3.1.1椭圆及其标准方程（4知识点+8题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

3.1.1 椭圆及其标准方程 明确学习目标 课标要求 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，并会求简单的椭圆的标准方程． 3.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 4.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程． 重点难点 1.会求简单的椭圆的标准方程； 2.能根据椭圆定义和方程解决相关问题； 3.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 椭圆的定义 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 椭圆定义的集合语言表示： 【注意点】(1)椭圆定义中包含一动点和两定点． (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离． 2.理解 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识点2 椭圆的标准方程 1.椭圆标准方程的推导 (1)建立适当的直角坐标系 如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)． (2)写坐标和表达式 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 (3)化简，等式同侧有两个根号最好不直接平方 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 3.理解 (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上． 4.求椭圆标准方程的思路 (1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解． (2)焦点位置不明确时，可以设椭圆方程为：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 知识点3 椭圆的焦点三角形 1.定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2.两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：焦点三角形的面积S＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2. 知识点4 点与椭圆的位置关系 1.定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2.代入法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外；点在椭圆内； 点在椭圆上； 2提升学科能力 题型一 椭圆的定义及其辨析 例1．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 跟踪训练1 1．已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 2．（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 3．平面上任意一点满足，则该点的轨迹是 ． 题型二 求椭圆的标准方程 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为； (2)焦点坐标为和，且椭圆经过点. 跟踪训练2 1．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．设，若，则点的轨迹方程为 . 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． 题型三 利用椭圆定义求参数范围 例3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 跟踪训练3 1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 2．“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 题型四 根据椭圆方程求a，b，c 例4．椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 ． 2．已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 3．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为 ． 题型五 点与椭圆的位置关系 例5．已知椭圆的焦点为，点满足，则（　　） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 跟踪训练5 1．已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（    ）． A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断 2．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 3．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 题型六 焦点三角形的相关问题 例6．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 跟踪训练6 1．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 2．已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 3．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 题型七 椭圆相关的最值问题 例7．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 跟踪训练7 1．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 2．