5.4.2 圆周角定理的推论3-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第五章 圆 4 4 圆周角和圆心角的关系 课时2 圆周角定理的推论3 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点 圆周角定理的推论3 （第1题图） 1.如图，是的直径，点，，在上，若 ， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 【解析】连接为的直径， . ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 关键点拨 连接 ，构造直径所对的圆周角. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第2题图） 2.【2023山东济南莱芜区模拟】如图，，，是 上的三个点， 若， ，则 的半径为( ) A A.1 B.2 C.21 D.3 【解析】如图，延长，交于点D，连接，则 ， ， ， ，， ， 的半径为 .故选A. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 3.【2022江苏苏州中考】如图，是的直径，弦交于点，连接 ， ．若 ，则____ ． 62 （第3题图） 【解析】 连接是的直径， .又 ， ， .故答案为62. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.【2023山东聊城一模】如图，在中， ，三个顶点 ，，均在上，过圆心，连接，.当 时， 的度数是____. 【解析】 是 的直径， ， ， ， .故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 关键点拨 根据圆周角定理的推论得到 ， ，则 .利用等腰对等角及三角形内角和定理求出 的度数，根据圆周 角定理的推论，即可求出 的度数. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 5. 开放性试题【2023江苏南京期中】如图，，是 上的点，且 ，在这个图中，仅用无刻度的直尺能画出的角的度数可以是_______ ________________________________.（只要求写出四个） ， ， ， （答案不唯一） （第5题图） 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 【解析】 如图，连接，延长线段至点，交于点 ，连接 ，， 是等边三角形， ， 可以得到 的角.是 的直径， ， 可以得到 的角. ， 可以得到 的角. ， 可以得到 的角. ， 可以得到 的角.当然还可以画出 的角. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 （第6题图） 6.为半圆 的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶 点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点 ．若 ，则线段 的长为____． 【解析】 连接.由题意得 ， . 为半圆的直径， ， 是等腰直角三角 形．，．故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 技巧总结 圆周角定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等;直径所对的圆周角为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 7.【2023浙江宁波鄞州区质检】如图，在中，，以 为直径作半圆，交于点，交于点.若 ， ，则弧的度数是____， 的长为___. 2 【解析】 连接，， ， ， ， 弧的度数是为半圆 的 直径，，， .故答案为 ，2. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 8.如图，，为的直径，,分别交 于 点,，连接, ． （1）判断与 是否相等，并说明理由. 【解】.理由如下：连接为 的直径， ，，， ， ，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 （2）如果，，求 的直径． 【解】 为的直径， .设的半径为 ， 则，.在中，.在 中， ， . ，，， 或（舍去），，即 的直径为8． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 9.如图，在中， ，以为直径作， 为 上一点，连接,,，，且 . （1）求证： . 【证明】如图，连接，延长交于点 ， ， ，是 的直径， ,， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 （2）若为的中点，求 的值. 【解】如图，为的中点，， ， ，.由（1）得， 四边形 是平行四边形，，.设，则 ， ，,, . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 提升 （第1题图） 1.［中］如图，已知以的边为直径的经过点 ， 交于点，连接．若 ，则 的度 数为( ) B A. B. C. D. 【解析】设与相交于点是 的直径， . ， . ， ， ， ， ， ， ， ，故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 （第2题图） 2.【2023甘肃武威调研，中】如图，是半圆的直径， ， 点，在半圆上，，是弧的三等分点(靠近，点 是上的一个动点，则 的最小值为( ) B A. B. C. D.2 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 【解析】如图，连接，，，， ， ， ， ， 是等边三角形， ,是半圆的直径， , ， 在中,由勾股定理，得 . ，，的最小值为 ，故 选B. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 关键点拨 连接，，，.由，得到 ，再根据 ，求出 的长即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 （第3题图） 3.【2023山东威海模拟，中】如图，的三个顶点在 上， 为的直径，，，连接，弦分别交 ， 于点，，其中点是的中点.则 的长为_____. 1.4 【解析】 ，是半径， , 是直径， ， , ,.又 ， ,，即, ， . 故答案为1.4. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 4.［中］如图,中，，，以为直径的与 交于 点.若为的中点，连接，则 _ ___. （第4题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 【解析】 连接,,，与交于点 ，如图所示. ，，为的中点， ， ，为 的直 径， ，， ， .为 的中点， ，，为 的中位线， ，， ， .故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 5.【2023浙江温州鹿城区期中，较难】如图，已知以， 为直径的两个半圆， 是半圆的一条弦，是中点，是半圆中点.若， ，且 ，则 长为_________. （第5题图） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 【解析】 如图，连接，，，是的中点， 垂直平分，是的中点.为 的直径， 是半圆的中点，垂直平分， ， ，，在同一条直线上，， ， ， .设，则，, 是 的中点，是的中点，是 的中位线， 为直径， .在 中，根据 勾股定理，得，即 ，解得 .,,.故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 思路分析 连接，，，.由点是的中点，得出垂直平分.由点 是半圆 的中点，得出垂直平分，从而得到点,,, 在同一条直线上.根据中 位线定理以及勾股定理即可求出 长. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 6.［中］如图，在中， ，点 在 上，，过,,三点作交于点， 为的直径，的延长线交于 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 （1）求证： . 【证明】如图，连接，， ， 是 的直径， ， . ， ，，是 的直径， ，，，. ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （2）连接，若，求 的值． 【解】是直径， . , ， .由（1）知， 四边形 是平行四边形， ，.， ， ，.,. ， ． 思路分析 （2）根据题意推出四边形 为平行四边形，根据相似三角形的判定及性质得 出 ,即可求解. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 刷素养 走向重高 7.核心素养 模型观念【2023山东德州期中，较难】已知是上一点，过点 作 不过圆心的弦，在劣弧和优弧上分别有动点,（不与， 重合），连 接，.若 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 35 （1）如图（1），当 ，，时，求 的半径； 图（1） 图（1） 【解】连接，如图（1）. ， ，是 的直径， ，的半径为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 36 （2）在（1）的条件下，求四边形 的面积； 【解】 连接，，如图（1）. 是直径， ， ， 是等 腰直角三角形.由（1）知， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 37 图（2） （3）如图（2），连接，交于点，点在线段 上 （不与，重合），连接，，若 ， 探究直线与 的位置关系，并说明理由. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 38 图（2） 【解】 .理由如下：连接，, ,如图（2）. ，， ， . ， ， ，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 39 $$