21.3 二次根式的加减（分层作业，10大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学上册同步精品课堂（华东师大版）

第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减 （10大题型提分练） 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 同类二次根式 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 5．（23-24八年级下·广东广州·开学考试）若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 题型二 二次根式的加减运算 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算结果为 ． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为 cm． 5．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）计算： (1) (2) (3) 题型三 二次根式的混合运算 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）估算的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算： ． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 5．（23-24八年级下·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 题型四 分母有理化 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 3．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知，则 ． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如果，，那么 ． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 题型五 已知字母的值，化简求值 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 2．（23-24八年级下·广东汕头·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）当时，代数式的值是 ． 4．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）当时，式子 ． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，求下列各式的值； (1)； (2)． 题型六 已知条件式，化简求值 1．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21七年级下·北京海淀·期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 3．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知，，则代数式的值是 ． 4、（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 5．（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 题型七 比较二次根式的大小 1．（21-22八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 2．（20-21八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 3．（2024·陕西西安·三模）比较大小： （填“”、“”、“”）． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 5．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 题型八 二次根式的实际应用 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 4．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为_____； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 题型九 二次根式的新定义问题 1．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 3．（2023下·湖北咸宁·八年级校考期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 题型十 二次根式的阅读理解类问题 1．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2、（2023上·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 3（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，估计 的值所对应的点可能落在（   ）   A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示，中的较小值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B．或 C．1 D．或或1 5．（23-24九年级下·重庆·期中）估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间 6．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）已知，，估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 7．（2024·山东枣庄·模拟预测）计算： ． 8．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）二次根式与最简二次根式可以合并，则 ． 9．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 11．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知，，则 ． 12．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，，则矩形的面积为 ． 13．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）（1）计算：； （2）已知，，求． 14．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2) 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)请你尝试化简：． 16．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期末）计算 (1) (2) 17．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）数学课上老师提出问题：比较与的大小． “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较； “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系比较． 根据上面两个小组的思路，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 18．（23-24八年级下·江西赣州·期末）小芳解答问题“已知，求的的值”的过程如下： ∵  ∴，即，∴． ∴ 请你根据小芳的解答过程，解决下列问题： (1)，求：的值 (2)化简 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 二次根式 21.3 二次根式的加减 （10大题型提分练） 知识点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点2： 二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 题型一 同类二次根式 1．