2.1.2 正弦和余弦-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第二章 直角三角形的边角关系 4 1 锐角三角函数 课时2 正弦和余弦 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 根据定义求锐角的正弦值或余弦值 （第1题图） 1.【2024四川成都期中】如图，在中， ， ，则 ( ) C A. B.3 C. D. 【解析】设，则 .由勾股定理，得 ，所以 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 思路分析 设，则，根据勾股定理求出 ，再 根据锐角三角函数的定义求出答案即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 2.在中，是斜边，，，则 __. 思路分析 【解析】 在中，是斜边，，， 由勾股定理得 ，.故答案为 ． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 （第3题图） 3.如图，在 的正方形网格图中，小正方形的顶点称为格点， 的顶点都在格点上，则 的余弦值是_ ____. 【解析】 设每个小正方形的边长均为 , ,， ， 为直角三角形，且 ， , , . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.【2024河北承德期中】如图，在中， ， 是直角 边上一点，于点，，，求 的值. 【解】 ，， .又 ，，.设， ， 方法点拨 本题中，也可以根据，直接求 的值. 则由勾股定理得.在 中， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 知识点2 已知锐角的正弦值或余弦值求边长 5.【2023山东东营河口区调研】在中，已知 ， ， ，那么 边的长是( ) B A. B.8 C. D.12 【解析】， 设， .由勾股定理得 ，即，解得， （舍去）， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 思路分析 利用锐角三角函数值设出参数，用含参数的代数式表示出有关未知线段的长度， 再根据勾股定理列方程求解即可. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 6.【2024辽宁丹东期末】如图，已知中，斜边上的高 ， ，则 ___. 3 【解析】 为直角三角形，， , ，，则， . ，， 根据勾股定理可得 .故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 知识点3 物体的倾斜程度与锐角三角函数的关系 7.如图，梯子与地面所成的锐角为，关于 的三角函数值 与梯子倾斜程度的关系，下列叙述正确的有( ) B 的值越大，梯子越陡； 的值越小，梯子越 陡；的值越大，梯子越陡； 的值越小，梯子 越缓. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解析】根据锐角三角函数值的变化规律， 的值越大，梯子越陡,值越小， 梯子越缓；的值越大，梯子越陡,值越小，梯子越缓； 的值越大， 梯子越缓,值越小，梯子越陡.①③正确.故选B. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 8.如图，拦水坝的横断面为梯形，，斜坡的坡度为 ，坝顶宽 ，坝高为，斜坡的长为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 （1）试比较斜坡和 哪个更陡. 【解】如图，过点作，垂足为，则.在 中，根据勾 股定理，得， . ，， 斜坡 更陡. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）求坝底 的长. 【解】 如图，过点作，垂足为，易知， . 在中，， , . 即坝底的长为 . 关键点拨 通过作垂线，构造直角三角形和矩形是解题关键. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 刷易错 易错点 在没有说明三角形中哪个角是直角时，忘记了分类讨论 9.【2023山东威海校级调研】在中，为锐角,， ，求 的值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 【解】分情况求解如下： 若 ，则 ； 若 ，则 ，故 . 综上所述，的值为或 . 易错警示 在直角三角形中,求锐角三角函数值时，如果没有说明哪个角是直角，那么必须分 类讨论.本题易受思维定式影响认为 ，只求出 ，从而漏掉另一 个解. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 提升 1.【2024山东泰安肥城期中，中】在中， ，若 ，则 ( ) A A. B. C. D. 【解析】根据题意可得，.在 中， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 21 （第2题图） 2.［中］如图，直线与轴、轴分别交于， 两点， 则 的值是( ) B A. B. C. D. 【解析】当时，，当时，， 直线与 轴、轴的交点分别为，，， . 由勾股定理得， .故选B． 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 22 （第3题图） 3.【2023山东青岛莱西期中，中】如图，在矩形 中， 于，设 ，且，，则 的 长为( ) B A.3 B. C. D. 【解析】由题意易得， .在 中， ，.根据勾股定理得 . 在中， ， 即， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 23 （第4题图） 4.【2024浙江杭州校级质检，中】如图，点为正方形 的边 上一点，连接，，且与相交于点.若 ， 则 _ ____. 【解析】 四边形是正方形，， ， ，， ， ，，， .设 ，， ， , .故答 案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 24 关键点拨 先证明，由相似三角形的性质得到 是解决本题的关键. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 25 （第5题图） 5. 【2023山东泰安校级期中，中】如图，在 中， ，，，是 边上的一个动点 （异于，两点），过点分别作, 边的垂线，垂足分别 为,，则 的最小值是___. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 26 思路分析 利用三角函数解决动点问题 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 27 【解析】 连接.在中， ，， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，当 时，的值最小，即的值最小,此时 ，故 答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 28 6.【2024福建泉州校级期中，较难】如图，中， ， ，点是边的中点，以为底边在其右侧作等腰三角形 ，使 ，连接，则 的值为___. 3 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 29 【解析】 设与交于点 ，点是边 的中点， ，， ， ， ，点是边的中点，是 的垂直平分 线， 以为底边在其右侧作等腰三角形，即 ， ，，， ， ，. ，， ， ,， .故答案为3. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 30 思路分析 设与交于点 ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可得 ，从而得出，得到，进而得到是 的垂直平 分线，然后可得，再证明 ，利用相似三角形的性质即可 解答. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 31 7.【2024广东广州校级质检，中】如图，在菱形 中，对 角线，相交于点 . （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为 ；（不写作法， 保留作图痕迹） 【解】如图， 即为所作. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 32 （2）若，，求 的值. 【解】 四边形为菱形，，， ， . 在中， . ，. ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 33 刷素养 走向重高 8.核心素养 运算能力［中］设 为直角三角形的一个锐角，给出 的三角函 数的两条基本性质：； .利用这些性质解答下题. 已知 ，计算： 【解】， ，即 . ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 34 （1） . 【解】 . （2） . 【解】 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 35 $$