精品解析：辽宁省锦州市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试卷

2023-2024学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（ ） A B. C. D. 4. 已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 5. 如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，的角平分线与边相交于点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为的外心，，，，则的面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. z的虚部是 B C. z在复平面内对应的点在第四象限 D. 若z是关于x实系数方程的一个根，则， 10. 关于函数有下述四个结论，其中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为2 D. 在有4047个零点 11. 棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 与所成的角为60° C. 点在平面内运动，且平面BEF，则BP的最小值为 D. 平面截正方体的截面形状是五边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为______. 13. 已知，，则的值为______. 14. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，的夹角为，，. （1）求在上的投影的数量； （2）求的值； （3）求的值. 16. 如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，中点，若，. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离： （3）求二面角的大小. 17. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间； （3）若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值. 18. 如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形，． （1）证明：； （2）已知平面满足，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度第二学期期末考试 高一数学 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，满分150分. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答题标号：答非选择题时，将答案写在答题卡上相应区域内，超出答题区域或写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接使用诱导公式求解. 【详解】. 故选：A. 2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法求出复数，即可计算出. 【详解】， 所以， 故选：C. 3. 已知，，则的终边与以原点为圆心，为半径的圆的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设交点为，根据三角函数的定义得到方程组，解得即可. 【详解】设交点为，则，解得， 所以交点坐标为. 故选：D 4. 已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行、垂直的判定、性质定理与面面平行的关系依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对A：若，，，则，，或，则A错误; 对B：若，，则或,则B错误; 对C：若，，，，若相交时，则； 若时，不一定成立，故C错误; 对D：若，，则,故D正确. 故选：D 5. 如图，一种工业部件是由一个圆台挖去一个圆锥所制成的.已知圆台的上、下底面半径分别为和，且圆台的母线与底面所成的角为，圆锥的底面是圆台的上底面，顶点在圆台的下底面上，则该工业部件的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题知该圆台的轴截面为等腰梯形，进而得，圆台、圆锥的高均为，再计算体积即可. 【详解】根据题意，该圆台的轴截面为等腰梯形，如图， 所以即为圆台母线与底面所成角，即， 分别过点、在平面内作，，垂足分别为点、， 因为，则四边形为矩形，且， 因为，，， 所以，所以，且， 因为，则， 所以圆台、圆锥的高均为， 所以该工业部件的体积为 . 故选：B. 6. 已知在中，的角平分线与边相交于点，且，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等面积列出方程求解即得. 【详解】依题意，设，， 由，可得， 解得 故选：C. 7. 将函数的图象先向左平移个单位长度，再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据三角函数变换规律求出，然后求出的单调递增区间，再由函数在上单调递增，得，从而可求出的取值范围. 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度，得， 再把所得函数图象上的每个点的横坐标都变为原来的倍，纵坐标不变，得 ， 所以， 由， 得， 所以， 因为函数在上单调递增， 所以（）， 即（）， 解得， 因为，所以，所以. 故选：B 8. 已知为的外心，，，，则的面积为（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据外心求出，利用条件得出，结合面积公式可得答案. 【详解】设的中点为，由为的外心可得，， ， 又， 所以， 又，可得， 故， 则的面积为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 设复数，则下列命题中正确的是（ ） A. z的虚部是 B. C. z在复平面内对应的点在第四象限 D. 若z是关于x的实系数方程的一个根，则， 【答案】BD 【解析】 【分析】利用复数的概念及运算就可以作出判断. 【详解】由，可知所以z的虚部为，即A是错误的； 由，可知，则，，所以，即B是正确的； 由可知在复平面内对应的点在第一象限，即C是错误的； 由已知可得方程的根为，所以，，即D是正确的； 故选：BD. 10. 关于函数有下述四个结论，其中正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在区间上单调递增 C. 的最大值为2 D. 在有4047个零点 【答案】AC 【解析】 【分析】用定义法判断奇偶性处理A，在给定区间内得到具体函数解析式，利用三角函数的性质求解单调性判断B，利用不等式的性质判断C，举反例判断D即可. 