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）下列各式中，不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的合并，解题的关键是掌握二次根式的化简方法，以及同类二次根式才可以合并． 将各选项化为最简二次根式即可解答． 【详解】解：， A、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； B、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； C、与是同类二次根式，可以合并，不符合题意； D、与不是同类二次根式，不可以合并，符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·山东济南·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．先将各选项化简，再找到被开方数与相同的选项即可． 【详解】解：A．与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； B．，与不是同类二次根式，故该选项不符合题意； C．，3不是二次根式，故该选项不符合题意； D．，与是同类二次根式，故该选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·安徽淮北·期末）已知为最简二次根式，且能够与合并，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，根据最简二次根式可合并，可得同类二次根式，根据同类二次根式，可得关于的方程，根据解方程，可得答案． 【详解】解：由最简二次根式与可以合并，得 ． 解得， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·江苏无锡·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 5．（23-24八年级下·广东广州·开学考试）若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根． 【答案】5 【分析】本题考查了算术平方根、最简二次根式，二元一次方程组的应用以及求代数式的值，熟练掌握算术平方根、最简二次根式以及二元一次方程组的应用是解题的关键．根据同类二次根式得出和的二元一次方程组，从而得出和的值，然后求出平方和的算术平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：，， ∴． 题型二 二次根式的加减运算 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式的加减法运算法则判断A、B选项，根据二次根式化简判断C选项根据二次根式的乘法运算法则判断D选项即可． 【详解】A． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； B． 和，不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误，故本选项不符合题意； C． ，原式计算错误，故本选项不符合题意； D． ，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东江门·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的运算，涉及二次根式的加法，乘法，除法，合并同类项，根据二次根式的加法，乘法，除法等运算法则逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，错误，不符合题意； C、，错误，不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的加减法运算，正确的计算是解决本题的关键． 先将二次根式化简，然后计算加减法即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）某一长方形纸片的长为，宽为，则此长方形纸片的周长为 cm． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算的应用，根据长方形的周长（长+宽），即可得到答案 【详解】解：长方形纸片的周长为 故答案为 5．（23-24七年级下·新疆喀什·期末）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用同类二次根式进行减法运算，即可作答． （2）运用二次根式的乘法进行运算，即可作答． （3）先化简绝对值，再运用同类二次根式进行减法运算，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解： （3）解： 题型三 二次根式的混合运算 1．（23-24八年级下·湖北孝感·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式加减乘除运算法则进行计算即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 2．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）估算的值在（　　） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的混合运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法，再利用放缩法估算无理数的大小． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值在5和6之间， 故选A． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）计算： ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·上海·假期作业）计算： ． 【答案】 【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．本题考查二次根式的混合运算法则，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算法则． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·天津和平·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算的运算顺序和运算法则． （1）先将各个二次根式化简，再进行计算即可； （2）先根据完全平方公式和去括号法则将括号展开，再进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型四 分母有理化 1．（2023·浙江宁波·模拟预测）的倒数是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】此题考查了倒数，二次根式的乘法等知识两个数的积为1，则两个数互为倒数，根据倒数定义进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是． 故选A． 2．（23-24八年级下·全国·假期作业）的整数部分是（　　） A．3 B．5 C．9 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的分母有理化，将各式进行分母有理化后再计算即可得出答案． 【详解】解： 原式 故选：C． 3．（23-24八年级下·重庆·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，分母有理化；将字母的值代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如果，，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查乘法公式，二次根式的性质，分母有理化，掌握完全平方公式，二次根式的运算方法是解题的关键． 根据题意，运用配方法将配成完全平方公式，再判定，由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴将配方得， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）观察下列等式： 第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 按上述规律，回答以下问题： (1)写出第4个等式：___________； (2)请写出第n个等式：____________________． (3)利用上述的规律计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目的式子可以写出第4个等式； （2）根据题目的式子可以写出第个等式； （3）根据（2）的结果，可以先将所求式子展开，然后化简即可． 