第九讲 二次函数与一元二次方程、不等式 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第九讲 二次函数与一元二次方程、不等式 知识点梳理： 1．一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0（其中a，b，c均为常数，a≠0）． 2．一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 3．二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象 ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根 有两个不相等的实数根x1，x2（x1<x2） 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集 {x|x<x1，或x>x2} ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集 {x|x1<x<x2} 4．简单的分式不等式的解法 5．用一元二次不等式解决实际问题的步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数； （2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案． 重难点解析： 1．一元二次不等式概念中的关键词 （1）一元，即只含一个未知数，其他元素均为常数（或参数）． （2）二次，即未知数的最高次数必须为2，且其系数不能为0． 2．讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下： 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点，即方程ax2＋bx＋c＝0的实数根，也即二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的横坐标． 特别提醒：由于忽视二次项系数的符号和不等号的开口易写错不等式的解集形式． 3．解一元二次不等式的常见方法 （1）图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤： ①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c＞0（a＞0）或ax2＋bx＋c＜0（a＞0）； ②求方程ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图； ③由图象得出不等式的解集． （2）代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解． 当m<n时，若（x－m）（x－n）＞0，则可得{x|x＞n或x＜m}； 若（x－m）（x－n）＜0，则可得{x|m＜x＜n}． 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． 4．含参一元二次不等式的解法 5．一元二次不等式在R上的恒成立问题 （1）一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 （2）一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 （3）一元二次不等式ax2＋bx＋c<0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 （4）一元二次不等式ax2＋bx＋c≤0，对任意实数x∈R恒成立的条件是 6．一元二次不等式解集逆向应用问题的解法及步骤 （1）求解方法： 由已知不等式的解可转化为一元二次方程的两根，从而由根与系数的关系，找出系数a，b，c之间的关系，写出不等式的解集． （2）求解步骤： 第一步：审结论——明确解题方向 如要解cx2＋bx＋a<0，首先确定c的符号，最好能确定a，b，c的值． 第二步：审条件——挖掘题目信息 利用一元二次方程的根与一元二次不等式的解集的关系列出关于a，b，c的方程组，用a表示b，c． 第三步：建联系——找解题突破口 由给定不等式的解集形式→确定关于a，b，c的方程组→用a表示b，c→代入所求不等式→求解cx2＋bx＋a<0的解集． 例题讲解： 题型1 解一元二次不等式 【例1】求下列不等式的解集： （1）（x+2）（x﹣3）＞0； （2）3x2﹣7x≤10； （3）﹣x2+4x﹣4＜0； （4）； （5）﹣2x2+x≤﹣3； （6）x2﹣3x+4＞0． 【例2】求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 【例3】求下列不等式的解集． （1） ； （2）； （3）． 题型2 含参数的一元二次不等式 【例4】已知关于的不等式． （1）若该不等式的解集为或，求实数的值； （2）若该不等式的解集为空集，求实数的取值范围； 【例5】已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12． （1）若不等式y＞b的解集为{x|0＜x＜3}，求实数a，b的值； （2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围． 【例6】已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0）． （Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a的值； （Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＜0． 