5.3 垂径定理-【初中必刷题】2024-2025学年九年级下册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第五章 圆 4 3 垂径定理 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 垂径定理 （第1题图） 1.如图，是的弦，于点，交于点 ，则下列说 法中错误的是( ) D A. B. C. D. 【解析】利用垂径定理易得A选项与C选项正确；由，得 ， 故，故B选项正确；根据题意无法得到 ，故D选项错误.故 选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 （第2题图） 2.【2023山东泰安泰山区期末】如图，是的弦， 于 点，连接，点是半径上任意一点，连接，若 ， ，则 的长不可能是( ) D A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】连接于点C，，， ， ，, 的长度不可能是9.故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 （第3题图） 3.如图， ，边上有一点，，以点 为圆 心，长为半径作弧交于点，则 的长是( ) C A.3 B.6 C. D.12 【解析】如图，过点D作于，则 ， .在中， ， ， ， ， ，故选C． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 思路分析 过点作于，则， ，再利用含30度角的直角三角 形的性质求出的长，进而可求出的长，从而得到 的长． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （第4题图） 4.如图，在平面直角坐标系中，,两点的坐标分别为 , ，以点为圆心，为半径作圆，与轴相交于, 两点，则 的长度是_____． 【解析】 ,两点的坐标分别为,， ， ，.连接.在 中， .，，故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 5. 【2022江苏盐城中考】证明：垂直于弦的直径 平分弦以 及弦所对的两条弧. 【证明】如图，为的直径，是的弦， ，垂足为 .连接，，是等腰三角形. ， ，，， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 6.如图是某蔬菜基地搭建的一个圆弧形蔬菜棚，跨度 米， 拱高米为的中点，为弧 的中点)． （1）求该圆弧所在圆的半径； 【解】如图，设弧所在圆的圆心为，连接， 为弧 的中点，由题意得于，,, 三点共线， ，则米.设的半径为 米.在 中，，，解得 ，即该圆 弧所在圆的半径为2米. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 （2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆，求支撑杆 的高度． 【解】 如图，过作交的延长线于，连接.由题意得 , . ,, , 四边形 是矩形, （米）， 在 中， （米） （米）， （米），即支撑杆 的高度为0.4米． 关键点拨 作辅助线构造直角三角形，利用垂径定理及勾股定理求解． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点2 垂径定理的推论 （第7题图） 7.【2023湖北宜昌中考】如图，，，都是 的半径， ，交于点.若，，则 的长为( ) B A.5 B.4 C.3 D.2 【解析】，.在 中， ， ， .故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 （第8题图） 8.如图是一个隧道的横断面的示意图，它的形状是以点 为圆心的 圆的一部分.如果是的弦的中点，经过圆心交 于 点，并且，，则 的半径为___. 【解析】 连接，是的弦的中点， 经过圆 心,,.在中，设 ，则 .由勾股定理得，即 ， 解得 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 刷易错 易错点 未分类讨论导致漏解 9.如图，圆柱形油槽截面半径为，油面宽为 ，如果再注入一些油， 油面宽变为，则油面上升了______ ． 1或7 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 【解析】 如图,当油面未超过圆心，油面宽为时，过 作 于，交于，连接，，则 ， ，半径为 ， ， ， ，此时油面上升了 .当油面超过圆心，油面宽为时，过 作 于，同理得 ，此时油面上升了 ，故答案为1或7. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 易错警示 此题中油面宽为 时有两种情况，需根据题目条件分类讨论，不要漏解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 提升 （第1题图） 1.［中］如图，已知的半径为4，是内一点，且 ， 则过点 的所有弦中，弦长是整数的共有( ) C A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 20 【解析】如图,过点作交于点A,B，连接 ，则 .在 中， ， ，则 过点的所有弦的长 ，则弦长是整数的弦有长度为7的2条，长度为8的1 条，共3条，故选C． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （第2题图） 2.［中］如图，将半径为8的沿折叠，恰好经过与 垂 直的半径的中点，则折痕 长为( ) B A. B. C.8 D.10 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 【解析】如图，延长交于点，连接 恰好经过与 垂直的半径的中点D，为的中点， .由题意可 得，， ， .在 中，根据勾股定理可得 ，， ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 思路分析 延长交于点，由与垂直，根据垂径定理得到为的中点， .连 接，构造直角三角形，然后根据勾股定理求出的长，进而得出 的长． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 （第3题图） 3.［中］如图，在平面直角坐标系中，半径为5的与 轴交于 点，，与轴交于，，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 【解析】如图,过点作于，于，连接 ， ，则，，， ， ，.在 中， .由题意易知四边形 为矩 形，，.在 中， ， ， ．故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （第4题图） 4.【2023山东济南质检，中】如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标是，点的坐标是，点，在以 为直径的 半圆上，且四边形是平行四边形，则点 的坐标为______. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 【解析】 四边形是平行四边形， ， ，.如图，过点作于点 ， 过点作于点，则 ， ， .连接，则 .在 中，由勾股定理得， 点的坐标为 .故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 关键点拨 利用平行四边形的性质、垂径定理、勾股定理解题是关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 5.【2023山东淄博期末，中】如图，在中，弦 ，半径 ，点是优弧的中点，则 的值是____. 【解析】 如图，延长交于点 点是优弧 的中点， ，， ， ， ， ， .故答案 为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 （第6题图） 6.［中］如图，在中，弦，点是弦 上一动点，连接 ，过点作交于点，则 的最大值为__. 【解析】 连接， ， .的长是定值， 当的长最小时， 的长最大.时，的长最小，此时, 两点重合， ，即的最大值为，故答案为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 思路分析 连接，利用勾股定理表示出，从而得出当的长最小时， 的长最大.利 用垂线段最短得到当时， 的长最小,继而求解． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （第7题图） 7. ［中］如图（1）是一个底部呈球形的烧瓶的示 意图，底部的截面图如图（2）所示，的半径为 ， 瓶内原有液体的最大深度 ．部分液体蒸发后， 瓶内液体的最大深度下降为，则截面图中弦 的长 减少了__________ （结果保留根号）． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 【解析】 如图，设下降后的液面交于，连接 .由题意得 ，，， ， ， ， ， .， ， ， ， ，即截面图中弦的长减少了 ，故答案 为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 刷素养 走向重高 8.核心素养 几何直观［较难］如图，， 是半径为5的 的两条弦，为的直径，， ， 于，于 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 （1） ___； 【解】如图，连接，，， 是直径， 于点，于点， ， ， ， ， ．故 答案为7. 7 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 （2）当点在直径上运动时，求 的最小值． 【解】 如图，作于，连接,．由题意知,两点关于 对称， ，即当，，在一条直线上时，的值最小，即 的值就是的最小值.于点，于点 ， ， 四边形是矩形， ， ，.在 中,根据勾股定理得 ，即的最小值为 ． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 37 $$