第一章 大招专题1 反比例函数中k的几何意义-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第一章 反比例函数 4 大招专 题1 反比例函数中 的几何意义 5 刷难关 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 难关 母题学大招1 一点一垂线 1.［中］如图，直线交轴于点 ，交反比例函数 的图象于，两点，过点作 轴，垂足 为点，若，则 的值为( ) D A.8 B.9 C.10 D.11 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7 大招解读 一点一垂线 模型特征：过双曲线 上任意一点，向坐标轴作垂线，以该点、垂足和另一坐 标轴上任意一点为顶点的三角形的面积为常数 . 模型图示： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 关键点拨 本题是典型的“一点一垂线”模型，理解并掌握“一点一垂线”的模型特征是解 题关键. 【解析】 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9 母题学大招2 一点两垂线 2.［较难］如图（1），是反比例函数图象上的一个动点，过 作 轴，轴,垂足分别为， ． 图（1） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 （1）若矩形的对角线，则矩形 的周长为______； 【解析】 设,,在函数 的图象上， 矩形的对角线， ，即 ，，则 （负值已舍去）， 矩形的周长为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 11 （2）如图（2），点在上，且，若关于直线的对称点 恰好落 在坐标轴上，连接，，，求 的面积． 图（2） 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 12 图（1） 【解】当关于直线的对称点恰好落在 轴上时，如图 （1），连接，设与相交于点.由（1）知矩形 的面积为12，而， 易得 . 点与点关于直线对称，垂直平分， ， ， . ，，，易证 垂 直平分，，， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 13 当关于直线的对称点恰好落在轴上时，连接，如图（2）.∵点与点 关于对称，，， 为等腰直角三角形， . ,,,, 四边形 为正 方形，易得，， , ， ， 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14 . 图（2） 综上所述，的面积为4或 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 15 大招解读 一点两垂线 模型特征：过双曲线 上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所 围成的矩形的面积为常数 . 模型图示： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 16 易错警示 （2）点的对称点的位置不确定，所以分两种情况：关于直线的对称点 恰好落在轴上；关于直线的对称点恰好落在 轴上. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 17 母题学大招3 两点两垂线 3.［中］正比例函数与反比例函数 的图象相交于 ，两点．过作轴于，过作轴于 ，连接 ,,如图，则四边形 的面积为( ) C A.1 B. C.2 D. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 18 大招解读 两点两垂线 模型特征：已知反比例函数与正比例函数图象的交点，由交点向轴或 轴作两条 垂线，如图， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】轴，轴， .根据反比例函数 图象的对称性可知，，,, 四 边形的面积为 ．故选C． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 20 子题练变式 4.【2024江苏南通崇川区期末，难】如图，在平面直角坐标系中， 点，分别落在双曲线 第一和第三象限的两支上， 连接，线段恰好经过原点，以 为腰作等腰三角形 ，，点落在第四象限中，且轴.过点 作 A A.2 B.3 C.4 D. 交双曲线在第一象限的一支于点，若的面积为8，则 的值为 ( ) 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 21 【解析】如图，过点A作于点，设，则 . ，，， ， ， , ,, .故选A. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 22 关键点拨 作，设点坐标，由中心对称得出 点坐标，然后利用平行线间的距离处 处相等和等腰三角形的性质得出的面积，列出关于 的方程，解之即可. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 23 母题学大招4 两曲一平行 5.［中］两个反比例函数和 在第一象限内 的图象如图所示，设点在上，轴于点，交 于点 ，轴于点，交于点，则四边形 的面积为 ( ) A A.1 B.2 C.3 D.4 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 24 大招解读 两曲一平行 模型特征：两条反比例函数图象上的两点连线平行于一条坐标轴，求这两点与原 点或坐标轴上的点构成的图形面积. 模型图示： 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 25 【解析】轴，轴， ， ， 四边形的面积为 ． 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 26 子题练变式 6.【2024安徽安庆调研，中】已知反比例函数 和反比例函数 的图象如图所示. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 27 （1）点在反比例函数的图象上，过点作 【解】如图，连接，轴， ， ， 轴， . 轴的垂线交反比例函数的图象于点，交轴于点，点在 轴上， 连接，，求 的面积； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 （2）直线交反比例函数的图象于点 ，交反比例函数 的图象于点，若，求 的值. 【解】 当时，，，， ， .，，解得，经检验， 是分式方 程的解， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 29 母题学大招5 “三角形”化“梯形”模型 7.【2024江西南昌调研，中】如图，等边的边长为8，点在 轴上，点在第一象限，反比例函数的图象经过 的中 点，与相交于点 . （1）求 的值； 【解】 等边的边长为8，点在轴上，点在第一象限， ， ，，即是的中点， 反比例函数 的图象经过的中点， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 30 （2）连接，，求 的面积. 【解】 如图，作轴于，轴于 ，则 ， 直线的表达式为 . 联立 解得 或 ， . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 31 大招解读 “三角形”化“梯形”模型 作轴， 轴 _________________________________________ 结论： ； ； 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 32 思路分析 （1）根据等边三角形的性质即可求得，的坐标，进一步求得 的坐标，代入 即可求得 的值； （2）作轴于，轴于，则，求出直线 的 表达式，然后求得的坐标，进而根据 即可求解. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 33 子题练变式 8. 【2024广东佛山顺德区质检，中】如图，平行于 轴的直尺 （部分）与反比例函数的图象交于，两点，与 轴 交于，两点，点， 对应直尺上的刻度分别为5，2，直尺的宽 度，，则点 的坐标是______. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 34 【解析】 直尺平行于轴，，对应直尺的刻度分别为5，2，，则 的坐标为，则的坐标为， . ，， ， ，，的坐标为.故答案为 . 关键点拨 解题关键是根据面积关系列出关于的方程，求出的值，即可求得 的坐标. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 35 母题学大招6 比例线段模型 9.【2024江苏盐城期末，较难】如图，在 中， ， 反比例函数的图象与斜边相交于点 ， 且与边相交于点，若，且的面积为，则 的值 为____. 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 36 大招解读 比例线段模型 如图，的边,分别与反比例函数 的图象 交于,，作轴，则 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 37 【解析】 过点作轴，如图.， 轴， ， 易得, . ，.， ， ，.由图象可知，,.故答案为 . 刷难关 返回目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 38 $$