题型3 二次函数图象的应用 【例7】已知不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的{x|1≤x≤3}恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|a≤4} B．{a|a≥4} C．{a|a≤5} D．{a|a≥5} 【例8】已知函数f（x）＝x2﹣（a+b）x+16，a，b是正实数．若存在唯一的实数x，满足f（x）≤0，则a2+3b2的最小值为（　　） A．46 B．48 C．52 D．64 【例9】已知二次函数的两个零点都在区间{x|x≥2}内，则实数的取值范围是　　 A．{|＜9} B．{|8<＜9} C．{|8≤＜9} D．{|>8} 题型4 利用一元二次不等式解决实际问题 【例10】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：和汽车刹车前的车速（单位：之间有如下关系：．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到？ 【例11】如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【例12】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售．每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏． （1）设这批台灯提价后每盏的销售价格定为x，销售收入为y，写出y＝f（x）． （2）为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，问应如何制定这批台灯每盏的销售价格范围？ 解题梳理： 1．解不含参数的一元二次不等式的方法 方法一：若不等式对应的一元二次方程能够因式分解，即能够转化为两个一次因式乘积的形式，则可以直接由一元二次方程的根及不等号方向得到不等式的解集． 方法二：若不等式对应的一元二次方程能够化为完全平方式，不论取何值，完全平方式始终大于或等于零，不等式的解集易得． 方法三：若上述两种方法均不能解决，则应采用求一元二次不等式的解集的通法，即判别式法． 2．判别式法解一元二次不等式的一般步骤 第一步：把一元二次不等式化为标准形式（二次项系数为正，右边为0的形式）； 第二步：求Δ＝b2－4ac； 第三步：若Δ<0，根据二次函数图象直接写出解集；若Δ≥0，求出对应方程的根写出解集． 3．从两个角度看三个“二次”之间的内在联系 （1）函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围． （2）方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根． 4．当不等式ax2＋bx＋c>0未说明为一元二次不等式时，对任意实数x∈R恒成立时满足的条件为或 5．含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，讨论需从如下三个方面进行考虑 （1）关于不等式类型的讨论：二次项系数a＞0，a＜0，a＝0． （2）关于不等式对应的方程根的讨论：两根（Δ>0），一根（Δ＝0），无根（Δ<0）． （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2． 6．对于某些恒成立问题，分离参数是一种行之有效的方法．这是因为将参数分离后，问题往往会转化为函数问题，从而得以迅速解决．当然，这必须以参数容易分离作为前提．分离参数时，经常要用到以下简单结论： （1）若f（x）有最大值f（x）max，则a>f（x）恒成立⇔a>f（x）max； （2）若f（x）有最小值f（x）min，则a<f（x）恒成立⇔a<f（x）min 变式练习： 1．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　） A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1} 2．若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 3．不等式（x﹣3）（x+5）＜0的解集是（　　） A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|x＜﹣5或x＞3} C．{x|﹣3＜x＜5} D．{x|x＜﹣3或x＞5} 4．若集合P＝{x|x2﹣2x＜0}，Q＝{x∈N|x≥1}，则P∩Q＝（　　） A．{1，2} B．{1} C．{2，3} D．{1，2，3} 5．不等式的解集是（　　） A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥} 6．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（　　） A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞） C．（） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 7．已知函数f（x）＝ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（　　） A．{x|x＞2} B．{x|x＞±2} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|﹣2＜x＜2} 8．