第二章 直角三角形的边角关系全章综合训练-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第二章 直角三角形的边角关系 4 全章综合训练 5 刷中考 刷章测 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 中考 考点1 求三角函数值 1.【2023四川攀枝花中考】中，，，的对边分别为，， .已知 ，，，则 的值为( ) C A. B. C. D. 【解析】在中,，， ， ，，, 是直角 三角形且 , .故选C. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7 （第2题图） 2. 传统文化【2023内蒙古包头中考】如图源于我国汉代数学 家赵爽的弦图，它是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的 一个大正方形.若小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三 角形中较小的锐角为 ,则 的值为( ) D A. B. C. D. 【解析】 小正方形的面积为1，大正方形的面积为25， 小正方形的边长为1， 大正方形的边长为5.设直角三角形较短的直角边长为 ，则较长的直角边长为 ，其中.由勾股定理得，解得, （舍去），， ，故选D． 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8 （第3题图） 3.【2023江苏常州中考】如图，在中， ，点 在边上，连接.若，，则 _ __. 【解析】 设，， ， ， ， .故答案为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9 思路分析 设，根据已知条件得出,， ， 即可得出 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10 4.【2023山东济南中考】计算：|- . 【解】 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11 考点2 解直角三角形 （第5题图） 5.【2023湖南益阳中考】如图，在平面直角坐标系 中，有 三点，，，则 ( ) C A. B. C. D. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】过C作交延长线于D，如图.，， ， ，，，， . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 13 6. 【2023湖北武汉中考】如图，将 的 按下面的方式放置在一把刻 度尺上：顶点与尺下沿的端点重合，与尺下沿重合，与尺上沿的交点 在 尺上的读数为.若按相同的方式将 的放置在该刻度尺上，则 与尺 上沿的交点在尺上的读数是_____（结果精确到 ，参考数据： ，， ）. 2.7 （第6题图） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 【解析】 如图，过点作于，过点作于 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 15 在中， ， ， .与尺上沿的交点在尺上的读数为 ， ，.又 易证四边形 是矩形， .在中， ， ， ，与尺上沿的交点 在尺上的读数 约为 .故答案为2.7. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 16 思路分析 过点作于，过点作于 ，根据等腰直角三角形和矩形的性质 可得，再通过解直角三角形可求得 的长，进而可求解. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 17 考点3 三角函数的实际应用 7.【2023山东淄博中考】如图，与斜坡 垂直的太阳光线照射立柱 （与水平地面 垂直）形成的影子，一 部分落在地面上，另一部分落在斜坡上. 若米， 米，斜坡的坡角 19.2 科学计算器按键顺序 计算结果（已取近似值） ________________________________ 0.530 ______________________________ 0.848 _______________________________ 0.625 ，则立柱 的高为______米（结果精确到0.1米）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 18 【解析】 如图，过点作，垂足为，过点 作 ，垂足为，则四边形为矩形， 米，， , , . 中， （米）， （米）, （米）中， ， （米）， （米）.故 答案为19.2. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 19 8.【2023浙江湖州中考】某数学兴趣小组测量校园内一 棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架 放在离 树适当距离的水平地面上的点 处，再把镜子水平放 在支架上的点处，然后沿着直线后退至点 处， 4.1 这时恰好在镜子里看到树的顶端，再用皮尺分别测量，， ，观测者目高 的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度.已知于点 ， 于点，于点，米，米，米， 米，则这棵树的高度（ 的长）是_____米. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 20 【解析】 过点作水平线交于点，交于点 ，如图，则 米，米， 米， （米）.根据题意，得 , ，，，即， 米， （米）.故答案为4.1. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 21 关键点拨 过点作水平线交于点，交于点，根据题意得出 ，再根 据相似三角形对应边成比例解答即可. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 22 9.【2023山东潍坊中考】如图，是南北方向的海岸线，码头 与灯塔相距24千米，海岛位于码头北偏东 方向.一艘 勘测船从海岛沿北偏西 方向往灯塔 行驶，沿线勘测石 油资源，勘测发现位于码头北偏东 方向的 处石油资源 丰富.若规划修建从 处到海岸线的输油管道，则输油管道的最 短长度是多少千米？（结果保留根号） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 23 【解】如图，过点作于点 ，由垂线段最短可知， 的长即为所求.由题意得 , , ,，千米， ， ， ， ， 是等腰直角 三角形，.在中， 千米， 答：输油管道的最短长度是 千米. 