第五章 大招专题10 圆中的最值问题-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(鲁教版五四制)
2024-11-13
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教辅
内容正文：
数 学
九年级全一册 LJ
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第五章 圆
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大招专
题10
圆中的最值问题
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难关
母题学大招25 利用圆外点到圆的距离求最值
1.【2023湖南衡阳期中，中】已知点和直线 ，
求点到直线的距离可用公式 计算.根据
以上材料解决下面问题：如图，的圆心的坐标为 ，半
径为1，直线的表达式为，是直线上的动点， 是
上的动点，则 的最小值是( )
A
A. B. C. D.2
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大招解读 利用圆外点到圆的距离求最值
（1）已知直线及圆上一动点求最值，想到过圆心作直线的垂线.
（2）已知圆外一定点及圆上一动点求最值，想到连接定点与圆心.
【解析】如图，过点C作 直线，交于点，此时 的值
最小.根据点到直线的距离公式可知，点到直线 的距离
.的半径为1， ，故选A.
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子题练变式
2.［中］如图，的半径为2，圆心的坐标为，点 是
上的任意一点，，且，与轴分别交于， 两
点，若点、点关于原点对称，当线段最短时，点 的坐标为
________.
【解析】 如图，连接，连接交于点 点 的坐标
为， ，
，.若要使最短，则
需取得最小值.当点位于位置时，取得最小值.， ，
，， 点的坐标为，故答案为 .
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关键点拨
连接，连接交于点.根据点的坐标，利用勾股定理求出 长，再
根据直角三角形斜边中线的性质，以及关于原点对称的点的坐标特点知 ,
得到当最小时, 最短是解题关键.
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母题学大招26 利用直线与圆的特殊位置关系求最值
3.【2024湖北武汉洪山区校级质检，中】如图，在
中， ，，，分别是， 的中点，
若等腰绕点逆时针旋转，得到等腰 ，记直
线与的交点为，则点到 所在直线的距离的最大值为
_______．
大招解读 利用直线与圆的特殊位置关系求最值
已知动点与定直线求最值，动点的轨迹是圆，想到利用直线与圆的位置关系，通
常在相切时取得最值.
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【解析】 由题意知，在以为圆心， 为半径的圆上，
如图，当所在直线与相切时，直线与 的交点
到直线的距离最大，过点作 直线 ,此时四边
形是正方形， ，则
，故 ，
则，故点到所在直线的距离的最大值为 ，故
答案为 ．
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母题学大招27 利用定点定长构造圆求最值
（第4题图）
4.［中］如图，点，的坐标分别是，，点 为坐标
平面内一动点，，点为线段的中点，连接，则
的最大值为( )
C
A. B. C. D.
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大招解读 利用定点定长构造圆求最值
已知定点和定长，想到动点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
如图，动点到定点的距离为定值，则点的轨迹为以点 为圆
心， 为半径的圆.
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【解析】如图， 点C为坐标平面内一动点，， 在以
B为圆心，2为半径的圆上运动.取 ，连接
，，是 的中位线，
， 当最大时， 最大.当D，B，C三点共线，
且C在的延长线上时，最大，故此时最大. ，
，，，，即
的最大值为 .故选C.
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关键点拨
根据题意可知,点在半径为2的上运动，通过画图可知，在 的延长线上
时， 最大，即可求解．
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子题练变式
5.【2024陕西西安调研，中】如图，在中， , ,
，点是的中点，点是斜边上任意一点，连接，将沿 对
折得到，连接，则 周长的最小值是______________.
（第5题图）
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【解析】 在中， ， ，
，， 由勾股定理得
将沿对折得到 ，
点是的中点，,, 的周长
为， 当 的长度最小
时，的周长最小.如图，以点为圆心，长为半径作圆，连接，交圆
于点，此时，的长度最小,为的长.过点作于点 ，
， 由勾股定理得 ，
， 由勾股定理得 ，
，周长的最小值为 .故答案
为 .
