第八讲 基本不等式 讲义-2024-2025学年高一上学期暑假高中数学预科

第八讲 基本不等式 知识点梳理： 1．基本不等式 （1）如果a>0，b>0，那么，当且仅当时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 通常称为基本不等式． （2）变形： ①ab≤，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． ②a＋b≥2，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 2．最值定理 已知x，y都为正数，则 （1）如果积xy等于定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值； （2）如果和x＋y等于定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值． 简记为：积定和最小，和定积最大． 3．求实际问题中最值的解题步骤 （1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式； （2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题； （3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性； （4）正确写出答案． 重难点解析： 1．利用基本不等式比较大小 基本不等式≤一端为和，一端为积，使用基本不等式比较大小要善于利用这个桥梁化和为积或者化积为和． a，b既可以是具体的某个数，也可以是代数式． 2．不等式a2＋b2≥2ab与≥的比较 （1）两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的．前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数（实际上后者只要a≥0，b≥0即可）． （2）两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”． 3．利用基本不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的原则，即： （1）一正：符合基本不等式≥成立的前提条件，a>0，b>0； （2）二定：化不等式的一边为定值； （3）三相等：必须存在取“＝”号的条件，即“＝”号成立． 以上三点缺一不可．简称为——一正、二定、三相等． 4．利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式，通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值．常见的变形方法有拆、并、配等． 根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换． （1）拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件． （2）并——分组并项 目的是分组后各组可以单独应用基本不等式；或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值． （3）配——配式配系数 有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值． 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 常见误区：生活中的变量有它自身的意义，容易忽略变量的取值范围． 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误． 例题讲解： 题型1 基本不等式的简单应用 【例1】已知，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．a2+b2≤6 D．ab≥3 【例2】（多选）若a，b＞0，下列不等式成立的是（　　） A．ab≤ B．ab≥ C．a+b≥2 D．a+b≤2 【例3】已知a＞0，b＞0，c∈R则下列结论正确的是（　　） ①若a＞b，则ac2＞bc2； ②若a＞b＞c＞0，则； ③若a＞b，c≥0，则ca＞cb； ④若a+b＝1，则． A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②④ 题型2 应用基本不等式求最值 【例4】已知正数a，b满足a+b+a2+b2＝24，则a+b的最大值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【例5】已知，，，则的最小值为　　 A．4 B．6 C． D． 【例6】已知，，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 题型3 应用基本不等式进行证明 【例7】已知a，b∈R，求证：ab≤（）2． 【例8】已知x，y，z都是正数，求证：（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz； 【例9】已知a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：． 题型4 “1”的代换 【例10】设，，且，若的最小值为4，则实数的值为 　　． 【例11】已知，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．8 【例12】若x，y满足x＞0，y＞0，xy＝3x+y，则x+3y的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 题型5 配凑法求最值 【例13】已知正数x，y满足x+y＝5，则的最小值为 　　． 