21.2 二次根式的乘除（分层作业，10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 （10大题型提分练） 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 题型一 二次根式的乘法 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ． 4．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算： ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 题型二 二次根式的除法 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东中山·期末）计算 则□中的数是（   ） A．4 B． C．2 D． 3．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末） ． 4．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．（22-23八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 3．（2023·山东青岛·二模）计算： ． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算： ． 5．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 题型四 最简二次根式的判断 1．（云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ． 5．（21-22八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 题型五 化为最简二次根式 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知，，化简 ． 4．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则m的值为 5．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 题型六 已知最简二次根式求参数 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 2．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）若是最简二次根式，则自然数 ． 5．（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 题型七 分母有理化及其应用 1．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 3．（22-23八年级·山东青岛·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 题型八 二次根式的大小比较 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·福建福州·阶段练习）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 3．（22-23八年级·江西南昌·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 1．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 2．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·重庆·期末）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 8．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知，，则的值为 ． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，则代数式的值是 ． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则： （1） °； （2）BE的长为 ． 11．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）将1、、、按下列方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是 ． 1                           第一排                           第二排        1                       第三排            1                     第四排           1                       第五排 …                             … 12．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为 ． 13．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 14．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）计算： 15．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 17．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习） 已知a，b，c满足， (1)求a，b，c的值； (2)判断以a，b，c为边能否构成三角形，若能够成三角形，此三角形是什么形状？ 18．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式 21.2 二次根式的乘除 （10大题型提分练） 知识点一、二次根式的乘法 二次根式的乘法 ·＝．（a≥0，b≥0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的积的算术平方根. 推广： 知识点二、二次根式的除法 二次根式的除法：=（a≥0，b>0） 文字语言：二次根式与二次根式相乘，等于各个被开数的商的算术平方根. 题型一 二次根式的乘法 1．（2024·湖南·中考真题）计算的结果是（    ） A． B． C．14 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法，正确计算是解题关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解：， 故选：D 2．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根的乘法运算．先对二次根式进行化简，再根据乘法分配律利用二次根式乘法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）计算 的结果为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法法则，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题关键．直接利用二次根式的乘法法则计算得出答案． 【详解】解： 故答案为： 4．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的性质，平方差公式，即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法计算： （1）根据二次根式乘法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型二 二次根式的除法 1．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·广东中山·期末）计算 则□中的数是（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的除法．熟练掌握二次根式的除法运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知 ，， 故选：C． 3．（23-24八年级下·宁夏吴忠·期末） ． 【答案】2 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 本题考查了二次根式的除法法则：，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：2. 4．