精品解析：山东省聊城市阳谷县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

2023—2024学年第二学期期末学业水平检测与反馈 八年级数学问卷 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1.试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题48分，非选择题102分，共150分，考试时间130分钟. 2.将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置. 3.试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题.考试结束，只交答题卡. 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷. 第Ⅰ卷 选择题(共48分) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 1.数学的世界，是一个充满美的世界，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称.以下图案中(不包含文字)，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 3. 实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A的坐标为，点C的坐标为，将三角形平移至三角形的位置，使得点A的对应点与坐标原点O重合，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 7. 如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为（ ） t/min … 1 2 3 … h/cm … 2.4 2.8 3.2 … A. B. C. D. 9. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 10. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11. _______ 12. 已知不等式组的解集是，则的值为_______． 13. 一个数值转换器，如图所示： 若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值______． 14. 在平面直角坐标系中，已知两点、，点C在x轴上，若以A、B、O、C为顶点的四边形是平行四边形，则C点坐标是______． 15. 一次函数 与 图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是__________. 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是______. 三、解答题(本题共8小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算: （1）； （2）解不等式组 ． 18. 已知一次函数． （1）点在函数的图象上，求m的值． （2）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．求点A、B的坐标． （3）已知，求三角形的面积． 19. 某商店需要购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价(元/件) 售价(元/件) （1）若商店计划销售完这批商品后能获利元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件? （2）若商店计划投入资金少于元，且销售完这批商品后获利多于元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案． 20. 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C. 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形. （1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示) （2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系. 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，． （3）请你用面积法证明：． 21. 在正方形ABCD中，对角线BD所在直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF形状，并说明理由． 22. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为t小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1， y2关于t的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图像，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 23. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算.请结合上述材料，解决如下问题： （1）计算： ； （2）已知是正整数，，，，求． （3）已知，求 的值． 24. （1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024学年第二学期期末学业水平检测与反馈 八年级数学问卷 亲爱的同学，请你在答题之前，一定要仔细阅读以下说明： 1.试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题48分，非选择题102分，共150分，考试时间130分钟. 2.将姓名、准考证号、考场号、座号填写在答题卡指定的位置. 3.试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题.考试结束，只交答题卡. 愿你放飞思维，认真审题，充分发挥，争取交一份圆满的答卷. 第Ⅰ卷 选择题(共48分) 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合要求. 1. 1.数学的世界，是一个充满美的世界，在那里，我们可以感受到和谐、比例、整体和对称.以下图案中(不包含文字)，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，根据：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心；即可判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； 故选：． 2. 电流通过导线时会产生热量，电流（单位：）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：）与产生的热量（单位：）满足．已知导线的电阻为，时间导线产生的热量，电流的值是（    ） A. 2 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的应用．将已知量代入物理公式，即可求得电流的值． 【详解】解：通电时间（单位：与产生的热量（单位：）满足， 所以电流． 故电流的值为5， 故选：B． 3. 实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示．把按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法，以及数轴的特征：一般来说，当数轴正方向朝右时，右边的数总比左边的数大．根据图示，可得，，判断出、的取值范围，把，，，按照从小到大的顺序排列即可． 【详解】解：根据图示，可得，， ，， ． 故选：D． 4. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点A的坐标为，点C的坐标为，将三角形平移至三角形的位置，使得点A的对应点与坐标原点O重合，则点C的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了坐标与图形的变化，关键是掌握横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减． 根据点坐标的变化规律可得平移的方式，利用平移变换点的坐标的变化规律即可得． 【详解】解：因为点的对应点的坐标为，即， 所以平移的方式为：向右3个单位，向下2个单位， 点的对应点的坐标为，即， 故选：D． 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，B，C不符合题意；D符合题意； 故选：D 6. 如图，已知函数和的图象交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，根据图象即可求解，利用数形结合思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵函数和的图象交于点， 由图象可得，当时，， ∴不等式的解集是， 故选：． 7. 