，则（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．在圆外 【答案】ABC 【分析】根据条件求圆心和半径，即可求得圆的标准方程，再将点代入圆的方程，即可判断点与圆的位置关系. 【详解】线段的中点坐标为， 又， 因为线段为圆的直径，所以圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为， 对于A，点代入，所以点在圆上，故A正确； 对于B，点代入，所以点在圆外，故B正确； 对于C，点代入，所以点在圆内，故C正确； 对于D，点代入，所以点在圆上，故D错误. 故选：ABC. 10．（23-24高二·全国·课后作业）（多选）若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆的半径为，则圆的标准方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由题意可知圆心在直线上，设圆心坐标为，由求得或，再根据圆的标准方程即可求解. 【详解】∵圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，∴圆心在直线上． 设圆心坐标为，则由，解得或， ∴圆的标准方程为或． 故选：AD． 三、填空题 11．（23-24高二上·广东东莞·期中）求经过点且圆心在直线上的圆的标准方程为 . 【答案】 【分析】分析出圆心在直线上，再结合其在上，最后得到圆心坐标即可得到答案. 【详解】若经过点，，则圆心在直线上， 又在直线l：上，令，则， 故圆心坐标为，半径为， 故所求圆的标准方程为. 故答案为：. 12．（2024·四川·模拟预测）已知点在圆上运动，且，点，则 ． 【答案】15 【分析】分析可知为直径，即圆心为中点，结合数量积的运算律分析求解. 【详解】圆的圆心为，半径为1， 由题意可知：为直径，即圆心为中点， 所以． 故答案为：15. 四、解答题 13．（2024高三·全国·专题练习）已知圆，求圆上的点到点的距离的最大值与最小值． 【答案】最大值为，最小值为 【分析】根据题意，求得圆的圆心坐标和半径，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆可化为， 可得圆心为，半径， 如图所示，点P与点E距离的最大值为，点P与点E距离的最小值为， 又因为， 所以圆上的点P到点E的距离的最大值为，最小值为． 14．（23-24高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，，，． (1)设线段的中点为，直线过且垂直于直线，求的方程； (2)求以点为圆心、与直线相切的圆的标准方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过题意求出点坐标和直线的斜率即可求解； （2）根据四边形为平行四边形求出点坐标，又由得，从而半径为，进而写出圆的标准方程. 【详解】（1）因为为中点，，，所以． 因为四边形为平行四边形，所以， 由，，得， 所以．由知直线的斜率为， 所以直线的方程为， 即所求直线的方程为． （2）因为四边形为平行四边形，且，，， 设，由得解得， 又由得，且， 所以点为圆心，与直线相切的圆的标准方程为． B能力提升 1．（2024·广西南宁·模拟预测）已知坐标原点在直线上的射影为点，则为必然满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线所过的定点，由射影的意义可得点在以为直径的圆上，进而判断即得. 【详解】直线，即恒过定点， 由原点在直线上的射影点为，得，则点在以为直径的圆上， 该圆圆心为，半径为， 所以，满足的关系是. 故选：B 2．（23-24高三下·重庆·阶段练习）已知平面向量均为单位向量，且，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】据题意，设，，，由已知可得点在圆上运动，由，数形结合即可求得取值范围． 【详解】设， 由，可得， 所以点在圆上，则. 又点到圆心的距离为，圆的半径， 故， 所以的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：本题考查向量的运算与几何性质的转化，难度一般.根据向量的模长与夹角，结合向量的坐标运算，将定向量转化为定点，动向量化为动点问题，将向量的模长转化为定点到动点的距离，再结合几何性质求得最值即可. 3．（23-24高一下·河南三门峡·期中）剪纸是中国古老的传统民间艺术之一，剪纸时常会沿着纸的某条对称轴对折．将一张纸片先左右折叠，再上下折叠，然后沿半圆弧虚线裁剪，展开得到最后的图形，若正方形的边长为2，点在四段圆弧上运动，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求出点的横坐标的取值范围，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的取值范围． 【详解】如图以、所在直线分别为、轴，建立平面直角坐标系， 设点，易知以为直径的左半圆的方程为：， 以为直径的右半圆的方程为：， 点的横坐标的取值范围是， 又，， ． 故答案为： 4．（23-24高二上·河北保定·期末）已知点在圆上运动，，点为线段MN中点． (1)求点的轨迹方程； (2)已知，求的最大值． 【答案】(1) (2)89 【分析】（1）设点，用表示出的坐标，代入圆的方程即可； （2）利用两点距离公式表示，结合的关系及范围可求结论. 【详解】（1）设点，因为为中点， ，于是有， 因为点在圆上运动， 所以， 代入得， 化简得， 所以点的轨迹方程为； （2） 因为，所以 所以的最大值为89． C新定义题型 1．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面）的方程，若曲面和三元方程之间满足：①曲面上任意一点的坐标均为三元方程的解；②以三元方程的任意解为坐标的点均在曲面上，则称曲面的方程为，方程的曲面为.已知空间中某单叶双曲面的方程为，双曲面可视为平面中某双曲线的一支绕轴旋转一周所得的旋转面，已知直线过C上一点，且以为方向向量. (1)指出平面截曲面所得交线是什么曲线，并说明理由； (2)证明：直线在曲面上； (3)若过曲面上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面上.设直线在曲面上，且过点，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)平面上，以原点为圆心，1为半径的圆；理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，可得坐标平面的方程；当时，可得平面截曲面所得交线的方程，进而可得曲线类型； （2）设是直线上任意一点，由题意有，从而得点的坐标，代入曲面的方程验证即可. （3）设是直线上任意一点，直线的方向向量为，由题意有，可得点的坐标，代入曲面的方程，进而可求得的关系，可得，利用向量夹角公式求解即可得出答案. 【详解】（1）根据坐标平面内点的坐标的特征可知，坐标平面的方程为， 已知曲面的方程为， 当时，平面截曲面所得交线上的点满足， 即， 也即在平面上到原点距离为定值1， 从而平面截曲面所得交线是平面上，以原点为圆心，1为半径的圆. （2）设是直线上任意一点， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， 于是， 因此点的坐标总是满足曲面的方程，从而直线在曲面上. （3）直线在曲面上，且过点， 设是直线上任意一点，直线的方向向量为， 由，均为直线的方向向量，有， 从而存在实数，使得，即， 则，解得， 所以点的坐标为， ∵在曲面上，∴， 整理得， 由题意，对任意的，有恒成立， ∴，且， ∴，或， 不妨取，则，或， ∴，或， 又直线的方向向量为， 则异面直线与所成角的余弦值均为 【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$