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的除法：，利用此法则直接求解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 5．（23-24八年级下·浙江杭州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算： （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，即可求解； （2）根据二次根式的除法运算法则计算，即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：． 题型三 二次根式的乘除混合运算 1．（22-23八年级下·河南许昌·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 2．（22-23八年级下·新疆阿克苏·阶段练习）下列计算中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的乘除混合运算进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题的关键． 3．（2023·山东青岛·二模）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质，根据二次根式的乘除法法则进行计算即可求解，掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， ． 4．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，原式先化简分子中的二次根式，再计算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·安徽马鞍山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了根式的混合运算，去绝对值符号，零指数幂， （1）利用二次根式的混合运算法则计算即可； （2）去括号，去绝对值符号，算零指数幂，然后再算加减即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型四 最简二次根式的判断 1．（云南省楚雄彝族自治州2023-2024学年八年级下学期期末数学试题）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义：“被开方数中不含有分母，且被开方数中所有的因数（因式）的指数都小于2”进行判断即可． 【详解】解：∵，，， ∴是最简二次根式， 故选：D． 2．（23-24八年级下·湖北襄阳·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．满足（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C、，是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（23-24八年级下·全国·假期作业）若最简二次根式与相等，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的的定义，根据定义得出，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴ 解得 故答案为：,1 4．（23-24八年级上·四川成都·期末）下列二次根式，，，，中，是最简二次根式的为 ． 【答案】， 【分析】本题考查最简二次根式，掌握化简二次根式的方法是解题的关键．根据最简二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：，，， 故这些二次根式中是最简二次根式的为：，． 故答案为：， 5．（21-22八年级·全国·假期作业）判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）． 【答案】（3）（4）是最简二次根式，（1）（2）（5）（6）不是最简二次根式，原因见解析 【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：（1） 不是最简二次根式，被开方数含能开得尽方的因式； （2）不是最简二次根式，被开方数含分母． （3）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （4）是最简二次根式，被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式； （5）不是最简二次根式，被开方数含分母． （6） 不是最简二次根式，被开方数含分母． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 题型五 化为最简二次根式 1．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而得出答案． 【详解】解；∵，， ∴可以表示为；． 故选：A． 2．（23-24八年级下·安徽淮北·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，据此求解即可． 【详解】解：A、被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、被开方数含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）已知，，化简 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，根据算术平方根的非负性可求得结果，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为： ． 4．（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则m的值为 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 5．（23-24八年级下·北京朝阳·阶段练习）把下列二次根式化为最简二次根式： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的性质，最简二次根式，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质化简即可． （2）根据二次根式的性质化简即可． （3）根据二次根式的性质化简即可． （4）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 题型六 已知最简二次根式求参数 1．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 2．（21-22八年级下·湖北省直辖县级单位·阶段练习）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选D 【点睛】本题考查了二次根式的定义和性质，能正确根据二次根式的性质进行化简是解此题的关键． 3．（22-23八年级下·山东临沂·期中）若两个最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】1 【分析】由最简二次根式与能合并可得，计算即可. 【详解】解：最简二次根式与能合并， ∴， 解得 , 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式及最简二次根式，熟记定义并能灵活运用是解决本题的关键. 4．（21-22八年级上·全国·课后作业）若是最简二次根式，则自然数 ． 【答案】0 【分析】根据根号下不含能开的尽的因式，根号下不含分母，是最简二次根式，可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴1+n=1或1+n=0， 解得：n=0或n=-1(舍去)， ∴自然数n=0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟悉最简二次根式的定义是解题的关键． 5．（21-22八年级·全国·假期作业）已知最简二次根式与是同类二次根式，求的值． 【答案】1 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义求得a，b的值，再代入计算即可； 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴（a+b）a＝（0+2）0＝1； 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义： 被开方数的因数是整数，字母因式是整式， 被开方数不含能开得尽方的因数或因式；还考查了二元一次方程组和零指数幂；掌握最简二次根式的定义是解题关键． 题型七 分母有理化及其应用 1．