【例14】若，则的最小值为 　　． 【例15】已知x＞，则x+的最小值为 　 　． 题型6 基本不等式在生活中的应用 【例16】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3200m3，深为2m，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，问怎样设计水池底面的长和宽能使总造价最低？最低造价为多少元？ 【例17】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为xcm，矩形广告的总面积为ycm2． （1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小？并求出总面积最小值． 【例18】如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道．设AB＝xm． （1）用x表示绿化带的面积； （2）求绿化带面积的最大值． 解题梳理： 1．通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略 拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求最值应注意以下几个方面：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价转换；②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标；③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提． 2．利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项 （1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． （2）注意事项： ①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用． 3．拓展 三元基本不等式：设a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时等式成立． 4．应用基本不等式时要时刻注意其成立的条件，只有当a>0，b>0时，才会有．对于“当且仅当……时，‘＝’成立…”这句话要从两个方面理解：一方面，当a＝b时，＝；另一方面：当＝时，也有a＝b． 5．应用基本不等式证明不等式的关键在于进行“拼”、“凑”、“拆”、“合”、“放缩”等变形，构造出符合基本不等式的条件结构． 变式练习： 1．若a＞1，则的最小值是（　　） A．2 B．a C．3 D． 2．若x＞0，y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（　　） A．6 B．12 C．16 D．24 3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（　　） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 4．对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是（　　） A．＜+ B．ab≤ C．ab≤（）2 D．（）2≤ 5．下列不等式中正确的是（　　） A．a+≥4 B．a2+b2≥4ab C．≥ D．x2+≥2 6．已知x＞0，y＞0，且+＝1，若x+2y＞m2恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤﹣2或m≥2 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣2＜m＜2 7．已知x＞0，y＞0，x+＝8，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 8．若x＞1，则的最小值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（　　） A．1 B． C．9 D．16 10．已知正数x，y满足：+＝1，则x+y的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 11．（多选）设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为3 B．mn的最大值为1 C．的最小值为2 D．m2+n2的最小值为2 12.（多选）下列不等式一定成立的是（　　） A．x2+＞x（x＞0） B．x+≥2（x＞0） C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．＞1（x∈R） 13.（多选）已知实数a＞0，b＞0，且满足（a﹣1）（b﹣1）＝4，则下列说法正确的是（　　） A．ab有最小值 B．ab有最大值 C．a+b有最小值 D．a+b有最大值 14.（多选）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，对于代数式，下列说法正确的是（　　） A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a＝b＝时取得最小值 D．当a＝b＝时取得最大值 15.（多选）设x＞0，y＞0，xy＝x+y+a，其中a为参数．下列选项正确的是（　　） A．当a＝0时，x+y的最大值为4 B．当a＝0时，x+y的最小值为4 C．当a＝3时，xy的最小值为9 D．