专题02 构造全等三角形添加辅助线的方法-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学上册压轴题攻略（苏科版）

专题02 构造全等三角形添加辅助线的方法 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、延长中线构造全等三角形 1 类型二、引平行线构造全等三角形 2 类型三、截长补短法构造全等三角形 3 类型四、利用翻折构造全等三角形 4 压轴能力测评（12题） 7 一．倍长中线法构造全等三角形 △ABC中 , AD是BC边中线 方式1：直接倍长 延长AD到E，使DE=AD，连接BE 方式2：间接倍长 （1）作CF⊥AD于F，作BE⊥AD的延长线于E （2）延长MD到N，使DN=MD，连接CN 倍长中线法原理： 延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相延长边上（不一定是底边）的中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则 对应角 对应边都对应相等。 此法常用于构造 全等三角形 ，利用中线的性质、 辅助线 、 对顶角 一般用“ SAS ”证明对应边之间的关系。 （在一定范围中） 二：截长补短法构造全等三角形 · 截长：1.过某一点作长边的垂线；2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。 · 补短：1.延长短边；2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起 · 类型一、延长中线构造全等三角形 【典例1】【发现问题】（1）数学活动课上，王老师提出了如下问题：如图1，，，求边上的中线的取值范围 第一小组得到了如下的解决方法： ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把，，转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________； 【问题解决】（2）如图2，是的中线，是的中线，，下列四个选项中：直接写出所有正确选项的序号是________； ①；②；③；④ 【问题拓展】（3）如图3，，，，连接、，是的中点，延长交于点，，，求的面积．    【变式1-1】如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：． 【提出问题】 小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围． 【解决问题】 （1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法： 如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围． 你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由． 【经验迁移】 （2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：． 【变式1-2】【背景问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，是边上的中线，若，求边的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是___　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，．求证：． 【变式1-3】（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转180°得到），把、，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是_________； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 类型二、引平行线构造全等三角形 【典例2】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【变式2-1】如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【变式2-2】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【变式2-3】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 类型三、截长补短法构造全等三角形 【典例3】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【变式3-1】课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【变式3-2】在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【变式3-3】如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 类型四、利用翻折构造全等三角形 【典例4】【问题】我们已经研究了等腰三角形的一些基本性质，如“等边对等角”“三线合一”等．对于一般三角形，有哪些对应的性质呢？ 【探索1】小华猜想：在中，如果，那么． 也就是说：三角形中较大的边所对的角也比较大（简称“大边对大角”）． 小华把沿的平分线翻折，使点C落在上的点C处，如图（1）得到证明思路．请根据这个思路，结合图（1）写出证明过程： 【探索2】小华通过画图发现：若分别是的中线、角平分线和高线，且，则点D在直线上的位置始终处于点M和点H之间． 你认为这个结论是否一定成立？如果成立，不妨设，请结合图（2）进行证明；如果不成立，请举出反例． 【变式4-1】如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．    【变式4-2】在中，，，垂足为，点在直线上，，垂足为，把直线沿翻折所得直线与相交于点． (1)当点在边上时，如图1，探究与的位置关系和线段、、的数量关系，并证明你的结论： (2)当在边延长线上时，如图2，探究与的位置关系和线段、、的数量关系是否改变，如果改变请直接写出新的结论： 1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 2．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    4．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 5．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    6．(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 7．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 8．