千米， 千 米.在中， 千米. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 24 10.【2023辽宁本溪中考】暑假期间，小明与小亮相约到某旅游风景区登山.需要 登顶高的山峰，由山底处先步行到达处，再由 处乘坐登山缆车 到达山顶处.已知点，，，，在同一平面内，山坡的坡角为 ，缆 车行驶路线与水平面的夹角为 （换乘登山缆车的时间忽略不计）. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 25 （1）求登山缆车上升的高度 ； 【解】如图，过点作于点.由题意可知， ， ， ，.在中， ， ， ， 答：登山缆车上升的高度为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 26 （2）若步行速度为，登山缆车的速度为，求从山底 处到达 山顶处大约需要多少分钟（结果精确到 ）. （参考数据：，， ） 【解】 在中， ， ， ， 需要的时间为 . 答：从山底处到达山顶处大约需要 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 27 11.【2023山东青岛中考】太阳能路灯的使用，既方便 了人们夜间出行，又有利于节能减排.某校组织学生进 行综合实践活动——测量太阳能路灯电池板的宽度.如 图，太阳能电池板宽为，点是的中点， 是灯 杆.地面上三点，与在一条直线上， ， .该校学生在处测得电池板边缘点的仰角为 ，在 处测得电池板 边缘点的仰角为 .此时点，与在一条直线上.求太阳能电池板宽 的长 度. （结果精确到.参考数据：，， ， ） 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 28 【解】过点作于点，过点作于点 ，如图. 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 29 依题意得， ， .又, 和 均为等腰直角三角形，， . ，.，，， 四边形 为矩形，，，， ， 为等腰直角三角形，.设 ，则 ， ， .在中， ， 即，，解得.经检验， 是原方程的根, 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 30 .在 中，由勾股定理得 点为 的中点， . 答：太阳能电池板宽的长度约为 . 刷中考 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 章测 一、选择题（本大题共6小题，共30分） 1.【2024安徽合肥调研】已知锐角 满足，则锐角 的度数为 ( ) B A. B. C. D. 【解析】， ， .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 32 （第2题图） 2. 【2024河北唐山迁安期中】将正方体的一种展开图按 如图方式放置在直角三角形纸片上，则 的值等于 ( ) B A.2 B. C. D. 【解析】如图，由题意可知，， ， .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 33 关键点拨 由平行线的性质得出 ，再结合题意求解即可. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 34 （第3题图） 3.【2023山东威海中考】如图，某商场有一自动扶梯，其 倾斜角为 ，高为7米.用计算器求 的长，下列按键顺 序正确的是( ) B A. B. C. D. 【解析】由题意得， ， 按键顺序 为 .故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 35 4.如图，是垂直于水平面的建筑物，为测量 的高度，小红 从建筑物底端点出发，沿水平方向行走了52米到达点 ，然后 沿斜坡前进，到达坡顶点处，，在 点处放置测角 仪，测角仪支架的高度为0.8米，在点处测得建筑物顶端 点 B A.65.8米 B.71.8米 C.73.8米 D.119.8米 的仰角为 （点，，，，在同一平面内）.斜坡 的坡度 （或坡比），那么建筑物的高度约为（参考数据： ， ， ） ( ) 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 36 【解析】如图，作，交的延长线于，延长交于 .因为 米，，所以易得米， 米，所以 米， 米，所以 米,所以 米.故选B. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 37 5.【2023山东泰安校级调研】如图是某地铁 出口横截面示意图，扶梯 的坡度 ，在距扶梯起点端8米的 处，用1. 5米的测角仪测得扶梯的终端 处的仰角 为 ，扶梯终端 距顶部2.6米，则扶梯起 点 与顶部的距离是( ) D （参考数据:，， ） A.7.8米 B.8.8米 C.10.6米 D.11.4米 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 38 【解析】如图，过点B作，交 延 长线于点C，过点作 ，垂足为D， 过点A作，垂足为 ,则四边形 、四边形 都是矩形， ， 的坡度 ，, .在 中， ， ， ，，， 扶梯起点A与顶部 的距离是 （米）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 39 关键点拨 求哪条线段长，就把哪条线段放到一个直角三角形中,再根据已知条件解直角三角 形进行求解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 40 6.【2023山东青岛校级期中】已知直线 ，且相邻的两条平行直线间的距 离均相等，将一个含 角的直角三角板按如图所示放置，使其三个顶点分别在 三条平行线上，则 的值是( ) A A. B. C. D. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 41 添加辅助线 要求 的正弦值，一般构造直角三角形,将 放在直角三角形内，再根据直角 三角形三边关系求解，即过点作于 ，但是在这个直角三角形中每一条边 的长度都不知道，这时候再看题目发现有两个条件没用，一个是直线 ， 且相邻的两条平行直线间的距离均相等，一个是含 角的直角三角板，由三角 板是等腰直角三角形得到一组相等的边，再观察这一组边的位置，联想到全等模 型中的一线三垂直（字型）模型，想到过点作于 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 42 【解析】如图，过点A作于D，过点B作于 .设 ，，间的距离为， ， ， ，.在和 中，， .