2.5.2圆与圆的位置关系（3知识点+5题型）-2024年新高二数学暑假提升预习同步讲义（人教A版2019）

2.5.2 圆与圆的位置关系 明确学习目标 课标要求 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 重点难点 1.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 2.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.理解 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． 知识点2 相交弦问题 1.公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2.公共弦方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， 则两圆公共弦所在的直线方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 【注意】(1)若与相切，则表示其中一条公切线方程； (2)若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解． 知识点3 两圆的公切线 1.公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2.两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3.两圆公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 2提升学科能力 题型一 圆与圆位置关系的判定 例1．圆：与圆：的位置关系不可能是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 跟踪训练1 1．已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 2．圆和圆的位置关系是 ． 3．圆与圆的位置关系是 ． 题型二 已知位置关系求参数 例2．已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 跟踪训练2 1．已知两圆与相交，则实数r的取值范围是 . 2．已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数m的值是 ． 3．已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 题型三 公共弦问题 例3．圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 跟踪训练3 1．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 2．圆与圆的公共弦的长为 ． 3．圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 题型四 公切线条数的判断 例4．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 跟踪训练4 1．若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 3．两圆，的公切线有且仅有 条． 题型五 公切线方程的求解 例5．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 2．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 3．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 2．圆和圆的公切线的条数为（ ） A． B． C． D． 3．圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 4．已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．若圆与圆的公共弦长为，则（    ） A． B． C．2 D．4 6．圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 8．已知圆：，圆：，则（    ） A． B．圆与圆的公共弦所在直线方程为 C．圆与圆相离 D．圆与圆的公切线有2条 9．已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 三、填空题 10．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 11．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为 . 12．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 四、解答题 13．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 14．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.5.2 圆与圆的位置关系 明确学习目标 课标要求 1.了解圆与圆的位置关系. 2.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 3.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 重点难点 1.掌握圆与圆的位置关系的判断方法. 2.能用圆与圆的位置关系解决一些简单问题． 知晓结构体系 1夯实必备知识 知识点1 两圆位置关系的判断 1.代数法：设两圆的一般方程为 C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0(D＋E－4F1>0)， C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0(D＋E－4F2>0)， 联立方程得 则方程组解的个数与两圆的位置关系如下： 方程组解的个数 2组 1组 0组 两圆的公共点个数 2个 1个 0个 两圆的位置关系 相交 外切或内切 外离或内含 2.