当a＝3时，xy的最大值为3 16．若x＞﹣1，则的最小值是 　 　． 17．已知a，b为正实数，满足（a+3b）（2a+b）＝6，则8a+9b的最小值为 　 　． 18．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　 　． 19．已知x＞1，求x+的最小值是　 　． 20．已知正实数m，n满足，则8m+n的最小值为 　 　． 21．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值为 　 　． 22．已知x，y，z都是正数，求证：（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz． 23．已知正数a、b满足a+b﹣ab＝0． （1）求4a+b的最小值； （2）求的最小值． 答案与解析 例题讲解： 题型1 基本不等式的简单应用 【例1】已知，（a＞0，b＞0），则下列结论不正确的是（　　） A． B． C．a2+b2≤6 D．ab≥3 【答案】C 【分析】选项A，将a+b平方后与相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值；选项B，利用不等式2（x2+y2）≥（x+y）2可求出的最大值；选项C和D，将选项与题设条件相乘，化简后利用基本不等式可求出最小值． 【解答】解：对于选项A， ＝，当且仅当且即时，等号成立， 所以，，故A正确； 对于选项B，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，解得，故B正确； 对于选项C，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故C错误； 对于选项D，因为， 当且仅当即时，等号成立， 所以，故D正确． 故选：C． 【例2】（多选）若a，b＞0，下列不等式成立的是（　　） A．ab≤ B．ab≥ C．a+b≥2 D．a+b≤2 【答案】AC 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断． 【解答】解：因为a，b＞0， 所以a2+b2≥2ab，即ab≤，当且仅当a＝b时取等号，A正确，B错误； 由基本不等式得a+b，当且仅当a＝b时取等号，C正确，D错误． 故选：AC． 【例3】已知a＞0，b＞0，c∈R则下列结论正确的是（　　） ①若a＞b，则ac2＞bc2； ②若a＞b＞c＞0，则； ③若a＞b，c≥0，则ca＞cb； ④若a+b＝1，则． A．①②③ B．①③④ C．②③ D．②④ 【答案】D 【分析】取c＝0即可判断①；利用作差法即可判断②；取c＝1即可判断③；利用基本不等式即可判断④． 【解答】解：对于①，当c＝0时，有ac2＝bc2，故①错误； 对于②，＝＝， 因为a＞b＞c＞0，所以a﹣b＞0，b+c＞0， 所以＞0，所以，故②正确； 对于③，当c＝1时，ca＝cb，故③错误； 对于④，若a+b＝1，则a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab≥1﹣2×＝， 当且仅当a＝b＝时取等号，故④正确． 故正确的是②④． 故选：D． 题型2 应用基本不等式求最值 【例4】已知正数a，b满足a+b+a2+b2＝24，则a+b的最大值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解． 【解答】解：因为正数a，b满足a+b+a2+b2＝24， 所以a2+b2＝24﹣（a+b）≥2×，当且仅当a＝b时取等号， 解得，0＜a+b≤6， 则a+b的最大值为6． 故选：A． 【例5】已知，，，则的最小值为　　 A．4 B．6 C． D． 【答案】 【分析】由已知可得且、，再由，应用基本不等式求其最小值，注意取值条件． 【解答】解：由，，，， 即，易知， 所以， 当且仅当时等号成立，此时， 所以的最小值为． 故选：． 【例6】已知，，． （1）当时，求的最小值； （2）当时，求的最小值． 【答案】（1）9；（2）5． 【分析】（1）由已知结合基本不等式可直接求解； （2）先对所求式子进行变形，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为，，． （1）当时，，当且仅当时取等号， 解得，即的最小值为9； （2）当时，， 所以， ，当且仅当时取等号， 故的最小值为5． 题型3 应用基本不等式进行证明 【例7】已知a，b∈R，求证：ab≤（）2． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用综合法，通过两数和的平方以及重要不等式即可得出． 【解答】证明：∵a，b∈R，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab， ∵a2+b2≥2ab， ∴（a+b）2≥4ab， ∴ab≤（）2，当且仅当a＝b＞0时取等号． 【例8】已知x，y，z都是正数，求证：（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz； 【分析】利用基本不等式可得，，，结合不等式的基本性质，即可证明结论； 【解答】证明：∵x＞0，y＞0，z＞0， ∴，，，当且仅当x＝y＝z时，等号成立， ∴， ∴（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz； 【例9】已知a＞0，b＞0，a+b＝1，求证：． 【分析】由a+b＝1得（1+）（1+）＝（2+）（2+），利用基本不等式，即可证明结论． 【解答】∵a＞0，b＞0，a+b＝1， ∴，， ∴（1+）（1+）＝（2+）（2+）＝5++≥5+2＝9，当且仅当＝ ，即时等号成立， 故． 