5.8 正多边形和圆-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第五章 圆 4 8 正多边形和圆 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 正多边形的有关概念及画法 1.下列说法正确的是( ) D A.正多边形的中心到顶点的距离是正多边形的边心距 B.正多边形对角线的交点是这个正多边形的中心 C.正多边形每一边所对的圆周角叫做正多边形的中心角 D.正六边形的边长等于它的半径 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 【解析】正多边形的中心到一边的距离叫做正多边形的边心距，故A选项错误；正 多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，故B选项错误；正多边形每一边 所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角，故C选项错误；正六边形的边长等 于它的半径，故D选项正确． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.如图，已知，求作 的内接正八边形. （1）【解】如图，作直径；（2）作的垂直平分线交 于点，；（3）连接，作的垂直平分线交于点 ；（4） 用同样的方法分别作出，，的中点，， ；（5）依次 连接各分点.则八边形即为所求作的 的内接正八边 形. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 知识点2 正多边形的有关计算 （第3题图） 3. 【2023山东淄博质检】如图，已知正六边形 边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到 的距离为( ) B A.3 B.4 C. D. 【解析】如图，连接，交于点.在正六边形的边上距离 最远的点是， 都是等边三角形， ， ，故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.【四川成都中考】如图，正六边形内接于，若 的周长等于 ，则正六边形的边长为( ) C A. B. C.3 D. 【解析】连接，.设的半径为 正六边形 内接 于，的周长为 ， ， ， ， 是等边三角形， ， 正六边形 的边长为3.故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （第5题图） 5.如图，若是正方形与正六边形 的外接圆，则正 方形与正六边形 的周长之比为( ) A A. B. C. D. 【解析】连接,,，如图所示.设 的半径为 , ,， 正方形 的 周长为, ,, 正六边形 的周长为, 正方形与正六边形 的周长之 比为 ，故选A． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.【2023山东东营调研】如图，正六边形外接圆的半径 ，则 点关于原点 的对称点坐标为_________. （第6题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 【解析】 如图，连接，与轴交点为 正六边形 外接圆的半径 ， ， ， ，. 在 中， ， ， ， 点关于原点的对称点坐标为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （第7题图） 7. 传统文化【2023山东烟台质检】刘徽是我国魏晋时期卓越 的数学家，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，利用圆的内接 正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图，若用圆的内接正 十二边形的面积来近似估计的面积，设 的半径为1，则 ______ 取 . 0.14 【解析】 的半径为1，的面积 圆的内接正十二边形的中心 角为 ， 圆的内接正十二边形的面积 , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第8题图） 8.如图，已知点,,,为一个正多边形的顶点， 为正多边形的 中心，若 ，则这个正多边形的边数为____． 12 【解析】 连接，,,,为一个正多边形的顶点， 为正 多边形的中心， 点,,,在以点为圆心， 长为半径的同一 个圆上. ， ， 这个正多 边形的边数为 ，故答案为12． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 9.如图，的周长等于，正六边形内接于 . （1）求圆心到 的距离. 【解】如图，连接,，作于 . 的周长等于， 半径为 . 六边形是正六边形， ， , 圆心到的距离为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 （2）求正六边形 的面积. 【解】 , ,是等边三角形，, 正六边形的面积为 关键点拨 连接，交于点.由， 都是等边三角形可得 ，从而得出结论. 关键点拨 设的半径为，用含的式子表示出正方形与正六边形 的周长是 解题的关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 方法点拨 正多边形中常见的辅助线是连接正多边形的中心和顶点，作中心到边的垂线段， 通过构造直角三角形解题. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.［中］如图，在正六边形外作正方形 ，连接 ，则 等于( ) B A.3 B. C.2 D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 【解析】连接 ，如图所示.由正六边形的性质得 , , , .由正方形的性质得 ,,D,三点共线.设正六边形的边长为 ，则 .在中，， ，易 得, ．在 中， ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 （第2题图） 2.［中］如图，正六边形螺帽的边长是4，那么这个正六边形所 在外接圆的半径和扳手的开口 的值分别是( ) B A.2， B.4， C.4， D.4， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 【解析】如图，设正六边形的中心为，连接，，，，与交于 ， 则 .，是等边三角形， ，即 这个正六边形所在外接圆的半径为4.同理可得 是等边三角形， ， 四边形是菱形，， , .,， ， ，即的值是 ，故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 （第3题图） 3.［中］如图，已知的内接正六边形的边心距 ， 则该圆的内接正三角形 的面积为( ) D A.2 B.4 C. D. 关键点拨 本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质和三角函数 等.熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出 的长是解决问题 的关键． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 【解析】如图，连接，，过点作于点 六边形 是正六 边形，， 是等边三角形， ，. 是正 三角形, ,,， ， 的面积为 ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 4.【2023山东东营期末，中】如图，是正八边形 的外接圆，则下 列四个结论中正确的是______. ②④ （第4题图） 的度数为 ；； 为等边三角形； . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 【解析】 如图，连接. ， ,的度数为 ，故①错误; ，， ， ， ，故②正确; ， 不可能为等边三角形，故③错误; ， ， ，故④正确. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 5.【2023辽宁营口期末，中】如图，在正六边形中，连接， ，则 ____度. 30 （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 28 【解析】 设正六边形的边长为1.正六边形的每个内角为 ，， ， ， .如图，过点 作 于点，则 ， ， ， ， .在中，由勾股定理得 ， ，故答案为30. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 （第6题图） 6.［中］如图，,分别是的内接正五边形的边, 上的点，，则 ____. 【解析】 如图，连接,, 五边形是 的内接 正五边形， ． ， ．在和 中，,,， ， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 思路分析 连接，，，证明 ，根据全等三角形的性质得到 ，从而利用等量代换进行求解.， ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 7. 传统文化【2023四川资阳质检，中】我国古代数学家刘徽利用圆内接正 多边形创立了“割圆术”.现将半径为2的圆十二等分构造出2个矩形和1个正方形 （如图），则阴影部分的面积是__________. （第7题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 【解析】 如图，设圆心为.连接，，，，过点 作 ，垂足为.由圆的对称性可知，点、点是 的三等分 点，四边形是正方形， ， .在中， ， ，，.在 中， ，，， ， 个阴影三角形的面积和为 ，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 （第8题图） 8. 【2022江苏宿迁中考，较难】如图，在正六边形 中，，点在边上，且．若经过点 的直线将正六边形面积平分，则直线 被正六边形所截的线段长 是_____. 关键点拨 根据正多边形与圆的对称性可求出 ， ，由直角三角形的边角关系求出，， 的 长，根据三角形的面积公式进行计算即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 【解析】 如图，设正六边形的中心为，则直线 经过 点,，设直线交于点，则直线 被正六边形所截的线段长 是，连接，过点作于点，连接 六边形 是正六边形，，中心为， ， ， ,是等边三角形， ， ， ， ， , ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 ， ，，故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 刷素养 走向重高 9.核心素养 推理能力［难］如图（1），正三 角形和正方形内接于同一个圆 ； 如图（2），正方形和正五边形内接于同一个 圆 ；如图（3），正五边形和正六边形内接于 十二 正 同一个圆；…；则对于图（1）来说， 可以看作是正______边形的边长；若正 边形和正边形内接于同一个圆 ，连接与公共顶点相邻同侧两个不同正多 边形的顶点可以看作是___________边形的边长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 【解析】 如图，连接,, 正三角形和正方形 内 接于同一个圆， ， ， ， 可以看做是正十 二边形的边长.若正边形和正 边形内接于同一个圆，同理可 得， ， , ，可以看做是正 边形的边长.故答案 为十二，正 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 38 $$