1.3 二次函数的性质-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第1章 二次函数 4 1.3 二次函数的性质 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数的性质 1.【2023浙江湖州吴兴区质检】对于二次函数 的图象，下列叙述 正确的是( ) B A.开口向下 B.对称轴为直线 C.顶点坐标为 D.当时，随 增大而减小 【解析】， 该函数图象开口向上，对称轴为直 线，顶点坐标为， 当时，随 的增大而增大，故选项B符合题 意，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 2.点，，均在二次函数 的图象上，则 ，， 的大小关系是_____________. 【解析】 ， 抛物线开口向上，对称轴为直线 ， 在对称轴的右侧，随的增大而增大.， .根据二次函 数图象的对称性可知，与关于抛物线对称轴对称， , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 3.已知抛物线经过点，若点， 都在该抛物线上，则与 的大小关系是______． 【解析】 抛物线经过点， ， ,， 此函数的图象开口向下，当时，随 的 增大而增大;当时，随的增大而减小. 点， 都 在该抛物线上， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 知识点2 二次函数的最值 4.【2023陕西中考】在平面直角坐标系中，二次函数 （为常数）的图象经过点,其对称轴在 轴左侧，则该二次函数有( ) D A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 【解析】由题意可得，解得， 二次函数 的图象的对称轴在轴左侧，， ， ， 该二次函数有最小值，最小值为 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 5.【2023浙江杭州中考】设二次函数（，, 是实 数），则( ) A A.当时，函数的最小值为 B.当时，函数的最小值为 C.当时，函数的最小值为 D.当时，函数的最小值为 【解析】令，则，，， 二次 函数（,,是实数）的图象与 轴的交点坐标是 ，， 二次函数的图象的对称轴是直线 . ，有最小值，当时， 最小，即 ，当时，函数 的最小值为 ；当时，函数的最小值为 ，故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 6.二次函数，当时， 的最大值是____，最小值是___． 35 3 【解析】 抛物线的对称轴为直线，， 当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 在 内， 当时，有最小值，；当时， 有最大值， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.【2023浙江绍兴中考】已知二次函数 . （1）当， 时， ①求该函数图象的顶点坐标； 【解】，，， 该函数图象的顶 点坐标为 . ②当时，求 的取值范围. 【解】 ， 当时，有最大值，为 ， 当时，有最小值，为， 当时， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 （2）当时，的最大值为2；当时， 的最大值为3，求二次函数的表达式. 【解】 时，的最大值为2；时，的最大值为3， 抛物线的对称轴 在轴的右侧， 抛物线开口向下，时， 的最大值为2， .又，，， 二次函数的表达式 为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 知识点3 二次函数的图象与 轴的交点 8.抛物线与 轴的交点坐标是( ) D A. B. C.， D.， 【解析】 二次函数， 当 时， ，解得，， 该抛物线与 轴的交 点坐标为， ，故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 9.【2023四川资阳质检】若函数的图象与 轴只有一个公共 点，则实数 的值为____________. 或或0 【解析】 当时， 关于的函数的图象与 轴只有一 个公共点，，解得或 . 当时，，函数图象与轴只有一个公共点.综上，的值为 或 或0,故答案为或 或0. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 10.【2024江苏泰州海陵区期中】当 取任意实数时，二次函数 的值始终为正数，则 的取值范围是________. 【解析】 由题意得二次函数图象始终在轴的上方，与 轴无交点,即 ，解得.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 刷易错 易错点 在给定范围内求最值时未考虑对称轴的位置致错 11.已知二次函数，当时，求函数 的最小值和最大值． 彤彤的解答如下： 解：当时， ； 当时， , 所以函数 的最小值为2，最大值为4． 彤彤的解答正确吗？如果不正确，写出正确的解答． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 【解】彤彤的解答不正确.正确的解答如下： ， 二次函数图象的对称轴为直线 . ，且， 当时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大， 当时，有最小值， . ， 当时， 有最大值, ， 函数的最大值为4，最小值为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 易错警示 当题目中给定自变量的取值范围求函数的最大值或最小值时，一定要根据图象确 定抛物线对称轴是否在给定的范围内，如果在给定的范围内，那么抛物线的顶点 的纵坐标必为最大值或最小值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 提升 1.【2024浙江嘉兴调研，中】已知某二次函数图象上两点， ，当 时，；当 时， ，则该二次函数的表达式可以是( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】当时，，， ， 当时，随的增大而增大.当时， ， ， ， 当时，随的增大而减小. 当二次函数图象开口向上时，在 对称轴左边，随的增大而减小；在对称轴右边，随的增大而增大， 抛物线 的对称轴为直线 ，开口向上.故选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 2.【2024浙江杭州滨江区期中，中】已知二次函数 的图象经 过点.当时，的取值范围为或 ,则如下四个值 中有可能为 的是( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】当，即时，的取值范围为 或 ，，，为抛物线上的点， 抛物线对称 轴为直线，， ， .当时， ，解得 .将代入表达式得， ， ，， 或 ，故选A. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 思路分析 由当时，的取值范围为或 可得抛物线对称轴为直线 ，从而可得与的关系，将代入表达式，用含的代数式表示 ，进 而求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 3.［中］已知二次函数（为常数），当自变量的值满足 时，与其对应的函数值的最大值为，则 的值为______. 1或6 【解析】 二次函数,当时，有最大值0，而当自变量 的值满 足时，与其对应的函数值的最大值为,故或.若 ,当 时，随的增大而减小，故当时， 有最大值，此时 ，解得,（舍去）,此时;若,当 时，随的增大而增大，故当时，有最大值，此时 ，解得 ,（舍去），此时.综上可知 或6. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 4.【2022浙江丽水中考，中】如图，已知点， 在 二次函数的图象上，且 . （1）若二次函数的图象经过点 . ①求这个二次函数的表达式； 【解】 二次函数的图象经过， ， ， 二次函数的表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 ②若，求顶点到 的距离. 【解】 ，，关于抛物线的对称轴对称. 对称轴是直线 ， ，，.当 时， .又 抛物线的顶点为， 当 时，顶点到 的距离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （2）当时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点， 在对称轴的 异侧，求 的取值范围. 【解】 若，在对称轴的异侧，，则 , .由（1）知，当时,， 当时, ， . 函数的最大值为，最小值为 ， ，解得.由得, . 若，在对称轴的异侧，,易得 函数的最大值为 ，最小值为，， ， ,.综上所述， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 28 刷素养 走向重高 5.核心素养 几何直观【2023江苏扬州广陵区期末，较难】小东根据学习函数的经 验，对函数 的图象与性质进行了探究，下面是小东的探究过程，请补 充完整，并解决相关问题： （1）函数的自变量 的取值范围是 ______________________________________________________________________； 【解】函数的自变量的取值范围是全体实数，故答案为全体实数. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 （2）如表是与 的几组对应值. … - 0 1 2 3 4 … … 2 4 2 … 表中 的值为 ______________________________________________________________； 把代入得，，，故答案为. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 30 （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据 描出的点，画出函数 的大致图象； 【解】 如图所示： 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 （4）结合函数图象，请写出函数 的一条性质： ___________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________ _______________________________________________________________________; （5）解决问题：如果函数与直线的交点有2个，求 的取值范围. 【解】 由图象得 . ①图象位于第一、 二象限；②当时，函数有最大值4；③当时，随 的增大而增大；④当 时，随的增大而减小；⑤图象与 轴没有交点.（答案不唯一，写出一条即 可） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 $$