专题02 分式的基本性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题02 分式的基本性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型八 最简公分母 题型九 通分 知识点1：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点2：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点3：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点4：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（23-24八年级上·福建南平·期末）下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 3．（22-23七年级·全国·课后作业）“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例2】（22-23八年级下·北京·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 1．（22-23七年级上·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）当分式与分式的值相等时，需满足 ． 3．（22-23八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读并理解下面解题过程: 因为a为实数，所以，，所以. 请你解决如下问题: 求分式的取值范围. 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例4】（22-23八年级下·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 2．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例5】（22-23八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【经典例题六 最简分式】 【例6】（22-23八年级上·山东济宁·期末）下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 3．（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【经典例题七 约分】 【例7】（23-24八年级上·河北保定·期末）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）下列各式变形不正确的是（） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ． 3．（22-23八年级上·湖南永州·期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)； (2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值． 【经典例题八 最简公分母】 【例8】（22-23八年级上·河南三门峡·期末）的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·全国·课时练习）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ， ， ． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【经典例题九 通分】 【例9】（22-23八年级下·山东济南·期中）若，则A、B的值为（          ）． A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）对分式通分后，的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 3．（2023八年级下·广东·专题练习）通分： （1）与；                                       （2）与； （3）与；                              （4）与． 1．（2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）若表示的是一个最简分式，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）下列各式变形不正确的是（） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 6．（22-23八年级上·山东·课后作业）要使分式，则 . 7．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-”号: = ;= . 8．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知分式与与(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为，则 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ． 10．（22-23八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数: （1） ; （2） . 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：； （2）通分：与． 13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 15．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期末）阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式的基本性质重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 判断分式变形是否正确 题型二 求使分式变形成立的条件 题型三 利用分式的基本性质判断分式值的变化 题型四 将分式的分子分母的最高次项化为正数 题型五 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型六 最简分式 题型七 约分 题型八 最简公分母 题型九 通分 知识点1：分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：（其中M是不等于零的整式）. 注意： （1） 基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2） 在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母的取值范围变大了. 知识点2：分式的变号法则 对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数. 