如图，在中，的中垂线与交于点，与交于点，连接，为的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，余角性质，等腰三角形的判定和性质，由线段垂直平分线的性质得，，进而得，由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，再利用余角性质可得，即可得到，掌握线段垂直平分线的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴，， ∴， 在中，为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故选：． 8. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就已经出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．小明同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位是时间的一次函数，下表是小明记录的部分数据，当时间t为时，对应的高度h为（ ） t/min … 1 2 3 … h/cm … 2.4 2.8 3.2 … A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出与之间的函数解析式，再求出时，的值即可得． 【详解】解：设与之间的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， 则， 当时，， 即当时间为时，对应的高度为， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题关键． 9. 如图 ，已知△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC 绕点 A 顺时针方向旋转 60°得到△A′B′C′的位置，连接 C′B，则 C′B 的长为 ( ) A. 2－ B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D，证明△ABC′≌△B′BC′，得到∠DBB′=∠DBA=30°；求出BD、C′D的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点D， 由题意得：∠BAB′=60°，BA=B′A， ∴△ABB′为等边三角形， ∴∠ABB′=60°，AB=B′B； 在△ABC′与△B′BC′中， ∴△ABC′≌△B′BC′（SSS）， ∴∠DBB′=∠DBA=30°， ∴BD⊥AB′，且AD=B′D， ∵AC＝BC＝， ∴， ∴，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线．作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点． 10. 直线y＝x＋4与x轴、y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，PC＋PD值最小时点P的坐标为（ ） A. (-3，0) B. (-6，0) C. (-，0) D. (-，0) 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数解析式求出点、的坐标，再由中点坐标公式求出点、的坐标，根据对称的性质找出点关于轴的对称点的坐标，结合点、的坐标求出直线的解析式，令即可求出的值，从而得出点的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时值最小，如图所示． 令中，则， 点的坐标为； 令中，则，解得：， 点的坐标为． 点、分别为线段、的中点， 点，点． 点和点关于轴对称， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 直线过点，， 有，解得：， 直线的解析式为． 令中，则，解得：， 点的坐标为，． 故选：D． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是找出点的位置． 二、填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 11. _______ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简，利用二次根式的性质直接化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】 12. 已知不等式组的解集是，则的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的解集求得、的值，再代入计算即可．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：由得：， 由得：， 解集为， ，， 解得，， 则原式， 故答案为：1 13. 一个数值转换器，如图所示： 若输入有效的x值后，始终输不出y值，请写出所有满足要求的x的值______． 【答案】1或0 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，无理数的定义，根据算术平方根是它本身的数进行判断即可，理解算术平方根的定义是正确解答的关键． 【详解】解：因为1的算术平方根是1，0的算术平方根是0， 所以无论经过多少次运算其算术平方根还是有理数； 故答案为：1或0． 14. 在平面直角坐标系中，已知两点、，点C在x轴上，若以A、B、O、C为顶点的四边形是平行四边形，则C点坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形、平行四边形的性质等知识，解题关键是分情况讨论，当四边形为平行四边形时，点C在点O的右侧，当四边形为平行四边形时，点C在点O的左侧，分别根据求出点C坐标即可． 【详解】解：设， ∵、， ∴轴， 当四边形为平行四边形时，点C在点O的右侧，如下图所示， ∵，， ∴， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时，点C在点O的左侧，如下图所示， ∵， ∴， ∴； 故答案为：或． 15. 一次函数 与 的图象如图所示， ①随x的增大而减小 ②函数的图象不经过第二象限 ③ ④ 以上结论正确的是__________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】此题考查了一次函数交点问题，一次函数的性质，根据一次函数的图象及交点分别判断即可得到答案，正确理解函数图象是解题的关键． 【详解】解：由图象得过一，二，三象限；过二，三，四象限； ∴, ∴随x的增大而减小，故①正确； 函数的图象不经过第二象限，故②正确； ∵两图象交点横坐标为， ∴ ∴，故③正确； 当时，，故 ∴，故④错误； 故正确的是①②③． 16. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为的正方形绕点顺时针旋转后得到正方形 ，依此方式，绕点连续旋转次得到正方形 ，那么点的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形和旋转的性质，图形的坐标变化规律，由正方形的性质可得点的坐标为，再根据旋转的性质可得，据此可得每旋转八次，点的对应点循环出现一次，即可求解，由旋转的性质得到图形的坐标变化规律是解题的关键． 【详解】解：∵四边形正方形，且边长为， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转八次，点的对应点循环出现一次， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， ∴点的坐标为， 故答案为：． 三、解答题(本题共8小题，共86分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 计算: （1）； （2）解不等式组 ． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用二次根式的性质和运算法则计算即可求解； （）分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即可求解； 本题考查了二次根式的混合运算，解一元一次不等式组，掌握二次根式的运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ； 【小问2详解】 解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为． 18. 已知一次函数． （1）点在函数的图象上，求m的值． （2）一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B．求点A、B的坐标． （3）已知，求三角形的面积． 【答案】（1）6 （2）点坐标为，点的坐标为 （3）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，点的坐标的特征，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）将代入解析式即可求出的值； （2）将代入一次函数解析式即可求出点的坐标，将代入一次函数解析式即可求出点的坐标； （3）根据点、、的坐标即可求出的面积． 【小问1详解】 解：令， 则； 【小问2详解】 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点的坐标为； 令， 则， 解得， ∴一次函数的图象与轴的交点的坐标为； 【小问3详解】 ∵， ∴三角形的面积． 19. 