第二十四章 相似三角形重难点检测卷-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （沪教版)

第二十四章 相似三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（22-23九年级上·上海崇明·期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 【答案】B 【分析】根据相似形的性质逐一判断即可． 【详解】解：A：相似形形状相同、大小不一定相同，但是可以相同，故选项A错误； B：图形的放缩运动可以得到相似形，选项B正确； C：如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形，故选项C错误； D：全等形是相似形的特例，故选项D错误． 【点睛】本题考查相似形的性质，解题的关键是熟练掌握相似形的相关知识． 2．（22-23九年级下·上海黄埔·课后作业）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据黄金分割的定义得到，然后把的长度代入可求出的长，即可求出的长度． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∵的长度为， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，其中． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， 观察选项可知，选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理，找准对应关系是解题的关键． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，矩形的对角线和交于点O，下列选项中错误的是（   ）        A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的性质和向量的大小、方向判断即可． 【详解】解：四边形为矩形， ， 和大小相同、方向相同， ，故A选项正确，不符合题意； 和大小相同、方向相反， ，故B选项正确，不符合题意； 和大小相同、方向相反， ，故C选项错误，符合题意； 和大小相同、方向相同， ，故D选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平面向量的知识，解题的关键是注意注意向量的大小和方向． 5．（22-23九年级上·上海静安·阶段练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，得到，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断判定即可． 【详解】∵， ∴， A.若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B.添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C.添加，已知的角不是成比例的两边的夹角，项符合题意； D.添加，可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，灵活运用相似三角形的判定定理判定两三角形相似是解题的关键． 6．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定，采用排除法，逐项分析判断． 【详解】解：∵，， ∴．故（c）正确． ∵平分， ∴， ∴．故（b）正确． ∴， ∴， ∴．故（d）正确． 而不能证明，故（a）错误． ∴错误的有个， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定．识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边和对应角． 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例的性质，设，将其代入进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期末）化简： ． 【答案】 【分析】此题考查了向量的线性运算，根据向量的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 9．（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了比例线段，主要利用了比例尺的定义，计算时要注意单位之间的换算． 设、两地间的实际距离是，根据比例尺的定义列式计算即可得解，然后再化为千米即可． 【详解】解：设、两地间的实际距离是，根据题意得： ， 解得， ． 故答案为：2． 10．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是黄金分割的概念，掌握黄金分割的概念、黄金比值为是解题的关键．根据黄金比值为计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 11．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）点D在的边AB上，且，则，理由是 ． 【答案】有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 【分析】先依题意画出图形，再根据相似三角形的判定即可得． 【详解】依题意，画图如下： ，即， 又， （有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， 故答案为：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题关键． 12．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 【答案】 【分析】利用解一元一次方程的解法步骤求解即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 化系数为1，得， 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量的简单计算，借助一元一次方程的解法步骤求解是解答的关键． 13．（22-23九年级下·上海·单元测试）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 【答案】1 【分析】根据相似多边形的性质得，即，然后利用比例性质求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵余下的矩形矩形， ∴，即， ∴， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了相似多边形的性质，解决本题的关键是掌握如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形；相似多边形对应边的比叫做相似比． 14．（22-23八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知，，求：（1） ；（2） ． 【答案】 1 1 【分析】（1）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解； （2）根据平行线分线段成比例可得，，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴， ； 故答案为：1； （2）∵， ， ∵，， ， ； 故答案为：1． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 15．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，先由，运用平行线分线段成比例的内容可得，再进行变形，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    【答案】或或（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定．欲证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角对应相等，即，此时，再求夹此对应角的两边对应成比例或另一组对应角相等即可． 【详解】解：∵， ∴当或或时，． 故答案为：或或． 17．（23-24九年级上·上海浦东新区·期末）如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．