若0＜t＜1，则关于x的不等式（t﹣x）（x﹣）＞0的解集是（　　） A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t} C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜} 9．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A． B．{x|x＜﹣1，或x＞} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1} 10．若产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　） A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 11．（多选）对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（　　） A．∅ B．{x|﹣1＜x＜a} C．{x|a＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞a} 12．（多选）已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m＜0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 13．（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集可能是（　　） A． B．{x|x≠﹣1} C． D．R 14．（多选）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）<0的解集可能为（　　） A．无解 B．{x|-1<x<a} C．{x|a<x<-1} D．{x|x<-1或x>a} 15．（多选）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（　　） A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1} 16．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣2）＞0的解集是　 　． 17．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是　 　． 18．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 　 　元． 19．不等式mx2+2mx+1＞0的解集为R，则m的取值范围为　 　． 20．已知函数y＝x2+2ax（x∈[0，1]）的最小值为﹣2，则实数a＝　 　． 21．已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是　 　． 22．（1）解不等式﹣2x2﹣x+1＜0； （2）若不等式ax2﹣x+b＜0的解集为，求实数a，b的值． 23．解下列一元二次不等式： （1）x2﹣4x+6＜0； （2）4x2﹣4x+1≥0； （3）2x2﹣x﹣1≤0； （4）3（x﹣2）（x+2）﹣4（x+1）2+1＜0． 24．已知关于x的不等式x2﹣2x﹣1＞a（a∈R）． （1）若a＝2，求不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集； （2）若不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为R，求实数a的取值范围． 25．已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）求常数a的值； （2）若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求m的取值范围． 答案与解析 例题讲解： 题型1 解一元二次不等式 【例1】求下列不等式的解集： （1）（x+2）（x﹣3）＞0； （2）3x2﹣7x≤10； （3）﹣x2+4x﹣4＜0； （4）； （5）﹣2x2+x≤﹣3； （6）x2﹣3x+4＞0． 【答案】（1）{x|x＜﹣2或x＞3}； （2）； （3）{x|x≠2}； （4）； （5）{x|x≤﹣1或； （6）R． 【分析】解一元二次不等式可求解（1）、（2）、（3）、（4）、（5），配方可求解（6）． 【解答】解：（1）由（x+2）（x﹣3）＞0，可得x＜﹣2或x＞3， 故不等式（x+2）（x﹣3）＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞3}； （2）由3x2﹣7x≤10，得（3x﹣10）（x+1）≤0， 解得， 故不等式3x2﹣7x≤10的解集为； （3）由﹣x2+4x﹣4＜0，可得x2﹣4x+4＞0，即（x﹣2）2＞0， 解得x≠2， 故不等式﹣x2+4x﹣4＜0的解集为{x|x≠2}； （4）由，可得， 解得， 故不等式的解集为； （5）由﹣2x2+x≤﹣3，可得2x2﹣x﹣3≥0，即（2x﹣3）（x+1）≥0， 解得x≤﹣1或， 故不等式﹣2x2+x≤﹣3的解集为{x|x≤﹣1或； （6）因为恒成立， 所以不等式x2﹣3x+4＞0的解集为R． 【例2】求下列不等式的解集： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】（1）不等式变形为，求出解集； （2）化为，求出解集； （3）先移项变形为，化为，求解集即可． 【解答】解：（1）变形为， 即，解得， 所以不等式解集为 （2）变形为，即， 解得， 所以不等式解集为； （3）不等式变形为，即， 等价于，解得， 所以不等式解集为． 【例3】求下列不等式的解集． （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可． 