专题01 分式重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版）

专题01 分式重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式； （2）分式有意义的条件：B≠0； （3）分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（22-23八年级下·吉林长春·期中）代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 1．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，分式有 个． 3．（22-23八年级上·山东·课后作业）下列各式中，哪些是整式，哪些是分式，哪些是有理式？ （1）（2）（3）（4）  （5）（6）（7） （8） （9） （10） （11） （12） 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（22-23七年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（   ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ． 3．（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（22-23七年级上·上海虹口·阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·山东·单元测试）把a千克盐溶于b千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x千克，则其中含盐（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 2．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）＝，括号内应填入 ； （2）＝，括号内应填入 ． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（23-24八年级上·河北沧州·期末）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 3．（22-23七年级下·全国·单元测试）当x为何值时，分式的值为0？ 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23八年级上·新疆塔城·期末）若使分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·河南南阳·三模）若代数式无意义，则实数的值是 ． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若已知分式的值为0，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．1 1．（21-22八年级下·陕西西安·阶段练习）若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）①当 时，分式有意义；②当 时，分式的值为0． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）当x取什么值时，分式的值： (1)不存在？ (2)等于0？ 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 1．（2023八年级上·全国·专题练习）已知 ，则值为（　　） A．10 B．11 C．15 D．16 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）已知，则＝ ． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 3．（20-21八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面的材料并解答问题： 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得＞0，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解 故 所以当，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： （1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？ （2）当x取何值时，分式的值为负？ 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（22-23八年级下·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 1．（20-21八年级上·山东济南·期中）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 2．（2024七年级·全国·竞赛）要使关于的方程的解为整数，则整数的取值有 个． 3．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式； 再如：，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解答下列问题： (1)分式是 （填“真”或“假”）分式； (2)假分式可化为带分式 的形式； (3)如果分式的值为整数，那么的整数值为 ． 1．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列各式中，分式有（    ）个   ，，，，， A．4 B．3 C．2 D．1 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）若分式的值总是正数，则的取值范围是（        ） A． B． C． D．或 3．（22-23八年级·山东济南·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 4．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）已知（且），，，……，，则等于（    ） A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，此分式的值为0，则的值等于（    ）． A．