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 9．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 10．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 11．如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接，若是的平分线，且．    (1)试说明：； (2)如图②，将沿翻折，点D恰好落在的中点F的位置，请判断与的位置关系，并说明理由． 13．安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 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     ∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴正确选项的序号是②③， 故答案为：②③； （3）如图，延长至，使，连接，      ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系、三角形的内角和定理、三角形面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【变式1-1】如图1，在中， 若， 根据三角形三边关系可求出的范围：． 【提出问题】 小明认为，也可以根据三边关系，求边上的中线的取值范围． 【解决问题】 （1）小明通过小组合作交流，找到了解决办法： 如图2， 延长到点E， 使得，连接，把集中在中，利用三角形的三边关系就可以得到的取值范围，再求的范围． 你能按照小明的思路求边上的中线的取值范围吗？并说明理由． 【经验迁移】 （2）如图3， 在中， D是边的中点，交于点E，交于点F， 连接． 请说明：． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，倍长中线并证明两个三角形全等是解题的关键． （1）延长至E，使，连接，易证，得，由三角形三边关系即可求解； （2）延长到点G，使，连接，由得；再由证明，有，由三角形三边关系即可证明． 【详解】（1）解：如图2，延长至E，使，连接， 是中线， ， 又， ， ， ， ， ∴； （2）如图3，延长到点G，使，连接， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式1-2】【背景问题】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，是边上的中线，若，求边的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接．请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是______． A． B． C． D． （2）由“三角形的三边关系”可求得边的取值范围是___　． 解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 【感悟方法】 （3）如图2，是的中线，交于，交于，．求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）证明过程见详解 【分析】（1）根据题意，运用边角边的方法证明； （2）由（1）中三角形全等可得，在中根据三角形三边关系“两边之差小于第三边，两边之和大于第三边”，由此即可求解； （3）如图所示，延长至点，使得，连接，可证，可得，，，由此即可求解． 【详解】解：（1）延长至点，使，连接， ∵点是的中点， ∴，且（对顶角相等）， 在中， ， ∴， 故选：； （2）由（1）可得， ∴，，则， 在中，， ∴， 故答案为：； （3）如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查三角形中线，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，等边对等角，等角对等边等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【变式1-3】（1）阅读理解：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点使，再连接（或将绕着点逆时针旋转180°得到），把、，集中在中，体现了转化和化归的数学思想，利用三角形三边的关系即可判断．中线的取值范围是_________； （2）问题解决：如图②，在中，是边上的中点，于点，交于点，交于点，连接，求证：； （3）问题拓展：如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于、两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1），（2）见解析，（3），证明见解析 【分析】（1）通过证明，可得，，再根据三角形三边之间的关系，即可求解； （2）延长到点F使，再连接，通过证明得出，，进而得出为的垂直平分线，则，最后根据三角形三边之间的关系，即可求证； （3）延长到点G使，再连接，通过证明得出，，再证明，可得，即可求证． 【详解】解：（1）∵为中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． （2）延长到点F使，再连接， ∵是边上的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵， ∴． （3），证明如下： 延长到点G使，再连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质、三角形三边关系、角的和差等，解答此题的关键是作出辅助线，构造出与图①中结构相关的图形，即构造全等三角形求解． 类型二、引平行线构造全等三角形 【典例2】 P为等边△ABC的边AB上一点，Q为BC延长线上一点，且PA＝CQ，连PQ交AC边于D． （1）证明：PD＝DQ． （2）如图2，过P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）DE＝3． 【分析】（1）过点P作PF∥BC交AC于点F；证出△APF也是等边三角形，得出AP=PF=AF=CQ，由AAS证明△PDF≌△QDC，得出对应边相等即可； （2）过P作PF∥BC交AC于F．同（1）由AAS证明△PFD≌△QCD，得出对应边相等FD=CD，证出AE+CD=DEAC，即可得出结果． 【详解】（1）如图1所示，点P作PF∥BC交AC于点F． ∵△ABC是等边三角形， ∴△APF也是等边三角形，AP=PF=AF=CQ． ∵PF∥BC，∴∠PFD=∠DCQ． 在△PDF和△QDC中，， ∴△PDF≌△QDC（AAS）， ∴PD=DQ； （2）如图2所示，过P作PF∥BC交AC于F． ∵PF∥BC，△ABC是等边三角形， ∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形， ∴AP=PF=AF． ∵PE⊥AC，∴AE=EF． ∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ． 