2.3 绝对值讲义2023-2024学年北师大版数学七年级上册

2.3 绝对值 情景一：如图所示，两辆汽车从同一处出发，分别向东、西方向行驶10，分别到达A、B两处. （1） 它们行驶的路线相同吗？它们行驶的路程相同吗？ （2） 这两辆汽车行驶之后的位置有什么关系? （3） 如果把A、B两点表示在数轴上，分别写出代表A、B的点是多少. 总结： 代数定义：像2和-2，5和-5这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数，把其中一个数叫做另一个数的相反数 (1)互为相反数的两个数一定是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数； (2)互为相反数的两个数只是符号不同. 几何定义：相反数所对应的点在数轴上分别位于原点的左、右两侧，到原点的距离相等 如图所示，-2和2在数轴上的位置关系：表示2的点位于原点的右侧，表示-2的点位于原点的左侧，这两个点到原点的距离都是2个单位长度，即到原点的距离相等． 表示方法：数的相反数是，这里的数是任意有理数，即可以是正数、负数或0 相反数性质： (1)任何一个数都有相反数，而且只有一个; (2)正数的相反数是负数，即当有理数时，； (3)负数的相反数是正数，即当有理数时，； (4)0的相反数是0，即当时，，因此，表示的数不一定是负数 相反数特征： (1)若与互为相反数，则；（互为相反数的两数和（相加）为0） (2)若，则与互为相反数。（相加等于0的两个数互为相反数 ） 练习1. 1. 下列说法正确的有(　　) 1 π的相反数是3.14； ②符号相反的两个数互为相反数； ③一个数的相反数可能与它相等； ④-3.8的相反数是3.8； ⑤正数与负数互为相反数. A.1个　    B.2个 C.3个　    D.4个 2. -8 的相反数是 (　　) A. 8　　 B. -8　 　C. ±8　 D. 3. 一个数的相反数是 3，这个数是 (　　) A. B. - C. 3 D. -3 4. 如图，数轴上有A、B、C、D四个点，其中表示互为相反数的点是(　　) A.点A和点B B.点B和点C C.点C和点D D.点A和点D 5. 若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是16，则这两个点所对应的数是 · 多重符号的化简： 化简方法: (1)当最前面的符号是“+”号时，直接省略这个“+”号； (2)当最前面的符号是“-”号时，去掉这个“-”号，并写出括号内的数的相反数； (3)当这个数还能继续化简时，重复使用上述方法. 示例:+(-4)=-4，+(+2)=2，-(+3)=-3，-(-5)=5. 化简多重符号的主要依据是相反数的定义，因为可理解为求的相反数，而的相反数是，所以 ，从而达到化简的目的. 练习2. 化简下列各式的符号： （1）﹣（+4）＝ （2）+（﹣）＝ （3）﹣（+3.5）＝ （4）﹣{﹣[+（﹣）]} ＝ （5）﹣[﹣（﹣）] ＝ （6）﹣{﹣[﹣（﹣π）]} ＝ · 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数与什么关系吗？ 解答多重符号化简的问题,需要数一个数的前面一共有多少个“－”号。若有偶数个，则结果取“＋”号；若有奇数个，则结果取“－”号。 情景二：观察下图两只狗狗追寻食物的情景，请试着在数轴上表示出这一情景，并回答问题. 1. 它们所跑的路线相同吗？ 2. 它们所跑的路程(线段OA、OB的长度)一样吗？ 总结：一般地，数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点之间的距离，数的绝对值记作,读作“的绝对值”. （注意：数可以是正数、负数和0；|0|=0） 如图，-2对应的点到原点的距离为2，所以|-2|=2，同理，|2|=2，|-3|=3，|3|=3. · 观察它们的绝对值有什么关系？ 互为相反数的两个数的绝对值相等 · 注意：任何数都有绝对值，并且只有一个，数的绝对值，是表示它的点到原点的距离。因为距离不可能是负数，所以数的绝对值为非负数，即 . 在数轴上，一个数所对应的点离原点越近，绝对值越小，离原点越远，绝对值越大. 练习3. 1. 求下列各数的绝对值： |-21|＝ |0|＝ |-7.8|＝ |－（＋41）|＝ ||＝ |- |＝ 2. 下列判定中，错误的是（　　） A.一个正数的绝对值一定是正数 B.一个负数的绝对值一定是正数 C、任何数的绝对值都是正数 D.任何数的绝对值都不是负数 3. 如图，检测排球的质量，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，下面已检测的四个排球中其中质量最接近标准的是（　　） A． B． C． D． 4. 已知点M、N、P、Q在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是 情景三：完成表格，发现规律 的绝对值 4 1.5 0 -1.5 -4 绝对值的性质： 正数的绝对值是它________；负数的绝对值是它的________； 0的绝对值是_______. 即：(1) 如果，那么； (2) 如果，那么； (3) 如果，那么. 总结： (1)由绝对值的定义可知，任何一个数的绝对值都是非负的，即.这里的可以是数，也可以是字母及含有字母的式子.0是绝对值最小的数. (2)由绝对值的代数意义可知：当时，可以取正数和0；当时，可以取负数和0. · 拓展： (1)若两数的绝对值相等,则它们相等或互为相反数，即若，则或. (2)任何数的绝对值都不小于它本身，即. (3)若几个数的绝对值之和为0，则这几个数同时为0.（几个非负数的和为0，则这几个数都为0.） 即：若，则 ，，…，. (4)求一个数的绝对值，要“先判后去”，即先判断这个数是正数、0、还是负数，再由绝对值的定义去掉绝对值符号. 