-6 B．-2 C．6 D．2 6．（22-23八年级上·河北保定·期末）使分式无意义的的值是 ． 7．（22-23八年级下·四川资阳·阶段练习）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ； 8．（22-23八年级下·四川巴中·期末）代数式，，，，中，是分式的共有 个． 9．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ． 10．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程的两个解为 ． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 12．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ，； ，； ，； ，； …… 从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母的代数式表示出来，并证明你发现的规律是否正确． 13．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知，取哪些值时： （1）的值是正数． （2）的值是负数． （3）的值是零． （4）分式无意义． 14．（22-23八年级上·河南许昌·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　 　； （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （3）若分式的值为整数，求整数x的值． 15．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式； 再如：，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解答下列问题： (1)分式是 （填“真”或“假”）分式； (2)假分式可化为带分式 的形式； (3)如果分式的值为整数，那么的整数值为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式重难点题型专训（9大题型+15道拓展培优） 题型一 分式的判断 题型二 分式的规律性问题 题型三 按要求构造分式 题型四 分式有意义的条件 题型五 分式无意义的条件 题型六 分式值为零的条件 题型七 分式的求值 题型八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 题型九 求使分式值为整数时未知数的整数值 知识点1：分式相关概念 1.定义：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式.其中A叫做分子，B叫做分母. （1）最简分式：分子与分母没有公因式的分式； （2）分式有意义的条件：B≠0； （3）分式值为0的条件：分子=0且分母≠0 【经典例题一 分式的判断】 【例1】（22-23八年级下·吉林长春·期中）代数式，，，中，属于分式的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据分式的定义形如，分母含有字母的式子，，都是整式，进行判断即可． 【详解】∵中分母含有字母是分式； 中分母不含有字母是整式； 中分母含有字母是分式； 中分母不含有字母是整式； ∴一共个分式， 故选：． 【点睛】此题考查了分式的定义，熟练掌握掌握分式的定义是解题的关键． 1．（22-23八年级下·吉林长春·阶段练习）下列代数式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； B．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； C．分母中不含字母，不是分式，故本选项不符合题意； D．分母中含字母，是分式，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（A、B是整式）中，分母B中含有字母，则叫分式． 2．（22-23八年级下·江苏无锡·期中）在代数式中，分式有 个． 【答案】1 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：是整式，是分式，是整式，即分式个数为1， 故答案为：1 【点睛】本题主要考查分式的定义，注意数字不是字母，判断分母的关键是分母中有字母. 3．（22-23八年级上·山东·课后作业）下列各式中，哪些是整式，哪些是分式，哪些是有理式？ （1）（2）（3）（4）  （5）（6）（7） （8） （9） （10） （11） （12） 【答案】见解析 【分析】根据整式、分式、有理式的基本概念来区分以下各式. 【详解】①②④⑧⑨（12）是整式， ③⑤⑥⑦⑩（11）是分式， 此12个代数式全都是有理式 【点睛】本题考查了整式、分式、有理式的概念，并区分它们的区别. 【经典例题二 分式的规律性问题】 【例2】（22-23七年级下·安徽安庆·期末）观察下列等式：，，，，…根据其蕴含的规律得（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据所给的等式的形式总结出规律，然后进行求解即可． 【详解】解：， ， ， …… 由此看出，，，，……（为正整数）的值是按照n，，每3个一循环，依次循环下去， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总结出存在的规律． 1．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）有一个计算程序，每次运算都是把一个数除以它与1的和，即，，……多次重复进行这种运算，若输入的值是2，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ……， 由此发现，， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了数字类规律题，明确题意，准确得到规律是解题的关键． 2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于的分式，探究其规律：，按着上述规律，第个分式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式规律探索，正确确定分子和分母的变化规律是解题关键．根据题意可得，第个分式的分子为，分母为，即可获得答案． 【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得， 第个分式是． 