根据得到，，再结合相似比是，因而面积的比是，问题得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 故答案为． 18．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用；根据已知得出图形，进而利用相似三角形的判定与性质求出即可． 【详解】解：结合题意画出图形得：，    ， ， ， 小明的身高为米，他在路灯下的影子长为米；小明距路灯杆底部为米， ，，， ， 解得：， 则路灯灯泡距地面的高度是米． 故答案为：． 三、解答题（7小题，共64分） 19．（22-23九年级·上海·假期作业）已知非零向量，求作，．    【答案】见解析 【分析】作向量，向量即可． 【详解】解：如图，向量和向量即为所作． 本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握向量基础知识，属于中考常考题型． 20．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，求： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了比例的基本性质． （1）根据比例的基本性质可设，，，进而求得、、的值，即可求解； （2）把（1）中求得的a、b、c的值代入求值即可． 【详解】（1）解： 设，，， ， ，，， ； （2）解：∵，，， ∴． 21．（2023九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据多边形相似的性质：对应角相等，求解即可； （2）根据多边形相似的性质：对应边成比例，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴； （2）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 22．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，点D为边上一点．求证：． 【答案】见解答过程 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似”是解题关键． 根据“如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似” 即可证明结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 23．（22-23九年级下·上海嘉定·开学考试）如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 【答案】添加条件：AB//CD，证明见解析（答案不唯一） 【分析】要证，通过观察发现两个三角形已经具备一组角相等，即，此时，可添加一组角相等即可． 【详解】添加条件：． 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理及正确找到对应角是解题的关键，此题是开放题，答案不唯一． 24．（2023·上海静安·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，．    (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 【答案】(1)见解析． (2) 【分析】（1）由平行线分线段成比例进行证明． （2）由三角形法则求得，然后由与的比例关系求得向量． 【详解】（1）证明： （2）， ∴ 【点睛】本题主要考查了平面向量，解题的关键在于掌握平行线的判定和三角形法则． 25．（23-24八年级下·上海青浦·期末）某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 【答案】真身宝塔的高度为48米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．证明出，相似，再根据相似三角形的性质定理建立等式求解，即可得到结论． 【详解】解：由题意知，， ， ， 由题知，， ， ， ， ， 米，米，米， ， 米． ， 米， 答：真身宝塔的高度为48米． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形重难点检测卷 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（6小题，每小题2分，共12分） 1．（22-23九年级上·上海崇明·期中）下列关于“相似形”的说法中正确的是（    ） A．相似形形状相同、大小不同 B．图形的放缩运动可以得到相似形 C．对应边成比例的两个多边形是相似形 D．相似形是全等形的特例 2．（22-23九年级下·上海黄埔·课后作业）大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级上·上海嘉定·期中）已知线段、、，作线段，使，下列每个图的两条虚线都是平行线，则正确的作法是（　　） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·上海宝山·期末）如图，矩形的对角线和交于点O，下列选项中错误的是（   ）        A． B． C． D． 5．（22-23九年级上·上海静安·阶段练习）如图，如果，那么添加下列一个条件后，仍不能确定与相似的是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（   ） （a）；（b）； （c）；（d）． A．0 B．1 C．2 D．3 2、 填空题（12小题，每小题2分，共24分） 7．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如果，那么 ． 8．（23-24八年级下·上海宝山·期末）化简： ． 9．（23-24九年级上·上海宝山·期末）比例尺为的地图上，A、B两地的距离为，那么A、B两地的实际距离为 ． 10．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）已知点是线段的黄金分割点，且，，则 ． 11．（22-23九年级上·上海静安·课后作业）点D在的边AB上，且，则，理由是 ． 12．（22-23九年级上·上海静安·期中）已知向量、、满足关系式，那么用向量、表示向量 ． 13．（22-23九年级下·上海·单元测试）如图，矩形中，，，剪去一个矩形后，余下的矩形矩形，则的长为 ． 14．（22-23八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知，，求：（1） ；（2） ． 15．（23-24八年级下·上海·期末）如图，已知直线、、分别交直线于点A、B、C、交直线于点D、E、F，如果，，那么 ．    16．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知在中，是边上的一点，连结，当满足 条件时，（写一个即可）．    17．（23-24九年级上·上海浦东新区·期末）如图，中，点、分别在、上，，，则与的面积的比为 ． 18．（23-24九年级上·上海闵行·期中）如图，已知小丽的身高是米，他在路灯下的影长为米，小丽距路灯灯杆的底部米，那么路灯灯泡距地面的高度是 米．    三、解答题（7小题，共64分） 19．（22-23九年级·上海·假期作业）已知非零向量，求作，．    20．（23-24八年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，求： (1)； (2)． 21．（2023九年级·上海·专题练习）已知四边形与四边形相似，并且点A与点、点B与点、点C与点、点D与点分别对应． (1)已知，，，求的度数； (2)已知，，，，，求四边形的周长． 22．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，点D为边上一点．求证：． 23．（22-23九年级下·上海嘉定·开学考试）如图，在△ABC和△ACD 中，AD⊥CD于点D，AC⊥BC于点C．请再添加一个条件，使，并加以证明． 24．（2023·上海静安·一模）如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，．    (1)求证：； (2)设，，试用向量、表示向量． 25．（23-24八年级下·上海青浦·期末）某数学兴趣小组开展了“测量某宝塔高度”的实践活动，在点处垂直于地面竖立一根高度为2米的标杆，这时地面上的点，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上，得米，将标杆向右平移到点处，这时地面上的点F，标杆的顶端点，宝塔的塔尖点正好在同一直线上（点，点，点，点与塔底处的点在同一直线上），这时测得米，米．请你根据以上数据，计算真身宝塔的高度． 学科网（北京）股份有限公司 $$