本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、数字的变化类，解答本题的关键是写出第个等式． 【详解】（1）解：第1个等式：， 第2个等式：， 第3个等式：， 第4个等式：， 故答案为：； （2）解：由（1）的规律可得，， 故答案为：； （3）解： ． 题型五 已知字母的值，化简求值 1．（23-24八年级下·四川广安·期末）若，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的化简求值，根据平方差公式进行计算即可 【详解】解：∵，， ∴, 故选：C 2．（23-24八年级下·广东汕头·期中）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，掌握运算法则与乘法公式是解题的关键． 先利用平方差公式求出，再代入，计算即可． 【详解】解：∵， ， ， 故选：B． 3．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）当时，代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，直接根据平方差公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东临沂·阶段练习）当时，式子 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子变形为，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知，，求下列各式的值； (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的加减计算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘法计算法则求解即可，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴； ∴． 题型六 已知条件式，化简求值 1．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 2．（20-21七年级下·北京海淀·期末）已知x，y为实数，xy＝5，那么xy的值为（    ） A． B．2 C．±2 D．5 【答案】C 【分析】先化简所求式子，然后利用分类讨论的方法，可以求得所求式子的值． 【详解】解：， ，为实数，， 、同号， 当，时， 原式， 当，时， 原式， 由上可得，的值是， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 3．（23-24九年级上·贵州遵义·期中）已知，，则代数式的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，平方差公式．二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．利用整体代入的方法可简化计算．利用平方差公式把原式变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4、（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）已知，那么 ． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于”，得到，则，由此求出，据此即可得到答案． 【详解】解：∵有意义， ∴，即， ∴是负数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值，掌握二次根式有意义的条件、得出是解题的关键． 5．（23-24八年级下·山西忻州·期中）已知，． (1)求和ab的值； (2)求的值； (3)若a的小数部分是x，b的整数部分是y，求的值． 【答案】(1)， (2)16 (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，无理数的整数部分与小数部分的含义，掌握运算法则是解本题的关键； （1）直接把，代入计算即可； （2）把变形为，再整体代入计算即可； （3）先判断，，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）由（1）得：，， ∴； （3）∵a的小数部分是x， ∴， ∵b的整数部分是y， ∴， ∴． 题型七 比较二次根式的大小 1．（21-22八年级上·广东河源·单元测试）2、、15三个数的大小关系是（    ） A．2＜15＜ B．＜15＜2 C．2＜＜15 D．＜2＜15 【答案】A 【分析】将分别化成，再进行比较即可． 【详解】且 即 故选：A． 【点睛】本题考查了实数的比较大小，比较被开方数，是常用的比较实数大小的方法． 2．（20-21八年级下·浙江台州·期中）已知a＝2021×2023﹣2021×2022，b＝，c＝，则a，b，c的关系是（    ） A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．a＜b＜c 【答案】D 【分析】利用平方差公式计算a，利用完全平方公式和二次根式的化简求出b，利用二次根式大小的比较办法，比较b、c得结论． 【详解】解：a=2021×2023-2021×2022 =2021（2023-2022） =2021； ∵20242-4×2023 =（2023+1）2-4×2023 =20232+2×2023+1-4×2023 =20232-2×2023+1 =（2023-1）2 =20222， ∴b=2022； ∵， ∴c＞b＞a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式、二次根式的化简、二次根式大小的比较等知识点，利用完全平方公式计算出值，是解决本题的关键． 3．（2024·陕西西安·三模）比较大小： （填“”、“”、“”）． 【答案】 【分析】本题考查比较二次根式的大小，根据两个负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·广西防城港·期中）比较大小： （填“>”或“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的大小比较，掌握二次根式的大小比较的方法是解本题的关键． 【详解】解：∵，而， ∴， 故答案为：． 5．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知，． (1)比较a，b的大小，并写出比较过程； (2)求代数式的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用平方法和不等式的性质即可比较出大小； （2）代入和b的值，利用二次根式的混合运算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵ ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键． 题型八 二次根式的实际应用 1．（23-24八年级下·江苏镇江·期末）如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 2．（23-24八年级下·山西吕梁·期中）如图，一个矩形被分割成四部分，已知图形①②③都是正方形，且正方形③的面积为2，阴影部分的面积为，则正方形①的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，二次根式的加减运算等知识点，根据开方运算，可得正方形③的边长，再根据阴影面积可得阴影长，进而可得正方形②的边长，利用长方形的边长的和差，即可得答案，熟练掌握利用算术平方根和线段的和差得出边长是解决此题的关键． 【详解】∵正方形③的面积为2， ∴正方形③的边长是， ∵阴影部分的面积为， ∴阴影部分的长， ∴正方形②的边长为， ∴正方形①的边长是， 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）一块矩形木板采用如图所示的方式在木板上截出两个面积分别为27和75的正方形木板后，剩余的木板（阴影部分）的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握矩形和正方形的面积公式是解题的关键．根据正方形和矩形的面积公式可得到结论． 【详解】解：根据题意得大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴矩形木板的长为：，宽为， 剩余木板的面积为：； 故答案为：18． 4．