故答案为：． 3．（2023九年级·安徽·专题练习）观察下列等式： ；① ；② ；③ … (1)请写出第四个等式：_____________； (2)观察上述等式的规律，猜想第个等式（用含的式子表示），并验证其正确性． 【答案】(1) (2)，详见解析 【分析】此题考查数字的变化规律，根据数字的特点，得出分式运算的规律；利用规律解决问题是解题的关键． （1）根据规律，进行解答便可； （2）把得出的规律用字母n表示出来，并运用分式的运算法则进行验证． 【详解】（1）解∶ ． 故答案为∶ ； （2）解：第个等式是． 左边右边， 等式成立． 【经典例题三 按要求构造分式】 【例3】（22-23七年级上·上海虹口·阶段练习）一件工作，甲、乙两人合作需小时完成，甲单独做需小时完成，则乙单独做完工作需要的小时是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】甲、乙两人合作需小时完成，得甲乙一小时完成，甲单独做需小时完成得甲一小时完成，由此即可得乙一小时的工作效率，再用1除以工作效率即可得到答案. 【详解】， 故选D 【点睛】此题考查分式的实际应用，根据题意列分式即可解答此题，注意是甲乙工作效率的和，需减去甲的工作效率才能得到乙的工作效率，由此求得乙单独做完工作所需要的时间. 1．（22-23八年级上·山东·单元测试）把a千克盐溶于b千克水中，得到一种盐水，若有这种盐水x千克，则其中含盐（   ） A．千克 B．千克 C．千克 D．千克 【答案】A 【分析】盐＝盐水×浓度，而浓度＝盐÷（盐＋水），根据式子列代数式即可． 【详解】该盐水的浓度为， 故这种盐水x千克，则其中含盐为x×＝千克． 故选A． 【点睛】解决问题的关键是找到所求的量的等量关系．本题需注意浓度＝溶质÷溶液． 2．（2023八年级上·全国·专题练习）（1）＝，括号内应填入 ； （2）＝，括号内应填入 ． 【答案】 【分析】（1）分式的分子和分母同时除以； （2）分式的分子和分母同时乘以． 【详解】解：（1）； （2）； 故答案为：，． 【点睛】此题考查了分式的基本性质，解题的关键熟知并会应用分式的基本性质． 3．（23-24八年级上·河北石家庄·开学考试）根据规划设计，某工程队准备修建一条长的公路，由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路，那么 (1)原计划修建这条公路需要______天．实际修建这条公路用了______天．（用含的代数式表示） (2)实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？ 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意可用代数式表示出原计划修建这条公路需要的天数和实际修建这条公路需要的天数； （2）根据（1）中的答案可以表示出实际修建这条公路的工期比原计划缩短的天数． 【详解】（1）解：根据题意得，公路长为，计划每天修建公路， ∴原计划修建这条公路需要天， 又∵每天修建公路的长度比原计划增加， ∴实际修建这条公路用了天； （2）解：根据（1）可知， 实际修建这条公路的工期比原计划缩短了天． 【点睛】本题考查了分式的加减法，解答此类问题的关键是明确题意，用相应的分式表示出题目中的所求问题． 【经典例题四 分式有意义的条件】 【例4】（23-24八年级上·河北沧州·期末）在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件列不等式计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：． 故选：C． 1．（23-24八年级上·广西防城港·期末）如果分式有意义，那么x的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分式的分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件为分母不等式于零列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：． 故选C． 2．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件为分母不等于零是解题的关键． 根据分式有意义的条件结合已知条件列式计算即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，即． 故答案为:． 3．（22-23七年级下·全国·单元测试）当x为何值时，分式的值为0？ 【答案】 【分析】依据分式值为0（分子为0）及分式有意义（分母不为0）进行分析求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得:且， ∴． ∴当时，分式的值为0． 【点睛】本题考查了分式值为0及分式有意义的条件；解题的关键是熟练掌握相关性质． 【经典例题五 分式无意义的条件】 【例5】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期中）若分式无意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分式无意义，则需分母为零 ，列出方程，解方程即可． 【详解】∵分式无意义，         ∴， 解得：， 故选：． 【点睛】此题考查了分式无意义的条件，解题的关键是熟练掌握分式无意义的条件． 1．（22-23八年级上·新疆塔城·期末）若使分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义分母不为零即可得答案． 【详解】∵分式有意义， ∴x-2≠0， 解得：x≠2． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键． 2．（2023·河南南阳·三模）若代数式无意义，则实数的值是 ． 【答案】 【分析】根据分式无意义的条件得出，再求出答案即可． 【详解】解：要使代数式无意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式无意义的条件，能熟记分式无意义的条件是解此题的关键，当分母时，式子无意义． 3．（22-23八年级上·全国·课后作业）当x取何值时，下列分式有意义以及无意义？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）分式有意义，且；分式无意义，或；（2）分式有意义，；分式无意义，；（3）为任意实数时，分式有意义；（4）分式有意义，；分式无意义，． 