几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系如下： 位置关系 图示 d与r1，r2的关系 外离 d>r1＋r2 外切 d＝r1＋r2 相交 |r1－r2|< d<r1＋r2 内切 d＝|r1－r2| 内含 d<|r1－r2| 3.理解 判断两圆的位置关系时，应优先使用几何法，因为利用代数法判断两圆位置关系时，若方程组无解或有一组解时，无法准确判断两圆的位置关系． 知识点2 相交弦问题 1.公共弦的定义：圆与圆相交得到两个交点，这两点之间的线段就是两圆的公共弦． 2.公共弦方程 若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交， 则两圆公共弦所在的直线方程为 (D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0. 【注意】(1)若与相切，则表示其中一条公切线方程； (2)若与相离，则表示连心线的中垂线方程. 3.公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． (2)几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用半径、半弦长、弦心距构成直角三角形，根据勾股定理求解． 知识点3 两圆的公切线 1.公切线的定义：与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，包括外公切线和内公切线． 2.两圆的位置关系与公切线的条数的关系 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公切线条数 4条 3条 2条 1条 无公切线 3.两圆公切线方程的确定 (1)当公切线的斜率存在时，可设公切线方程为，由公切线的意义（两圆公公的切线）可知，两圆心到直线的距离分别等于两圆的半径，这样得到关于和的方程，解这个方程组得到，的值，即可写出公切线的方程； (2)当公切线的斜率不存在时，要注意运用数形结合的方法，观察并写出公切线的方程． 2提升学科能力 题型一 圆与圆位置关系的判定 例1．圆：与圆：的位置关系不可能是（    ） A．内含 B．内切 C．相交 D．外切 【答案】D 【分析】将圆化为标准方程得出其圆心与半径，根据圆的标准方程得出其圆心与半径，即可得出两圆心距离，与两半径距离之和与差对比即可得出答案. 【详解】圆：化为标准方程， 则圆的圆心为，半径为， 圆：的圆心为，半径为， 则两圆心距离为， 所以两圆不可能外切. 故选：D. 跟踪训练1 1．已知圆，圆，则与的位置关系是（   ） A．相离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【分析】由圆的方程得出两圆圆心坐标和半径大小，再由圆心距和半径之间的关系可得结论. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 圆的标准方程为， 可得圆心，半径； 显然圆心距，且，即，可得两圆内切. 故选：D 2．圆和圆的位置关系是 ． 【答案】外切 【分析】根据两圆的位置关系直接得出. 【详解】根据两圆的方程可知，， 所以，所以两圆外切． 故答案为：外切 3．圆与圆的位置关系是 ． 【答案】相交 【分析】首先将两圆的方程化为标准方程，得出圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆与圆的标准方程分别为， 所以圆与圆的圆心坐标、半径分别为， 所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 题型二 已知位置关系求参数 例2．已知两圆和. (1)当a为何值时，两圆外切？ (2)当时，试判断两圆的位置关系. 【答案】(1)或 (2)两圆相交 【分析】（1）把两圆的一般方程转化为标准方程，在根据两圆外切的条件列式求解即可. （2）把代入方程直接判断两圆位置关系即可. 【详解】（1）将两圆的方程写成标准方程为， ，所以两圆的圆心和半径分别为 ，， 两圆的圆心距为， 当两圆外切时，，即，解得或. （2）当时，，所以两圆相交. 跟踪训练2 1．已知两圆与相交，则实数r的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，结合两圆的位置关系，列出方程组，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 又由圆，可得圆心， 可得圆心距为， 因为两圆和相交，可得，即 ， 解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 2．已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数m的值是 ． 【答案】4 【分析】根据两圆外切，即可根据圆心距和半径的关系求解. 【详解】圆的圆心坐标为，半径， 圆，可化为的圆心坐标为，半径， 由两圆相外切，可得， 即，得或（舍去）， 故 故答案为： 3．已知圆：和圆：. (1)当时，判断圆和圆的位置关系. (2)是否存在实数m，使得圆和圆内含？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)相交 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意求两圆圆心和半径，结合两圆的位置关系分析判断； （2）根据题意求两圆圆心和半径，假设存在，结合两圆的位置关系分析运算即可. 【详解】（1）当时，圆的标准方程为，则，半径， 圆的标准方程为，则，半径， 可得两圆的圆心距， 且，，则，所以圆和圆相交. （2）不存在，理由如下： 圆的方程可化为，则，半径. 由（1）可知：，半径. 假设存在实数m，使得圆和圆内含， 则圆心距， 整理得，此不等式无解. 故不存在实数m，使得圆和圆内含. 题型三 公共弦问题 例3．圆与圆的公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【分析】两相交圆的方程相减后，即可求得两圆公共弦所在直线方程. 【详解】由可得圆心为，半径为， 由可得圆心为，半径为， 两圆圆心距离为，两半径之和为，两半径之差为， 有，故两圆相交， 两圆方程作差为， 化简可得，即两圆公共弦所在直线方程为. 