（23-24八年级下·广东珠海·期中）如图所示的是丽丽家正方形后院的示意图，丽丽家打算在正方形后院打造一个的正方形游泳池和一个的正方形花园，剩下阴影部分铺满瓷砖，则阴影部分的面积为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查图形的变化规律，利用勾股定理找出的规律是解题的关键．首先求出、、的长度，然后归纳命题中隐含的数学规律，即可解决问题． 【详解】解：由题意得： 大正方形的边长为， ∴阴影部分面积 故答案为： 5．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）现有两块同样大小的矩形纸片，丽丽采用如图1所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积分别为和的正方形纸片A，B． (1)裁出的正方形纸片A的边长为_____； (2)求图1中阴影部分的面积； (3)小明想采用如图2所示的方式，在矩形纸片上裁出两块面积都是的正方形纸片，请你判断能否裁出，并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不能截出，理由见解析． 【分析】本题考查了算术平方根的应用以及二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形面积等于边长的平方，结合面积为，即可计算正方形纸片A的边长； （2）先算出正方形纸片B的边长，再得出矩形的长，宽，运用面积和差关系列式计算，即可作答． （3）先计算，则，据此即可作答． 【详解】（1）解：依题意，正方形纸片A的边长为； 故答案为：； （2）解：由题意得，截出的正方形纸片B的边长为， 则矩形的长为，宽为， ∴阴影部分的面积． （3）解：不能截出，理由如下： ∵面积为的正方形纸片的边长为， 则， ∴不能在矩形纸片上裁出两块面积是的正方形纸片． 题型九 二次根式的新定义问题 1．（2023下·重庆江津·八年级校联考期中）对于任意非负数、，若定义新运算：，在下列说法中：①；②；③；④若，则的取值范围为，其中正确的有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】利用新运算的定义对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：①， ， ①的说法正确； ②等式的左边 ． 等式的右边． 等式成立， ②的说法正确； ③当时， 左边 右边， 当时， 左边 右边， 综上，③的说法正确； ④ ， 由题意可知：， ， ④的说法不正确． 综上，说法正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，分母有理化，本题是新定义型，理解新定义的规定，并熟练应用是解题的关键． 2．（2023上·辽宁辽阳·八年级统考期末）对于任意正数，，定义运算“*”为:，如，则的运算结果为 ． 【答案】 【分析】先根据新运算法则计算与，再计算乘法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，正确理解新运算法则是解题的关键． 3．（2023下·湖北咸宁·八年级校考期末）定义：任意两个数，，按规则扩充得到一个新数，称所得的新数为“如意数”． (1)若，，求出，的“如意数”． (2)如果，，求，的“如意数”，并证明“如意数”． (3)已知，且，的“如意数”，求的值． 【答案】(1) (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题考查的是新定义运算，二次根式的运算，完全平方公式， （1）根据题目中所给的运算规则可得“如意数”c； （2）根据题目中所给的运算规则计算出“如意数”c后，把所得的式子化为完全平方式的形式即可判定“如意数”c的大小； （3）先有理化可得，根据题目中所给的运算规则可得，问题即可得解． 【详解】（1） （2）∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ，的“如意数”， ∴， ∴， 即：． 题型十 二次根式的阅读理解类问题 1．（2023下·重庆江津·八年级重庆市江津中学校校考阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请根据上述方法分析下列结论： ①； ②若，，则； ③，且，则 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】①根据题干中给出的信息进行分母有理化，即可判断； ②先化简a、b，然后代入求值即可； ③先化简a、b，然后将a、b代入，求出即可． 【详解】解：①，故①正确； ②， ， ∴ ，故②正确； ③ ， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∴，故③正确； 综上分析可知，正确的个数是3个，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，二次根式化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． 2、（2023上·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考阶段练习）[阅读与计算]：求三边长分别为a、b、c的三角形的面积S．古希腊几何学家海伦在《度量》一书中给出了“海伦公式”：（其中）；我国南宋数学家秦九韶在《数学九章》中提出三斜求积术：；若一个三角形的三边长分别是、、，请选择一种方法求这个三角形的面积． 【答案】3 【分析】方法一：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可； 方法二：一个三角形的三边长分别是、、，令，再代入进行计算即可． 【详解】方法一： 解：∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴， ∴， ， ， ∴ ． 方法二： ∵一个三角形的三边长分别是、、， 令， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的混合运算，三角形的面积的计算，准确的进行计算是解本题的关键． 3（2023上·吉林长春·九年级统考期末）【阅读材料】阅读下列材料，然后回答问题： （ⅰ）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，那么这两个代数式相互叫做有理化因式． 例如：的有理化因式是；的有理化因式是． （ⅱ）分母有理化：分母有理化又称“有理化分母”，也就是把分母中的根号化去，指的是如果二次根式中分母有根号，那么通常在分子、分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中根号的目的． 例如：；． 【知识运用】 （1）填空：的有理化因式是______（写出一个即可）；的有理化因式是______． （2）把下列各式的分母有理化： ①； ②． （3）化简：． 【答案】（1）；；（2）①；②；（3）2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化： （1）根据有理化因式定义求解； （2）①②利用分母有理化计算； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）的有理化因式是（答案不唯一）；的有理化因式是. 故答案为：（答案不唯一）；； （2）①. ②.     （3） . 1．（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）下列二次根式，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式，先根据二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式，然后根据同类二次根式的定义解答即可．解题的关键是掌握同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：A．，它的被开方数是，与的被开方数相同，是同类二次根式，能合并，故此选项符合题意； B．，它的被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，它的被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； D．的被开方数是，与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．（2024·云南昆明·模拟预测）如图，估计 的值所对应的点可能落在（   ）   A．点处 B．点处 C．点处 D．点处 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法运算、无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 先利用乘法分配律化简，然后再估算无理数的大小即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴， ∵由图象点的位置可得：B点符合． 