【分析】（1）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （2）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （3）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可； （4）根据分式有意义的条件是分母不为0；列出不等式，求得x的取值范围即可． 【详解】（1）当时，分式有意义，解得且；当时，分式无意义，解得或． （2）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． （3）为任意实数时，，为任意实数时，分式有意义． （4）当时，分式有意义，解得；当时，分式无意义，解得． 【点睛】本题考查分式有无意义的条件，解答本题的关键是明确分式有无意义的条件是什么． 【经典例题六 分式值为零的条件】 【例6】（23-24八年级上·山东泰安·阶段练习）若已知分式的值为0，则的值为（   ） A．或 B．或 C． D．1 【答案】D 【分析】根据分式值为零的条件可得：，且，再求负整数指数幂，即可． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：， ， 故选：． 【点睛】此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零． 1．（22-23八年级下·陕西西安·阶段练习）若分式的值为0，则a满足的条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由分式的值为0的条件可得：，再解方程与不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为0， 由①得： 由②得：且 ∴ 故选B 【点睛】本题考查的是分式的值为0的条件，掌握“分式的值为0，则分子为0，而分母不为0”是解本题的关键． 2．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）①当 时，分式有意义；②当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件和分式为零的条件，根据分式有意义分母不为零，分式为零分子为零，分母不为零进行求解即可． 【详解】解：①分式有意义， ，即， ②分式的值为0， ， 得， 故答案为：①；②． 3．（23-24七年级下·全国·假期作业）当x取什么值时，分式的值： (1)不存在？ (2)等于0？ 【答案】(1)时，分式的值不存在 (2)时，分母，分式的值等于0 【详解】（1）当分母，即时，分式的值不存在． （2）当分子，即时，分母，分式的值等于0． 【经典例题七 分式的求值】 【例7】（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知，则的值是（　　） A． B．8 C． D．6 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键． 由可得进而得到，然后将整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即，则， ∴． 故选A． 1．（2023八年级上·全国·专题练习）已知 ，则值为（　　） A．10 B．11 C．15 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据已知变形得到，进而可得，求出，再将所求代数式变形得到即可答案． 【详解】解：∵，且根据题意有：， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：C． 2．（23-24七年级上·甘肃兰州·期末）已知，则＝ ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，完全平方公式的应用，灵活运用完全平方公式进行变形是解题关键．由已知条件可得，，，再将分式化简，带入计算即可． 【详解】解：， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：． 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，，，，这样的分式就是假分式； 再如：这样的分式就是真分式． 类似的，假分式也可以化为带分式即：整式与真分式的和的形式． 如：；， 再如：． 解决下列问题： (1)分式是 分式填“真”或“假”； (2)先将假分式化为带分式 ，再当的值为整数，求的整数值．写出过程 (3)将假分式化为带分式，当时，试求的最小值． 【答案】(1)真 (2)，的值为或或或； (3)最小值为 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据分式的性质进行化简，然后根据的值为整数求解即可； （3）先化为带分式，然后根据题意求解即可． 本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 【详解】（1）由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真； （2）， 的值为整数，且为整数， 的值为或或或， 的值为或或或； （3） ， 当时，这两个式子的和有最小值．最小值为， 则的最小值为． 【经典例题八 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围】 【例8】（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式的值为负数，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可． 【详解】解：∵分式的值为负数，而分母， ∴， 解得． 故选：D． 1．（23-24八年级上·湖北黄石·期末）下列结论： ①不论a为何值时都有意义； ②时，分式的值为0； ③若的值为负，则x的取值范围是； ④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，值为0的条件，对各式进行逐一分析即可． 【详解】解：①∵， ∴不论a为何值时，都有意义，故①正确； ②∵当时，， 此时分式无意义， ∴②错误； ③∵的值为负，， ∴， ∴，故③正确； ④∵有意义， ∴且， ∴x的取值范围是且，故④正确． 故选：B 2．（23-24八年级上·山东淄博·阶段练习）已知分式的值为正数，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可确定出的范围． 【详解】解：∵的值为正数， ∴或， 解得：或， 故答案为：或． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组的应用和分式的值，解题的关键是根据题意列出不等式组． 3．（22-23八年级下·陕西西安·期中）仔细阅读下面的材料并解答问题： 例题：当x取何值时，分式的值为正？ 解：依题意得＞0，则有①或②， 解不等式组①得，解不等式组②得不等式组无解 故 所以当，分式的值为正． 依照上面方法解答问题： （1）当x取何值时，x2﹣3x的值为负？ （2）当x取何值时，分式的值为负？ 【答案】（1）；（2），且． 【分析】（1）先利用因式分解将变形为，再参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得； （2）先将分式变形为，再根据分式有意义的条件可得，且，然后参照例题可得两个不等式组，解不等式组即可得． 【详解】解：（1）依题意得：，即， 则有①或②， 解不等式组①得：，解不等式组②得：不等式组无解， 故， 所以当时，的值为负； （2）， 为分式的分母， ， 解得，且， 依题意得，即， ， ， 则有③或④， 解不等式组③得：，解不等式组④得：不等式组无解， 故， 所以当，且时，分式的值为负． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用、因式分解、分式的值等知识点，读懂例题的思路，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 【经典例题九 求使分式值为整数时未知数的整数值】 【例9】（22-23八年级下·全国·假期作业）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】B 【解析】略 1．（22-23八年级上·山东济南·期中）已知a为整数，且÷为正整数，求所有符合条件的a的值的和（　　） A．8 B．12 C．16 D．10 【答案】C 【分析】首先对于分式进行化简，然后根据a为整数、分式值为正整数可求出a的值，最后将a的所有值相加即可． 【详解】解：﹣÷ ＝﹣× ＝﹣ ＝ ＝， ∵a为整数，且分式的值为正整数， ∴a﹣5＝1，5， ∴a＝6，10， ∴所有符合条件的a的值的和：6+10＝16． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，对分式的分子和分母能够正确分解因式是解题的关键． 2．（2024七年级·全国·竞赛）要使关于的方程的解为整数，则整数的取值有 个． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解、分式为整数的条件等知识，先将方程的解表示出来，通过条件进行计算即可，表示出方程的解是解题的关键． 【详解】原方程可化为，要想得到整数解，则的绝对值必须是2013的约数，共有 ，，，，，，， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式； 再如：，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解答下列问题： (1)分式是 （填“真”或“假”）分式； (2)假分式可化为带分式 的形式； (3)如果分式的值为整数，那么的整数值为 ． 【答案】(1)真 (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 1．（22-23八年级上·内蒙古赤峰·期末）下列各式中，分式有（    ）个   ，，，，， A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】分母是整式且整式中含有字母，根据这点判断即可． 【详解】∵中的分母是3，不含字母， ∴不是分式； ∵中的分母是n，是整式，且是字母， ∴是分式； ∵中的分母是a+5，是多项式，含字母a， ∴是分式； ∵中的分母是15，不含字母， ∴不是分式； ∵中的分母是，是整式，含字母x，y， ∴是分式； ∵中的分母是，是整式，含字母a，b， ∴是分式； 共有4个， 故选A． 【点睛】本题考查了分式的定义，熟练掌握分式构成的两个基本能条件是解题的关键． 2．（22-23七年级上·上海浦东新·期末）若分式的值总是正数，则的取值范围是（        ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分两种情况分析:当时;或当时,,再分别解不等式可得． 【详解】若分式的值总是正数： 当时，，解得; 当时，，解得，此时a的取值范围是; 所以的取值范围是或. 故选：D． 【点睛】考核知识点：分式值的正负.理解分式取值的条件是解的关键点：分式分子和分母的值同号，分式的值为正数． 3．（22-23八年级·山东济南·期末）若取整数，则使分式的值为整数的值有（    ） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【分析】把分子写成6x-3+6，化为分子上不含有x的形式，再根据分式的值是整数讨论求解即可. 【详解】解：， ∵为奇数，分式的值为整数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； ∴整数的值有：、0、1、2，共4个； 故选择：A. 【点睛】本题考查了分式的值，把分子转化为不含有字母x的形式是解题的关键． 4．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）已知（且），，，……，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题中所给已知等式先求出前4个数，发现每3个数一个循环，进而可得则a2021等于a2的值． 【详解】解：由于a1=x+1（x≠0或x≠-1）， 所以， ， 因为2021÷3=673， 所以a2021=． 故选：D． 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类，解决本题的关键是观察数字的变化寻找规律． 5．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知当时，分式无意义，当时，此分式的值为0，则的值等于（    ）． A．-6 B．-2 C．6 D．2 【答案】D 【分析】当分母的值为0时，分式没有意义，据此可求出b值；当分子为0分母不为0时，分式的值为0，据此可求出a值，于是可求a+b的值． 【详解】解：∵当时，分式无意义 ∴分母-2-b=0则b=-2． ∵当时，此分式的值为0， ∴分子4-a=0解得：a=4． ∴a+b=4+(-2)=2． 故选D． 【点睛】本题考查了分式有无意义的条件和分式的值为0时的条件，掌握相关知识点是解题的关键． 