题型4 “1”的代换 【例10】设，，且，若的最小值为4，则实数的值为 　　． 【答案】． 【分析】利用“1”的代换思想，求的最小值，并验证等号成立的条件，即可求． 【解答】解：，，且，，， ≧ ， 当且仅当，又，即，取等号， 此时的最小值为，则． 故答案为：． 【例11】已知，则的最小值为　　 A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】 【分析】可利用“1”的代换，根据配凑应用基本不等式． 【解答】解：， 则 ≧ ， 当且仅当，即时取等号． 故选：． 【例12】若x，y满足x＞0，y＞0，xy＝3x+y，则x+3y的最小值为（　　） A． B． C．12 D．16 【答案】D 【分析】利用“1”的代换求最值即可． 【解答】解：x＞0，y＞0，xy＝3x+y，则有＝1， ≥10+6＝16， 当且仅当x＝y＝4时取等号． 故选：D． 题型5 配凑法求最值 【例13】已知正数x，y满足x+y＝5，则的最小值为 　　． 【答案】见试题解答内容 【分析】由题意可得＝[（x+1）+（y+2）]（+），展开后，运用基本不等式可得所求最小值． 【解答】解：正数x，y满足x+y＝5， 则＝[（x+1）+（y+2）]（+） ＝（2++）≥（2+2）＝， 当且仅当x+1＝y+2，即x＝3，y＝2，上式取得最小值， 故答案为：． 【例14】若，则的最小值为 　　． 【答案】3． 【分析】由题意化简，从而利用基本不等式求最值． 【解答】解：，， ≥， （当且仅当，即时，等号成立） 故答案为：3． 【例15】已知x＞，则x+的最小值为 　+　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据基本不等式的性质，即可求出，注意等号成立的条件． 【解答】解：∵x＞， ∴2x﹣1＞0 ∴x+＝++≥2+＝+， 当且仅当＝，即x＝时取等号， 故则x+的最小值为+． 故答案为：+． 题型6 基本不等式在生活中的应用 【例16】某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为3200m3，深为2m，如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，问怎样设计水池底面的长和宽能使总造价最低？最低造价为多少元？ 【答案】见试题解答内容 【分析】设水池底面长为x，用x表示出总造价，得出总造价关于x的函数，利用基本不等式即可得出最小值． 【解答】解：水池的底面积为＝1600m2， 设水池底面长为x米，则宽为米， 设总造价为f（x），则f（x）＝160000+80×2×2×（x+） ≥160000+320×2＝185600， 当且仅当x＝即x＝40时取等号． ∴当水池底面长和宽均为40米时，总造价最低． 【例17】如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，设单个矩形栏目的宽度为xcm，矩形广告的总面积为ycm2． （1）将y表示为关于x的表达式，并写出x的取值范围； （2）当x取何值时，矩形广告的总面积最小？并求出总面积最小值． 【答案】（1），x＞0； （2）当x＝75cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为24500cm2． 【分析】（1）表达出单个矩形栏目的长度，进而求出y关于x的表达式，x的取值范围； （2）由基本不等式求出总面积最小值． 【解答】解：（1）由题意可得：单个矩形栏目的长度为， 则 ＝，x＞0； （2）由基本不等式得：， 当且仅当，即x＝75时等号成立， 故当x＝75cm时，矩形广告的总面积最小，最小面积为24500cm2． 【例18】如图，某物业需要在一块矩形空地（记为矩形ABCD）上修建两个绿化带，矩形ABCD的面积为800m2，这两个绿化带是两个形状、大小完全相同的直角梯形，这两个梯形上下对齐，且中心对称放置，梯形与空地的顶部、底部和两边都留有宽度为5m的人行道，且这两个梯形之间也留有5m的人行道．设AB＝xm． （1）用x表示绿化带的面积； （2）求绿化带面积的最大值． 【答案】（1）S＝（m2），其中15＜x＜80； （2）（m2）． 【分析】（1）先阅读题意，然后结合矩形的面积公式求解； （2）结合基本不等式的应用求解，特别要强调取等的条件． 【解答】解：（1）已知AB＝xm． 则梯形的高为（）m， 设梯形的上底为a（m），下底为b（m）， 由题意可得：a+b＝x﹣15， 则绿化带的面积为S＝＝（m2）， 其中， 即15＜x＜80； （2）由（1）可得S＝＝＝， 当且仅当，即（m）时取等号， 即绿化带面积的最大值为（m2）． 变式练习： 1．若a＞1，则的最小值是（　　） A．2 B．a C．3 D． 【答案】C 【分析】将变形，然后利用基本不等式求出函数的最值，检验等号能否取得． 【解答】解：因为a＞1， 所以a﹣1＞0， 所以＝ 当且仅当即a＝2时取“＝” 故选：C． 2．若x＞0，y＞0，且＝1，则x+y的最小值为（　　） A．6 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【分析】x+y等于x+y乘以+，展开，利用基本不等式；注意等号成立的条件． 【解答】解：∵+＝1， ∴x+y ＝（+）（x+y） ＝10++ ≥10+2 ＝10+6＝16 当且仅当＝时，取等号． 故选：C． 3．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则xy（　　） A．有最大值为1 B．有最小值为1 C．有最大值为 D．有最小值为 【答案】C 【分析】利用基本不等式的性质进行求解即可． 【解答】解：∵x＞0，y＞0，且x+2y＝2， ∴xy＝x•2y≤×（）2＝×12＝， 当且仅当x＝2y＝1，即x＝1，y＝时，取等号， 故xy的最大值是：， 故选：C． 