在 中， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 43 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 7.若 ，且，则 _ __. 【解析】 ，， ， ，.又 ， ， ． 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 44 8.在中， ，，，则 的度数为__________. 或 【解析】 如图，作于，.在中， ， ，.在中，， . 同理可得 ， .综上，的度数为 或 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 45 易错警示 解答几何题目的时候，注意“无图有偶”，即没有给出图形的时候，注意多解. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 46 （第9题图） 9.【2023山东东营校级期中】如图，已知公路上 ， 两点之间的距离为20米，点在的南偏西 的方 向上，在的南偏西 方向上，则点到公路 的距 离为______米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 47 【解析】 如图，过点作 公路于点 ，则 .由题可知 ， ， 米， ， ，， 米. 在 中， ， （米）. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.如图，在四边形中，，， ，则 ______. （第10题图） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 49 【解析】 ，.如图，过作于 ， 过作于，且, ， 四边形 是矩形，， 在中， ， ，，， ， ，.在 中，由勾股 定理，得 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 50 三、解答题（本大题共4小题，共50分） 11.【2024山东淄博沂源期末】计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 【解】 原式 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 51 12. 【2023山东济南莱芜区期中】北京时间2023年5月30 日9时31分，神舟十六号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射升空. 为弘扬航天精神，某校在教学楼楼顶位置悬挂了一幅励志条幅 .如图，已知楼顶到地面的距离 为18.5米，当小亮站在楼 前点处时，测得条幅顶端的仰角为 ，然后向教学楼方向前行15米到达点 处（楼底部点与点，在一条直线上），测得条幅底端的仰角为 ，若小亮 的眼睛距离地面的高度，均为1.7米（即四边形 为矩形），请你帮助 小亮计算： 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 52 （1）当小亮站在处时离教学楼的距离 ； 【解】延长交于.由题意得米， ， 米， （米）.在 中， ，， 米， （米）.故小亮站在处时离教学楼的距离 约为 22.4米. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 53 （2）条幅 的长度. （结果精确到0.1米，参考数据：， ， ，，， ） 【解】 由（1）知米.在中， ， ， 米， （米）.故条幅 的长度约为10.1米. 思路分析 （1）延长交于点,根据矩形的性质得到米, , ,解直角三角形即可得到结论;（2）由（1）知 米,解直角三角形 即可得到结论. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 54 13.如图，在中， ，，点 在 边上，且，，垂足为点，连接 ，求： （1）线段 的长. 【解】，， 在 中， ，， ， .， ， ， ， .即线段的长为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 55 （2） 的正切值. 【解】 过点作，垂足为点 在中， ， ， ， .在中，.即 的正切值 为2. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 56 14.【2023江苏泰州海陵区调研】中国建筑师以潜望镜为灵感设计了一个在私密空 间内也能享受到窗外美景的未来公共卫生间（如图（1）），剖面设计如图（2）， 该建筑总高，，，，点为与 的 交点，，其中为平面镜，在墙面 上也全部安装与之贴合的镜面， ，，，记与的夹角为 ，与 之间为外 界光线入射的区域.（提示：法线垂直于平面镜，入射角等于反射角，外界射入的 均为与地面平行的水平光线） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 57 图（1） 图（2） （1）如图（2），当 时（其中，为入射光线，为反射光线， 为法 线） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 58 ①求 的度数； 【解】 法线垂直于平面镜， . ， ， ， ， . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 59 ②若入射光线经平面镜反射后，刚好到达平面镜的最顶端 处成像，求该 入射光线与地面的距离 . 【解】 由①可知， ， ， ， ， . ，为中点， . ，，， ， ， 入射光线与地面的距离为 . 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 60 （2）当 时，利用图（3）分析，要在不影响观景体验的同时尽可能地节 约建筑成本，可以在边上安装镜面时减少 ______ 耗材.（参考数据： ） 2.22 图（3） 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 61 【解析】 如图,当 时， . ， .假设入射光线 经镜面 反射正好到达处.， . ， ， ， ， ，， 易得 . ， 四边形为平行四边形， . 当入射光线到达镜面点之下时，反射后也无法到达， 只需要在 处安装镜面. ， ， ，即可减少 耗材，故答案为2.22. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 62 思路分析 （2）假设入射光线经镜面反射正好到达处，先证明四边形 为平行四边 形，借助平行四边形的性质可知，当入射光线到达镜面 点之下 时，反射后也无法到达，故只需要在处安装镜面，借助三角函数可求得 ， 由 即可确定减少耗材的长度. 刷章测 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 63 $$