【解答】解：（1）不等式可化为，即， 解得，所以不等式的解集为； （2）不等式可化为，因为△， 所以不等式的解集为； （3）不等式可化为，所以不等式在时恒成立， 即不等式的解集为． 题型2 含参数的一元二次不等式 【例4】已知关于的不等式． （1）若该不等式的解集为或，求实数的值； （2）若该不等式的解集为空集，求实数的取值范围； 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由题意可得，是方程的两根，且，然后利用韦达定理建立方程即可求解；（2）分与两种情况，当时，利用二次函数的性质建立不等式即可求解． 【解答】解：（1）由题意可得，是方程的两根，且， 则由韦达定理可得：，解得； （2）当时，不等式化为，解得，与题意不符， 当时，要满足题意，只需，解得， 综上，实数的范围为． 【例5】已知y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12． （1）若不等式y＞b的解集为{x|0＜x＜3}，求实数a，b的值； （2）若a＝3时，对于任意的实数x，都有y≤3x+9m2﹣6m，求m的取值范围． 【答案】（1）a＝3，b＝12； （2）（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）． 【分析】（1）利用一元二次不等式与对应方程的关系，即可求出a、b的值； （2）不等式化为x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立，利用判别式△≤0， 列不等式求出m的取值范围． 【解答】解：（1）y＝﹣3x2+a（6﹣a）x+12， 由不等式y＞b的解集为{x|0＜x＜3}，即方程﹣3x2+a（6﹣a）x+12﹣b＝0的两根为0和3； 由根与系数的关系知，，； 所以a＝3，b＝12； （2）当a＝3时，y＝﹣3x2+9x+12，由y≤3x+9m2﹣6m恒成立，得﹣3x2+6x+12≤9m2﹣6m， 即x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m≥0恒成立； 又二次不等式对应的函数为y＝x2﹣2x﹣4+3m2﹣2m开口向上，只需Δ＝4﹣4（﹣4+3m2﹣2m）≤0， 化简得3m2﹣2m﹣5≥0，解得m≤﹣1或m≥； 综上知，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）． 【例6】已知函数f（x）＝ax2﹣（a+1）x+1（a＞0）． （Ⅰ）若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a的值； （Ⅱ）解关于x的不等式f（x）＜0． 【答案】见试题解答内容 【分析】（Ⅰ）根据对应关系得到关于a的方程，解出即可； （Ⅱ）通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可． 【解答】解：（Ⅰ）由f（x）＜0，即（x﹣1）（ax﹣1）＜0的解集是{x|1＜x＜2}， 故＝2，解得：a＝； （Ⅱ）由f（x）＜0，得（x﹣1）（ax﹣1）＜0， 当＞1即0＜a＜1时，1＜x＜， 当＝1即a＝1时，空集， 当0＜＜1即a＞1时，＜x＜1， 综上，0＜a＜1时，不等式的解集是{x|1＜x＜}， a＝1时，不等式的解集是空集， 当a＞1时，不等式的解集是{x|＜x＜1}． 题型3 二次函数图象的应用 【例7】已知不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的{x|1≤x≤3}恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．{a|a≤4} B．{a|a≥4} C．{a|a≤5} D．{a|a≥5} 【答案】A 【分析】由已知中不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立，可得x+≥a对于任意的x∈[1，3]恒成立，利用基本不等式求出x+的值域，即可得到实数a的取值范围． 【解答】解：若不等式x2﹣ax+4≥0对于任意的x∈[1，3]恒成立， 则x2+4≥ax对于任意的x∈[1，3]恒成立， 即x+≥a对于任意的x∈[1，3]恒成立， ∵当x∈[1，3]时，x+∈[4，5] 故a≤4 即实数a的取值范围是（﹣∞，4] 故选：A． 【例8】已知函数f（x）＝x2﹣（a+b）x+16，a，b是正实数．若存在唯一的实数x，满足f（x）≤0，则a2+3b2的最小值为（　　） A．46 B．48 C．52 D．64 【答案】B 【分析】由题意可得方程x2﹣（a+b）x+16＝0有唯一的实数根，由判别式为0，可得a+b＝8，可得a＝8﹣b，再由a，b为正实数，可得b的范围，代入代数式中，设函数f（b）的解析式，由b的范围，可得函数的最小值，即求出代数式的最小值． 【解答】解：因为f（x）＝x2﹣（a+b）x+16，a，b是正实数，若存在唯一的实数x，满足f（x）≤0， 可得方程x2﹣（a+b）x+16＝0有唯一的实数根，即Δ＝（a+b）2﹣4×16＝0， 解得a+b＝8，所以a＝8﹣b＞0， 可得0＜b＜8， 所以a2+3b2＝（8﹣b）2+3b2＝4b2﹣16b+64，b∈（0，8）， 设f（b）＝4b2﹣16b+64，b∈（0，8），开口向上，对称轴方程为b＝2， 显然2∈（0，8），所以f（b）min＝f（2）＝4×22﹣16×2+64＝48． 故选：B． 【例9】已知二次函数的两个零点都在区间{x|x≥2}内，则实数的取值范围是　　 A．{|＜9} B．{|8<＜9} C．{|8≤＜9} D．{|>8} 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得到关于的不等式组，求解即可． 