2.1.1 正切-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第二章 直角三角形的边角关系 4 1 锐角三角函数 课时1 正切 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 根据定义求锐角的正切值 1.【2024山东泰安岱岳区期中】在中， ，， ， 那么 的值是( ) D A. B. C. D. 【解析】 ， .故选D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 7 2.【2022山东东营河口区调研】如图，，， 三点在正方形网格线的交点处， 若将绕点逆时针旋转得到，则 的值为( ) B A. B. C. D. 【解析】绕点A逆时针旋转得到， .由题图易得 ， ．故选B． 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 8 关键点拨 利用转换的思维，把所要求的角转移到直角三角形中. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.【2023山东烟台期中】若把三边的长度都缩小为原来的，则锐角 的正 切值( ) A A.不变 B.缩小为原来的 C.扩大为原来的3倍 D.不能确定 【解析】因为三边的长度都缩小为原来的 ，所得的三角形与原三角形相似， 所以锐角的大小不改变，所以锐角 的正切值也不变. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 10 知识点2 已知锐角的正切值求边长 4.【2024山东聊城期中】如图，在平面直角坐标系中， 是第一象 限内的点，其坐标为，且与轴正半轴的夹角为 .若 ，则 ____. 10 【解析】 如图，过点作轴的垂线段，交轴于点，则 , ，，， . 故答案为10. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 11 5.【2024山东泰安宁阳期末】已知中， ， ， ，则 ____. 20 【解析】 ，，.在 中，根据勾股定理 得，，即， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 12 知识点3 坡度（或坡比） （第6题图） 6.【2023山东济宁任城区期中】如图，河堤横断面迎水坡 的 坡比是，坡高，则迎水坡宽度 的长为( ) A A. B. C. D. 【解析】 迎水坡的坡比是，， . ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 13 （第7题图） 7.【2024山东泰安校级质检】如图，为了测量山坡护坡石坝的 坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长 的竹竿斜靠在石坝旁，量出距离点处的 点离地面 的高度，又量得竿底与坝脚的距离 ，则 石坝 的坡度为___. 3 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 14 【解析】 如图，过作于，则， 易证 ,，即， .在 中， .又 ，， 石坝的坡度为 . 故答案为3. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 刷易错 易错点 因对问题考虑不全面而漏解 8.在 中，有两条边的长分别为6和8，求该三角形中两个锐角的正切值. 淇淇给出了她自己的解答过程：设两个锐角分别为 和 ，则 ， .请问淇淇的解答过程是否正确？如果不正确，请写出正确的解答过程. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 16 【解】淇淇的解答过程不正确.正确的解答过程如下： 当6，8都是直角边长时，设两个锐角分别为 和 ，则 , ； 当8是斜边长时，则另一条直角边长是 .设两个锐角分别为 和 ，则, . 易错警示 对于直角三角形，如果没有指明哪个角是直角，解题时应注意分类讨论.不同的角 为直角，其斜边也不同. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 17 提升 1.［中］如图，过的边上的一点（不与点 重合）作 于点，过点作于点 ，则下列线段的比等于 的是( ) C A. B. C. D. 【解析】， ， ， ， .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 18 2.【2023山东威海文登区调研，中】如图，在平面直角坐标系中， 菱形的顶点，，在坐标轴上，若点的坐标为 ， ，则菱形 的周长为( ) D A.6 B. C. D. 【解析】 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 19 3.【2024山东泰安期中，中】如图，沿折叠矩形纸片 ，使 点落在边上的点处.已知，，则 的值 为( ) C A. B. C. D. 【解析】根据题意可得，，， .在 中，由勾股定理可得 ， .设，则.在 中， 由勾股定理可得，解得，故 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 20 经过点，交于点.若，，，则 的值为___. 4.【2023山东泰安校级调研，中】如图所示，矩形 的顶点 ，在轴的正半轴上，反比例函数 在第一象限内的图象 【解析】 ， 设,，则，点 坐标为，， 反比 例函数在第一象限内的图象经过点,，，解得 或 （舍去），,，故答案为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 21 思路分析 由,设,,根据题意表示出点， 的坐标，再由 反比例函数在第一象限内的图象经过点，列出关于 的方程，解之即可得 出答案. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 22 5.【2023黑龙江哈尔滨调研，中】已知正方形的边长为2，点是直线 上 一点，若，则 的值是_____. 2或 【解析】 此题有两种可能： ①当点在点 上方时,如图（1）. ， ， . 又， ， . 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 23 ②当点在点 下方时,如图（2）. ， ， ， . 图（2） 故答案为2或 . 续表 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 24 思路分析 点的位置不确定，所以需要分以下两种情况讨论：①当点在点 上方时；②当 点在点下方时，然后分别求出的长，进而计算相应的 的值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 25 6.【2024河北保定莲池区调研，较难】如图，有 两个长度相同的滑梯（即 ），左边滑梯 的高度与右边滑梯水平方向的长度 相等. （1）求证： ； 【证明】在与中,， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 26 （2）若滑梯的长度米，米，分别求出滑梯与 的坡度； 【解】， 米. 由勾股定理，得 米， 米， 滑梯的坡度为，滑梯的坡度为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 27 （3）在（2）的条件下，由于太陡，在保持的长不变的情况下，现将点沿 方向，向下移动，点随之向右移动.在移动的过程中， 面积的最大值是多少？ 【解】 设的中点为，连接 . 为直角三角形， 米. 在变化的过程中，的长始终为定值， 若要使 的面积最大，则 需使点到的距离最大.易知当时，点到的距离最大，即 的 面积最大，面积的最大值为 （平方米）. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 28 刷素养 走向重高 备用图 7.核心素养 几何直观【2024河北石家庄期中，难】如图，在 四边形中，，，， ， ，点在边上，且.将线段绕点 按顺 时针方向旋转到，的平分线 所 在直线交折线于点，设点 在该折线上运动的路径长 为，连接， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 29 （1）如图（1），当点在上时，若点到的距离为1，求 的值; 图（1） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 30 图（1） 【解】，，, ， , .作于点 ，如图（1），则 ， ， ，,即, ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 31 （2）当时，在图（2）中画出图形，并求 的值； 图（2） 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 32 图（2） 【解】 ， ， ， ， .当 时，如图 （2），设交于点平分 ， ,， 易得 ， ，即，，， . ， , ，，即， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 33 （3）当时，请直接写出点到直线的距离（用含 的式子表示）. 图（3） 【解】 ，在上，如图（3）所示，过点 作 于点，过点作交的延长线于点 ，则四 边形是矩形.由已知条件易得 ， . ，，设， , ，， ， ，整理得，即点到直线 的距 离为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 1 2 3 4 5 6 7 34 $$