1.3 勾股定理的应用（分层练习）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

1.3勾股定理的应用 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（    ） A． B． C． D． 4．如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 5．（23-24九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（   ）米 A．3 B．4 C．5 D． 二、填空题 6．（22-23八年级下·新疆和田·期中）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高 ． 7．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里． 8．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    9．（21-22八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．    10．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ． 一、填空题 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ． 3．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 二、解答题 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 5．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3勾股定理的应用 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）学过《勾股定理》后，某班数学兴趣小组到操场上测量旗杆高度，得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子长度等于旗杆高度（如图2甲） ②一个同学将绳子向一边拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为2米，到旗杆的距离为6米（如图乙）． 设旗杆的高度为米，根据以上信息，则所列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，在中，由勾股定理可得，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 设旗杆的高度为米， 米，米， 根据以上信息，在中，由勾股定理可得， 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的运算是解题的关键． 【详解】解：当牙刷垂直放置时，； 当牙刷如图所示放置时，，且， ∴在中，， ∴， ∴的取值范围为：， 故选：C ． 3．（2024·湖南郴州·二模）如图所示为雷达图，规定：个单位长度代表，以点为原点，过数轴上的每一刻度点两同心圆，并将同心圆平均分成十二等分．一艘海洋科考船在点处用雷达发现，两处鱼群，那么，两处鱼群的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理． 根据题意得出及、后即可根据勾股定理求解． 【详解】解：如图，连接，数轴交点为， 由题意得，同心圆平均分成十二等分，则每三等分即为， ， 又个单位长度代表， ，， 根据勾股定理可得， 中，． 故选：． 4．如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 5．（23-24九年级下·湖南衡阳·开学考试）如图所示，圆柱的高为5米，底面圆的周长为4米．将一条彩带从底面A点开始绕圆柱1圈后，挂在点A的正上方点B处，彩带最短需要（   ）米 A．3 B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查两点间线段最短和勾股定理在生活中的应用．将曲面问题变为平面问题，然后利用勾股定理计算出斜边长度，是解答本题的关键． 【详解】如解图，长方形是圆柱的侧面展开图，连接， 此时所需彩带最短，最短长度为， ，由题意得米. 米， 由勾股定理得，即 ， 解得米(负值已舍). 故选D. 二、填空题 6．（22-23八年级下·新疆和田·期中）受台风影响，马路边一颗大树在离地面处折断，大树顶端落在离大树底部处，则大树折断之前高 ． 【答案】 【分析】运用勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，作图如下， ，，， ∴， ∴数的高度为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理与实际问题的综合，掌握勾股定理的运用是解题的关键． 7．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）已知，一轮船以4海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以3海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，两船相距 海里． 【答案】10 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了8海里和6海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向， ∴， 两小时后，两艘船分别行驶了，海里， 根据勾股定理得：（海里）． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单． 8．（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）如图，小华将升旗的绳子拉紧到旗杆底端点B，绳子末端刚好接触到地面，然后拉紧绳子使其末端到点D处，点D到地面的距离长为，点D到旗杆的水平距离为，若设旗杆的高度长为，则根据题意所列的方程是 ．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，根据即可列出方程． 【详解】解：作，如图所示：    ， ∵ ∴ 故答案为： 9．（21-22八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，如图堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场地宽，三棱柱的上底面与下底面是边长为0.4米的正三角形，一只蚂蚁从点处爬行翻过三棱柱到处需要走的最短路程是 米．    