精品解析：河北省保定市竞秀区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题

河北省保定市竞秀区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A. 杯 B. 立 C. 比 D. 曲 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形平移的性质解答即可． 本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． 【详解】解：由图可知A不是平移得到，B不是平移得到，D不是平移得到， C是利用图形的平移得到． 故选：C． 2. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式，从而得出答案． 【详解】A．是整式，故本选项错误； B．是整式，故本选项错误； C．是分式，故本选项正确； D．整式，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的定义，能熟记分式的定义是解此题的关键，式子（是整式）中，分母中含有字母，则叫分式． 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 【答案】D 【解析】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时， 首先应假设与不平行，即与相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转前后对应边的夹角等于旋转角． 根据旋转的性质得出，再根据即可解答． 【详解】解：由旋转可得：， ∵， ∴， 故选：B． 5. 若a＜b，则下列变形正确的是( ) A. a－1b－1 B. C. －3a－3b D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、∵a＜b， ∴a−1＜b−1，故本选项不符合题意； B、∵a＜b， ∴，故本选项不符合题意； C、∵a＜b， ∴−3a＞−3b，故本选项符合题意； D、当时，； 当时，； 当时，；故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键． 6. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式的运算，熟练掌握分式的运算是解题的关键；由题意可根据分式的运算进行排除选项． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不全面，故不符合题意； C、，，不符合题意； D、或，符合题意； 故选D． 7. 淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误是（ ） A. 变成四边形后内角和增加了 B. 变成四边形后内角和增加了 C. 外角和没有发生变化 D. 若剪掉的角的度数是，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了多边形的对角线，内角和与外角和，三角形内角和定理，解题的关键是掌握三角形的内角和为180度，四边形的内角和为360度，多边形的外角和为360度． 【详解】解：∵三角形内角和为，四边形内角和为， ∴变成四边形后内角和增加了，故A不正确，符合题意；B正确，不符合题意； ∵三角形外角和为，四边形外角和为， ∴外角和没有发生变化，故C正确，不符合题意； ∵剪掉的角的度数是， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：A． 8. 如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（ ） 嘉嘉：；淇淇： A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 两人的都正确 D. 两人的都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加； 故两人的都正确； 故选C． 9. 如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应边相等，对应角相等． 通过证明，得出，，即可解答． 【详解】解：在和中， ， ∴，故A正确，不符合题意； ∴，，故C正确，不符合题意； ∴平分，故D正确，不符合题意； ∵，， ∴，故B错误，符合题意； 故选：B． 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，顶点坐标是、则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题可过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM，根据勾股定理求出OP的长度，则N点坐标便不难求出． 【详解】过P作PE⊥OM，过点N作NF⊥OM， ∵顶点P的坐标是(3,4)， ∴OE=3,PE=4, ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OE=MF=3， ∵4+3=7， ∴点N的坐标为(7,4). 故选A. 【点睛】此题考查平行四边形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于作辅助线. 11. 如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式，一元一次不等式组的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出不等式求解． ①根据“将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为”，列出算式，即可求出a；②根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”即可解答；③根据“直到放入第4个后，发现有水溢出”列出不等式组，求出b的取值范围，即可解答；④根据①中求出a的值，即可解答． 【详解】解：①，故①正确，符合题意； ②∵直到放入第4个铁块后，发现有水溢出， ∴，故②不正确，不符合题意； ③根据题意可得：， 解得：， ∴， ∵， ∴水不会溢出，故③正确，符合题意； ④由①可得：， ∴， ∴水一定会溢出，故④正确，符合题意； 综上：正确的有①③④， 故选：C． 12. 如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（ ） A. 垂直平分 B. 点不一定在的角平分线上 C. D. 若，则垂直平分 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 根据题意易得，，则垂直平分，即可判断A；通过证明，得出，即可判断B；根据垂直平分，得出，即可判断C；易得为等边三角形，进而得出，即可判断D． 【详解】解：A、∵， ∴点A在垂直平分线上， 由作图可知，， ∴点D在垂直平分线上， ∴垂直平分，故A正确，不符合题意； B、∵，，， ∴， ∴， ∴点在的角平分线上，故B不正确，符合题意； C、∵垂直平分， ∴， 故C正确，不符合题意； D、∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分，故D正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（本大题共4个小题；每题3分，其中16题（1）1分，（2）2分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 分解因式：3x2﹣18x+27=________． 