注意：根据分式的基本性质有，.根据有理数除法的符号法则有.分式与互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用. 知识点3：分式的约分，最简分式 与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式. 知识点4：分式通分 与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分. 【经典例题一 判断分式变形是否正确】 【例1】（23-24八年级上·福建南平·期末）下列分式从左到右变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式的性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键．根据分式的性质进行判断即可． 【详解】解：，分子分母同时除以，故选项A正确，不符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项B正确，不符合题意； ，故选项C错误，符合题意； ，分子分母同时乘以，故选项D正确，不符合题意； 故选C． 1．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质逐项判断即可求解． 【详解】解：A、等号右边分子分母同时乘以，得左边，故A错误，不合题意； B、分式的分子分母同时加一个非零的数，得到的分式值与原分式不一定相等，故B错误，不合题意； C、，故C错误，不合题意； D、分子分母同时乘以，即，故D正确，符合题意． 故选：D 2．（22-23八年级·北京石景山·期末）分式变形中的整式A= ，变形的依据是 ． 【答案】 x2﹣2x, 分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 【分析】依据x2-4=（x+2）（x-2），即可得到分式变形=中的整式A=x（x-2）=x2-2x． 【详解】∵x2-4=（x+2）（x-2）， ∴分式变形=中的整式A=x(x−2)=x2−2x， 依据是分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 故答案为x2−2x,分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变. 【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练的掌握分式的基本性质. 3．（22-23七年级·全国·课后作业）“约去”指数： 如 你见过这样的约分吗？面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这是什么原因？仔细观察式子，我们可作如下猜想：，试说明此猜想的正确性.（供参考：） 【答案】正确. 说明见解析. 【分析】根据公式：，将分子、分母因式分解，再约分即可. 【详解】 ， 故正确. 【点睛】此题考查的是分式的化简，掌握分式的基本性质是解决此题的关键. 【经典例题二 求使分式变形成立的条件】 【例2】（22-23八年级下·北京·课后作业）若，则k的值为    （   ） A．3x2y2(2x-1) B． xy(2x-1) C．xy2(2x-1) D．xy2(2x-1) 【答案】B 【详解】∵, ∴2k=,∴k=(6x²y-3xy)=xy(2x-1).故选B. 1．（22-23七年级上·重庆北碚·期末）将的分母化为整数，得（　　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质求解．　　 【详解】解：将的分母化为整数，可得． 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的化简，熟练掌握分式的基本性质解题关键． 2．（22-23八年级下·全国·课后作业）当分式与分式的值相等时，需满足 ． 【答案】x≠±1 【分析】先化简，可知两式相等的条件是两个分式都有意义据此可求． 【详解】解: 因而两式相等的条件是两个分式都有意义． ∴x2-1≠0， ∴x≠±1． 故答案是: x≠±1． 【点睛】本题主要考查分式的化简，以及分式有意义的条件：分母不等于0． 3．（22-23八年级下·江苏常州·期末）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂：从部分到整体，由低维到高维．知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法，在处理分数和分式的问题时，有时我们可以将分数（分式）拆分成一个整数（整式）与一个真分数（分式）的和（差）的形式，继而解决问题，我们称这种方法为分离常数法． 示例：将分式分离常数． (1)示例中，______； (2)参考示例方法，将分式分离常数； (3)探究函数的性质： ①x的取值范围是______，y的取值范围是______； ②当x变化时，y的变化规律是______； ③如果某个点的横、级坐标均为整数，那么称这个点为“整数点”．求函数图像上所有“整数点”的坐标． 【答案】(1)1 (2) (3)①，；②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小；③所有“整数点”的坐标为、、、 【分析】（1）根据分式的值不变原则，即可求解 ；（2）根据示例给出的方法，即可求解；（3）①根据分式有意义的条件，可得x的取值范围；根据x，y的关系可得y的取值范围；②由函数解析式即可求解；③抓住“当y为整数时，为整数”，即可求解． 【详解】（1）解： 故 （2）解：． （3）解：①由（2）得： ， 故：，． ②当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而减小． ③当y为整数时，为整数，此时整数x取－4、－3、－1、0． ∴所有“整数点”的坐标为、、、． 【点睛】本题以分式为背景，考查了分式的变形：分离常数．进而初步考查了“分式型”函数的相关性质．从题目中提炼信息是解题的关键． 【经典例题三 利用分式的基本性质判断分式值的变化】 【例3】（23-24八年级下·陕西西安·期中）如果把分式中的和都扩大为原来的倍，那么分式的值（   ） A．不变 B．缩小为原来的倍 C．扩大为原来的倍 D．扩大为原来的倍 【答案】A 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质即可求出答案，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：把分式中的和都扩大为原来的倍， ∴， ∴分式的值不变， 故选：． 1．（23-24八年级下·河南鹤壁·期中）若，的值均扩大到原来的5倍，则下列分式的值保持不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，进行计算逐一判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，选项C符合题意； D、，故D不符合题意； 故选：C． 2．（22-23八年级上·贵州黔西·期末）已知，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】先根据题意得出x-y=4xy，然后代入所求的式子，进行约分就可求出结果． 