（22-23八年级下·安徽·阶段练习）已知 ，则二次根式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，先化简，再利用因式分解和完全平方公式把转化为，把化简后的值代入计算得到的值，即可求出的值，掌握二次根式的化简和完全平方公式的应用是解题的关键． 【详解】解：， ， ∴ ， ， ， ， ， ∴， 故选：． 2．（22-23八年级下·江苏·阶段练习）阅读理解材料：把分母中的根号化掉叫做分母有理化，例如：①；②等运算都是分母有理化，根据上述材料，计算： ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了分母有理化以及二次根式的混合运算，直接利用二次根式的性质化简得出答案，正确化简二次根式是解题关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（22-23八年级·山东青岛·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值，他是这样分析与解答的： ， ，即． ，， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：______，______； (2)若，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 【详解】（1）， ， 故答案为：，； （2）当时， 原式 ． 题型八 二次根式的大小比较 1．（22-23八年级·全国·课后作业）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别将a、b、c平方，利用完全平方公式和二次根式的性质化简后对平方进行比较得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了完全平方公式、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 2．（22-23八年级·福建福州·阶段练习）比较大小： ．（选填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的比较，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 3．（22-23八年级·江西南昌·阶段练习）观察下列等式： ①； ②； ③；…… 像，，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如：与，与，与等都是互为有理化因式．进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号，请回答下列问题： (1)化简： ① ② (2)计算___________（为正整数）． (3)计算：___________； (4)已知，，试比较、的大小，则___________．（填“<”“>”或“=”） 【答案】(1)①；② (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化、无理数的大小比较， （1）①根据平方差公式，分子分母同乘以； ②根据平方差公式，分子分母同乘以； （2）根据平方差公式，分子分母同乘以； （3）根据分母有理化将化简，再与相乘即可； （4）根据分母有理化将，分别转化为，，再进行比较即可； 掌握二次根式的混合运算法则、平方差公式是解题的关键． 【详解】（1）解：①； ②； （2）， 故答案为：； （3） ， 故答案为：； （4）∵， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九 用二次根式的乘除法解决实际问题 1、（2023春·八年级单元测试）站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符号公式为，某一登山者从海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 【答案】 【分析】由题意知d和h的关系式，则由海拔h米处登上海拔米高的山顶，那么他看到的水平线的距离之比可以得到． 【详解】解：登山者看到的原水平线的距离为，现在的水平线的距离为，，即他看到的水平线的距离是原来的倍． 2、（2023春·浙江·八年级专题练习）“欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远．如图，若观测点的高度为，观测者视线能达到的最远距离为，则，其中是地球半径，约等于．小丽站在海边的一块岩石上，眼睛离海平面的高度为，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求的值为_____km． 【答案】 【分析】根据，，，由此即求解． 【详解】解：根据题意得，，，， ∴， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查的是代数式的求值计算，理解代数式中相应字母的值是解题的关键． 3、（2023春·江苏镇江·八年级统考期末）已知一个长方体木块放在在水平的桌面上，木块的长、宽、高分别是、、 ，若木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则的值等于______． 【答案】 【分析】先分别求解最大压强与最小压强，再列式计算即可． 【详解】解：如图，， ∴ ∴， ∵最大压强是前面向下放置， ∴， ∵最小压强是面积最大的面向下， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除混合运算的实际应用，属于跨学科的题，熟记公式与二次根式的除法运算是解本题的关键． 题型十 二次根式乘除法中的新定义问题 1．（2022下·河南商丘·八年级统考期末）对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 2．（2022上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考期末）定义：若两个二次根式，满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式．问题解决： (1)若与是关于6的共轭二次根式，则_______； (2)若与是关于某数C的共轭二次根式，求有理数m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义列等式计算可得a的值； （2）根据共轭二次根式的定义列等式解出m的值． 【详解】（1）解：∵a与是关于6的共轭二次根式， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵与是关于C的共轭二次根式， ∴， ∴， ∵C是有理数， ∴， ∴解得． 【点睛】本题通过新定义共轭二次根式考查了二次根式，关键在于理解新定义的含义，并会灵活运用二次根式的性质进行计算． 3．（2023上·山西长治·八年级长治市第六中学校校考阶段练习）如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．即：若，则．反之．如果一个数是的平方根，那么这个数的平方等于．即：若，则．例如： 根据平方根的定义可得：∵，∴． 根据平方根的定义可得：∵是的一个平方根，∴． 根据平方根的定义，利用上述符号及例子解决下列问题： (1)求下列各式中的值． ； ． (2)求证：． 证明：∵是的平方根， ∴． ∵（依据） ，（依据） ∴． 填写推理依据， 依据：__________________； 依据：__________________． 计算：． 【答案】(1)或或； (2)积的乘方；平方根的定义；． 【分析】（）把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； 先化简，把看成一个整体，然后利用平方根的定义即可求解； （）根据积的乘方和平方根的定义即可； 根据二次根式乘法法则进行即可计算． 【详解】（1）， ， 或； ， ， 或； （2）积的乘方；平方根的定义； 原式． 【点睛】此题考查了平方根和二次根式的乘法，解题的关键是正确理解平方根的定义和熟练掌握二次根式的乘法运算． 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式“（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式”，熟练掌握最简二次根式的定义是解题关键．根据最简二次根式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式混合运算，掌握（，），，（，）是解题的关键． 【详解】解：A.，结果正确，符合题意； B.，结果错误，不符合题意； C.不能进行运算，结果错误，不符合题意； D. 结果错误，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级下·广东云浮·期末）计算的结果是 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简和二次根的乘法运算．