故答案为：. 跟踪训练3 1．已知圆：和圆：的公共弦所在直线经过原点，则实数a的值为 ． 【答案】6 【分析】将两圆方程作差，得两圆的公共弦所在的方程，即可求解． 【详解】解：将两圆方程联立，得：， 得， 两式相减，得：， 则两圆的公共弦所在的方程为：， 因为公共弦所在的直线经过原点， 所以：， 得， 故答案为：6 2．圆与圆的公共弦的长为 ． 【答案】 【分析】利用两圆的方程相减可得公共弦所在直线的方程，利用点线矩求出圆心到公共弦的距离，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】由，得， 即两圆公共弦所在直线的方程为， 圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故答案为： 3．圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为 ． 【答案】 【分析】将圆与圆的方程作差可得公共弦所在直线方程为，结合弦长求得，注意到点在圆上，结合切线的性质求圆的方程. 【详解】圆的圆心为，半径， 将圆与圆的方程作差可得， 即公共弦所在直线方程为， 则到直线的距离为， 由题意可得：，解得， 且，可得， 若，则圆即为， 可知圆的圆心为，半径， 则，可知， 即圆与圆相交，符合题意， 又因为，即点在圆上， 可得，则切线的斜率， 所以切线方程为，即. 故答案为：. 题型四 公切线条数的判断 例4．圆：与圆：的公切线有且仅有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 跟踪训练4 1．若，，则与公切线的条数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】求出圆心和半径，根据两圆心的距离确定两圆的位置关系，进而可得公切线的条数. 【详解】， 即，圆心， ， 即，圆心， 则， 所以， 所以两圆相交，有2条公切线. 故选：B. 2．已知圆：与圆：，若圆与圆有且仅有一条公切线，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公切线的条数确定两圆的位置关系，进而求解即可. 【详解】由题意知，，因为圆与圆有且仅有一条公切线， 所以两圆内切，故，即， 解得. 故选：C. 3．两圆，的公切线有且仅有 条． 【答案】2 【分析】 由两圆的位置关系判断公切线条数. 【详解】 化成标准方程为， 圆心，半径， 化成标准方程为， 圆心，半径， 两圆圆心距离，， 则两圆相交，因而公切线只有两条． 故答案为：2． 题型五 公切线方程的求解 例5．与圆和圆都相切的直线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先判断两个圆的位置关系，然后根据圆的公共切线的求法求得正确答案. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， ，所以两圆相离， 画出图象如下图所示， 由图可知，直线是两个圆的公切线.所以AD选项正确. 直线即直线的斜率为， 所以直线的方程为， 由解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，C选项正确. 由，解得，设， 设直线的方程为， 到直线的距离，解得， 所以，B选项错误. 故选：ACD    跟踪训练5 1．写出圆：与圆：的一条公切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出圆与圆外切，两圆相减求出两圆内公切线方程，再设两圆的外公切线所在直线方程，根据点到直线距离公式列出方程，求出答案. 【详解】圆的圆心，半径为，圆的圆心为，半径为， 故，故圆与圆外切， 将与相减得， 即两圆内公切线方程为， 两圆圆心所在直线方程为，即， 由于两圆半径相等，故两圆的外公切线所在直线方程与平行， 设为，圆心到的距离为，解得， 故两圆的外公切线所在直线方程为和. 故答案为：（或之一也可以） 2．写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 3．已知两圆和. (1)分析两圆位置关系并确定公切线数量； (2)求公切线所在直线方程. 【答案】(1)两圆内切，只有一条公切线 (2) 【分析】（1）通过两个圆的圆心距与两圆半径之间的关系判断两个圆的位置关系，进而判断两个圆的公切线条数 （2）由（1）可知两个圆是内切关系，进而将两个圆直接作差即可得到两个圆的公切线 【详解】（1），圆心，半径； ，圆心，半径， ， 所以两圆内切，只有一条公切线. （2）与 ， 两圆方程相减得：，化简即为：， 所以两圆公切线直线方程：. 3质量检测评价 一、单选题 1．已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】D 【分析】由直线平分圆求出，再判断两圆的位置关系即得. 【详解】由圆的面积被直线平分， 得圆的圆心在直线上，即，解得， 因此圆的圆心，半径， 而圆的圆心，半径， 显然，所以圆与圆外切. 故选：D 2．圆和圆的公切线的条数为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般式判断圆心与半径，利用几何法判断两圆位置关系，进而确定公切线的数量. 【详解】两个圆与， 圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 两圆圆心距为， ， 两圆相交，有条公切线. 故选：B. 3．圆与圆的位置关系是（    ） A．相交 B．内切 C．外切 D．外离 【答案】B 【分析】计算两圆的圆心距，和半径差比较，即可得答案. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为6， 圆的圆心为，半径为1， 则， 故两圆内切， 故选：B 4．已知圆M：与圆N：有两条公切线，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得圆M与N圆相交，求出圆M与N圆的圆心和半径，由，解不等式即可得出答案. 【详解】圆M：与圆N：有两条公切线，所以圆M与N圆相交， 圆M的圆心为，半径为，圆N的圆心为，半径为． 依题意可得， 即， 即，解得． 故选：D 5．