在△PFD和△QCD中，， ∴△PFD≌△QCD（AAS）， ∴FD=CD． ∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD， ∴AE+CD=DEAC． ∵AC=6，∴DE=3．    【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，解题的关键是掌握等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定（AAS）与性质、平行线的性质，熟练掌握等边三角形的性质． 【变式2-1】如图，在等边中，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且．    (1)当点为的中点时（如图1），则有______（填“”“”或“”）； (2)猜想如图2，与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由是等边三角形，得到，，由三线合一得到， ，由，得，由外角的性质得到，得到，则，证得； （2）过作交于，先证明是等边三角形，得到，再用证明，得到，进而证得猜想 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，． ∵E为的中点， ∴， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为： （2）解：．理由如下： 过E作交于F，    ∵是等边三角形， ∴，． ∴，，即． ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴． 在和中， ∴． ∴，即． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 【变式2-2】如图所示：是等边三角形，、分别是及延长线上的一点，且，连接交于点． 求让： 【答案】见详解 【分析】过点D作DF∥AC，交BC于点F，根据等边三角形和平行线的性质得∠MDF=∠MEC，DF=CE，从而证明∆FMD≅∆CME，进而即可得到结论． 【详解】过点D作DF∥AC，交BC于点F， ∵是等边三角形， ∴∠B=∠ACB=60°， ∵DF∥AC， ∴∠DFB=∠ACB=60°，∠MDF=∠MEC， ∴是等边三角形， ∴BD=DF， ∵， ∴DF=CE， 又∵∠FMD=∠CME， ∴∆FMD≅∆CME， ∴． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定定理以及全等三角形的判定和性质定理，添加辅助线，构造等边三角形和全等三角形，是解题的关键． 【变式2-3】已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC与点M．请探究： (1)如图（1），当点E在线段AC上，点D在AB延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论． (2)如图（2），当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由； 【答案】(1)DM=EM．理由见详解； (2)成立，理由见详解； (3)MD=ME． 【分析】（1）DM=EM；过点E作EF//AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； （2）成立；过点E作EF//AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论； 【详解】（1）解：DM=EM； 证明：过点E作EF//AB交BC于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ， ∴△DBM≌△EFM， ∴DM=EM． （2）解：成立； 证明：过点E作EF//AB交CB的延长线于点F， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C； 又∵EF//AB， ∴∠ABC=∠EFC， ∴∠EFC=∠C， ∴EF=EC． 又∵BD=EC， ∴EF=BD． 又∵EF//AB， ∴∠ADM=∠MEF． 在△DBM和△EFM中 ∴△DBM≌△EFM； ∴DM=EM； 类型三、截长补短法构造全等三角形 【典例3】已知：如图，在中，，D、E分别为上的点，且交于点F．若为的角平分线． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1)度 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． （1）由题意，根据，即可解决问题； （2）在上截取，连接．只要证明，推出，再证明，推出，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵为的角平分线， ∴ ∵， ∴， ∴ （2）解：在上截取，连接． ∵为的角平分线． ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴ 【变式3-1】课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． (1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； (2)小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； (3)小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【详解】（1）证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴，   ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，   ∴， ∴， ∴． （3）证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵，   ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 【变式3-2】在中，，如图①，当，为的平分线时，在上截取，连接DE，易证． (1)如图②，当，为的角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？不需要说明理由，请直接写出你的猜想. (2)如图③，当，为的外角平分线时，线段，，之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并对你的猜想进行说明. 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】（1）首先在上截取，连接，易证，则可得，，又由，，所以，即，易证进而求解； （2）首先在的延长线上截取，连接，易证，可得，，又由，易证，则可求解． 