4．对于a＞0，b＞0，下列不等式中不正确的是（　　） A．＜+ B．ab≤ C．ab≤（）2 D．（）2≤ 【答案】A 【分析】选项A取反例可得，选项BC由基本不等式可得，选项D作差法可得． 【解答】解：选项A，取a＝b＝2，可得＝1，＝1，不满足＜，故错误； 选项B，由基本不等式可得2ab≤a2+b2，变形可得ab≤，当且仅当a＝b时取等号，故正确； 选项C，由基本不等式可得≤，平方可得ab≤（）2，当且仅当a＝b时取等号，故正确； 选项D，作差可得（）2﹣＝﹣＝＝﹣≤0，当且仅当a＝b时取等号，故正确． 故选：A． 5．下列不等式中正确的是（　　） A．a+≥4 B．a2+b2≥4ab C．≥ D．x2+≥2 【答案】D 【分析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可． 【解答】解：a＜0，则a+≤﹣4（当且仅当a＝﹣2取得等号）不成立，故A错； a＝1，b＝1，a2+b2＜4ab，故B错； a＝4，b＝16，则＜，故C错； 由均值不等式可知D项正确． 故选：D． 6．已知x＞0，y＞0，且+＝1，若x+2y＞m2恒成立，则实数m的取值范围是（　　） A．m≤﹣2或m≥2 B．m≤﹣4或m≥2 C．﹣2＜m＜4 D．﹣2＜m＜2 【答案】D 【分析】根据题意，分析可得x+2y＝（x+2y）（+）＝4++，由基本不等式的性质求出x+2y的最小值为8，据此可得m2＜8，解可得m的取值范围，即可得答案． 【解答】解：根据题意，x＞0，y＞0，且+＝1， 则x+2y＝（x+2y）（+）＝4++≥4+2×＝8， 当且仅当x＝2y＝4时等号成立， 即x+2y的最小值为8， 若x+2y＞m2恒成立，必有m2＜8，解可得﹣2＜m＜2， 即m的取值范围为﹣2＜m＜2； 故选：D． 7．已知x＞0，y＞0，x+＝8，则的最大值为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】由于，从而可直接求出的取值范围即可确定其最大值． 【解答】解：因为，所以，即， 当且仅当x＝，即x＝4，y＝1时等号成立， 所以的最大值为4． 故选：B． 8．若x＞1，则的最小值等于（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】原式＝x﹣1++1，结合基本不等式求出最小值即可． 【解答】解：因为x＞1，所以x﹣1＞0， 故原式＝x﹣1++1＝3， 当且仅当，即x＝2时取等号， 所以的最小值等于3． 故选：D． 9．若正数a，b满足a+b＝2，则+的最小值是（　　） A．1 B． C．9 D．16 【答案】B 【分析】由题意可得（a+1）+（b+1）＝4，可得+＝（+）[（a+1）+（b+1）]＝[5++]，由基本不等式可得． 【解答】解：∵正数a，b满足a+b＝2， ∴（a+1）+（b+1）＝4 ∴+＝（+）[（a+1）+（b+1）] ＝[5++]≥（5+2）＝ 当且仅当＝即a＝且b＝时取等号． 故选：B． 10．已知正数x，y满足：+＝1，则x+y的最小值为（　　） A． B． C．6 D． 【答案】B 【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出 【解答】解：因为+＝1， 所以x+y＝x+y+2﹣2＝（x+y+2）（）﹣2＝2+＝2+2， 当且仅当时取等号，此时取得最小值． 故选：B． 11.（多选）设正实数m、n满足m+n＝2，则下列说法正确的是（　　） A．的最小值为3 B．mn的最大值为1 C．的最小值为2 D．m2+n2的最小值为2 【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式及相关变形，结论分别检验各选项即可判断． 【解答】解：因为m＞0，n＞0， 所以＝＝+1＝3， 当且仅当且m+n＝2即m＝n＝1时取等号，此时取得最小值3，A正确； 由mn＝1，当且仅当m＝n＝1时mn取得最大值1，B正确； ＝m+n+2＝2+2≤2+m+n＝4，当且仅当m＝n＝1时取等号， 故≤2即最大值为2，C错误； m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝4﹣2mn＝2，当且仅当m＝n＝1时取等号，此处取得最小值2，D正确． 故选：ABD． 12.（多选）下列不等式一定成立的是（　　） A．x2+＞x（x＞0） B．x+≥2（x＞0） C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．＞1（x∈R） 【答案】BC 【分析】利用基本不等式及不等式的性质逐个选项判断正误即可． 【解答】解：∵当x＝时，x2+＝x，∴A不一定成立； 又当x＞0时，有x+≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴B一定成立； ∵x2+1﹣2|x|＝（|x|﹣1）2≥0，即x2+1≥2|x|恒成立，∴C一定成立； 又∵x2+1≥1，∴0＜≤1，故D不成立． 故选：BC． 13．（多选）已知实数a＞0，b＞0，且满足（a﹣1）（b﹣1）＝4，则下列说法正确的是（　　） A．ab有最小值 B．ab有最大值 C．a+b有最小值 D．a+b有最大值 【答案】AC 【分析】由已知可得ab＝a+b+3，利用基本不等式可得ab≥2+3，进而解得ab的最小值，根据4＝（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1≤（）2﹣（a+b）+1，解关于a+b的一元二次不等式，即可求得答案． 