【解答】解：设， 因为二次函数的两个零点都在区间{x|x≥2}内， 所以，则，即， 故实数的取值范围是：{|8≤＜9} 故选：． 题型4 利用一元二次不等式解决实际问题 【例10】某种汽车在水泥路面上的刹车距离（单位：和汽车刹车前的车速（单位：之间有如下关系：．在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到？ 【答案】． 【分析】设出这辆汽车刹车前的车速，利用题设中的的关系式和不等式关系可得的一元二次不等式，利用方程的思想求得方程有两个实数根，则的范围可得． 【解答】解：设这辆汽车刹车前的车速为， 根据题意，有， 移项整理，得， 显然△，方程有两个实数根， 既，． 所以不等式的解集为 或． 在这个实际问题中，，所以这辆汽车刹车前的速度至少为． 【例11】如图，在长为8m，宽为6m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪，如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？ 【答案】花卉带的宽度应大于等于1m且小于3m． 【分析】设花卉带的宽度应为xm，根据题意可得关于x的一元二次不等式，解不等式，即可求解． 【解答】解：设花卉带的宽度应为xm， ∵要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半， ∴，（0＜x＜3）， 解得1≤x＜3， 故花卉带的宽度应大于等于1m且小于3m． 【例12】某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售．每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏． （1）设这批台灯提价后每盏的销售价格定为x，销售收入为y，写出y＝f（x）． （2）为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，问应如何制定这批台灯每盏的销售价格范围？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）日销售收入＝每盏台灯的价格×日销售量，从而写出函数表达式； （2）依题意：y＞400；即﹣2x2+60x＞400，解出即可，注意x≥15． 【解答】解：（1）依题意得： y＝x[30﹣（x﹣15）×2]∴y＝﹣2x2+60x（x≥15）； （2）依题意：y＞400； 即﹣2x2+60x＞400， x2﹣30x+200＜0； 解得：10＜x＜20； 且x≥15， ∴15≤x＜20； 答：为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应制定这批台灯每盏的销售价格在[15，20）． 变式练习： 1．不等式﹣x2+3x+4＜0的解集为（　　） A．{x|﹣1＜x＜4} B．{x|x＞4或x＜﹣1} C．{x|x＞1或x＜﹣4} D．{x|﹣4＜x＜1} 【答案】B 【分析】把不等式的左边分解因式后，根据两数相乘的取符号法则：同号得正，异号得负，转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即可得到原不等式的解集． 【解答】解：不等式﹣x2+3x+4＜0， 因式分解得：（x﹣4）（x+1）＞0， 可化为：或， 解得：x＞4或x＜﹣1， 则原不等式的解集为{x|x＞4或x＜﹣1}． 故选：B． 2．若不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b值是（　　） A．0 B．﹣1 C．1 D．2 【答案】A 【分析】不等式ax2+bx+2＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，故﹣1，2是方程ax2+bx+2＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b． 【解答】解：由题意不等式ax2+bx+2＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，故﹣1，2是方程ax2+bx+2＝0的两个根， ∴﹣1+2＝﹣，﹣1×2＝， ∴a＝﹣1，b＝1 ∴a+b＝0， 故选：A． 3．不等式（x﹣3）（x+5）＜0的解集是（　　） A．{x|﹣5＜x＜3} B．{x|x＜﹣5或x＞3} C．{x|﹣3＜x＜5} D．{x|x＜﹣3或x＞5} 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，解之即可． 【解答】解：原不等式等价于或， 所以﹣5＜x＜3或x∈∅， 所以﹣5＜x＜3， 所以不等式的解集为{x|﹣5＜x＜3}． 故选：A． 4．若集合P＝{x|x2﹣2x＜0}，Q＝{x∈N|x≥1}，则P∩Q＝（　　） A．{1，2} B．{1} C．{2，3} D．{1，2，3} 【答案】B 【分析】化简集合P，再根据交集的定义可求得结果． 【解答】解：不等式x2﹣2x＜0可化为x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2， 所以集合P＝{x|0＜x＜2}， 又因为Q＝{x∈N|x≥1}， 所以P∩Q＝{1}． 故选：B． 5．不等式的解集是（　　） A．{x|≤x≤2} B．{x|≤x＜2} C．{x|x＞2或x≤} D．{x|x≥} 【答案】B 【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为两个一元一次不等式组，求出不等式组的解集即为原不等式的解集． 