若圆与圆的公共弦长为，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用两圆方程相减求出公共弦所在直线方程，根据点到直线的距离公式，利用几何法求弦长列出方程，解方程即可. 【详解】圆与圆两式相减， 整理得公共弦所在直线方程为， 又，圆心为，半径为2，公共弦长为， 则圆心到直线的距离 ， 化简得， 解得：．验证知符合题意. 故选：A.    6．圆：与圆：的公共弦所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两圆方程相减即可得解. 【详解】联立，相减可得， 故选:C 二、多选题 7．已知圆和圆，则（    ） A．圆与轴相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 D．两圆的公切线段长为 【答案】ACD 【分析】利用圆与圆的位置关系，圆与圆的公切线条数，逐个选项分析即可. 【详解】      圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径. 对于A，显然圆与轴相切，故A正确； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减，得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，两圆相交，所以两圆的公切线只有两条，又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点，即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故C正确； 对于，因为，所以公切线段长为，故D正确. 故选：ACD 8．已知圆：，圆：，则（    ） A． B．圆与圆的公共弦所在直线方程为 C．圆与圆相离 D．圆与圆的公切线有2条 【答案】ABD 【分析】对A：求得两圆心坐标，计算两圆心之间距离；对B：将两圆方程相减得公共弦所在直线方程；对C：判断与大小关系判断两圆位置关系；对D：根据两圆的位置关系判断公切线的条数. 【详解】对于A，由已知，故，故A正确； 对于C，两圆半径，，故两圆相交，故C错误； 对于B，将两圆方程与相减得公共弦所在直线方程，故B正确； 对于D，两圆相交则两圆的公切线有2条，故D正确； 故选：ABD 9．已知圆，圆，则下列是圆与圆的公切线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】在同一坐标系内画出两圆图象，由两圆相离可知共有4条切线，再利用对称性设出直线方程，由点到直线距离公式即可求得切线方程. 【详解】根据题意可知，两圆心关于原点对称， 在同一坐标系内画出两圆图象，如下图所示：    显然，圆心距，即两圆外离，共有4条切线； 又两圆心到轴的距离都等于其半径，所以轴是其中一条公切线，即A正确； 利用对称性可知，其中一条切线过原点，设其方程为， 又到切线的距离为1，即，解得或； 当时，切线即为轴，当时，切线方程为，即，B正确； 由对称性可知，切线与直线平行， 易知，所以直线的方程为， 可设的方程分别为， 由两平行线间距离公式可得，解得， 即切线的方程分别为，； 整理可得两切线方程为和，故C正确，D错误； 故选：ABC 三、填空题 10．已知圆：和圆：，则这两个圆的位置关系为 ． 【答案】内含 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系即可判断两圆的位置关系. 【详解】因为圆：，圆：， 所以圆心距， 而两圆半径之差，故两个圆内含． 故答案为：内含 11．已知圆.若圆与圆有三条公切线，则的值为 . 【答案】 【分析】根据两圆公切线条数确定位置关系为外切，再由圆心距与半径的关系列方程求出m的值. 【详解】将圆C的方程化为标准方程：， 得圆心，半径. 圆，圆心，半径. 由题可知，两圆外切， 则有， 解得. 故答案为：. 12．已知圆与圆相交于两点，则公共弦的长度是 ． 【答案】 【分析】根据两圆的方程作差可得弦所在直线方程，利用圆的几何性质求出弦长即可. 【详解】由题意所在的直线方程为：，即. 将圆转化为标准方程得，即圆心，半径为， 所以圆心到直线的距离为1， 由圆的几何性质可得． 故答案为：. 四、解答题 13．已知两圆：和：．求： (1)取何值时两圆外切； (2)取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么． 【答案】(1) (2)，． 【分析】（1）由两圆外切，得两圆圆心之间的距离等于两圆半径的和，从而求出的值； （2）由两圆内切，得到两圆圆心之间的距离等于两圆半径之差，求解得出的值；由两圆心连线与两圆公切线垂直，根据已知两圆心连线的斜率求出两圆公切线的斜率，设出切线方程，再根据切线的性质求解未知量的值. 【详解】（1）由题意，圆：，可化为： 圆：，可化为：， 可得圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆相外切时，可得， 即， 解得， 所以时，两圆外切； （2）由（1）知，圆心坐标分别为，，半径分别为，， 当两圆内切时，可得， 即， 解得， 因为， 可得两圆公切线的斜率是， 设切线方程为，即 则圆心到切线的距离等于圆的半径， 即，解得， 当时，直线与圆：相交，舍去， 故所求公切线方程为，即． 14．已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为. (1)求M点的轨迹C的方程； (2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程； 【答案】(1) (2)或. 【分析】 （1）由题意得到，利用两点距离公式即可得到M点的轨迹C的方程； （2）求出交点坐标，设出圆心坐标，根据点到直线的距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】（1）依题意，得，不妨设， 因为，， 所以，即， 整理得，配方得， 所以点的轨迹的方程为. （2）联立得，解得或， 设，，该圆的圆心为， 显然圆心位于线段的垂直平分线上，即轴上，则设， 则，解得或， 当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为， 当当时，此时圆心坐标为，，则此时圆的方程为. 故满足题意的圆的方程为或.    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$