设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 3．已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 题型八 椭圆相关的轨迹（方程）问题 例8．如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．    跟踪训练8 1．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为 ； 3．已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 3质量检测评价 一、单选题 1．若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 5．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 6．椭圆的两焦点分别为 ，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（     ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 8．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．P到最小的距离是2 C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 三、填空题 9．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 11．椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 ． 四、解答题 12．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 13．已知两点、，设圆O：与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点． (1)求轨迹Γ的方程； (2)设线段的中点为Q，直线与直线相交于点R，求证：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1 椭圆及其标准方程 明确学习目标 课标要求 1.理解并掌握椭圆的定义. 2.掌握椭圆的标准方程的推导，并会求简单的椭圆的标准方程． 3.理解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法. 4.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程． 重点难点 1.会求简单的椭圆的标准方程； 2.能根据椭圆定义和方程解决相关问题； 3.能熟练地运用直接法、定义法、代入法等方法求曲线的轨迹方程． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 椭圆的定义 1.椭圆的定义 把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距． 椭圆定义的集合语言表示： 【注意点】(1)椭圆定义中包含一动点和两定点． (2)椭圆定义要求动点到两定点间的距离之和大于两定点间的距离． 2.理解 (1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值． (2)定值必须大于两定点间的距离． (3)当距离的和等于|F1F2|时，点的轨迹是线段． (4)当距离的和小于|F1F2|时，点的轨迹不存在． 知识点2 椭圆的标准方程 1.椭圆标准方程的推导 (1)建立适当的直角坐标系 如图所示，设M(x，y)是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，那么焦点F1，F2的坐标分别为(－c,0)，(c,0)． (2)写坐标和表达式 由椭圆的定义，椭圆就是集合P={M|} 因为， 所以 (3)化简，等式同侧有两个根号最好不直接平方 即 两边平方得 整理得 再平方并整理得 两边同除以得 考虑,应有，故设，就有． 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 图形 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 3.理解 (1)椭圆上的点到两焦点的距离的和为2a. (2)x2项和y2项谁的分母大，焦点就在对应的坐标轴上． 4.求椭圆标准方程的思路 (1)求椭圆标准方程时，首先要进行“定位”，即确定焦点的位置，其次是进行“定量”，即确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程(组)求解． (2)焦点位置不明确时，可以设椭圆方程为：mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 知识点3 椭圆的焦点三角形 1.定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”． 一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题． （设为） 2.两条性质 性质1：，（两个定义） 拓展：的周长为 的周长为 性质2：焦点三角形的面积S＝b2tan ，其中θ＝∠F1PF2. 知识点4 点与椭圆的位置关系 1.定义法：根据椭圆的定义判断点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点P在椭圆内部； 点P在椭圆上； 点P在椭圆外部． 2.代入法：对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外；点在椭圆内； 点在椭圆上； 2提升学科能力 题型一 椭圆的定义及其辨析 例1．已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（    ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．圆 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义即可求解. 【详解】根据题目可以得到， 此时就可以根据椭圆的第一定义得到动点P的轨迹是椭圆． 故选：A． 跟踪训练1 1．已知是椭圆：上的一点，则点到两焦点的距离之和是（    ） A．6 B．9 C．10 D．