第四讲 一元二次方程的解法 预习讲义 【暑假衔接】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

一元二次方程的解法 【同步知识梳理】 ①一元二次方程的定义：含有__一个未知数____并且未知数的最高次数是__2___的__整式__方程叫做一元二次方程。 例题：若方程（m-1）x2+x=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为______ ②一元二次方程的一般形式： __ax2+bx+c=0（a≠0）___，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是___0___，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做__常数项___。 ③一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 例：（2x-1）2=9 （2x-1）2=（3x-2） 2 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。 配方的口诀：保证二次项系数为1，加上一次项系数______的平方 例：2x2-2x-3=0 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式：_____x=_____ 例：2x2-2x-3=0 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 因式分解法 例：x2-x=0 x2-2x-3=0 【精题精练精讲】 题型一;一元二次方程的定义 1．下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 2．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 4．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 题型二;一元二次方程一般式 1．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是_________ 2．一元二次方程二次项系数为 ，常数项为 . 3．若一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0的常数项为0，则m= ． 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是_______ 题型三;一元二次方程的解（根） 1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是____________ 2．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 3．已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）． A．ab B． C． D． 4．已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2024的值为__________ 题型四;直接开平方法 1.解方程： 2.解方程： 3．解方程：2(x-3)2-8＝0 4．解方程： 题型五;配方法 1．解方程：． 2．解方程：． 3.解方程： 4．用配方法解一元二次方程：． 5.解方程： 6．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 题型六;公式法 1.解方程： 2.解方程： 3.解方程：． 4．解方程． 5．解方程； 6.解方程：； 题型七;因式分解法 1．方程的根是__________ 2.解方程：x(5x+4)＝5x 3.解方程：x2 +12x+27=0 4.解方程： 5.解方程：(x＋1)2-3(x＋1)+2＝0． 6.解方程： 7.解方程：． 8.解方程： 9．已知x为实数，若，则 ． 【能力拓展训练】 1.（x2+y2-1）（x2+y2+3）=0，则x2+y2=____________ 2.（x+-1）（x++3）=0，则x+=____________ 3.已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　 　． 4.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m＋2)2＋b＝0的解是 . 5.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x-m＋2)2＋b＝0的解是 . 6.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x-3m＋2)2＋b＝0的解是 . 7.已知、是方程的两个根，则代数式的值为________。 【课后知识应用】 1．下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 3．方程化为一般形式为 4．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 5．解方程： (1) (2) (3) (4)． 6．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3)． (4)． 7．用适当的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 8．按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（因式分解法） (3)；（公式法） (4)．（因式分解法） 9．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为___________ 10.已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为___________ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一元二次方程的解法 【同步知识梳理】 ①一元二次方程的定义：含有__一个未知数____并且未知数的最高次数是__2___的__整式__方程叫做一元二次方程。 例题：若方程（m-1）x2+x=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为_m≥0且m≠1_____ ②一元二次方程的一般形式： __ax2+bx+c=0（a≠0）___，它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是___0___，其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做__常数项___。 ③一元二次方程的解法 1、直接开平方法 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如的一元二次方程。根据平方根的定义可知，是b的平方根，当时，，，当b<0时，方程没有实数根。 