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母题学大招28 利用定弦定角构造圆求最值
6.【2024浙江金华期中，中】如图，在中， ，
，，点是其内部一动点，且，则，
两点间的最小距离为( )
C
A.3 B.4 C. D.
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大招解读 利用定弦定角构造圆求最值
已知定弦和弦所对的角为定值，想到动点的轨迹是以定直线
为弦的圆.
固定线段所对动角为定值,则点运动轨迹为过,, 三点的圆
原理:弦 所对的同侧圆周角恒相等
备注：点 在优弧、劣弧上运动皆可
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【解析】中， ，，，
由勾股定理，得 .如图，取
的中点， ，
， ，点在以 为圆
心，为半径的圆上运动.连接交圆于点，连接, .
当，D，C三点在同一直线上时，最短，此时.在
中，由勾股定理，得，故 的最小值为
，故选C．
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思路分析
取的中点，由及 ，得出 ，可得 点
在以为圆心，为半径的圆上运动，连接，，当，， 三点在同一直
线上时， 最短．
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子题练变式
7.【2024浙江宁波校级期中，中】如图，正方形的边长为6，点是边 上
一动点，点在边上，，垂足为，则 的最小值为_________.
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【解析】 取的中点，以为圆心， 为直径画半圆弧，如图.根据题意可知，
点在该半圆弧上运动.根据题意易得当，，三点在同一条直线上时， 取得
最小值.连接交半圆弧于点，的长即为的最小值. 四边形 是边长
为6的正方形，， ， .在
中，， 的最小值为
.故答案为 .
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8.【2024江苏淮安清江浦区期中，较难】如图，矩形的边 ，
，为的中点，是矩形内部一动点，且满足，为边
上的一个动点，连接，，则 的最小值为___.
7
（第8题图）
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【解析】 取的中点，如图所示. 四边形 是矩形，
，
，
, 点在以点为圆心， 为直径的半圆弧上运
动.作点关于直线的对称点，连接交半圆弧于点 ，连
接，，则， ，
，
的最小值为.连接 四边形是矩形，点是 的中点，
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点为的中点，，， ，
四边形是矩形， 点是点关于直线 的对称
点，.在 中，由勾股定理，得
， 的最小值为
.故答案为7.
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9.【2024山东日照期中，较难】如图，在中，， ，
，过点作的平行线，为直线上一动点，为 的外接
圆，直线交于点，则 的最小值为___.
2
（第9题图）
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【解析】 如图，连接， ，
，,为定值， 点 的运动轨
迹为一段圆弧.
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设点运动轨迹所在圆的圆心为，点在劣弧上运动，过点作 于点
，连接，中优弧度数为 ，则劣弧 度数为
， ， .在 中，
,， ,
.连接交于，则,的长即为 的最小值.
， ， ，
，的最小值为 .
故答案为2.
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思路分析
如图，连接.先求得 ，根据定弦定角，可得点在以 为圆心，
为半径的劣弧上运动，再连接交于，的长即为 的最小值.
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母题学大招29 利用四点共圆求最值
（第10题图）
10.【2024福建福州期中，中】如图，正方形 的边长为6，
点是正方形外一动点，且点在的右侧， ， 为
的中点，连接,当运动时，线段 的最大值为( )
D
A. B. C. D.
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大招解读 利用四点共圆求最值
对角互补型:
如图，若 或 ,
则,,, 四点共圆
同侧等角型：
如图，若 ,
则,,, 四点共圆
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【解析】如图，连接,交于点，连接 ,
, ，,C,,D四点共圆.
正方形的边长为6，.为
的中点，是 的中点，
， 当点在线段上时， 最
大，，即线段的最大值为 ．故选D．
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关键点拨
根据两点之间线段最短得出,进而推得当点在线段上时 最大是
解题关键.