【详解】（1）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图②所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则； （2）解：． 理由为： 在上截取，连接，如图③所示， ∵为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 则． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式3-3】如图，是等边三角形，点分别是射线、射线上的动点，点D从点A出发沿着射线移动，点E从点B出发沿着射线移动，点同时出发并且移动速度相同，连接． (1)如图①，当点D移动到线段的中点时，与的长度关系是：_______． (2)如图②，当点D在线段上移动但不是中点时，探究与之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图③，当点D移动到线段的延长线上，并且时，求的度数． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）由题意可知，所以，由等边三角形及中点可知，而，所以可证，进一步可证； （2）猜测，在射线AB上截取，如图（见详解），利用等边三角形的性质及可知为等边三角形，再利用边角边即可证明，最后根据全等三角形的性质即可证明； （3）按照第（2）问的思路，作出类似的辅助线：在射线CB上截取，如图（见详解），用同样的方法证明，再根据ED⊥DC，证出为等腰直角三角形，即可求出∠DEC的度数． 【详解】（1）解：， 证明过程如下：由题意可知， ∵D为AB的中点， ∴， ∴， ∴． ∵为等边三角形，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由如下：在射线AB上截取，连接EF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，． 由题意知， ∴， ∴． 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴DE与DC之间的数量关系是． （3）如图，在射线CB上截取，连接DF，如图所示， ∵为等边三角形， ∴，． ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴． 由题意知， ∵， ∴， 即． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵ED⊥DC， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形，等边三角形，以及全等三角形的判定及性质，能够作出辅助线，并合理利用等边三角形的性质是解题的关键． 类型四、利用翻折构造全等三角形 【典例4】【问题】我们已经研究了等腰三角形的一些基本性质，如“等边对等角”“三线合一”等．对于一般三角形，有哪些对应的性质呢？ 【探索1】小华猜想：在中，如果，那么． 也就是说：三角形中较大的边所对的角也比较大（简称“大边对大角”）． 小华把沿的平分线翻折，使点C落在上的点C处，如图（1）得到证明思路．请根据这个思路，结合图（1）写出证明过程： 【探索2】小华通过画图发现：若分别是的中线、角平分线和高线，且，则点D在直线上的位置始终处于点M和点H之间． 你认为这个结论是否一定成立？如果成立，不妨设，请结合图（2）进行证明；如果不成立，请举出反例． 【答案】探索1：见解析；探索2：一定成立，见解析 【分析】（1）如图（1），作的角平分线，在上取点，使，连接，则，证明，则，由，可得，即． （2）由题意知，要证明点D的位置处于点M和点H之间，只要证明即可；①证：如图（2），延长至点E，使，连接．证明，则，，，即，由，可得．②证：由题意知， ，由，可得，即，进而结论得证． 【详解】（1）证明：如图（1），作的角平分线，在上取点，使，连接， ∴， 在和中， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：一定成立，证明如下； 由题意知，要证明点D的位置处于点M和点H之间，只要证明． ∵分别是的中线、角平分线和高线， ∴，， ①证：如图（2），延长至点E，使，连接． 在和中， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，即． ②证： 由题意知， ， ∵， ∴， ∴． 综上可得，． ∴点D的位置处于点M和点H之间． 【点睛】本题考查了角平分线，中线，高线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理．熟练掌握角平分线，中线，高线，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 【变式4-1】如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．    【答案】DE+BF=EF，见解析 【详解】试题分析：通过延长CF，将DE和BF放在一起，便于寻找等量关系，通过两次三角形全等证明，得出结论． 猜想：DE+BF=EF．证明：延长CF，作∠4=∠1，如图：    ∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB， ∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5， ∵∠4=∠1， ∴∠2+∠3=∠4+∠5， ∴∠GAF=∠FAE， 在△AGB和△AED中，， ∴△AGB≌△AED（ASA）， ∴AG=AE，BG=DE， 在△AGF和△AEF中，， ∴△AGF≌△AEF（SAS）， ∴GF=EF， ∴DE+BF=EF． 证毕． 考点：全等三角形的判定与性质． 【变式4-2】在中，，，垂足为，点在直线上，，垂足为，把直线沿翻折所得直线与相交于点． (1)当点在边上时，如图1，探究与的位置关系和线段、、的数量关系，并证明你的结论： (2)当在边延长线上时，如图2，探究与的位置关系和线段、、的数量关系是否改变，如果改变请直接写出新的结论： 【答案】(1)与垂直，线段、、的数量关系为，证明见解析 (2)与垂直关系不变，线段、、的数量关系改变，数量关系为 【分析】没时间了，退回再返回，谢谢审核老师 【详解】（1）与垂直，线段、、的数量关系为 证明：延长到点， 直线沿翻折所得直线与相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作垂足为，连接、， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ． （2）与垂直关系不变，线段、、的数量关系改变，数量关系为． 1．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点P在AB上，过点P作PE⊥AC，垂足为E，延长BC至点Q，使CQ＝PA，连接PQ交AC于点D，则DE的长为（　　） A．1 B．1.8 C．2 D．2.5 【答案】C 【分析】过作的平行线交于，通过证明≌，得，再由是等边三角形，即可得出． 