例：（2x-1）2=9 （2x-1）2=（3x-2） 2 2x-1=±3 ①2x-1=3x-2x=1 ①2x-1=3x=2 ②2x-1=-3x+2x= ②2x-1=-3x=-1 2、配方法 配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。配方法的理论根据是完全平方公式，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有。 配方的口诀：保证二次项系数为1，加上一次项系数__一半____的平方 例：2x2-2x-3=0 x2-x-=0 x2-x= x2-x+=+ （x-）2= x-=± x1=，x2= 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。 一元二次方程的求根公式：_____x=_____ 例：2x2-2x-3=0 a=2，b=-2，c=-3 △=b2-4ac=28＞0 x== 4、因式分解法 因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。 因式分解法 例：x2-x=0 x2-2x-3=0 （x-1）x=0 （x-3）（x+1）=0 x1=1，x2=0 x1=-1，x2=3 【精题精练精讲】 题型一;一元二次方程的定义 1．下列方程中，一元二次方程共有（    ）个． ①x2﹣2x﹣1＝0；②ax2＋bx＋c＝0；③；④﹣x2＝0；⑤（x﹣1）2＋y2＝2；⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：①x2﹣2x﹣1＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ②ax2+bx+c＝0，没有二次项系数不为0这个条件，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ③不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ④﹣x2＝0，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； ⑤（x﹣1）2+y2＝2，方程含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； ⑥（x﹣1）（x﹣3）＝x2，方程整理后，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 综上所述，一元二次方程共有2个． 故选：B． 2．下面关于x的方程中：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x﹣9）2﹣（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3﹣6＝0；⑤3x2＝3（x﹣2）2；⑥12x﹣10＝0，是一元二次方程个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：①ax2+bx+c=0当a=0不是一元二次方程； ②3（x-9）2-（x+1）2=1是一元二次方程； ③x2＋＋5＝0是分式方程； ④x2＋5x3﹣6＝0是一元三次方程； ⑤3x2=3（x-2）2是一元一次方程； ⑥12x-10=0是一元一次方程． 故选：A． 3．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】且 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得：且． 故答案为：且． 4．若关于的方程是一元二次方程，则 ． 【答案】-1 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴k−1≠0且|k|＋1＝2， 解得：k＝−1， 故答案为：−1． 题型二;一元二次方程一般式 1．将方程化为一元二次方程的一般式，正确的是___________ A． B． C． D． 【答案】解：， ， 2．一元二次方程二次项系数为 ，常数项为 . 【答案】 1 【详解】解：原方程整理得 ∴二次项系数为1，常数项为-4 故答案为：1，-4. 3．若一元二次方程（m+2）x2+2x+m2﹣4=0的常数项为0，则m= ． 【答案】2 【详解】由题意得：m2−4=0， 解得：m=±2， ∵m+2≠0， ∴m≠-2， ∴m=2， 故答案为2. 4．一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是__________ 【答案】一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是， 题型三;一元二次方程的解（根） 1．如果关于x的一元二次方程，有一个解是0，那么m的值是_______ 【答案】解：把x=0代入方程（m-3）x2+3x+m2-9=0中，得 m2-9=0， 解得m=-3或3， 当m=3时，原方程二次项系数m-3=0，舍去， ∴m=-3 2．若方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c=0和a﹣b+c=0，则方程的根是（ ） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， 把代入得：， 即方程的一个解是， 把代入得：， 即方程的一个解是； 故选：C． 3．已知方程，有一个根是，则下列代数式的值恒为常数的是（    ）． A．ab B． C． D． 【答案】C 【详解】∵方程，有一个根是， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 4.已知m是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2024的值为_______ 【答案】解：∴m是方程x2+x-1=0的根， ∴m2+m-1=0， ∴m2=-m+1， ∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1 ∴m3+2m2+2024=2m-1+2（-m+1）+2024=2m-1-2m+2+2024=2025． 题型四;直接开平方法 1.解方程： 【答案】解：直接开平方得：， 即或， 解得：，； 2.解方程： 【答案】解：， ∴， 解得：，． 3．解方程：2(x-3)2-8＝0 【答案】解：移项得，2(x-3)2＝8， 系数化为1得，(x-3)2=4， 开方得，x-3=2或x-3=-2， 解得x1=5，x2=1 4．解方程： 【答案】， 【详解】解：∵ ∴或 解得，． 题型五;配方法 1．解方程：． 【答案】解：， ， ， ， ， ，． 2．解方程：． 【答案】， 【详解】解：移项，得 配方，得 ， 即， 开方，得 解得， 3.解方程： 【答案】， ∴ ∴ ∴ ∴ 解得：，． 4．用配方法解一元二次方程：． 【答案】， 【详解】解：方程两边都乘，得， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， ∴，， ∴原方程的根是，． 5.解方程：（配方法） 【答案】解：， 变形，得：， 配方，得：， 整理，得：， 两边开平方，得：， ∴， ∴，； 6．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：移项,得：， 二次项系数化成1得：， 配方,， 即，则， 解得：，； （2）解：方程变形得：   配方得：， 即， 开方得： ， 解得：，． 