第五章 专题12 圆的综合证明及应用-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第五章 圆 4 专题12 圆的综合证明及应用 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 类型1 圆与三角形的综合应用 1.［中］如图，在中， ，， .半径为2的 分别与,相切于点, ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 7 （1）求证：是 的切线. 【证明】如图,连接，，，过点作 于 点 . 在中， ,, , 半径为2的分别与, 相切于点, , ， . ， ， ， 是 的切线. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）求图中阴影部分的面积． 【解】如图,设,分别与交于点, .由（1）可知 ,则 .又由（1）可知， 是 的内切圆，， ， ， ． 思路分析 （1）连接，，，过点作于点，证明 长等于半径，即可得 结论； （2）将不规则图形的面积转化为规则图形的面积的和差进行计算. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 9 2.【2022山东淄博中考，较难】已知是的内接三角形， 的平分线 与相交于点，连接 . （1）如图（1），设的平分线与相交于点，求证： ； 图（1） 【证明】平分，平分， ， ， ， ，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 10 （2）如图（2），过点作直线，求证：是 的切线； 图（2） 图（1） 【解】 如图（1），连接， ， ， . 又为的半径,是 的切线. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 11 （3）如图（3），设弦，延长后交外一点，过作的平行线交 的 延长线于点，过作的切线(切点为，求证： . 图（3） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 12 图（2） 【解】 如图（2），过点作直径交于，连接， ， ， , ， 是 的切线， , 关键点拨 （3）利用圆的相关知识和相似三角形的判定与性质得到比例式是解题的关键. ，, , ， ， ，, , , . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 13 类型2 圆与四边形的综合应用 3.［中］如图，为的直径，的平分线交 于点 ，于点，连接 . （1）判断与直线 交点的个数，并说明理由. 【解】与直线交点的个数为1，理由如下： ， 平分，， ， ,是的半径， 直线是 的切 线，与直线 交点的个数为1. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 14 （2）交于点，连接．当是多少度时，四边形 是菱形？请 说明理由． 【解】 当 时，四边形 是菱形.理由如下：如图，连接 ， ,是等边三角形, ， ，由（1）知，， 四边形是平行四边形. ， 平行四边形 是菱形． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 15 4.［中］如图，在平行四边形中， 是对角线， ，以点为圆心，的长为半径作，交 边于 点，交于点，连接 ． （1）求证：与 相切. 【证明】连接 四边形是平行四边形，， ， ，， ， ， ， ， 是的半径，与 相切. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 16 （2）若 ， ，求阴影部分的面积。 【解】 ，，是等边三角形， ， . ， ， ，， , ， ， . ， ， ， ． 关键点拨 根据点坐标求出的值以及的半径，从而可得的半径是2，根据与 轴相切及点在函数 的图象上即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 17 类型3 圆与函数的综合应用 5.［中］如图，在平面直角坐标系中，点, 均在函数 的图象上，与轴相切，与 轴相 切．若点的坐标为，的半径是 的半径的2倍，则 点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 【解析】把代入得，则.与 轴相切， 的半径是1，则的半径是与轴相切，把代入 ，得 ，的坐标为 ．故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 6. 【2023江苏无锡锡山区模拟，难】点 是平面直角坐标系中的 一点且不在坐标轴上，过点分别向轴， 轴作垂线段，若垂线段长 度的和为4，则点叫做“垂距点”.例如，下图中的 是“垂距 点”. （1）在点，， 中，是“垂距点”的点为______； ， 【解】，，， 是“垂距点”的点 为，.故答案为， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 （2）求函数 的图象上的“垂距点”的坐标； 【解】 设函数的图象上的“垂距点”的坐标为 .由题意得 .①当时，，解得， 此时“垂距点” 的坐标为 ； ②当时，，解得 （不合题意，舍去）； ③当时，，解得， 此时 “垂距点”的坐标为.综上所述，函数 的 图象上的“垂距点”的坐标是或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 （3）的圆心的坐标为，半径为.若上存在“垂距点”，则 的取值 范围是_ __________. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 【解析】 设“垂距点”的坐标为，则.当 ， 时，，即；当，时， ， 即；当，时， ，即 ；当，时， ，即 .画出该函数图象，如图所示.当与相切时，过点 作 于点，易证 为等腰直角三角形， ；当过点时， 上不存在“垂距 点”，此时5.综上，若上存在“垂距点”，则 的取值 范围是.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 思路分析 （1）将各点横、纵坐标的绝对值相加，和为4的点即为所求； （2）设函数的图象上的“垂距点”的坐标为 ，根据“垂距 点”的定义可得出，解之即可得出 值，进而可得出“垂距点” 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 7.［难］如图，已知二次函数 的图象经过 点，且与轴交于原点及点 ． （1）求二次函数的表达式； 【解】 二次函数的图象经过，且与 轴交于原点及点 ，，.将，代入 ,得 解得 二次函数的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 （2）求顶点的坐标及直线 的表达式； 【解】 ， 抛物线的顶点的坐标为 .设直 线的表达式为，将，代入，得 解得 直线的表达式为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （3）判断 的形状，并说明理由； 【解】 是等腰直角三角形．理由：过点作于点，则 ， ，，, 均为等腰直角三 角形，， ， ， 是 等腰直角三角形． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 （4）若点为上的动点，且的半径为，一动点从点 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿线段匀速运动到点 ，再以每秒1个单位长度的速度沿线段 匀速运动到点后停止运动，点的运动时间为秒.求 的最小值． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解】 由题意可知.如图,在上取点 ，使 ，连接，,则在和 中， ，， ， ， ， ， 当,,三点共线时， 取得最小值.过点 作于点，由（2）可知为等腰直角三角形， .又 ，， 的最小值为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 关键点拨 本题为圆与函数的综合应用，考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的表达 式，熟练掌握相似三角形的判定和性质等相关知识是解题的关键. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 $$