【详解】∵， ∴x-y=4xy， ∴原式=， 故答案为： ． 【点睛】此题考查分式的基本性质，正确对已知式子进行化简，约分，正确进行变形是关键． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）阅读并理解下面解题过程: 因为a为实数，所以，，所以. 请你解决如下问题: 求分式的取值范围. 【答案】 【详解】试题分析：利用配方法可得x2-4x+5≥1，则可得0<≤1，把所求范围的分式适当变形即可求出它的范围. 试题解析：x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1 ，(x-2)2≥0 ， ∴x2-4x+5≥1 ， ∴0< ≤1 ， ∴1<1+ ≤2 ， ∵ ==1+ ， ∴1< ≤2 . 【经典例题四 将分式的分子分母的最高次项化为正数】 【例4】（22-23八年级下·山西·阶段练习）下列运算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质以及分式中的符号法则进行判断即可． 【详解】解：，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是分式的基本性质和约分，正确的把分子分母进行因式分解是解题的关键． 1．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】让分子，分母同时改变符号即可让分子和分母中x的最高次项的系数都是正数． 【详解】分子的最高次项为﹣3x2，分母的最高次项为﹣5x3，系数均为负数，所以应同时改变分子，分母的符号可得原式==． 故选D． 【点睛】用到的知识点为：分子，分母，分式本身的符号，改变其中的2个，分式的大小不变；分子，分母的最高次项的系数均为负数，应同时改变分子，分母的符号． 2．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值，使下列各式的分子，分母的最高次项的系数为正： (1) = , (2) = . 【答案】 , 【分析】根据添括号法则，对所求式子添括号，根据分式基本性质进行化简即可. 【详解】 故答案为,. 【点睛】考查了分式的基本性质以及添括号法则，注意当括号前面加“-”时，括号里的各项都改变正负号. 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含“-”号： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （2）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （3）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； （4）根据分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变直接计算即可得到答案； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； 【点睛】本题考查分式的性质：分式分子分母分式前三个位置任意改变两个位置的符号分式值不变． 【经典例题五 将分式的分子分母各项系数化为整数】 【例5】（22-23八年级上·山东泰安·期中）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变，即可求出答案． 【详解】解：原式＝． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是分式的基本性质，熟记性质内容是解此题的关键． 1．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）不改变分式的值，把它的分子分母的各项系数都化为整数，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的基本性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 2．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数，得 ． 【答案】 【分析】根据题意可知，为了把各项系数化成整数，分子分母分别乘以10，可得到答案． 【详解】解：要想将分式分母各项系数都化为整数，可将分子分母同乘以10， 即 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了分式的概念与性质，分子分母共同乘以相同的数，分式值不变． 3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘 (或除以) 一个不等于0的整式，分式的值不变； （1）分子分母都乘以60即可； （2）分子分母同时乘以12即可； 【详解】（1）根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘60， 得． （2）解：根据分式的基本性质，将的分子与分母同乘12， 得． 【经典例题六 最简分式】 【例6】（22-23八年级上·山东济宁·期末）下列各分式中，是最简分式的是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分． 最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：．是最简分式； B.，不符合题意； C.，不符合题意； D.，不符合题意； 故选A． 1．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）下列各式，，，，，中，最简分式的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查最简分式，熟练掌握最简分式的概念是解题的关键；因此此题可根据“分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式”进行求解即可 【详解】解：，，，都不是最简分式， ，，是最简分式， 故选：B． 2．（23-24八年级上·江苏南通·期末）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】题目主要考查分式的化简求值，先进行化简，然后约分，利用取值范围即可得出结果，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：， ∵， ∴原式， 故答案为：． 3．（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【经典例题七 约分】 【例7】（23-24八年级上·河北保定·期末）化简：，括号内应填（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的约分，先把分子分解因式，再约去公因式即可． 【详解】解：， 故选C 1．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）下列各式变形不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答； 【详解】A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键 2．