先对二次根式进行化简，再根据乘法分配律利用二次根式乘法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故选：C． 4．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C都在网格线的交点上，则中边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、面积法以及三角形面积公式等知识，由勾股定理求出的长，再由三角形面积求出中边上的高即可．熟练掌握勾股定理和面积法是解题的关键． 【详解】解：设中边上的高为， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即中边上的高为， 故选：B． 5．（23-24八年级下·山东聊城·期中）把化成最简二次根式，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式．解题的关键是掌握二次根式的性质并能够正确利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选：C． 6．（23-24八年级下·广西钦州·阶段练习）已知，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的求值，解题的关键是熟练掌握完全平方公式， 先求出的值，再根据x的取值范围开平方解答即可 【详解】解：， ， ， 故选：B 7．（23-24七年级下·重庆·期末）已知的整数部分为a，小数部分为b，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，二次根式的乘法，正确得出的取值范围是解题关键．先估算无理数的范围，求出a、b的值，代入求出即可． 【详解】解：∵， ∴整数部分，小数部分， ∴ ； 故答案为：47． 8．（23-24八年级下·重庆秀山·阶段练习）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用、二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．先利用提取公因式法分解因式，再代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查了代数式求值，二次根式的计算，完全平方公式，熟练掌握运算法则是解题的关键．先利用完全平方公式将原式变形为，再根据，得到，整体代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：2023． 10．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图，在矩形纸片中，，点E在AB上，若点B关于直线CE的对称点落在AD上时，．则： （1） °； （2）BE的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，二次根式的除法运算； （1）先证明，，求解，再进一步可得答案； （2）先证明，，设，则，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴，， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：， 11．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）将1、、、按下列方式排列．若规定表示第m排从左向右第n个数，则与表示的两数之积是 ． 1                           第一排                           第二排        1                       第三排            1                     第四排           1                       第五排 …                             … 【答案】 【分析】本题考查数字类规律探索，二次根式的乘法．由题意得出该排列方式为1、、、四个数字循环排列，再求出表示第112个数，表示第4959个数，从而可求出表示的数为，表示的数为，最后计算乘法即可． 【详解】解：由图可知1、、、四个数字循环排列，第m排有m个数， ∴表示第个数，表示第个数． ∵，， ∴表示的数为，表示的数为， ∴与表示的两数之积是． 故答案为：． 12．（23-24八年级上·陕西西安·期末）已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，二次根式的运算．根据二次根式有意义的条件，求出的值，代入代数式进行求解即可．解题的关键是掌握被开方数为非负数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 13．（23-24八年级下·山东菏泽·期末）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了二次根式乘除法的混合运算，熟练掌握运算顺序以及运算法则是解题的关键．根据二次根式乘除法的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 14．（23-24八年级下·云南玉溪·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查实数的混合运算，二次根式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先计算零指数幂、绝对值、负整数指数幂、二次根式的除法，再进行加减计算即可． 【详解】解：原式 ． 15．（23-24八年级下·河南漯河·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序 ，并能进行正确地化简各数是解题的关键． （1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减； （2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减． 【详解】（1）解： ； （2） ． 16．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1)5，6 (2)①；② (3)46或14 【分析】本题考查完全平方式的应用、二次根式的性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用完全平方公式得到，进而可得a、b的值； （2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可； （3）利用完全平方公式得到，然后根据a，m，n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：5，6； （2）解：① ； ② ； （3）解：∵， ∴，即， ∵a，m，n为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为46或14． 17．（23-24八年级下·甘肃定西·阶段练习） 已知a，b，c满足， (1)求a，b，c的值； (2)判断以a，b，c为边能否构成三角形，若能够成三角形，此三角形是什么形状？ 【答案】(1) (2)能，此三角形是直角三角形 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形三边关系，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据非负数的性质求得的值， （2）根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴， 解得：， （2）∵， ∴， ∴， ∴以、、为边能构成直角三角形 18．（23-24八年级下·广东韶关·期末）观察以下等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… 按照以上规律，解决以下问题： (1)写出第5个等式； (2)试用含n(n为自然数，且)的式子表示你猜想的第n个等式，并证明其正确性． 【答案】(1)； (2)，理由见解析． 【分析】本题考查了数字规律，二次根式的乘法，认真观察等式，找出所给规律是解题的关键． （1）根据所给等式可得答案； （2）首先写出第n个等式，然后再利用二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：第1个等式： ， 第2个等式： ， 第3个等式： ， 第4个等式： ， 第5个等式： ． （2）解：根据题意，第n个等式为：，理由如下： ， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$