【解答】解：因为（a﹣1）（b﹣1）＝4， 所以ab＝a+b+3， 因为a＞0，b＞0， 所以ab≥2+3，当且仅当a＝b＝3时取等号， 可得（﹣3）（+1）≥0， 所以﹣3≥0，解得ab≥9，即ab的最小值为9，故A正确， 又因为4＝（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1≤（）2﹣（a+b）+1，当且仅当a＝b时等号成立， 所以（a+b）2﹣（a+b）+1≥4，解得a+b≥6，或a+b≤﹣2（舍去）， ∴a+b有最小值6，故C正确． 故选：AC． 14．（多选）已知a＞0，b＞0，a+b＝1，对于代数式，下列说法正确的是（　　） A．最小值为9 B．最大值是9 C．当a＝b＝时取得最小值 D．当a＝b＝时取得最大值 【答案】AC 【分析】利用“1”的代换将所求式子进行变形，然后再利用基本不等式求解最值，由此判断四个选项即可． 【解答】解：因为a＞0，b＞0， 所以， 又a+b＝1， 则 ＝ ＝ ＝ ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9，故选项A正确，选项B错误； 当时取得最小值，故选项C正确，选项D错误． 故选：AC． 15．（多选）设x＞0，y＞0，xy＝x+y+a，其中a为参数．下列选项正确的是（　　） A．当a＝0时，x+y的最大值为4 B．当a＝0时，x+y的最小值为4 C．当a＝3时，xy的最小值为9 D．当a＝3时，xy的最大值为3 【答案】BC 【分析】把a＝0，a＝3分别代入后，结合基本不等式检验各选项即可判断． 【解答】解：当a＝0时，x＞0，y＞0，xy＝x+y， ∴＝1， x+y＝（x+y）（）＝2+＝4， 当且仅当且＝1，即x＝y＝时取等号，x+y取得最小值4，A错误，B正确； 当a＝3时，xy＝x+y+3+3，当且仅当x＝y时取等号， 解得，≥3，即xy≥9， 故xy的最小值9，C正确，D错误． 故选：BC． 16．若x＞﹣1，则的最小值是 　　． 【答案】2﹣1 【分析】利用基本不等式，即可得解． 【解答】解：因为x＞﹣1，所以x+1＞0， 所以＝x+1+﹣1≥2﹣1＝2﹣1，当且仅当x+1＝，即x＝﹣1时，等号成立， 所以的最小值是2﹣1． 故答案为：2﹣1． 17．已知a，b为正实数，满足（a+3b）（2a+b）＝6，则8a+9b的最小值为 　12　． 【答案】12． 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：∵a，b为正实数，满足（a+3b）（2a+b）＝6， ∴（2a+6b）（6a+3b）＝36， ∴（2a+6b）（6a+3b）≤， 当且仅当，即，b＝时，等号成立， 故8a+9b的最小值为12． 故答案为：12． 18．若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是　25m2　． 【答案】25m2． 【分析】设矩形的一边为xm，则另一边为×（20﹣2x）＝（10﹣x）m，然后利用矩形的面积公式及基本不等式即可求解． 【解答】解：设矩形的一边为xm，则另一边为×（20﹣2x）＝（10﹣x）m， 所以y＝x（10﹣x）≤[]2＝25， 当且仅当x＝10﹣x，即x＝5时，ymax＝25m2． 故答案为：25m2． 19．已知x＞1，求x+的最小值是　5　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用关系式的变换和基本不等式，求出最小值． 【解答】解：由于x＞1，所以x﹣1＞0， 所以＝5，当且仅当x＝3时，等号成立． 故答案为：5 20．已知正实数m，n满足，则8m+n的最小值为 　8　． 【答案】见试题解答内容 【分析】利用基本不等式“1”的妙用即可得解． 【解答】解：因为， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以8m+n的最小值为8． 故答案为：8． 21．已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则的最小值为 　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合基本不等式的公式，即可求解． 【解答】解：∵a+b＝1， ∴＝＝， ∴＝＝≥， ∴，当且仅当b+1＝2a时，等号成立， ∴的最小值为． 故答案为：． 22．已知x，y，z都是正数，求证：（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz． 【答案】见试题解答内容 【分析】由x，y，z都是正数，运用基本不等式和不等式的可乘性，即可得证． 【解答】证明：由x，y，z都是正数，x+y≥2，当且仅当x＝y取得等号， y+z≥2，当且仅当y＝z取得等号， z+x≥2，当且仅当z＝x取得等号， 可得（x+y）（y+z）（z+x）≥2•2•2＝8xyz，当且仅当x＝y＝z取得等号， 故（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz成立． 23．已知正数a、b满足a+b﹣ab＝0． （1）求4a+b的最小值； （2）求的最小值． 【答案】（1）4a+b的最小值为9． （2）故的最小值为16． 【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解； （2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求． 【解答】解：（1）因为a+b﹣ab＝0，所以．又因为a、b是正数，所以， 当且仅当2a＝b＝3时等号成立，故4a+b的最小值为9． （2）因为且a、b为正数，所以a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0， 则， 当且仅当、b＝4时等号成立，故的最小值为16． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$