某商店需要购进甲、乙两种商品共件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价(元/件) 售价(元/件) （1）若商店计划销售完这批商品后能获利元；问甲、乙两种商品应分别购进多少件? （2）若商店计划投入资金少于元，且销售完这批商品后获利多于元，请问有哪几种购货方案?并直接写出其中获利最大的购货方案． 【答案】（1）甲种商品应购进件，乙种商品应购进件； （2）方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件；方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件；甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大． 【解析】 【分析】（）设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）设甲种商品购进件，则乙种商品购进件，根据题意，列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； 本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【小问1详解】 解：设甲种商品应购进件，乙种商品应购进件， 由题意得，， 解得， 答：甲种商品应购进件，乙种商品应购进件； 【小问2详解】 解：设甲种商品购进件，则乙种商品购进件， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或， 当时，； 当时，； ∴有两种购货方案： 方案一：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案二：甲种商品购进件，乙种商品购进件； 方案一的获利：元； 方案二的获利：元； ∵， ∴甲种商品购进件，乙种商品购进件获利最大． 20. 如图1，中，，、、的对边分别记为a、b、C. 实验一： 小聪和小明用八张这样的三角形纸片拼出了如图2所示的正方形. （1）在图2中，正方形的面积可表示为 ，正方形的面积可表示为 (用含a，b的式子表示) （2）请结合图2，用面积法说明，，三者之间的等量关系. 实验二： 小聪和小明分别用四个这样三角形纸片拼成了如图3所示的图形.他们根据面积法得到了一个关于边a、b、c的等式，整理后发现，． （3）请你用面积法证明：． 【答案】（1），；（2）；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，掌握完全平方公式的变形是解题的关键． （1）直接表示出正方形的面积即可解题； （2）运用两种不同的方法表示正方形的面积，然后整理解题； （3）运用两种不同的方法表示图形的面积，然后整理即可． 【详解】解：（1）在图2中，正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案：，； （2）由图可知：，即； （3）选择是图，正方形的面积为 即， ∴． 21. 在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接AE、AF、CE、CF，如图所示． （1）求证：△ABE≌△ADF； （2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）菱形 【解析】 【详解】分析：（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可； （2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断； 详证明：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=AD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴∠ABE=∠ADF， 在△ABE与△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS） （2）如图，连接AC， 四边形AECF是菱形． 理由：在正方形ABCD中， OA=OC，OB=OD，AC⊥EF， ∴OB+BE=OD+DF， 即OE=OF， ∵OA=OC，OE=OF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 点睛：本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 22. “十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游． 根据以上信息，解答下列问题： （1）设租车时间为t小时，租用甲公司的车所需费用为y1元，租用乙公司的车所需费用为y2元，分别求出y1， y2关于t的函数表达式； （2）当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同； （3）根据（2）的计算结果，结合图像，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算． 【答案】（1）y1=15t+80，y2=30t （2）t= （3）当t＜时，选择方案二； 当t=时，任意选择其中的一个；当t＞时，选择方案一 【解析】 【分析】（1）根据函数图象中的信息，分别运用待定系数法，求得y1，y2关于t的函数表达式即可；（2）当y1=y2时，求出t即可； （3）当y1=y2时；当y1＞y2时；当y1＜y2时，分别求得t的取值范围即可得出方案． 小问1详解】 解：设y1=k1t+80，把点（1，95）代入，可得95=k1+80，解得k1=15， ∴y1=15t+80（t≥0）； 设y2=k2t，把（1，30）代入，可得30=k2，即k2=30， ∴y2=30t（t≥0）； 【小问2详解】 解：当y1=y2时，15t+80=30t， 解得t=， 则当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同； 【小问3详解】 解：当y1=y2时，t=； 当y1＞y2时，15t+80＞30t，解得t＜； 当y1＜y2时，15t+80＜30t，解得t＞； ∴当租车时间为小时时，选择甲、乙公司一样合算；当租车时间小于小时时，选择乙公司合算；当租车时间大于小时时，选择甲公司合算． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解题时注意：求正比例函数解析式y=kx，只要一对x，y的值；而求一次函数解析式y=kx+b，则需要两组x，y的值． 23. 阅读下列材料，然后回答问题． ①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如 一样的式子，可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化. ②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算.请结合上述材料，解决如下问题： （1）计算： ； （2）已知是正整数，，，，求． （3）已知，求 的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（）根据分母有理化的步骤逐项化简，再把分母提出来，括号内合并再计算即可求解； （）先对进行分母有理化，再求出和，代入到中计算即可求解； （）设，，则，利用完全平方公式由可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了分母有理化、完全平方公式、平方差公式等知识点，掌握整体思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：设，，则， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴或（不合，舍去）， ∴． 24. （1）如图1，O是等边内一点，连接，且，将绕点B顺时针旋转后得到，连接． 求：①旋转角的度数　　； ②线段的长　　； ③求的度数． （2）如图2所示，O是等腰直角内一点，连接，将绕点B顺时针旋转后得到，连接OD．当满足什么条件时，？请给出证明． 【答案】（1）①；②4；③；（2）当满足时，，见分析 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质得，，再根据旋转的性质得，于是可确定旋转角的度数为； ②由旋转性质得，加上，则可判断为等边三角形，所以； ③由为等边三角形得到，再利用旋转的性质得，然后根据勾股定理的逆定理可证明△OCD为直角三角形，，所以； （2）根据旋转的性质得，则可判断为等腰直角三角形，则，然后根据勾股定理的逆定理，当 时，为直角三角形，． 【详解】解：（1）①为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 旋转角的度数为； ②绕点B顺时针旋转后得到， ， 而， 为等边三角形； ； ③为等边三角形， ， 绕点B顺时针旋转后得到， ， 在中，， ， ， 为直角三角形，， ； （2）时，．理由如下： 绕点B顺时针旋转后得到， ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形，， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理逆定理，等腰三角形的判定与性质，根据熟练掌握旋转性质并灵活运用是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$