【详解】解：过作的平行线交于， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ∵CQ＝PA， ∴ 在中和中， ， ≌， ， 于，是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．如图，是等边三角形，是的中点，在线段上，连接，以为边在的右侧作等边，连接，若存在实数，使得为定值，则和分别是（    ）      A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】在上截取，连接，通过证明，可得，即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    是等边三角形， ， 是的中点， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， 在与中， ， ． ， ， ， ， ，； 故选：A． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，本题的难点是作出辅助线，构成全等三角形． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．    【方法探索】（1）小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是___________． 【问题解决】（2）由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：； 【问题拓展】（3）如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论； （2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论． （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论． 【详解】解：如图1，延长到点，使，    ∵是的中点， ， ， ， ， 在中，， ， ； （2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．    ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ， ∴， ∴， ，， ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：；理由如下： 如图，延长，使，连接，    ∵为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 5．如图所示， ，，分别是， 的平分线，点E在上，求证：．    【答案】见解析 【分析】运用截长补短的方法，在上取点F，使，由角平分线定义得，，可证，得，结合平行线的性质可证，进一步证得，所以，得证结论． 【详解】在上取点F，使    ∵，分别是，的平分线 ∴， ∵ ∴ 在和中 ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题考查角平分线的定义，平行线的性质，全等三角形的判定和性质；运用截长补短的方法构造全等三角形求证线段相等是解题的关键． 6．(1)阅读理解： 问题：如图1，在四边形中，对角线平分，．求证：． 思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题． 方法1：在上截取，连接，得到全等三角形，进而解决问题； 方法2：延长到点，使得，连接，得到全等三角形，进而解决问题． 结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明． (2)问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接，当时，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由； (3)问题拓展：如图3，在四边形中，，，过点作，垂足为点，请写出线段、、之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）方法1：在上截取，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证；方法：延长到，使，连接，证明，得出，，进而得出，则，等量代换即可得证 （2），，之间的数量关系为．方法1：在上截取，连接，由知，得出，为等边三角形，证明，得出，进而即可得证；方法：延长到，使，连接，由知，则，是等边三角形，证明，得出，进而即可得证； （3）线段、、之间的数量关系为，连接，过点作于点，证明，和，得出，进而即可得证． 【详解】解：（1）方法1：在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； 方法：延长到，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ； （2），，之间的数量关系为． 方法1：理由如下： 如图，在上截取，连接， 由知， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， ． 方法：理由：延长到，使，连接， 由知， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， ，， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ； （3）线段、、之间的数量关系为． 连接，过点作于点， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 7．在四边形中，点C是边的中点． (1)如图①，平分，，写出线段，，间的数量关系及理由； (2)如图②，平分，平分，，写出线段，，，间的数量关系及理由． 【答案】(1)，见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【详解】（1），理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中 ∴． ∴ ，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中 ∴． ∴ ． ∵， ∴． （2），理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 8．在中，BE，CD为的角平分线，BE，CD交于点F． （1）求证：； （2）已知． ①如图1，若，，求CE的长； ②如图2，若，求的大小． 【答案】（1）证明见解析；（2）2.5；（3）100°． 【分析】（1）由三角形内角和定理和角平分线得出的度数，再由三角形内角和定理可求出的度数， （2）在BC上取一点G使BG=BD，构造（SAS），再证明，即可得，由此求出答案； （3）延长BA到P，使AP=FC，构造（SAS），得PC=BC，，再由三角形内角和可求，，进而可得． 