18 【答案】A 【分析】由椭圆的定义可知，椭圆上任何一点到其两焦点的距离之和为定值，且定值为长轴的长度，由此即可得解. 【详解】由题意可知椭圆：中的长半轴长，设其两焦点分别为， 又因为点是椭圆：上的一点， 所以点到两焦点的距离之和是. 故选：A. 2．（多选）已知在平面直角坐标系中，点，，点P为一动点，且，则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点P的轨迹不存在 B．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为3 C．当时，点P的轨迹是椭圆，且焦距为6 D．当时，点P的轨迹是以AB为直径的圆 【答案】AC 【分析】根据两点间的距离与到两点间距离和满足的条件，结合椭圆的定义逐个选项分析即可. 【详解】对A，，故点P的轨迹不存在，A正确； 对BC，，故点P的轨迹是椭圆，且焦距为，故B错误，C正确； 对D，，故点P的轨迹为线段AB，D错误. 故选：AC 3．平面上任意一点满足，则该点的轨迹是 ． 【答案】椭圆 【分析】由两点距离公式与椭圆定义即可得解. 【详解】由满足知， 点到定点与的距离之和为， 又与之间距离为， 根据椭圆定义可知，该点的轨迹为椭圆. 故答案为：椭圆. 题型二 求椭圆的标准方程 例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦点坐标为和，椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为； (2)焦点坐标为和，且椭圆经过点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）设椭圆的标准方程为，根据椭圆的定义求出的值，进而可求得的值，由此可得出椭圆的标准方程. 【详解】（1）解：因为椭圆的焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为，则，可得， 所以，， 因此，椭圆的标准方程为. （2）解：因为焦点坐标为和，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆经过点，由椭圆定义可得， 所以，，则， 因此，椭圆的标准方程为. 跟踪训练2 1．已知平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义直接求解即可. 【详解】因为平面内一动点P到两定点，的距离之和为8，且， 所以动点P的轨迹方程为焦点位于轴的椭圆， 设椭圆方程为，焦距为， 则，解得，故动点P的轨迹方程为. 故选：B 2．设，若，则点的轨迹方程为 . 【答案】 【分析】 根据两点距离公式可判断在以为焦点的椭圆，即可由椭圆的性质求解方程. 【详解】可以看作是点到点和点的距离和为8，由于, 所以在以为焦点的椭圆，且，， 故，故椭圆方程为， 故答案为： 3．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为和，且椭圆经过点； (2)焦点在y轴上，且经过两个点和； (3)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点． (4)经过点，两点； (5)与椭圆＋＝1有相同的焦点且经过点. (6)焦点坐标为，过点； (7)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【分析】根据椭圆的标准方程选择合适的方程形式设方程，由已知求参数即可得椭圆标准方程. 【详解】（1）由题意知，椭圆的焦点在x轴上，可设它的标准方程为， 易知，所以， 又，所以，故所求椭圆的标准方程为； （2）∵椭圆的焦点在y轴上，∴可设它的标准方程为， ∵椭圆经过点和，∴，解之得，故所求椭圆的标准方程为； （3）根据题意可知，又焦点在y轴上，故可设它的标准方程为，且焦点坐标为， ∵椭圆经过点，∴由椭圆的定义可得， 即， ∴，故椭圆的标准方程为. （4）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，且椭圆的焦点在x轴上， 所以，所以椭圆的标准方程为. （5）设椭圆的两个焦点为F1，F2，且焦点在x轴上 因为，所以，，故设椭圆方程为 由题意得，解得或 (舍去)， 所以椭圆的标准方程为. （6）设椭圆的长半轴为，短半轴为， 因为焦点的坐标为，所以另一个焦点为，且， 又椭圆过点，所以， 所以，故，所以椭圆的标准方程为； （7）设椭圆方程为， 因为椭圆经过两点，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. 题型三 利用椭圆定义求参数范围 例3．已知，则“”是“曲线表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】求方程表示椭圆的充要条件对应的的取值范围，再根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】若方程表示椭圆， 则, 解得且, 所以“”是“曲线表示椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 跟踪训练3 1．若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义且焦点在轴，列出相应方程组，从而可求解. 【详解】由题知表示焦点在y轴上的椭圆， 则有：，解得或，故D正确. 故选：D. 2．“方程表示椭圆”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由方程表示椭圆，列出不等式求解，再根据充分必要条件与集合的关系得出答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得且， 因此“方程表示椭圆”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解范围. 【详解】因为椭圆的焦点在x轴上可得 , 所以. 故答案为：. 题型四 根据椭圆方程求a，b，c 例4．椭圆的焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据椭圆方程求，并结合焦点所在位置分析判断. 【详解】由椭圆方程可知：，且焦点在y轴上， 可得，所以椭圆的焦点坐标为. 故选：B. 跟踪训练4 1．已知椭圆上一点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义计算可得. 