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子题练变式
11.【2024江苏泰州靖江调研，中】如图，，，点， 分别是线
段，射线上的动点，以为斜边向上作等腰， ，连
接，则 的最小值为_ ___.
（第11题图）
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【解析】 连接，如图.， ，
，，，，四点共圆. 为等腰直角三角形，
， ， ，
点在的平分线上运动. 垂线段最短， 当时， 取最小值，
的最小值为.故答案为 .
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关键点拨
根据四边形对角互补推得，，， 四点共圆是解题关键.
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母题学大招30 利用米勒定理求最值
（第12题图）
12.【2024四川宜宾翠屏区校级期中，中】如图，已知点， 的
坐标分别是,，点为轴正半轴上一动点，当 最
大时，点 的坐标是( )
B
A. B. C. D.
大招解读 利用米勒定理求最值
已知点,是的边上的两个定点，点是边 上的一个动
点，则当且仅当的外接圆与边相切于点时， 最大.
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证明：如图,在边上任取一点（不与点重合），连接 ,
,与圆相交于点,连接,
（利用三角形外角性质）,
当圆与相切时， 最大.
【解析】过点A，B作，当与轴相切于点C时， 最大，
连接,,，作轴于，如图. 点A,B的坐标分别是
,，， ，
，与轴相切于点C， 轴，
四边形为矩形，,.在 中，
，点坐标为 ．故选B．
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母题学大招31 利用阿氏圆求最值
13.【2024黑龙江大庆校级期末，中】如图，在 中，
，，，以点为圆心，3为半径作 ，分别
交，于，两点，点是上一个动点，则 的最小
值为_____.
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大招解读 利用阿氏圆求最值
图（1）
模型：如图（1），已知点是半径为的上一动点，点， 为
外两定点，且，连接， ，则当“
”的值最小时， 点的位置如何确定?
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图（2）
作法：①如图（2），将系数不为1的线段 两
端点分别与圆心相连，即连接 ；
②计算出线段与的长度比 ；
③在上取一点，连接，使得 ，即构造
，则，即 ；
④将“”的最小值转化为“”的最小值，连接，与 交
于点，利用“两点之间线段最短”转化为的长，点 即为所求.
巧记：计算 的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造子母型相似
三角形.
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【解析】 在上截取，连接，， ，如图.
，，，， ，
，， 当，， 三点
共线时，的值最小，为的长.在 中，
，，，的最小值为 .故答
案为 .
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思路分析
在上截取，连接，，，构造 ,得
，将的最小值转换为 的最小值，由两点之间线段最短
得出当，，三点共线时 的值最小，进而求解.
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子题练变式
14.【2024广东广州从化区调研，难】如图，已知是的直径， ，
点为上一点， .
（1）求弦 的长；
图（1）
【解】是的直径， ，
是等腰直角三角形， ，
.
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（2）若点是下方上的动点（不与点，重合），以 为边作正方形
，如图（1）所示，若是的中点，是的中点，求证：线段 的长
为定值；
图（1）
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【证明】连接，，，，如图（1）. 是等腰直角三角形，四边
形是正方形，， ，
.又， ，
，是 的直径，
， ， ，
，，三点共线. 四边形是正方形， 易得 是等腰直角三角
形. 是的中点，，即是直角三角形.是 的中点，
，即 的长为定值.
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（3）如图（2），点是动点，且，连接，，一动点从点 出发，以
每秒2个单位的速度沿线段匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段
匀速运动到点，到达点后停止运动，求点的运动时间 的最小值.
图（2）
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图（2）
【解】以为圆心，为半径作圆，在上取点 ，使
，连接，过作于，连接交
于 ，如图（2）.
一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿线段
匀速运动到点，再以每秒1个单位的速度沿线段 匀速
运动到点， 点的运动时间 ，
，， .
又，，，， 的
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最小值是的最小值.易知当，，三点共线，即与重合时，
取得最小值，为的长度.在中， ，
，. ，
.在 中，
， 点的运动时间 的最小值为5.
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