1.2.3 二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象及其特征-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(浙教版)

数 学 九年级全一册 ZJ 1 2 3 第1章 二次函数 4 1.2 二次函数的图象 课时3 二次函数 的图象及 其特征 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 二次函数 的图象及其特征 1.【2024浙江宁波慈溪期中】对抛物线 ，有下列描述：①开口向 上；②与轴交于点；③对称轴是直线；④当时， 有最小值 .其中错误的是( ) C A.① B.② C.③ D.④ 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】抛物线， ，所以开口向上，故①正确，不符 合题意；当时，，抛物线与轴交于点 ，故②正确，不符合题 意；抛物线对称轴为直线 ，故③错误，符合题意；二次函数 ，所以当时，有最小值 ，故④正确， 不符合题意.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.【2024安徽芜湖期中】已知抛物线经过和 两点，则 的值为( ) C A.4 B. C.2 D.1 【解析】 抛物线经过和两点， 抛物线的对称轴为 直线，，解得 ，故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2024浙江湖州调研】将抛物线 平移后，得到抛物线 ，则平移的方式是( ) D A.向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 B.向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 C.向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度 D.向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度 【解析】抛物线的顶点坐标为 ，抛物线 的顶点坐标为，而点 向左平移2个单位 长度，再向下平移3个单位长度可得到点，所以抛物线 向左 平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线 .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 刷有所得 求平移后的抛物线表达式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平 移后的坐标，利用待定系数法求出表达式；二是根据平移后的顶点坐标，即可求 出表达式. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 4.【2024浙江杭州西湖区期中】已知二次函数 的图象经过点 ， . （1）求， 的值及这个图象的顶点坐标. 【解】把，代入中，得 解得 的值为2，的值为3，二次函数表达式为 ， ，， 这个图象的顶点坐标为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 （2）若点在该二次函数图象上，且到轴的距离小于2，求 的取值范围. 【解】 由（1）得二次函数表达式为， 把 代入表达 式，得，把 代入表达式，得 若点在该二次函数图象上，且到 轴的距离小 于2，.又 二次函数图象顶点坐标为， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 知识点2 用待定系数法确定二次函数的表达式 （第5题图） 5.如图是一条抛物线，则其表达式为_______________. 【解析】 由题图知抛物线与轴的交点坐标为， ，则可 设交点式为，把 代入 ，可得，解得 ，所 以其表达式为 . 关键点拨 抛物线与轴的交点坐标为,，设表达式为交点式，将其与 轴的交点坐 标代入，即可得出结果. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （第6题图） 6.【2024河南安阳期中】如图，从某幢建筑物2.25米高的窗口 用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线形（抛物线所在平面与墙面 垂直），如果抛物线的最高点 离墙1米，离地面3米，该抛物线 的表达式为__________________. 【解析】 由题意可得，抛物线的顶点坐标为 .设抛物线的 表达式为，将 代入，得 ，解得， . 故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 7.【2024浙江杭州滨江区期中】求下列函数表达式： （1）已知二次函数的图象的顶点坐标是，形状与二次函数 的图象相同. 【解】 二次函数的图象形状与二次函数 的图象相同， 二次函数的图象的顶点坐标是， 二次函数表达式为 . （2）已知二次函数图象过点，， . 【解】 设二次函数表达式为 二次函数图象过点 ，，，解得 二次函数表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 知识点3 二次函数 的系数与图象的 关系 （第8题图） 8.【2023河南中考】二次函数 的图象如图所示，则 一次函数 的图象一定不经过( ) D A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解析】抛物线开口向下， ， ， 一次函数 的图象经过第一、二、三象限， 不经过第四象限.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （第9题图） 9.【2024天津和平区质检】已知二次函数 的图 象如图所示，则下列结论中错误的是( ) C A. B. C. D. 【解析】由图象可知，，，，抛物线对称轴为直线 . A 当时， ，故A正确，不符合题意 B ，故B正确，不符合题意 C 当时， ，故C错误，符合题意 D ，， ，故D正确，不符合题意 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 技巧点拨 在判断如, 等式子的正负时，可以直接在二次函数表达式中代入 特殊值，如， 等，然后根据图象进行判断. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.【2023山东青岛期中，中】已知反比例函数 的图象如图所示， 则一次函数和二次函数 在同一平面直角 坐标系中的图象可能是( ) D A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 【解析】 反比例函数的图象在第二、四象限， .当二次函数图象开口向 上，对称轴在轴右侧，交轴于负半轴时，，，， 一次函数图 象应该过第一、二、四象限， 选项错误,D选项正确.当二次函数图象开口向下， 对称轴在轴右侧时，，，但与矛盾， 选项B、C错误. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 思路分析 根据反比例函数的图象得出 ，逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口 方向、对称轴与轴的关系以及抛物线与轴的交点，即可得出，， 的正负， 由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 2.【2023浙江衢州中考，中】已知二次函数是常数， 的图 象上有和两点.若点，都在直线的上方，且 ， 则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 【解析】，和两点都在直线 的 上方，且，， ， , 二次函数 是常数，的图象上有和两点， , ，，， ， ，② 由①②得 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 （第3题图） 3.【2024浙江宁波鄞州区调研，较难】二次函数 的图象如图所示.下列结论： ；； （为任意实数）； ；⑤若 且，则 .其中正确的 有( ) C A.①④ B.③⑤ C.②⑤ D.②③⑤ 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 【解析】①抛物线开口方向向下，则.抛物线对称轴位于轴右侧，则， 异 号，即.抛物线与轴交于正半轴，则，，故①错误 抛 物线对称轴为直线，，即，故②正确 抛物 线对称轴为直线， 函数的最大值为 ， ，即，故③错误 抛物线与 轴 的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与 轴的另一个交点 在的右侧， 当时，， ，故④错误 ， ， ， ，而 ，，即.， ，故 ⑤正确.综上所述，正确的有②⑤.故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 关键点拨 由抛物线的开口方向判断的正负，由抛物线与轴的交点判断 的正负，然后根据 对称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对结论进行判断即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 4.【2024浙江金华质检，中】已知一抛物线过点,, ，顶 点为点.在抛物线上试找一点使 ，则 点的坐标为_______. ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】 设抛物线的表达式为，将点 ， ，代入，得解得 抛物线的表达式为，顶点坐标是， 直线 的表达式为 直线与直线垂直， 直线的表达式为 . 联立 解得或点坐标为， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 5. 【2023浙江宁波鄞州区期末，中】定义：在平面直角坐标系中，若点 满 足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”.如， 都是“整点”. 当抛物线与其关于 轴对称的抛物线围成的封闭区域内 （包括边界）共有9个整点时， 的取值范围是__________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】 由可得其图象对称轴为直线 ，且其图象必过点 .当时，此时整点有，,，，，， ， ，，， ，显然超过9个，不符合题意，舍去；当 时， 若过点时，则，解得 ，此时刚好有9个整点；若过点 时，则，解得，此时有11个整点， .故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 6.【2023湖南岳阳期中，较难】将二次函数 配成顶点 式后，发现其图象的顶点的纵坐标比横坐标大1，如图，在矩形 中，点 ，点，则二次函数的图象与矩形 有交点时 的取值范围是______________. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 【解析】 将配成顶点式得 ，此 二次函数图象的顶点坐标是， 此二次函数图象的顶点在直线 上运动.， 图象开口向上，开口大小一定.如图（1），当二次 函数图象与矩形第一次相交时， 图（1） 二次函数图象经过点，此时取最小值.将 代入 得，解得 ， （舍去），则的最小值是 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 图（2） 如图（2），当二次函数图象与矩形最后一次相交时，二次函数图象的顶点在矩形 与轴的交点处，此时取最大值.将代入 得 ，解得，（舍去）， ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 刷素养 走向重高 7.核心素养 模型观念【2024浙江衢州衢江区期中，难】如图，已知抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 思路分析 （3）先确定抛物线的对称轴为直线，设 ，利用两点间的距离公式得 到，， ，利用勾股定理的逆定理分类 讨论：当时，为直角三角形， ,则 ；当时， 为直角三角形， ,则；当时， 为直角三角形， ,则，然后分别解关于 的方程，从而可得到满足条件的 点坐标. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （1）求抛物线的表达式. 【解】将，代入，得 解得 则抛物线表达式为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点，过点作轴于点 ，交直线 于点，连结，直线能否把分成面积之比为 的两部分？若能， 请求出点 的坐标；若不能，请说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 【解】 能.理由如下：设直线的表达式为.把， 代入得解得 直线的表达式为 .设 ，则， ， ，.当 时，，即 ，整理得 ，解得，（舍去），此时点坐标为， ； 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 当时，，即 ，整理得 ，解得，（舍去），此时点坐标为， .综上 所述，当点的坐标为，或，时，直线把分成面积之比为 的两部分. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （3）若为抛物线对称轴上一动点，使得为直角三角形，请直接写出点 的坐标. 【解】 点的坐标为，,， .易知抛物线 的对称轴为直线 ，如图， 设，， ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 40 当时，为直角三角形， ，即 ，解得，此时点的坐标为 ；当 时，为直角三角形， ，即 ，解得，此时点的坐标为 ；当 时，为直角三角形， ，即 ，解得，，此时点的坐标为 或 .综上所述，满足条件的点的坐标为，，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 41 $$