【解答】解：不等式 ， 移项得：，即 ≤0， 可化为：或 解得：≤x＜2， 则原不等式的解集为：≤x＜2 故选：B． 6．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（　　） A．（2，3） B．（﹣∞，2）∪（3，+∞） C．（） D．（﹣∞，）∪（，+∞） 【答案】A 【分析】先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解． 【解答】解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是， ∴a＜0， ∴方程ax2﹣bx﹣1＝0的两个根为﹣，﹣， ﹣＝﹣﹣，＝， ∴a＝﹣6，b＝5， ∴x2﹣bx﹣a＜0， ∴x2﹣5x+6＜0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＜0， ∴不等式的解集为：2＜x＜3． 故选：A． 7．已知函数f（x）＝ax2+bx+c的图象如图，则不等式ax2+bx+c＞0的解为（　　） A．{x|x＞2} B．{x|x＞±2} C．{x|x＜﹣2或x＞2} D．{x|﹣2＜x＜2} 【答案】C 【分析】由图象可知不等式ax2+bx+c＞0，位于x轴上方的部分的x的取值范围即是不等式的解． 【解答】解：由图象可知不等式ax2+bx+c＞0解集为{x|x＜﹣2或x＞2}， 故选：C． 8．若0＜t＜1，则关于x的不等式（t﹣x）（x﹣）＞0的解集是（　　） A．{x|＜x＜t} B．{x|x＞或x＜t} C．{x|x＜或x＞t} D．{x|t＜x＜} 【答案】D 【分析】根据一元二次不等式的解集与方程根的关系，结合二次函数可得不等式的解集． 【解答】解：不等式（t﹣x）（x﹣）＞0 ∴（x﹣t）（x﹣）＜0， ∴方程（x﹣t）（x﹣）＝0的两根为t，， ∵0＜t＜1， ∴t＜， ∴x的不等式（t﹣x）（x﹣）＞0的解集是（t，）， 故选：D． 9．已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为（　　） A． B．{x|x＜﹣1，或x＞} C．{x|﹣2＜x＜1} D．{x|x＜﹣2，或x＞1} 【答案】A 【分析】不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0，根据韦达定理，我们易得a，b的值，代入不等式2x2+bx+a＜0 易解出其解集． 【解答】解：∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}， ∴ax2+bx+2＝0的两根为﹣1，2，且a＜0 即﹣1+2＝﹣ （﹣1）×2＝ 解得a＝﹣1，b＝1则不等式可化为2x2+x﹣1＜0 解得 故选：A． 10．若产品的总成本y（万元）与产量x（台）之间的函数关系式是y＝3000+20x﹣0.1x2（0＜x＜240），若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　　） A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 【答案】C 【分析】由题意可得，y﹣25x≤0，把y代入后求解一元二次不等式得答案． 【解答】解：由题意可得：y﹣25x＝3000+20x﹣0.1x2﹣25x＝﹣0.1x2﹣5x+3000≤0， 即x2+50x﹣30000≥0， 解得：x≤﹣200（舍去）或x≥150． ∴若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时的最低产量是150台． 故选：C． 11．（多选）对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0的解集可能为（　　） A．∅ B．{x|﹣1＜x＜a} C．{x|a＜x＜﹣1} D．{x|x＜﹣1或x＞a} 【答案】ABCD 【分析】根据题意，按a的取值分4种情况讨论，求出不等式的解集，分析选项可得答案． 【解答】解：根据题意，关于x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）＞0，a≠0， 若a＜﹣1，不等式的解集为（﹣1，0）， 若a＝﹣1，不等式为﹣（x+1）2＞0，其解集为∅， 若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a）， 若a＞0，不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞a}， 故选：ABCD． 12．（多选）已知关于x的一元二次不等式x2+5x+m＜0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】BC 【分析】根据题意，利用不等式与对应函数的关系，判断不等式解集中的2个整数是﹣3和﹣2，由此列出不等式组求出m的取值范围． 【解答】解：设f（x）＝x2+5x+m，则f（x）的对称轴是x＝﹣， 因为不等式x2+5x+m≤0的解集中有且仅有2个整数， 所以不等式解集中的两个整数解是﹣3和﹣2， 所以，即，解得4≤m＜6， 所以选项BC正确． 故选：BC． 13．（多选）对于给定实数a，关于x的一元二次不等式（ax﹣1）（x+1）＜0的解集可能是（　　） A． B．{x|x≠﹣1} C． D．R 【答案】AB 【分析】先求出关于x的一元二次方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根为，﹣1，再对a进行讨论，解不等式即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程（ax﹣1）（x+1）＝0的两根为，﹣1， 当a＞0时，＞﹣1，故不等式的解集为（﹣1，）， 当a＜0时， ②若a＝﹣1，则＝﹣1，∴不等式解集为{x|x≠﹣1}， ②若﹣1＜a＜0，则＜﹣1，∴不等式的解集为（﹣1，+∞）∪（﹣∞，）， ③若a＜﹣1，则＞﹣1，∴不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（，+∞）， 故选：AB． 