6．（22-23八年级上·河北保定·期末）使分式无意义的的值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了分式无意义的条件，根据分式无意义分母为零，进行计算即可，解题的关键是由分式无意义分母为零，列出方程并正确求解． 【详解】由题意得，， 解得：， 故答案为：． 7．（22-23八年级下·四川资阳·阶段练习）若分式的值为负数，则x的取值范围是 ； 【答案】x<且x≠ -1 【分析】根据题意可得关于x的不等式组，解不等式组即可得. 【详解】由题意得：， 解得：x<且x≠ -1， 故答案为x<且x≠ -1. 【点睛】本题考查了分式的值，绝对值的意义，正确分析得出关于x的不等式组是解题的关键. 8．（22-23八年级下·四川巴中·期末）代数式，，，，中，是分式的共有 个． 【答案】2 【分析】由分式的定义，分别对每个式子进行判断，即可得到答案 【详解】，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式． ，中分母中含有字母，因此是分式． 故答案为：2 【点睛】本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式.注意：分式的分母必须含有字母，而分子可以含有字母，页可以不含字母. 9．（23-24八年级上·山东聊城·期中）已知x为整数，且的结果也为整数，则所有符合条件的x的值的乘积为 ． 【答案】40 【分析】本题主要考查了分式的值是整数的条件，正确理解条件是解题的关键．首先把分式进行化简，式子的值的是整数的条件是分母是分子的因数，据此即可确定． 【详解】解： 式子的值是整数，则或． 则或1或4或2． 则所有符合条件的值的乘积为． 故答案为：40 10．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知：关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程的两个解为 ． 【答案】x1＝a，x2＝ 【分析】根据关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，得到规律求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，方程的两个解为x1＝a，x2＝，， ∴依规律，得x－1＝a－1或x－1＝， 解得：x1＝a，x2＝． 故答案为：x1＝a，x2＝． 【点睛】本题主要考查了与分式有关的规律型问题，解题的关键在于根据题意找到规律并且构造． 11．（2024八年级下·全国·专题练习）已知，求的值． 【答案】 【分析】 本题考查了分式求值，熟练掌握“设法”是解题的关键，设比值为，用表示出然后代入分式即可得解． 【详解】解：设， ， 原式． 故答案为：． 12．（22-23八年级上·全国·单元测试）观察下列各式： ，； ，； ，； ，； …… 从以上左右两组式子中，你能发现什么规律？用含有字母的代数式表示出来，并证明你发现的规律是否正确． 【答案】规律是（是正整数），证明见解析 【分析】第一个式子等式左边分数中分子比分母大1，乘数与分母相同，等式右边的分数，分母与等式左边的分数分母相同，分子为等式左边分子的平方，第二个式子等式左边的分数是第一个式子左边的分数，加数是第一个式子等式左边的乘数，第二个式子右边的分数与第一个式子等式右边的分数相同，由此求解即可． 【详解】解：规律是（是正整数）． 证明：右边， ∴左边右边， ∴． 【点睛】本题主要考查了分式的加法计算，数字类的规律探索，正确理解题意找到规律是解题的关键． 13．（22-23八年级下·全国·课后作业）已知，取哪些值时： （1）的值是正数． （2）的值是负数． （3）的值是零． （4）分式无意义． 【答案】（1）且；（2）；（3）；（4） 【分析】先在分式有意义的条件下化简，再考虑（1）、（2）、（3）、（4）小题. （1）y的值是正数，则分式化简后的结果是正数，据此可求； （2）y的值是负数，则分式化简后的结果是负数，据此可求； （3）分式的值是0，则分式化简后的结果等于0，据此可求； （4）分式无意义的条件是原分式的分母等于0，据此可求． 【详解】解： = = 由上可知，当时，分式有意义化简的结果是m+1； （1）由y为正数得：＞0， ∴m＞-1且． （2）由y为负数得：＜0， ∴m＜-1． （3）由y为零得：=0， ∴m=-1． （4）由分式无意义得：， ∴m=2． 【点睛】本题主要考查了分式的值的正负，以及值是0、分式有意义的条件，先化简再求解是解决本题的关键．易错点是第（1）问会漏了这个限制条件. 14．（22-23八年级上·河南许昌·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如，． （1）将假分式化为一个整式与一个真分式的和是　 　； （2）将假分式化为一个整式与一个真分式的和； （3）若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）x＝﹣2或0． 【分析】逆用同分母分式加减法法则，仿照题例做（1）（2）；（3）先把分式化为真分式，根据值为整数，x的值为整数确定x的值． 【详解】解：（1）＝ ＝ 故答案为： （2）＝ ＝﹣ ＝2﹣； （3） ＝ ＝ ＝x﹣1+， ∵分式的值为整数，且x为整数， ∴x+1＝±1， ∴x＝﹣2或0． 【点睛】本题考查了真分式及分式的加减法．理解题例和题目给出的定义是解决问题的关键． 15．（22-23八年级上·山东济宁·阶段练习）阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式； 再如：，这样的分式就是真分式． 类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如： 解答下列问题： (1)分式是 （填“真”或“假”）分式； (2)假分式可化为带分式 的形式； (3)如果分式的值为整数，那么的整数值为 ． 【答案】(1)真 (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式和新定义，解题的关键是正确理解新定义和分式的运算． （1）根据题中阅读材料中的真假分式定义即可判断； （2）根据题中阅读材料中的方法把假分式化为带分式即可； （3）把假分式化为带分式，然后根据的值为整数即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，分式是真分式； 故答案为：真． （2）解：∵， 故答案为：． （3）解：， ∵的值为整数，的值也是整数， 故的值为：，，，， ∴的值为：，，，． 故答案为：，，，． 学科网（北京）股份有限公司 $$