【详解】解：（1）、分别是与的角平分线， ， ， ， （2）如解（2）图，在BC上取一点G使BG=BD， 由（1）得， ， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴， ∴， ∴， ∴ 在与中， ， ， ， ， ； ∵，， ∴ （3）如解（3）图，延长BA到P，使AP=FC， ， ∴， 在与中， ， ∴（SAS） ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 【点睛】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形是解答此题的关键． 9．如图，在中，，平分． （1）如图1，若，求证：； （2）如图2，若，求的度数； （3）如图3，若，求证：． 【答案】（1）见详解；（2）108°；（3）见详解 【分析】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M，由 CA＝CB，，得是等腰直角三角形，根据角平分线的性质得到CD＝MD，∠ABC＝45°，根据全等三角形的性质得到AC＝AM，于是得到结论； （2）如图2，设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α，在AB上截取AK＝AC，连结DK，根据角平分线的定义得到∠CAD＝∠KAD，根据全等三角形的性质得到∠ACD＝∠AKD＝α，根据三角形的内角和即可得到结论； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH，根据等腰三角形的性质得到∠CAB＝∠CBA＝40°，根据角平分线的定义得到∠HAD＝∠CAD＝20°，求得∠ADH＝∠AHD＝80°，在AB上截取AK＝AC，连接DK，根据全等三角形的性质得到∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK，根据等腰三角形的性质得到DH＝BH，于是得到结论． 【详解】（1）如图1，过D作DM⊥AB于M， ∴在中，， ∴∠ABC＝45°， ∵∠ACB＝90°，AD是角平分线， ∴CD＝MD， ∴∠BDM＝∠ABC＝45°， ∴BM＝DM， ∴BM＝CD， 在RT△ADC和RT△ADM中， ， ∴RT△ADC≌RT△ADM（HL）， ∴AC＝AM， ∴AB＝AM＋BM＝AC＋CD， 即AB＝AC＋CD； （2）设∠ACB＝α，则∠CAB＝∠CBA＝90°−α， 在AB上截取AK＝AC，连结DK，如图2， ∵AB＝AC＋BD，AB=AK+BK ∴BK＝BD， ∵AD是角平分线， ∴∠CAD＝∠KAD， 在△CAD和△KAD中， ∴△CAD≌△KAD（SAS）， ∴∠ACD＝∠AKD＝α， ∴∠BKD＝180°−α， ∵BK＝BD， ∴∠BDK＝180°−α， ∴在△BDK中，180°−α＋180°−α＋90°−α＝180°， ∴α＝108°， ∴∠ACB＝108°； （3）如图3，在AB上截取AH＝AD，连接DH， ∵∠ACB＝100°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝40°， ∵AD是角平分线， ∴∠HAD＝∠CAD＝20°， ∴∠ADH＝∠AHD＝80°， 在AB上截取AK＝AC，连接DK， 由（1）得，△CAD≌△KAD， ∴∠ACB＝∠AKD＝100°，CD＝DK， ∴∠DKH＝80°＝∠DHK， ∴DK＝DH＝CD， ∵∠CBA＝40°， ∴∠BDH＝∠DHK -∠CBA =40°， ∴DH＝BH， ∴BH＝CD， ∵AB＝AH＋BH， ∴AB＝AD＋CD． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形的内角和，正确的作出辅助线是解题的关键． 10．倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ， （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 11．如图①，在四边形中，，点E是上一点，连接，若是的平分线，且．    (1)试说明：； (2)如图②，将沿翻折，点D恰好落在的中点F的位置，请判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）作于G，利用证明，得，再利用证明，得，可得结论； （2）由证明，得，再利用等腰三角形的性质和角平分线的定义可得，则． 【详解】（1）如图，过点C作交AB于点G，    ∵AC是的平分线，，， ∴，，． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵，，， ∴． ∴． ∴． （2），理由如下： ∵， ∴． ∵将沿翻折，点D恰好落在的中点F的位置， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了翻折的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义和性质，平行线的判定等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 13．安安利用两张正三角形纸片，进行了如下探究：    【探究证明】 （1）如图1，和均为等边三角形，连接交延长线于点，求证：； 【拓展延伸】 （2）如图2，在正三角形纸片的边上取一点，作交外角平分线于点，探究，和的数量关系，并证明； 【思维提升】 （3）如图3，和均为正三角形，当，，三点共线时，连接，若，直接写出下列两式分别是否为定值，并任选其中一个进行证明： ①； ②． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3）是定值，①；②． 【分析】（1）证明，推出，再根据角度的和差可得结论； （2）如图2，在上取一点，使得，证明是等边三角形，然后证明，可得，利用线段的和差即可解决问题； （3）如图3，在上取一点，使得，证明，，，证明是等边三角形，所以，过点作，，垂足分别为，，根据，可得的面积的面积，根据，可得，根据，可得，所以，，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：如图1，设与交于点，    ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： 如图2，在上取一点，使得，    是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ，， 是外角平分线， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：①，②都是定值，证明如下： 如图3，在上取一点，使得，    和均为正三角形，，，三点共线， ，， 由（1）知：， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， 过点作，，垂足分别为，， ， 的面积的面积， ， ， ， ， ， ， ①； ②， ， ， ． 综上所述：①，②都是定值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确的作出图形寻找全等三角形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$