14．（多选）对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a（x﹣a）（x+1）<0的解集可能为（　　） A．无解 B．{x|-1<x<a} C．{x|a<x<-1} D．{x|x<-1或x>a} 【答案】ABCD 【分析】根据函数y＝a（x﹣a）（x+1）的图象和性质，对a进行讨论，解不等式即可． 【解答】解：对于a（x﹣a）（x+1）<0， 当a>0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向下，与x轴的交点为a，﹣1， 若a＝﹣1，不等式解集为∅； 若﹣1＜a＜0，不等式的解集为（﹣1，a）， 若a＜﹣1，不等式的解集为（a，﹣1）， 当a<0时，y＝a（x﹣a）（x+1）开口向上， 故不等式的解集为x∈（﹣∞，﹣1，）∪（a，+∞）； 综上，ABCD都成立， 故选：ABCD． 15．（多选）不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以为（　　） A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1} 【答案】BC 【分析】根据不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a、b和c的关系，判断a＜0，再代入不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0中求出关于x的不等式即可． 【解答】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}， 所以方程ax2+bx+c＝0的解为﹣1和2，且a＜0； 由根与系数的关系知，； 解得b＝﹣a，c＝﹣2a； 所以不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0可化为 ax2﹣3ax＜0，且a＜0； 化简得x2﹣3x＞0， 解得x＜0或x＞3； 所以x的取值范围是{x|x＜0或x＞3}． 故选：BC． 16．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式（ax+b）（x﹣2）＞0的解集是　（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意得到可得＝1，且a＞0，则不等式（ax+b）（x﹣2）＞0⇔（x﹣2）（x+1）＞0，解得即可． 【解答】解：由题意关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），可得＝1，且a＞0， （ax+b）（x﹣2）＞0可变为（x﹣2）（x+）＞0，即得（x﹣2）（x+1）＞0， ∴x＜﹣1，或x＞2， ∴不等式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）． 17．不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是（2，3），则不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是　（﹣，﹣）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3，得到一元二次方程x2﹣ax﹣b＝0的根为x1＝2，x2＝3，利用根据根与系数的关系可得a＝5，b＝﹣6，因此不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0，解之即得﹣＜x＜﹣，所示解集为（﹣，﹣）． 【解答】解：∵不等式x2﹣ax﹣b＜0的解为2＜x＜3， ∴一元二次方程x2﹣ax﹣b＝0的根为x1＝2，x2＝3， 根据根与系数的关系可得：，所以a＝5，b＝﹣6； 不等式bx2﹣ax﹣1＞0即不等式﹣6x2﹣5x﹣1＞0， 整理，得6x2+5x+1＜0，即（2x+1）（3x+1）＜0，解之得﹣＜x＜﹣ ∴不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集是（﹣，﹣） 故答案为：（﹣，﹣） 18．某商店进货单价为45元，若按50元一个销售，能卖出50个；若销售单价每涨1元销售量就减少2个，为了获得最大利润，此商品的最佳售价应为每个 　60　元． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，建立利润与售价的函数关系是解决本题的关键．利用所得到的函数关系式选择相应的求函数最值的方法，发现二者的关系是二次函数类型，根据二次函数在顶点处取得最值求解该问题． 【解答】解：设涨价x元时，获得利润为y元， 则y＝（5+x）（50﹣2x）＝﹣2x2+40x+250， ∴x＝10时，y取最大值，此时售价为60元． 故答案为：60． 19．不等式mx2+2mx+1＞0的解集为R，则m的取值范围为　0≤m＜1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，首先讨论二次项系数，分2种情况讨论：①、m＝0时，②、m≠0时，分别求出m的范围，求并集可得答案． 【解答】解：根据题意，分情况讨论； ①、m＝0时，不等式为1＞0，恒成立， 即解集为R，符合要求； ②、m≠0时，不等式mx2+2mx+1＞0对应的二次函数的图象全部都在x轴上方， 即，解可得，0＜m＜1； 综合可得：m的取值范围是0≤m＜1； 故答案为：0≤m＜1． 