故选：B． 3．（23-24八年级下·山东聊城·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 利用二次根式的加减法的法则，二次根式的除法的法则及化简的的法则对各项进行运算即可． 【详解】解：A、，故错误，不符合题意； B、，故错误，不符合题意； C、，故错误，不符合题意； D、，故正确，符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级下·山东济南·期末）对于两个不相等的实数、，我们规定符号表示，中的较小值，如：，按照这个规定，方程的解为（    ） A． B．或 C．1 D．或或1 【答案】A 【分析】本题主要考查新定义下解分式方程，解题的关键是分类讨论思想的利用，根据题意分两种情况：当，则，解得；当，则，无解，即可判断答案． 【详解】解：当，则， 那么，，解得，（舍去）， 经经验是方程的解； 当，则， 那么，，解得（舍去）， 则方程的解为； 故选：A． 5．（23-24九年级下·重庆·期中）估计的值应在（　　） A．5和6之间 B．4和5之间 C．7和8之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式混合运算法则计算得到结果，再估算结果的范围即可，正确掌握二次根式混合运算法则是解题的关键 【详解】解：原式 ∵ ∴ 故选：B. 6．（23-24七年级下·重庆忠县·期末）已知，，估计的值应在（   ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】本题考查二次根式混合运算，估算无理数大小，熟练掌握二次根式混合运算法则与估算无理数大小大小的方法是解题的关键． 根据二次根式混合运算的方法求出的值， 再估算无理数的大小即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 故选：B． 7．（2024·山东枣庄·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，利用积的乘方逆运算和平方差公式进行计算即可，掌握积的乘方运算和平方差公式是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（23-24七年级下·山东潍坊·期末）二次根式与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式，根据同类二次根式的定义得到被开方数相同是解题的关键．先判断与是同类二次根式，根据被开方数相同列方程求解． 【详解】解：∵二次根式与最简二次根式可以合并， ∴二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 10．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 11．（23-24八年级下·山东滨州·期末）已知，，则 ． 【答案】16 【分析】将因式分解成，然后把已知代数式代入计算即可． 本题考查了因式分解的应用，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】 ． 故答案为：16 12．（23-24八年级下·江苏常州·期末）如图，矩形的对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，，则矩形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形，勾股定理，过点E作于点F，先证是等边三角形，再求出的长，得出的长，再求出的长，由勾股定理即可求出的长，最后根据矩形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 则矩形的面积为， 故答案为：． 13．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）（1）计算：； （2）已知，，求． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查了求整式的值，二次根式的混合运算； （1）先进行二次根式的除法运算，同时利用平方差公式进行运算，再进行加减运算，即可求解； （2）将、的值代入整式，利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再再进行加减运算，即可求解； 掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）原式 ； （2）当，时， 原式 ． 14．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了实数运算，二次根式的混合运算，正确化简各数是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根，再计算加减即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式计算，然后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 15．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）我们知道式子，不是最简结果，我们可以这样进行化简，如：，．这样的化简过程叫做分母有理化．我们把叫做的有理化因式，叫做的有理化因式，完成下列各题． (1)的有理化因式是 ，的有理化因式是 ； (2)请你尝试化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题目所给有理化因式的定义进行解答即可； （2）分子分母同乘以即可得出答案； 本题考查了分母有理化，熟练掌握二次根式的性质以及平方差公式是解本题的关键． 【详解】（1）解： 的有理化因式是，的有理化因式是； 故答案为：，； （2）解： ． 16．（23-24八年级下·黑龙江鸡西·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式，（1）先利用二次根式的乘法法则和完全平方公式进行计算，再进行加减计算即可； （2）先利用二次根式的乘法法则和平方差公式进行计算，再进行加减计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 17．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）数学课上老师提出问题：比较与的大小． “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较； “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个，再利用三角形的三边关系比较． 根据上面两个小组的思路，解决下列问题： (1)填空：______，______； (2)①判断的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小． 【答案】(1)；5 (2)①为直角三角形；理由见解析；② 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，勾股定理的逆定理，三角形三边关系的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式性质和混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则和二次根式性质，求出，的值即可； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据三角形三边关系进行判断即可． 【详解】（1）解：，； （2）解：①∵，，， ∴， ∴为等边三角形； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴． 18．（23-24八年级下·江西赣州·期末）小芳解答问题“已知，求的的值”的过程如下： ∵  ∴，即，∴． ∴ 请你根据小芳的解答过程，解决下列问题： (1)，求：的值 (2)化简 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分母有理化及乘法公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法可进行求解； （2）根据分母有理化可进行求解． 【详解】（1）解：∵ ； ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解： ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$