【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，根据题意将木块展开，再利用两点之间线段最短求出对角线长是解题关键． 【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，    ∴长方形的长为米米， ∵长方形的宽为米， ∴一只蚂蚁从点A处到C处需要走的最短路程是对角线， ∴米， 故答案为：． 10．（23-24七年级上·山东济南·期末）如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是 ． 【答案】 【分析】展开成平面图形，根据勾股定理，即可求解，本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是：利用两点之间线段最短． 【详解】解：将台阶展开成平面图形： 在中，，， ， 其爬行的最短长度， 故答案为：． 一、填空题 1．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，一根长为米的梯子斜靠在垂直于地面的墙上，这时梯子的底端与墙根之间的距离为米，如果梯子的底端向外（远离墙根方向）移动米至处，则梯子的顶端将沿墙向下移动 ． 【答案】米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，用移动前梯子顶端到地面的距离减去移动后梯子顶端到地面的距离即可得到答案． 【详解】解：梯子的顶端沿墙向下移动的距离为（米） 故答案为：米 2．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）如图所示，将一根长的细木棒放入长、宽、高分别为、和的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 长方体内体对角线是最长的，当木条在盒子里对角放置的时候露在外面的长度最小，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：由题可知，盒子底面对角线长为， 盒子的对角线长：， ∵细木棒长， 故细木棒露在盒外面的最短长度是：， 故答案为：4． 3．（23-24八年级下·广西防城港·期末）深受人们喜爱的蜘蛛侠代表了善良、正义且具备超能力的艺术形象．如图是某部动作电影中的一座长方体建筑，其底面为正方形，现已知，，蜘蛛侠欲从点开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈，最后到达点处，则蜘蛛侠行走的最短距离为 ． 【答案】130 【分析】本题考查的是平面展开-最短路线问题，熟练掌握勾股定理是解题的关键．从点如果从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长，根据展开图，求出，再根据勾股定理求出斜边长即可． 【详解】解：如图，将长方体展开： 是正方形，，， ， ， 从点A开始沿着该建筑的表面环绕长方体建筑1圈到达点，行走的最短距离相当于直三角形的斜边的边长， ， 行走的最短距离为． 故答案为：130． 二、解答题 4．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 5．（23-24八年级下·河南安阳·阶段练习）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节，某校八年级（1）班的小明学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图1），进行了如下操作： ①牵线放风筝的小明手抓线的地方与地面的距离为1.5米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米； ③测得小明手抓线的地方与风筝的水平距离的长为8米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如图2，小明想让风筝沿方向下降9米到点M处，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的实际应用（1）利用勾股定理求得的值，再利用求解即可； （2）根据勾股定理求得的值，再利用求解即可． 【详解】（1）解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 答：风筝的垂直高度为； （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴， 答：他应该往回收线． 1．（23-24七年级下·广东深圳·期末）【问题背景】如图1，深圳市洪湖公园内有一大湖，湖心有一人造小岛，那是鸟儿们的乐园，湖四周各有一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P，首先在笔直的步道上找一处A（），一工人沿步道从点A出发直走80米到达B处，又继续前行80米到达点C处，接着从C处沿与步道垂直的方向行走，当到达D处时，P、B、D刚好在同一直线上，最后工人测得的长为75米． 请根据以上信息，回答下面的问题： 【问题探究】 （1）求小岛离步道的垂直距离． 【问题拓展】 （2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道，小岛P到的距离米，点A到的距离米，在之间有一任意点E，当的最小值为100米时， ① 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因． 【方法迁移】 （3）若将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）． 【答案】（1）75米；（2）①60米；②不符合，理由见解析；（3）5 【分析】本题考查三角形全等的应用，求最小距离，灵活构造几何图形，借助三角形全等、勾股定理是正确解决本题的关键． （1）根据题意，证明，即可得出结论； （2）①延长至Q，使米，连接．过Q作交AN的延长线于H，过P作于G，当A、Q、E三点共线时有最小值，利用勾股定理即可求出； ②由①可知，米，用勾股定理计算出米，，即可判断步道不符合要求； （3）将x，，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造对应的几何图形即可求出代数式的最小值． 【详解】解：（1）由题可知，，， ， 又∵P、B、D三点在同一条直线上， ， 又米， ， 米 （2）①米 如图3，延长至Q，使米，连接． 过Q作交AN的延长线于H，过P作于G， ∵，即垂直平分， ， ， 当A、Q、E三点共线时有最小值， 即米 ∵， 即， ∴四边形和四边形均为长方形， 米，， ∴米 ∴在中，即米， 米， ②， ， 由①可知，米， ∴在中，， 米， 米， 米， ∴米， 显然，， ∴步道不符合要求． （3）由（2）同理可得，， 的最小值为5． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$