题型六;公式法 1.解方程： 【答案】， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2.解方程： 【答案】， ∵， ∴， ∴， ∴，； 3.解方程：． 【答案】∵， ∴，，， ∴， ∴ ， ∴，． 4．解方程． 【答案】 【详解】解：， ∴，， ∴， 解得：． 5.； 【答案】 即：， ， 即，； 6.解方程：； 【答案】解：， ， ， ， ， ∴此方程无解． 题型七;因式分解法 1．方程的根是_______ 【答案】解：移项得， 分解因式得：， 所以或， 解得：． 2.解方程：x(5x+4)＝5x 【答案】解：整理方程得，5x2-x＝0， 因式分解得，x(5x-1)＝0， 解得x1=0，x2= 3.解方程：x2 +12x+27=0 【答案】解：因式分解得，(x+3) (x+9)＝0， 解得x1=-3，x2=-9 4.解方程： 【答案】， ∴， ∴或， 解得：，． 5.解方程：(x＋1)2-3(x＋1)+2＝0． 【答案】解：因式分解得，(x+1-1) (x+1-2)＝0， 即， x (x-1)＝0， 解得x1=0，x2=1 6.解方程： 【答案】， ∴， ∴或， ∴，； 7.解方程：． 【答案】 ， 或者， 即：，． 8.解方程： 【答案】， ∴， ∴， ∴． 9．已知x为实数，若，则 ． 【答案】1 【详解】解：设，则， 整理，得． 所以或． 解得或． 当时，，此时该方程无解，故舍去． 综上所述，． 故答案为：1． 【能力拓展训练】 1.（x2+y2-1）（x2+y2+3）=0，则x2+y2=_____1_______ 2.（x+-1）（x++3）=0，则x+=_____-3_______ 3.已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为　 　． 解：ax2+bx+1=0 a（x+1）2+b（x+1）+1=0 对比一下：x+1=1 x+1=2 x=0 x=1 ∴0+1=1 4.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x+m＋2)2＋b＝0的解是 . 解：a(x＋m)2＋b＝0 a(x+m＋2)2＋b＝0 对比一下：x+2=-2 x+2=1 x=-4 x=-1 5.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x-m＋2)2＋b＝0的解是 . 解：a(x＋m)2＋b＝0 a(x-m＋2)2＋b＝0 a(-x+m-2)2＋b＝0（平方里面添一个负号） a(-x-2+m)2＋b＝0（整理一下） 对比一下：-x-2=-2 -x-2=1 x=0 x=-3 6.关于x的方程a(x＋m)2＋b＝0的解是x1＝－2，x2＝1（a，m，b均为常数，a≠0），则方程a(x-3m＋2)2＋b＝0的解是 . 解：a(x＋m)2＋b＝0 a(x-3m＋2)2＋b＝0 a(x-m+)2＋b＝0（将放进括号里） a(-x+m-)2＋b＝0（平方里面添一个负号） a(-x-+m)2＋b＝0（整理一下） 对比一下：-x-=-2 -x-=1 x=4 x=-5 7.已知、是方程的两个根，则代数式的值为________。 解;∵、是方程的两个根 ∴a2-a-3=0a2=a+3同乘a得：a3=a2+3a（3次2次） b2-b-3=0 原式=2（a2+3a）+3a2-11a+b2-b+5 =2a2+6a+3a2-11a+3+5 =5a2-5a+8 =5x3+8 =23 【课后知识应用】 1．下面关于x的方程中：，，，，，，其中一元二次方程的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】解：是一元一次方程，此项错误； 符合定义，是一元二次方程，此项正确； 含有两个未知数，不是一元二次方程，此项错误； 不是整式方程，此项错误； 是一元二次方程，此项正确； ，当时，不含未知数的二次项，不符合一元二次方程的定义，此项错误； 其中一元二次方程的个数为：2； 故选：A． 2．关于x的方程是一元二次方程，则a＝ ． 【答案】1 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴a²+1＝2且a+1≠0， ∴a＝±1且a≠﹣1， ∴a＝1， 故答案为：1． 3．方程化为一般形式为 【答案】5x2﹣x﹣3=0   【详解】解: 6x2+2x﹣3x﹣1=x2+2， 6x2+2x﹣3x﹣1﹣x2﹣2=0， 5x2﹣x﹣3=0， 故答案为5x2﹣x﹣3=0 4．用适当的方法解下列一元二次方程 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：直接开平方得， 解得，； （2）解：由已知得， 则， 解得，； （3）解：由已知得， ， ∴， 解得，； （4）解：由已知得， 利用因式分解法可得， 解得，． 5．解方程： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） ， ， ， ， ∴； （2） ， ， ， ∴； （3） ， ， ， ∴； （4） ， ， ． 6．用适当的方法解下列方程： (1) (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原方程即为， 两边开平方，得， 解得：； （2）解：移项，得， 即为， ∴或， 解得：； （3）解：移项得， 即为， ∴或， 解得：； （4）方程中，， ∴， ∴. 7．用适当的方法解下列方程． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)无实数根 (4)， 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）， ， ， ， ∴，； （3）∵， ∴方程没有实数根； （4）， 整理，得：， ， ， ， 或， ∴，． 8．按要求解下列方程： (1)；（配方法） (2)；（因式分解法） (3)；（公式法） (4)．（因式分解法） 【答案】(1)， (2) (3)， (4) 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： 或x+4-5=0 ∴； （3）解： a=1，b=-6，c=-8 ∵， ∴， ∴，； （4）解： x-5=0或x+3=0 ∴． 9．若关于的一元二次方程有一根为2022，则方程必有根为____________ 【答案】由得到， 对于一元二次方程， 设， 所以， 而关于x的一元二次方程有一根为， 所以有一个根为， 则， 解得， 所以一元二次方程有一根为． 10.已知4是关于x的方程的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为_________ 【答案】解：把x=4代入方程得16-4（m+1）+2m=0， 解得m=6， 则原方程为x2-7x+12=0， 解得x1=3，x2=4， 因为这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长， ①当△ABC的腰为4，底边为3时，则△ABC的周长为4+4+3=11； ②当△ABC的腰为3，底边为4时，则△ABC的周长为3+3+4=10． 综上所述，该△ABC的周长为10或11． 学科网（北京）股份有限公司 $$