1.1 探索勾股定理（分层练习）-2024-2025学年八年级数学上册教材配套教学课件+分层练习（北师大版）

1.1探索勾股定理 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数据，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4， 2．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（    ） A．5 B．25 C． D．5或 5．（23-24八年级下·河南信阳·期末）已知在中，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．5或 D．5 二、填空题 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 7．（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ． 8．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 9．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ． 10．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 一、填空题 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ． 3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 二、解答题 4．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为米； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； 牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 1．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1探索勾股定理 分层练习 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）下列各组数据，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．6，8，10 C．0.3，0.4，0.5 D．3，4， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数是满足勾股定理的一组正整数，据此逐项分析即可作答． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故该选项是正确的； C、，，不是正整数，故不符合题意； D、不是正整数，故不符合题意； 故选：B 2．（23-24八年级下·吉林白山·阶段练习）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，则的三边长，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，注意计算的准确性即可． 【详解】解：观察题图，得， 由勾股定理，得，， ， 故选：D. 3．（23-24八年级下·广东汕尾·期末）如图，做一个长、宽的矩形木框，需在对角的顶点间钉一根木条用来加固，则木条的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，由于长方形木框的宽和高与所加固的木板正好构成直角三角形，利用勾股定理计算是解题的关键． 【详解】解：木条的长为， 故选A． 4．（23-24八年级下·湖北黄石·期末）已知一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4，则第三边长是（    ） A．5 B．25 C． D．5或 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，直接利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵一个直角三角形的两直角边边长分别为3和4， ∴该直角三角形的斜边长的平方为， ∴该直角三角形的斜边长为5，即第三边长是5， 故选：A． 5．（23-24八年级下·河南信阳·期末）已知在中，，，，则的长为（    ） A． B．3 C．5或 D．5 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意，作出图形，数形结合，由勾股定理列式求解即可得到答案，熟记勾股定理求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示： 在中，，，，则由勾股定理可得， 故选：D． 二、填空题 6．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，解题的关键是正确的运用勾股定理求．在直角中，为斜边，已知，，则根据勾股定理可以求斜边，根据少走的距离为可以求解． 【详解】解：在中，为斜边， 米， 少走的距离为 （米）， 故答案为：4． 7．（23-24八年级下·天津河北·期中）在中，斜边，则的值是 ． 【答案】100 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中， ∵斜边， ， 故答案为：100． 8．（23-24七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，正方形的边长分别为直角三角形的三边长，若正方形的边长分别为4和8，则正方形的面积为 ． 【答案】48 【分析】本题考查勾股定理的应用．由正方形的边长分别为4和8可得中间的直角三角形的一直角边和斜边分别是4和8，再用勾股定理可求另一直角边，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵正方形的边长分别为4和8， ∴ ∵是直角三角形， ∴ ∴正方形的面积． 故答案为：48． 9．（23-24八年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及用尺规画线段，正确认识尺规作图和掌握勾股定理是解题关键．先通过尺规作图确定，，再利用勾股定理求，即可求解． 【详解】解：∵以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，为半径画弧，交于点，，， ∴，， 在中，， ∴， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理是解题关键． 先用勾股定理求长度，再求即可． 【详解】解： 在中， 同理， 故答案为：． 一、填空题 1．（23-24七年级下·山东济南·期末）如图，三角形纸片中，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形中的翻折变换，解题的关键是掌握翻折的性质， 熟练利用勾股定理列方程． 根据翻折的性质得到得，， 即可得 设， 则， 可得即可得到结果． 【详解】解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴， ， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 设， 则， ， 解得 ， 故答案为：． 2．（23-24八年级下·广西柳州·期末）如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，则的周长是 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是勾股定理，半圆的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得到，根据半圆面积公式、完全平方公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， ， ， ， ， （负值舍去）， 的周长， 故答案为：14． 3．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）如图，已知长方形中，，P是边上的点，将沿折叠，使点A落在点E上，与分别交于点O、F，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理的运用，关键在于折叠所对应的边角相等,利用方程的思想解题．根据题意证明，再设出未知数,利用勾股定理列出方程解出即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， 设，则 ∴， 在中，，即 解得：． 故答案为：． 二、解答题 4．（23-24八年级下·甘肃白银·期末）如图，在长方形中，是的中点，将沿翻折得到，交于点，延长，相交于点，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），矩形的性质，连结，由E是的中点，可证明，即知，设，在中，可得，即可解得答案． 【详解】解：如图，连接， 由折叠得，， 是的中点， ， ∴ 在长方形中，， ， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得， 的长为． 5．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）周末，小明和小亮去汉风公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： 测得水平距离的长为米； 根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； 牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可； （）勾股定理求出的长，此时缩短长度为，即可得出结果； 本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可知：米，，米， 在中，由勾股定理得，， ∴米， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：∵风筝沿方向下降米，保持不变，如图， ∴此时的（米）， 即此时在中，米，有（米）， 相比下降之前，缩短长度为（米）， 答：他应该往回收线米． 1．（23-24八年级下·河南三门峡·期末）阅读材料： 勾股定理本身就是一个关于a、b、c的方程，我们知道这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组，关于勾股数组的研究我国历史上有非常辉煌的成就，根据《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们就已经知道“勾广三、股修四、径隅五”（古人把较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，而斜边则为弦），即知道了勾股数组．类似地，还可以得到下列勾股数组：，，，…，等等，这些数组也叫做毕达哥拉斯勾股数组，上述勾股数组的规律，可以用下面表格直观表示： 勾股数组 各数组的和 和的另一表示法 和与最小数的差 股 弦 3，4，5 12 5，12，13 30 7，24，25 56 观察分析上述勾股数组，可以看出它们具有如下特点： 特点1：最小的勾股数的平方等于另两个勾股数的和； 特点2：______． … 回答问题： (1)请你再写出上述勾股数组的一个特点：______； (2)如果n表示比1大的奇数，则上述勾股数组可以表示为； (3)请你证明（2）中的三个式子是勾股数组． 【答案】(1)勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积；（答案不唯一） (2)，； (3)见解析 【分析】本题考查了勾股数的概念，整式的混合运算，熟记勾股数的概念是解题关键． （1）根据勾股数组的特点解答即可； （2）根据已知表格，先求出勾股数组的和，进而得到勾股数组的和与最小数的差，再求出股和弦即可； （3）根据正数的混合运算法则计算即可证明． 【详解】（1）解：上述勾股数组的一个特点：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； 故答案为：勾股数组的和等于最小的勾股数与比它大1的整数的乘积； （2）解：为最小的勾股数， 勾股数组的和为， 勾股数组的和与最小数的差为， 股为，弦为， 勾股数组可以表示为， 故答案为：，； （3）证明： ， 即是勾股数组． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$