1.4.2 利润问题和抛物线形问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第1章 二次函数 4 1.4 二次函数的应用 课时2 利润问题和抛物线形问题 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 利润问题 1. 【2024浙江宁波海曙区期中】一套杭州亚运会吉祥物纪念品进价为100元， 按标价135元售出，每天可售出100件.若每降价1元出售，则每天可多售出4件.要 使每天获得的利润最大，每件需降价( ) A A.5元 B.10元 C.0元 D.15元 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 7 【解析】设每件降价元，总利润为元，则每件的利润为 元，每 天售出的件数为 件.由题意，得 .又 ，时， .故选A. 思路分析 设每件降价元,总利润为元,则每件的利润为 元，每天售出的件 数为件，列出与 的关系式即可得出结论. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 8 2. 【2024辽宁朝阳期末】某公司抓住“一带一路”的机遇不断创新发展， 生产销售某产品，该产品销售量（万件）与售价 （元/件）之间存在如图（1） （一条线段）所示的变化趋势，总成本（万元）与销售量 （万件）之间存在如 图（2）所示的变化趋势，当时可看成一条线段，当 时可看 成抛物线的一部分.销售该产品获得的利润为 万元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 9 关键点拨 （3）分别求出和 时的利润最大值，再比较即可得解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 10 （1）写出与 之间的函数关系式. 【解】设与之间的函数关系式为.将点， 代入得 解得与之间的函数表达式为 . （2）若销售量不超过10万件，利润为45万元时，求此时的售价为多少. 【解】 当时，同理（1）可得 .由题意得 ，解得 或19（舍去）. 答：此时的售价为15元/件. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 11 （3）当售价为多少元时，利润最大？最大是多少万元？ 【解】 ①当时，，当时， 有 最大值，为49； ②当时，把点代入二次函数 并解得 ，，当时， 的最 大值为， 当售价为17元/件时，利润最大，最大为49万元. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 12 知识点2 抛物线形问题 3.【2024浙江台州椒江区期中】某地大桥主桥墩结构为抛物线形， 桥墩的高度和宽度分别为和 ，若建立如图所示的平面 直角坐标系，则该抛物线的表达式为( ) C A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 13 【解析】由二次函数的图象可得，抛物线与轴的交点坐标为和， 对 称轴为直线 桥墩的高度为， 抛物线的顶点坐标为 . 设抛物线的表达式为，把 代入上式得， ，， 该抛物线的表达式为 ， 即 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 14 4.【2024浙江温州中考】一次足球训练中，小明从球门正前方的 处射门，球 射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为 时，球达到最高点，此时球 离地面.已知球门高为,现以 为原点建立如图所示直角坐标系. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 15 （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）. 【解】由题意，得抛物线的顶点坐标为 ，设抛物线的函数表达式为 . 把点代入，得，解得 ， 抛物线的函数表达式为 . 当时，， 球不能射进球门. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 16 （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他 应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方 处? 【解】 设小明带球向正后方移动 米，则移动后的抛物线的函数表达式 为.把点代入得 ，解得 （舍去），， 当时他应该带球向正后方移动1米射门. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 1 2 3 4 17 提升 1.【2024浙江台州路桥区调研，中】如图，不考虑空气阻力，以一定的速度将小 球沿斜上方击出时，小球飞行的高度是飞行时间的二次函数.现以相同的速度沿相 同的方向每隔 秒依次击出三个质地一样的小球，小球在各自击出后2秒到达相同 的最大飞行高度，若整个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地 后再弹起），则 的取值范围是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 18 【解析】以球出发的地方为原点建立直角坐标系.由题意得，二次函数图象过原点 且对称轴为直线， 设二次函数表达式为，代入 得 ，解得，.令 得 ，解得，， 一个小球从出发到落地用时4秒. 整 个过程中，保持空中始终有1或2个小球（不考虑小球落地后再弹起）， 解得 ，故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 19 2. 【2023河北承德期末，中】在 月份，某地的蔬 菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了 这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售 该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是( ) C A.1月份 B.2月份 C.5月份 D.7月份 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 20 【解析】设月份出售时，每千克售价为元，每千克成本为 元，每千克利润为 元.根据题图设，解得 .根据 题图设，，解得 ， ， ，即 ，整理，得， 当时， 有最大值， 即当5月份出售时，每千克利润最大.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 21 关键点拨 根据题图信息求出每千克售价关于月份的一次函数和每千克成本关于月份的二次函 数，然后利用“每千克利润 每千克售价-每千克成本”及二次函数的性质即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 22 3.【2023江苏宿迁期末，中】某日6时至10时，某交易平台上一种水果的每千克售 价（元）、每千克成本（元）与交易时间 （时）之间的关系分别如图（1）、 图（2）所示（图（1）、图（2）中的图象分别是线段和抛物线的一部分，其中点 是抛物线的顶点）.在这段时间内，出售每千克这种水果收益最大的时刻是_____， 此时每千克的收益是_____. 