【详解】由题意得， 所以是偶函数，故A正确，当时，， 此时在区间上单调递减，故B错误， 因为，，所以，且， 所以的最大值为2，故C正确， 当时，，所以此区间上有无数个零点， 故在不可能只有4047个零点，故D错误. 故选：AC 11. 棱长为2的正方体中，点E，F，G分别是棱，，的中点.则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 与所成的角为60° C. 点在平面内运动，且平面BEF，则BP的最小值为 D. 平面截正方体的截面形状是五边形 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，利用再证平面即可； 对于B,首先要利用平行线作出异面所成的角，再进行求解即可； 对于C，首先利用平面，确定点位置在线段上，再作出垂线,根据相似三角形定理即可求得. 对于D，通过增补两个正方体，根据正方体的性质，可以作出截面图； 【详解】对于A，如下图，连接,易得又平面,又平面,故A正确. 对于B，如下图，取的中点,连接, 则又, 则或其补角为与所成的角.又正方体棱长为2， 易求得, 则，故B错误. 对于C，如下图，连接取得中点,连接,过作 平面所以平面,则点在线段上,最小值即为. 又，所以，又.C错误； 对于D，如下图，增补两个正方体，取的中点 连接,则为的中点，且 连接交于,连接交于,连接, 则得到截面为五边行,故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则的值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据平面向量的数量积坐标运算，由，得数量积为0，即可求得实数的值 【详解】因为，所以向量， 所以， 故答案为：. 13. 已知，，则的值为______. 【答案】##0.5 【解析】 【分析】由两角和的三角函数公式化简即可求得结果. 【详解】，，则， 所以，. 故答案为： 14. 在锐角三角形中，角的对边分别为，已知，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理边化角得到，由锐角三角形求出，然后将的取值范围转化为函数的值域问题求解即可. 【详解】因为，所以由正弦定理得：, 即，所以，即，又，所以. 因为锐角三角形，所以，即，解得. 令，因为，所以， 则在单调递减，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，的夹角为，，. （1）求在上投影的数量； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据投影的数量公式求解即可； （2）根据平面向量的运算结合数量积公式求解即可； （3）根据求解即可. 【小问1详解】 在上的投影的数量为：； 【小问2详解】 因为向量，的夹角为，且，， 所以. 所以. 【小问3详解】 ， 所以. 16. 如图，在正三棱柱中，D，E分别是BC，的中点，若，. （1）证明：平面； （2）求到平面的距离： （3）求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，根据四边形为平行四边形得，再由线面平行的判定定理可得答案； （2）利用等体积转化可得答案； （3）利用线面垂直的性质定理得为二面角的平面角，求出三角形边长由勾股定理可得答案. 【小问1详解】 连接，交于点，连接， 因为四边形为平行四边形，所以O为中点， 又D为BC中点，所以， 又平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 设到平面的距离为d， 因为，，所以， 又为中点，所以， 因为为等边三角形， 所以， 所以，所以， ， 因为， 所以，所以，即， 解得， 即到平面距离为； 【小问3详解】 由已知正三棱柱中，分别是中点， 所以面，平面， 所以，又，，平面， 所以面，面， 所以，， 所以为二面角的平面角， 连接，在中，， 在中，， 由（2）知，所以， 所以， 所以二面角的大小为. 17. 已知函数，且. （1）求函数的解析式； （2）求函数的最小正周期和单调递增区间； （3）若函数在区间上恰有3个零点，求a的取值范围和的值. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换化简求得，由已知可得的图像关于点对称得出，即得函数解析式； （2）由公式可求得的最小正周期，利用正弦函数的单调性，列出不等式求解，即可得出单调递增区间； （3）在区间上恰有3个零点转化为与在的图像上恰有3个交点求参数即可，再数形结合根据函数的对称轴即可计算求值. 【小问1详解】 由知，的图像关于点对称， 所以，，得，. 因为，所以， 即函数. 【小问2详解】 因为，所以 由，得， 所以函数的单调递增区间是，. 【小问3详解】 ， 当时，. 函数在区间上恰有3个零点， 令，则在上有3个不相等的根. 即与在图像上恰有3个交点， 作出与的图像，如图所示， 由图可知，， 且， 所以. 故a的取值范围为，的值为. 18. 如图，在三棱锥中，和均是边长为4的等边三角形，． （1）证明：； （2）已知平面满足，且平面平面，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）由和均是边长为4的等边三角形，所以取的中点为，可得，所以得到平面，从而. （2）由面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质定理可以得到， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成的角，作，证得平面，所以是直线与平面所成的角，在中求得正弦值即可. 【小问1详解】 如图，设的中点为，连结， 因为和均为等边三角形，所以， 又因为平面平面， 所以平面， 又因为平面，所以． 【小问2详解】 因为，且平面， 所以平面平面， 又平面平面，平面平面，所以， 所以直线与平面所成角等于直线与平面所成的角． 在平面内作于点，则由（1）知，平面， 又平面所以． 又因为平面平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角． 因为和均是边长为4的等边三角形，所以， 又因为，在等腰中，， 所以，所以直线与平面所成角的正弦值为. 19. 如图，在平面四边形中，已知为等边三角形，记． （1）若，求的面积； （2）若，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理与勾股定理可得，再根据三角形面积公式求解即可； （2）设，由余弦定理可得，再根据正弦定理可得，进而可得，再结合求解即可. 【小问1详解】 中由余弦定理， 故，则，所以. 又为等边三角形，故，且， 故. 【小问2详解】 不妨设，在中，由余弦定理 ， . 在中，由正弦定理，即，所以. 故 ， 又，所以，所以， 即的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$