20．已知函数y＝x2+2ax（x∈[0，1]）的最小值为﹣2，则实数a＝　﹣　． 【答案】﹣． 【分析】结合二次函数的图象和性质，分类讨论对称轴可得答案． 【解答】解：函数y＝x2+2ax（x∈[0，1]）的最小值为﹣2， 配方得：y＝（x+a）2﹣a2，函数的对称轴为直线x＝﹣a，顶点坐标为（﹣a，﹣a2）． ①当0≤﹣a≤1即﹣1≤a≤0时， 函数最小值为﹣a2≠﹣2，不合题意； ②当﹣a＜0即a＞0时， ∵当x＝1时，y有最大值；当x＝0时，y有最小值0，不符合题意； ③当﹣a＞1即a＜﹣1时， ∵当x＝1时，y有最小值；当x＝0时，y有最大值， ∴y有最小值1+2a＝﹣2，解得a＝﹣． 综上实数a的值为﹣． 故答案为：﹣． 21．已知不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，则a的取值范围是　[﹣4，4]　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可求出． 【解答】解：∵不等式x2+ax+4＜0的解集为空集，∴Δ＝a2﹣16≤0，解得﹣4≤x≤4． ∴a的取值范围是[﹣4，4]． 故答案为[﹣4，4]． 22．（1）解不等式﹣2x2﹣x+1＜0； （2）若不等式ax2﹣x+b＜0的解集为，求实数a，b的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）把原不等式的左边分解因式后，在不等式两边都除以﹣1，不等式号方向改变，然后把不等式化为2x﹣1与x+1同号，即可得原不等式的解集． （2）根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出a、b的值即可． 【解答】解：（1）﹣2x2﹣x+1＜0即2x2+x﹣1＞0， 则（2x﹣1）（x+1）＞0，解得x＞或x＜﹣1， 即不等式的解集为{x|x＞或x＜﹣1}； （2）不等式ax2﹣x+b＜0的解集为， ∴方程ax2﹣x+b＝0的解为和1， ∴， 解得a＝，b＝． 23．解下列一元二次不等式： （1）x2﹣4x+6＜0； （2）4x2﹣4x+1≥0； （3）2x2﹣x﹣1≤0； （4）3（x﹣2）（x+2）﹣4（x+1）2+1＜0． 【答案】见试题解答内容 【分析】可先把不等式化为一般形式，再求一元二次不等式的解集． 【解答】解：（1）不等式x2﹣4x+6＜0可化为x2﹣8x+12＜0， 即（x﹣2）（x﹣6）＜0， 解得2＜x＜6， 所以原不等式的解集为（2，6）； （2）不等式4x2﹣4x+1≥0可化为（2x﹣1）2≥0， 解得x∈R， 所以原不等式的解集为R； （3）不等式2x2﹣x﹣1≤0可化为（2x+1）（x﹣1）≤0； 解得﹣≤x≤1， 所以原不等式的解集为[﹣，1]； （4）不等式3（x﹣2）（x+2）﹣4（x+1）2+1＜0可化为 x2+8x+15＞0， 即（x+3）（x+5）＞0， 解得x＜﹣5或x＞﹣3； 所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣5）∪（﹣3，+∞）． 24．已知关于x的不等式x2﹣2x﹣1＞a（a∈R）． （1）若a＝2，求不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集； （2）若不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为R，求实数a的取值范围． 【答案】（1）{x|x＜﹣1或x＞3}． （2）（﹣∞，﹣2）． 【分析】（1）利用二次不等式的解法求解即可； （2）利用二次不等式恒成立的条件即可求得a的取值范围． 【解答】解：（1）因为a＝2，所以x2﹣2x﹣1＞a可化为x2﹣2x﹣1＞2， 整理得（x﹣3）（x+1）＞0，解得x＜﹣1或x＞3， 所以不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为{x|x＜﹣1或x＞3}． （2）不等式x2﹣2x﹣1＞a可化为x2﹣2x﹣1﹣a＞0， 因为不等式x2﹣2x﹣1＞a的解集为R，所以x2﹣2x﹣1﹣a＞0在R上恒成立， 则函数y＝x2﹣2x﹣1﹣a的图像恒在x轴上方，与x轴无交点， 所以一元二次方程x2﹣2x﹣1﹣a＝0无实数根， 所以Δ＜0，即（﹣2）2﹣4（﹣1﹣a）＜0，解得a＜﹣2， 所以a的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 25．已知不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}． （1）求常数a的值； （2）若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，求m的取值范围． 【答案】（1）a＝3． （2）[﹣6，6]． 【分析】（1）根据不等式的解集与对应方程的关系，列方程求出a的值． （2）把a的值代入不等式，利用判别式△≤0列出不等式求得m的取值范围． 【解答】解：（1）因为不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}， 所以﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6＝0的解， 把x＝1代入方程得（1﹣a）﹣4+6＝0， 解得a＝3． （2）若关于x的不等式ax2+mx+3≥0的解集为R，即3x2+mx+3≥0的解集为R， 所以Δ＝m2﹣36≤0，解得﹣6≤m≤6， 所以m的取值范围是[﹣6，6]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$