9时 元 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 23 【解析】 设题图（1）中交易时间与每千克售价的函数关系式为 ，将 ，代入，解得，，所以 .设题图（2）中每千 克成本与交易时间的函数关系式为，将代入，得 ， 所以 .设在这段时间内，出售每千克这种水果 的收益为 元.根据题意，得 ， ，当 ， 即时，取得最大值，最大值为.故答案为9时， 元. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 24 关键点拨 根据两个函数图象分别求出两个函数表达式，再根据收益 售价-成本列出二次函 数表达式即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 25 4.【2023浙江温州质检，中】某公司在国庆长假期间举行了商品打折促销活动， 经市场调查发现，某种商品的周销售量（件）是关于售价 （元/件）的一次函数， 下表仅列出了该商品的售价（元/件），周销售量（件），周销售利润 （元） 的三组对应数据. （元/件） 40 50 90 （件） 180 150 30 （元） 3 600 4 500 2 100 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 26 （1）求关于 的函数表达式（不要求写出自变量的取值范围）； 【解】设 ，由题意得 解得 关于的函数表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 （2）当售价为多少时，周销售利润 最大？并求出最大利润； 【解】 由，，可得商品进价为 （元/件）.由题意可得 ， 当时，最大，最大值为， 售价为60元/件时，周销售利润 最大，最大利润为4 800元. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 28 （3）若该商品进价每件提高元，公司为回馈消费者，规定该商品售价 不得超过56元/件，且该商品在今后的销售中，周销售量与售价仍满足（1）中的 函数关系，若周销售最大利润是3 960元，求 的值. 【解】 设周销售利润为 元.由题意得 ，抛物线 对称轴为直线 该商品售价不得超过56元/件，， 当 售价为56元/件时，周销售利润最大， ，解得 的值 为6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 29 5.［较难］如图（1）是一座抛物线形拱桥侧面示意图．水面宽与桥长 均为 ，在距离点6米的处，测得桥面到桥拱的距离为，以桥拱顶点 为原点，桥面为 轴建立平面直角坐标系． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 30 （1）求桥拱顶部 离水面的距离; 【解】根据题意可知点的坐标为 ，可设拱桥侧面所在抛物线的表达式为 .将代入，得，解得 ， .当时，， 桥拱顶部 离水面的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 31 （2）如图（2），桥面上方有3根高度均为的支柱，， ，过相邻两根 支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为 ． ①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式; 【解】 由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为 ，可设其表达式为 ，将代入，得，解得， 右 边钢缆所在抛物线表达式为 . （同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为 ，任选其一回答即可） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 32 ②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，则彩带长度最小是多少？ 【解】 设彩带的长度为 ，则 ， 当 时， . 答：彩带长度最小是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 33 刷素养 走向重高 6.核心素养 模型观念【2022浙江台州中考，难】如图（1），灌溉车沿着平行于 绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水.喷水口离地竖直高度为 （单位： ）.如图（2），可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐 标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 ，其水平宽度 ，竖直高度为 的长.下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到， 上边缘抛物线最高点离喷水口的水平距离为，高出喷水口，灌溉车到 的距离为（单位： ）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 34 （1）若， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 35 ①求上边缘抛物线的函数表达式，并求喷出水的最大射程 ； 【解】由题意得 是上边缘抛物线的顶点，设上边缘抛物线的函数表达式为 抛物线过点，，， 上边缘抛 物线的函数表达式为.当时， ，解得 ，（舍去）， 喷出水的最大射程为 . ②求下边缘抛物线与轴的正半轴交点 的坐标； 【解】 上边缘抛物线的对称轴为直线， 点的对称点为， 下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，， 点 的坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 36 ③要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，求 的取值范围. 【解】 ， 点的纵坐标为， ，解得 .，.对于上边缘抛物线的函数表达式，当 时，随的增大而减小， 当时，要使，则. 当 时，随的增大而增大，且时，， 当 时， 要使，则. ，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整 个绿化带，的最大值为 .再看下边缘抛物线，喷出的水 能浇灌到绿化带底部的条件是，的最小值为2.综上所述， 的取值范围 是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 37 （2）若 ，要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，请直接写 出 的最小值. 【解】 的最小值为 .当喷水口高度最低，且恰好能浇灌到整个绿化带时，点 ，恰好分别在两条抛物线上.设上边缘抛物线表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 38 上边缘抛物线过出水口，,, 上边缘抛物线 表达式为 .同（1）可得下边缘抛物线表达式为 .设点，， ， ，则有 ，解得， 点 的纵坐标为，，的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 39 $$