练习4. 1. 判断下列说法是否正确. （1） |3|＞0；|-1.3|＞0.　　　 （ ） （2） 有理数的绝对值一定是非负数. （ ） （3） 若 ，则.　　　　　　　　 （ ） （4） 若，则. （ ） （5） 若，则必为负数.　　 （ ） （6） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （ ） 2. 数在数轴上的对应点在原点左边，且，则的值为 3. 若||=4，则＝ ；若||=2，则＝ . 4. 若，则　　   ，　　   . 5. ，且在原点左侧，则　　   ． 情景四： （1） 在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： -2.5， -3， -1.5， -1， 1， 3.5 （2） 求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小. （3） 你发现了什么？ · 有理数比较大小： （1） 借助数轴，数轴上右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大. （2） 比较两个有理数大小的方法： 1 同号两数：同时为正，绝对值大的数就大；同时为负，绝对值大的数反而小 2 异号两数：正数大于负数 3 其中一个数为0：正数和0，正数大于0；负数和0，负数小于0 练习5. 1. 比较下列有理数的大小. -0.7 -70 -(-6) -|-6| - 0 ﹣|﹣8| ﹣6 -3.14 - 2. 如图，数轴上有M、N、P、Q四个点，其中所对应的数最大的点是 ，绝对值最大的点是 3. 在下面带有箭头的直线上先确定好原点以及单位长度，然后在所得的数轴上把下列各数表示出来，并用“＜”把这些数连接起来 ﹣2， 3.5， ﹣1， 2.75， 2， ﹣3． 4. 在数轴上表示下列各数：3.5，﹣3.5，0，，﹣1.6，﹣，﹣4，2.5，并用“＜”把这些数连接起来． 【基础练习】 1. －3的相反数是(　　) A.－3 B.3 C.－ D. 2. 下列各组数互为相反数的是(　　) A.4和－(－4) B.－3和 C.－2和－ D.0和0 3. 写出下列各数的相反数： (1)－3.5的相反数为　　　　； (2)的相反数为　　　　； (3)0的相反数为　　　　； (4)28的相反数为　　　　； (5)＝　　　　； (6)|5.4|＝　　　　； (7)|－3.5|＝　　　　； (8)|0|＝　　　　. 4. 比较大小：－5　　　　－2；－　　　　－ 5. 判断下列说法是否正确： (1) 符号相反的数是相反数. （ ） (2) 一个数的绝对值等于本身，则这个数一定是正数. （ ） (3) 一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数. （ ） (4) 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数一定相等. （ ） (5) 如果两个数不相等，那么这两个数的绝对值一定不等. （ ） 6. 某汽车配件厂生产一批圆形的橡胶垫，从中抽取6件进行检验，比标准直径长的毫米数记作正数，比标准直径短的毫米数记作负数，检验结果记录如下表：用学过的知识来说明这6件橡胶垫中哪些质量较好. 1 2 3 4 5 6 +0.5 -0.3 +0.1 0 -0.1 0.2 7. 已知，，且，求的值． 8. 如图，数轴的单位长度为1，数轴上点A，B所表示的数的绝对值相等，则点P表示的数的相反数为________． 9. 是数轴上三个有理数，已知、均在原点左侧，且到原点的距离大于到原点的距离，，则三个数的大小关系为_____________(用“”连接)． 【巩固练习】 1. 2021的相反数的绝对值是 　 　 2. 如果互为相反数，那么2024＋2024＋100＝　　 3. 若非零数互为相反数，互为倒数，则 ＝　　 4. 如果，下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 5. 若与2互为相反数，与互为倒数，的平方与它本身相等，求＝　　 6. 已知的几何意义为数轴上表示数、6两点之间的距离，计算方程的解＝　　 从数轴上看，表示数的点到原点的距离(长度、非负)，表示数与数两点之间的距离. 7. 若，则＝　　 8. 与互为相反数＝　　 9. 若与互为相反数，则＝　　 10. 在数轴上有四个点M、N、P、Q位置如图所示，已知点M与点Q所表示的数到原点的距离相等，且点M到点P与点Q到点P的距离相等，若将图中各点所表示的数的绝对值从小到大排列，排在第二位的是点________所表示的数的绝对值． 11. 若三个互不相等的有理数既可表示为1、、的形式，又可表示为0、、的形式，试求、的值。 12. 已知有理数其中数在如图所示的数轴上对应点M，是负数，且在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）＝　 　，＝　 　． （2）写出大于﹣的所有负整数； （3）在数轴上标出表示﹣，0，﹣|﹣1|，﹣的点，并用“＜“连接起来． 13. （1）画出数轴，用数轴上的点表示下列各数，并用“＞”将它们连接起来：﹣3，﹣1.75，1，﹣0.5， （2）数轴上点A表示的数为﹣3的绝对值，点B表示的数为1的相反数，点P从点A出发，以每秒5个单位长度的速度沿数轴向正方向匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向负方向匀速运动，当运动时间为5秒时，请直接写出点P表示的数为 　 　，点Q表示的数为 　 　，点P和点Q之间的距离为 　 　个单位长度． 6 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$