1.3 反比例函数的应用-【初中必刷题】2024-2025学年九年级上册数学同步课件(鲁教版五四制)

数 学 九年级全一册 LJ 1 2 3 第一章 反比例函数 4 3 反比例函数的应用 5 刷基础 刷提升 目 录 鼠标轻轻一点，内容立即呈现 6 基础 知识点1 反比例函数在实际问题中的应用 1.【2023山东淄博周村区校级调研】某品牌的饮水机接通电源 就进入自动程序：加热到水温为 时，停止加热，水温开 始下降，此时水温与通电时间 成反比例，直至水 温降至 ，饮水机重新开始加热，如此重复上述自动程序. 若在水温为时接通电源，水温和通电时间 的 关系如图所示，水温从降到 所用的时间是( ) A A. B. C. D. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 7 【解析】设反比例函数表达式为.将代入得， . 将代入，解得， 水温从降到 所用的时间是 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 8 2. 跨学科综合【2023山东青岛莱西期末】为检测某品 牌一次性注射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当 温度不变时，注射器里的气体的压强 是气体体积 的反比例函数，其图象如图所示. （1）求该函数的表达式. 【解】设，由题意知，，即 . （2）当气体体积为 时，求气体的压强. 【解】 当时，， 气体的压强是 . （3）若注射器内气体的压强不能超过，则其体积 要控制在什么范围？ 【解】 当时，， 气体体积应不小于 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 9 技巧点拨 （1）设,图象上点的坐标即为函数表达式中， 的一组对应值，代入即可求 得 的值. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 10 知识点2 反比例函数与一次函数的图象的交点问题 3.【2024山东青岛崂山区校级质检】已知一次函数为常数， 的图象与反比例函数的图象在第三象限相交于点，则 的表 达式是( ) C A. B. C. D. 【解析】 一次函数为常数， 的图象过第三象限， ,即.根据题意得解得或（舍去）， ， 则的表达式是 .故选C. 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 11 4.【2024北京校级期末】已知直线与双曲线 的一个交点为 ，那么它们的另一个交点的坐标是________. 【解析】 是正比例函数， 直线与双曲线 的交点关于原点对称. 直线与双曲线 的一个交点为 ， 它们的另一个交点的坐标为.故答案为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 12 5.【2023山东济南校级调研】如图，点和 是 一次函数的图象和反比例函数 的图象的两个交 点,点是一次函数的图象与 轴的交点. （1）求反比例函数和一次函数的表达式. 【解】将代入,得， 反比例函数表达式为 .将 代入,得，.将和代入 , 得解得 一次函数表达式为 . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 13 （2）观察图象，直接写出当 且反比例函数的函数值大于一次函数的函数值 时，自变量 的取值范围. 【解】 当且反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时，自变量 的取值 范围是 . （3）求 的面积. 【解】 把代入，解得， 点， ， . 刷基础 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 14 提升 （第1题图） 1.【2024山东威海质检，中】如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解集为( ) C A.或 B.或 C.或 D.或 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 15 【解析】由解得或，与 的图象的交点为， ，如图所示，观察图象可知，不等式 的解集为或 .故选C. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 16 （第2题图） 2.【2023山东济南历城区期中，较难】如图，正方形 的 顶点在轴上，点，点在反比例函数 图 象上，若直线的函数表达式为，则 的值为 ( ) D A.6 B.12 C.16 D.24 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 17 【解析】如图,设直线与轴交于点,过点A作轴于 , 过点C作轴于.在中，令，则 ，令 ，则，，，， 四边形是正方形，， ， ，. 在与 中， ， 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 18 ， ， ， ，， 设，则， ， ，， 点A，点C在反比例函数 图象上， ，解得或（不合题意,舍去）， ， ，故选D. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 关键点拨 要想求出反比例函数表达式中的值，需要知道点或 点的坐标，本题容易得到 点的坐标，根据正方形的性质及,, 三点的位置，想到全等三角形的一线三垂 直模型，从而得到辅助线作法,再根据相似三角形的判定和性质列方程求解即可. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 20 3.【2023山东烟台福山区期末，中】如图，正比例函数 的图象与反比例函数的图象交于点,点 为 轴正半轴上一点，过作 轴的垂线交反比例函数的图象于点 ，交正比例函数的图象于点.若，则 的面积 为___. 思路分析 反比例函数与一次函数综合 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 21 【解析】 把点代入反比例函数,得， 点，把 代入,得， 正比例函数的表达式为.当时， ， ,.将代入,得，即 ， ， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 22 4. 跨学科综合【2024山东烟台芝罘区期末，中】当发动机的输出功率一定 时，输出的扭矩（使物体发生转动的力矩，单位为）与发动机转速 （发动机曲轴的转动速度，单位为 ）存在一定的关系，某兴趣小组通过对 固定输出功率的发动机进行实验，得到对应的扭矩和转速 的数据如表： 1.5 2 2.5 3 4 400 300 240 200 150 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 23 （1）以表中各组对应值为点的坐标，在下图的平面直角坐标系中描出相应的点， 并用光滑曲线连接. 【解】如图所示. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 24 （2）能否用学过的函数表示变量和的关系？如果能，请求出关于 的函数表 达式（不必写出 的取值范围）；如果不能，请说明理由. 【解】 能.， 是的反比例函数， . （3）某个使用场景需要此款发动机输出的扭矩不低于 ，但不超过 ，求此场景中该发动机转速 的取值范围. 【解】 当时，， 时， . 反比例函数中，,随的增大而减小， 此场景中该发动机 转速的取值范围为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 25 关键点拨 本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出 函数模型，用反比例函数的知识解决实际问题. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 26 刷素养 走向重高 5.思想方法 数形结合［难］如图，已知直线 与双 曲线交于，两点，且点坐标为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 27 （1）求双曲线表达式及 点坐标. 【解】 直线经过点， ， ， 双曲线经过点， ， 双曲线的表达式为.由 解得 或 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （2）将直线向下平移一个单位到得直线，是轴上的一个动点，是 上的一个动点，求 的最小值. 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 29 图（1） 【解】 直线向下平移一个单位得到直线， 直线是第一、三象限的角平分线 .如图（1），过 点作 直线交于点，作点关于 轴的对称点 ，连接， . 直线的表达式为， 直线的表达式为 . 联立解得 .由（1）得 ， , 的最小值为 . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 （3）若点为轴上的一个动点，为平面内一个动点，当以，，， 为顶点 的四边形是矩形时，直接写出 点坐标. 图（2） 【解】 点的坐标为或或， 或 ， .如图（2）. ①当 时，， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 31 ②当 时，， . ③当 时，设，的中点为 . ， ， ，解得，， ， .，，，， . 综上所述，满足条件的点的坐标为或或，或， . 刷提升 返回目录 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 32 $$