（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键．先分解因式，再进行约分即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·湖南永州·期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． (1)下列分式：①； ②；③；④其中不是“和谐分式”的是(填写序号即可)； (2)若a为整数，且为“和谐分式”请求出a的值． 【答案】(1)②③④ (2)或或 【分析】（1）根据“和谐分式”的定义，进行判断即可； （2）根据“和谐分式”的定义，可知可以进行因式分解，且不能有因式，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得： ①，是“和谐分式”； ②，分式可以约分，不是“和谐分式”； ③，分式可以约分，不是“和谐分式”； ④，分式可以约分，不是“和谐分式”； 综上，不是“和谐分式”的是②③④； 故答案为：②③④； （2）解：∵为“和谐分式”， ∴可以进行因式分解，且不能有因式， ∴或或或， ∴或或． 【点睛】本题考查新定义，以及因式分解．理解并掌握“和谐分式”的定义，以及公式法和十字相乘法因式分解，是解题的关键． 【经典例题八 最简公分母】 【例8】（22-23八年级上·河南三门峡·期末）的最简公分母是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定最简公分母的一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积，②如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母． 【详解】解：的最简公分母为：． 故选：D． 【点睛】本题考查了最简公分母，掌握求最简公分母的方法是解题的关键． 1．（22-23八年级下·湖南衡阳·期中）分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据最简公分母的含义和确定公分母的方法即可解答． 【详解】解：∵的分母是x，的分母是(x2-1)，即(x+1)(x-1)；的分母是x+1， ∴分式，，的最简公分母是x(x+1)(x-1),即为x(x2﹣1)． 故应选：B 【点睛】本题考查了最简公分母的定义及求法，准确地将各个分式中的分母进行因式分解是解题的关键． 2．（23-24八年级上·全国·课时练习）将分式，，通分，分母所乘的单项式依次为 ， ， ． 【答案】 【分析】求出分式，，的最简公分母为，即可求解． 【详解】解：分式，，的最简公分母为， ，， 故答案为：；；． 【点睛】本题考查了通分的定义：把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分，通分的关键是确定最简公分母． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 【经典例题九 通分】 【例9】（22-23八年级下·山东济南·期中）若，则A、B的值为（          ）． A．A=3，B=﹣2 B．A=2，B=3 C．A=3，B=2 D．A=﹣2，B=3 【答案】B 【分析】右边较为复杂，可以从右边到左边，因此先将右边通分，使前后形式一致，然后让对应得系数相等，即可求出A，B． 【详解】解： ． ∵， ∴， ∴， 得：， ∴． 将代入①中，解得：， ∴方程组的解为：． 故选B． 【点睛】本题考查分式的基本性质，二元一次方程组的解法，利用通分将右边化成左边的相同形式，并让所得分子的对应系数相等是解题的关键． 1．（22-23八年级上·全国·课后作业）对分式通分后，的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把a2-b2因式分解，得出的最简公分母，根据分式的基本性质即可得答案． 【详解】∵a2-b2=(a+b)(a-b)， ∴分式的最简公分母是， ∴通分后，=． 故选：B． 【点睛】本题考查分式的通分，正确得出最简公分母是解题关键． 2．（22-23七年级上·上海金山·期中）已知对于成立，则A= ,B= ． 【答案】 5 2 【分析】先通分，使等式两边分母一样，然后使分子相等，整理后即可求出结果. 【详解】∵， ∴， ∴，即， ∴，解得. 【点睛】本题考查分式方程的知识、多项式相等和解二元一次方程组，熟练掌握通分、对应相等及二元一次方程组解法是解题的关键. 3．（2023八年级下·广东·专题练习）通分： （1）与；                                       （2）与； （3）与；                              （4）与． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】（1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． （2）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． （1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． （1）先确定与的最简公分母是，然后进行通分，即可解答本题． 【详解】解：（1）与 与的最简公分母是， ，． （2）与 与的最简公分母是， ，． （3）与 与的最简公分母是， ，． （4）与 与的最简公分母是， ，． 【点睛】本题考查通分，解题的关键是找出它们的最简公分母． 1．（2024·江苏泰州·一模）对于分式 的值，下列说法一定正确的是（     ） A．不可能为 B．比大 C．可能为 D．比大 【答案】D 【分析】本题考查了分式的性质，根据分式的性质，分式的值为零逐项判断即可，解题的关键是熟练掌握分式的性质． 【详解】、当，当时，分式的值为，原选项说法错误，不符合题意； 、，可能比小，原选项说法错误，不符合题意； 、当时，，此时分母为零，原选项说法错误，不符合题意； 、，比大，原选项说法正确，符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级下·河北廊坊·阶段练习）若表示的是一个最简分式，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键，利用最简分式的定义对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：A、为时，，原式为最简分式，故选项符合题意； B、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； C、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； D、为时，，原式不是最简分式，故选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24八年级上·内蒙古通辽·期中）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的恒等变形，涉及分式性质、添括号等知识，熟记分式性质，逐项验证是解决问题的关键． 