【详解】椭圆，则，所以， 根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为， 因为椭圆上点到其一个焦点的距离为，则点到另一个焦点的距离为. 故答案为： 2．已知椭圆的焦距为2，则实数m的值为 . 【答案】3 【分析】先由的值判断焦点位置，再根据椭圆基本量的关系进行求解即可. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，所以，，， 所以，解得. 故答案为：3. 3．已知两椭圆与的焦距相等，则a的值为 ． 【答案】或9/9或 【分析】讨论焦点所在位置，根据题意列式求解. 【详解】因为两椭圆方程分别为，， 由题意可得：或，解得或. 故答案为：或9 题型五 点与椭圆的位置关系 例5．已知椭圆的焦点为，点满足，则（　　） A．点在椭圆外 B．点在椭圆内 C．点在椭圆上 D．点与椭圆的位置关系不能确定 【答案】A 【分析】结合椭圆定义可确定点在椭圆外. 【详解】若在椭圆上，则， ，点在椭圆外. 故选：A. 跟踪训练5 1．已知椭圆C:，点，则点A与椭圆C的位置关系是（    ）． A．点A在椭圆C上 B．点A在椭圆C内 C．点A在椭圆C外 D．无法判断 【答案】B 【分析】当时，代入椭圆得到，确定范围得到答案. 【详解】当时，代入椭圆得到 ， 故点在椭圆内 故选B 【点睛】本题考查了点与椭圆的关系，意在考查学生的计算能力. 2．点P(4cosα，2sinα)(α∈R)与椭圆C：＋＝1的位置关系是（    ） A．点P在椭圆C上 B．点P与椭圆C的位置关系不能确定，与α的取值有关 C．点P在椭圆C内 D．点P在椭圆C外 【答案】D 【解析】将P的坐标代入到椭圆方程的左边，结合同角三角函数的基本关系即可判断点和椭圆的位置关系. 【详解】把点P(2cosα，sinα)(α∈R)代入椭圆方程的左边为＋ ＝4（cos2α＋sin2α）＝4>1，因此点P在椭圆外． 故选:D. 3．已知点(3，2)在椭圆上，则点(-3，3)与椭圆的位置关系是 . 【答案】点在椭圆外 【分析】由已知得=1，继而有，由此可得答案. 【详解】解：因为点(3，2)在椭圆上，所以=1，又，所以，故点(-3，3)在椭圆外. 故答案为：点在椭圆外. 题型六 焦点三角形的相关问题 例6．已知是椭圆的两个焦点，点在上，且，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】C 【分析】由椭圆定义和得到，结合，由余弦定理得，进而得到正弦值，利用三角形面积公式求出答案. 【详解】由椭圆定义可得， 故， 又， 则由余弦定理得， 故， 故. 故选：C 跟踪训练6 1．已知分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点．若，则点的横坐标为（　　） A． B． C．4 D．9 【答案】B 【分析】设P的坐标，根据平面向量的坐标表示可得，联立椭圆方程求出x即可. 【详解】由，得， 设， 即，则，解得. 故选：B. 2．已知椭圆的两个焦点为、，过的直线交椭圆于M、N两点，则的周长为 ． 【答案】8 【分析】根据椭圆定义求解. 【详解】由椭圆可知，即， 由椭圆的定义可知，的周长为， 故答案为： 3．已知椭圆的两个焦点为，，M是椭圆上一点，若，且，则该椭圆的方程是 ． 【答案】 【分析】先设点的坐标，再根据已知模长及向量垂直化简得出椭圆方程. 【详解】设点, 又因为,,， 所以， 所以， 所以，根据椭圆定义可得, 所以椭圆的方程是. 故答案为：. 题型七 椭圆相关的最值问题 例7．设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，已知点，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最大值，根据三角形性质，当三点共线时最大可得答案. 【详解】，所以，所以轴， 因为，所以在椭圆内部，且， 所以， 即求的最大值， 由于，当三点共线时最大， 此时，， 所以. 故选：B. 跟踪训练7 1．已知椭圆：，的右焦点为F，P为椭圆上任意一点，点A的坐标为，则的最大值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义，将转化为，当三点共线时，取最大值即，再利用两点距离公式就可求解. 【详解】如图，    设椭圆C的左焦点为，由由椭圆定义可得，， 所以 . 故选：B. 2．设是椭圆的左焦点，P为椭圆上任一点，点Q的坐标为，则的最大值为 . 【答案】11 【分析】 先确定焦点的坐标，再利用椭圆的定义转化，结合线段差的特点可得答案. 【详解】 由题意可得，， 所以, 因为， 所以; 因为， 所以. 故答案为：11.    3．已知椭圆的左、右焦点分别为在椭圆上且关于原点对称，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】/ 【分析】设，得出，整理，令，利用单调性求值域，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， ， 令， 则在上单调递减，在上单调递增， ， ， 则的最大值与最小值之和为， 故答案为：． 题型八 椭圆相关的轨迹（方程）问题 例8．如图，一动圆与圆外切，与圆内切，求动圆圆心的轨迹方程．    【答案】 【分析】根据椭圆的定义求得动员圆心的轨迹方程. 【详解】圆的圆心为，半径. 圆的圆心为，半径， ，所以圆与圆的关系是内含. 设动圆圆心为，动圆半径为， 由于， 所以点的轨迹是以为焦点，即，，的椭圆， 所以点的轨迹方程为.    跟踪训练8 1．已知动圆过点，并且在圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据圆与圆的位置关系，整理等式，根据椭圆的定义，可得答案. 【详解】由圆，则其圆心，半径为， 设动圆的圆心为，半径为， 由圆在圆的内部与其相切，则， 由圆过点，则，即， 所以动点的轨迹为以为焦点的椭圆，则，， ，所以其轨迹方程为. 故选：D. 2．已知圆的圆心为，点是圆上的动点，点，线段的垂直平分线交于点.则点的轨迹的方程为 ； 【答案】 【分析】由垂直平分线的性质结合椭圆的定义得出点的轨迹的方程. 【详解】由题意知，线段的垂直平分线交于点，所以， ∴， ∴点在以、为焦点，长轴长为4的椭圆上，，，， ∴点的轨迹的方程为． 故答案为： 3．已知△ABC的两个顶点坐标分别是和，边AB，AC所在直线的斜率的乘积是，则顶点A的轨迹方程为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用斜率坐标公式列式，再化简即得. 【详解】设顶点A的坐标为，依题意，，整理得， 所以顶点A的轨迹方程为. 故答案为： 3质量检测评价 一、单选题 1．若点满足方程，则动点M的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用两点距离公式的几何意义，结合椭圆的定义即可得解. 【详解】因为动点满足关系式， 所以该等式表示点到两个定点，的距离的和为12， 而，即动点M的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，即，又，， 所以动点M的轨迹方程为. 故选：C. 2．已知椭圆的左、右焦分别为、，过点的直线交该椭圆于、两点，若，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据椭圆定义得，得到的周长即可求解. 【详解】椭圆，，， 、在圆上，，， 的周长为， ，. 故选：C. 3．若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得. 故选：B 4．已知椭圆，过作直线与交于两点，则的周长为（    ） A．24 B．20 C．16 D．12 【答案】A 【分析】根据焦点三角形的周长即可求解. 【详解】由椭圆方程可知，则， 所以是椭圆的焦点， 所以的周长为. 故选:.    5．已知点P为椭圆上动点，分别是椭圆C的焦点，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】D 【分析】由椭圆的定义可得，结合，即可求解. 【详解】由椭圆，可得，所以， 又由椭圆的定义可得， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 6．椭圆的两焦点分别为 ，是椭圆上一点，当的面积取得最大值时，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形面积公式得当点位于椭圆的上下端点时，面积最大，再利用特殊角的三角函数即可得到答案. 【详解】，所以， 所以，则当最大时，面积最大， 此时点位于椭圆的上下端点， 则，因为，所以， 所以. 故选：C.    二、多选题 7．已知点P是椭圆上的一点，是椭圆的左、右焦点，则下列说法正确的是（    ） A．存在点P，使得 B． C．的周长为定值6 D． 【答案】BCD 【分析】BC选项，由椭圆定义得到，，从而得到三角形周长；A选项，由余弦定理和基本不等式得到，结合的单调性得到，A错误；D选项，设，则，表达出，求出. 【详解】BC选项，因为， 由椭圆定义得，， 故的周长为，BC正确； A选项，由余弦定理得 ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 因为在上单调递减，且， 所以，故不存在点P，使得，A错误； D选项，设，则，，， 故， 因为，所以，，D正确.    故选：BCD 8．设椭圆的左右焦点为，，P是C上的动点，则下列结论正确的是（    ）． A． B．P到最小的距离是2 C．面积的最大值为6 D．P到最大的距离是9 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义和性质逐项运算分析即可. 【详解】由椭圆方程可得：，则， 对A：根据椭圆的定义可得，A正确； 对B：根据椭圆性质可知当P是椭圆的左顶点时，P到的距离最小， 最小值为，B错误； 对C：根据椭圆性质可知当P是椭圆的上顶点时，的面积最大， 最大值为，C错误； 对D：根据椭圆性质可知当P是椭圆的右顶点时，P到的距离最大， 最小值为，D正确. 故选：AD. 三、填空题 9．若椭圆上一点到焦点的距离为6，则点到另一个焦点的距离 ． 【答案】14 【分析】借助椭圆定义即可得. 【详解】由，则，由在椭圆上，故有, 又，所以. 故答案为：. 10．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【分析】可设椭圆方程，再利用待定系数法来求解即可. 【详解】根据题意，可设椭圆的标准方程为， 代入两点得：，解得：， 所以椭圆的标准方程为， 故答案为：. 11．椭圆，是左、右焦点，点，点为椭圆上一动点，则的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】根据椭圆的定义进行转化，结合图象求得的取值范围，进而确定正确答案. 【详解】椭圆，∴，∴. 如图所示，点在椭圆内部， ∵点为椭圆上的点，则，∴， ∵， 又，∴， 即. 故答案为：；    四、解答题 12．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)焦距为4，且经过点； (2)求经过点和点的椭圆方程. 【答案】(1)或 (2) 【分析】 （1）讨论焦点位置，求出，可得结果； （2）方法一： 讨论焦点位置，结合题中所给条件经过点和点，求出，可得结果； 方法二：设所求椭圆的方程为（，，），结合题中所给条件经过点和点，代入求解即可. 【详解】（1）当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. 当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为， 依题意得，，则， 故椭圆的标准方程为. （2）方法一：①当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得，故所求椭圆的标准方程为. ②当焦点在轴上时，设椭圆的标准方程为（）. 依题意有，解得 因为，所以无解.所以所求椭圆的标准方程为. 方法二：设所求椭圆的方程为（，，）. 依题意有解得所以所求椭圆的标准方程为. 13．已知两点、，设圆O：与x轴交于A、B两点，且动点P满足：以线段为直径的圆与圆O相内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M、N两点． (1)求轨迹Γ的方程； (2)设线段的中点为Q，直线与直线相交于点R，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设的中点为C，切点为T，由图可知为的中位线，可得，则可判断轨迹为椭圆,进而求出方程即可； （2）联立直线与轨迹Γ，进而求得中点的坐标，则可解得直线,从而求得，再求出直线的方向向量，利用数量积证明垂直即可. 【详解】（1）连接，设中点为，连接. 为的中位线，. 由以线段为直径的圆与圆O相内切可知，， ， 点轨迹为椭圆，、为焦点，，，， 轨迹的方程为. （2）设直线，，，， 联立， 可得，， 所以，即， 所以，. 当时，，即， ，又，，. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$