【详解】解：A、若，则，该选项错误，不符合题意； B、，该选项正确，符合题意； C、，该选项错误，不符合题意； D、，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 4．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）下列各式变形不正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质进行计算即可解答； 【详解】A、，故A符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）把分式，，通分，下列结论不正确的是（　　） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查的知识点是分式的通分，根据分式找取最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母，再按照通分的方法依次验证各个选项，找出不正确的答案即可，解题的关键是明确通分的概念：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分，难点是掌握找取分式最简公分母的方法：一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作最简公分母． 【详解】解：A、最简公分母为，故A正确，不符合题意； B、根据分数的基本性质，，故B正确，不符合题意； C、根据分数的基本性质，，故C正确，不符合题意； D、根据分数的基本性质，，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．（22-23八年级上·山东·课后作业）要使分式，则 . 【答案】 【分析】根据分式的基本性质，分子、分母同时乘以同一个不为0的式子，分式的值不变, 【详解】分式, 则 即 故答案为. 【点睛】考查分式的基本性质，即分子、分母同时乘以一个不为0的式子，分式的值不变. 7．（22-23八年级上·山东·课后作业）不改变分式的值,使分式的首项分子与分式本身都不含“-”号: = ;= . 【答案】 【分析】写出分子或分母的相反数，再处理符号. 【详解】(1) (2) 【点睛】本题特别注意分子、分母和分式本身的符号的问题. 8．（22-23八年级下·江苏扬州·阶段练习）已知分式与与(a，b是常数且b≠0)的最简公分母为，则 【答案】或 【分析】根据题意可知2与的最小公倍数是10，由此可解． 【详解】解：依题意得：2与的最小公倍数是10， ∴或 ∴或 故答案为：或 【点睛】本题考查最简公分母，掌握最简公分母的系数是分母数字因式的最小正公倍数是解题的关键．注意若分母出现多项式时确定最简公分母需要先因式分解． 9．（23-24七年级上·上海青浦·期中）约分： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的约分、因式分解，熟练掌握分式的运算法则和利用十字相乘法分解因式是解题关键．先分解因式，再进行约分即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．（22-23八年级上·全国·课后作业）不改变分式的值,把下列各式的分子、分母中各项系数都化为整数: （1） ; （2） . 【答案】 【分析】（1）找到分子分母系数中的最小公倍数6,同时扩大6倍即可； （2）分子分母同时扩大10倍即可. 【详解】解：（1）, （2）=. 【点睛】本题考查了分式的变形和化简,属于简单题,熟悉分式的性质是解题关键. 11．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分： (1)， (2) 【答案】(1)， (2)，， 【分析】本题主要考查分式的通分： （1）先确定最简公分母为，然后再通分即可； （2）先确定最简公分母为，然后再通分即可 【详解】（1）解：； ； （2）解： 12．（23-24八年级下·江苏盐城·期中）（1）约分：； （2）通分：与． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查约分和通分： （1）原式先将分子、分母因式分解，再约去公因式即可； （2）找出分母的最简公分母求解即可； 【详解】解：（1） ； （2）              13．（23-24八年级下·全国·课后作业）不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查的是分式的变形，掌握分式的基本性质是解决此题的关键； （1）根据分式的基本性质变形即可； （2）根据分式的基本性质变形即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 14．（23-24八年级上·全国·课后作业）下列等式的右边是怎样从左边得到的？ (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)分子、分母同乘 (2)分子、分母同除以 (3)分子、分母同除以 (4)分子、分母同乘 【分析】根据分式的基本性质逐一解答即可． 【详解】（1）解：分子、分母同乘， ； （2）解：分子、分母同除以， ； （3）解：分子、分母同除以， ； （4）解：分子、分母同乘， ． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的分子和分母同时乘或除一个不等于零的数，分式的值不变是解题的关键． 15．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期末）阅读理解： 类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点.如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等.小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式. 拓展定义： 对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：； . 理解定义： （1）下列分式中，属于真分式的是：____属于假分式的是：_____（填序号） ①；②；③；④. 拓展应用： （2）将分式化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式化成整式与真分式的和的形式． 【答案】（1）③；①②④；（2）；（3）. 【分析】（1）根据题意可以判断题目中的式子哪些是真分式，哪些是假分式； （2）根据题意可以将题目中的式子写出整式与真分式的和的形式； （3）根据题意可以将题目中的式子化简变为整式与真分式的和的形式． 【详解】（1）①，是假分式； ②，是假分式. ③是真分式； ④，是假分式； （2）====， （3）. 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，利用题目中的新规定解答问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$