【答案】3（x﹣3）2 【解析】 【分析】先提取公因式3，再根据完全平方公式进行二次分解． 【详解】3x2-18x+27， =3（x2-6x+9）， =3（x-3）2． 故答案为：3（x-3）2． 14. 琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的性质解答即可，本题考查了分式的性质，熟练掌握分式化简的基本方法是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得：， ， ， ∴， 故答案为：． 15. 已知一次函数y＝k x+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式k x+b＜0的解集是________． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 【答案】x＞1 【解析】 【分析】首先求出一次函数的解析式，由k的值确定图象经过一二四象限，根据与X轴交点的坐标即可求出答案． 详解】解：把（﹣1，2），（0，1）代入y＝k x+b得：， 解得：k＝﹣1，b＝1， ∴y＝﹣x+1，由表可知与X轴交于（1，0）， k＝﹣1＜0，图象经过一二四象限， ∴不等式k x+b＜0的解集是x＞1． 故答案为x＞1． 【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求解，集合一元一次不等式的求解考查，求出一次函数的解析式是核心． 16. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后三点重合（即），点B与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，． （1）___________； （2）若，则___________． 【答案】 ①. 3 ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质的应用，等腰三角形的三线合一定理的应用是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，则，即可解答；根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∴． 故答案为：3，． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 【答案】不等式组的整数解为：，，，，；数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组，解题的关键是掌握不等式组的解法．先分别把每个不等式的解集求出来，再求出不等式组的解集，最后把解集在数轴上表示出了即可 【详解】解： 解不等式①： 解不等式②： 不等式组的解集为， 不等式组的整数解为：，，，，， 解集在数轴上表示如下： 18. 已知：． （1）化简； （2）从中选一个合适的数作为的值，求的值． 【答案】（1） （2）时，原式= 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算的运算顺序和运算法则，以及分式有意义的条件：分母不为0． （1）先将括号内通分，各个分子分母进行因式分解，再根据分式混合运算的顺序和运算法则进行化简即可； （2）根据分式有意义的条件，得出x的值，再将x的值代入进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 当时，原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，． （1）平移，得到，已知点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______； （2）在图中画出，使与关于原点成中心对称； （3）与恰好关于点成中心对称，则点坐标为______；四边形的面积为______． 【答案】（1） （2）见解析 （3），4 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—平移，关于原点对称的点的坐标特征，中心对称的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据点A和点的坐标，得出向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到，即可解答； （2）根据关于原点对称的点的坐标特征，得出的坐标，分别描出点，再依次连接即可； （3）连接相交于点M，根据图形即可得出点M的坐标，由图可知：四边形的面积，即可解答． 【小问1详解】 解：∵，， ∴向左平移2个单位长度，向下平移4个单位长度得到， ∵， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，． ∴， 如图所示：即为所求； 【小问3详解】 解：连接相交于点M， 由图可知：， 四边形的面积， 故答案为：，4． 20. 如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）先由得对角线互相平分且相等OA＝OC，OB＝OD，再由条件中AE=CF得到要证明的四边形BEDF的对角线互相平分且相等，即可证明BEDF为平行四边形． （2）在Rt△BEF中已知BE＝8，BF＝10，利用勾股定理可求得EF的长，进而即可得到EO的长，再在Rt△BEO中，利用勾股定理求得BO的长，即可得到BD长． 【详解】解：（1）证明：连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF，∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）∵BE⊥AC， ∴∠BEF＝90°， 在Rt△BEF中，EF＝＝6， ∴OE＝OF＝3， 在Rt△BEO中，OB＝， ∴BD＝2OB＝． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质及判定、应用勾股定理解三角形，重点在于根据已知找到各线段间关系． 21. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____________整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算； （1）根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可； （2）设三位数，则去括号合并化简即可说明小红的猜想是正确的． 【小问1详解】 解：猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． ； 【小问2详解】 设三位数，则： ， 能被整除， 能被整除， 小红的猜想是正确的． 22. 数学课上，欲证明命题：“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”． 老师仅给出了较短直角边，要求大家利用尺规作出以为直角的，并借助所作图形证明上述命题． （1）下面是嘉琪的部分作法及作出的部分图形，请你用尺规作图的方法在图2中完成后续作图；（只保留作图痕迹，不写作法，作图要用铅笔，如果笔迹太细、太轻，可以描重一些） （2）嘉琪依据（1）中作出的，写出了已知、求证和证明的过程，请你补充完整． 已知：中，，______________． 求证：______________． 证明：延长至，使，连接． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，等边三角形判定性质，垂直平分线的性质． （1）先作的垂直平分线，再以点B为圆心，为半径画弧，所画弧与的垂直平分线相交于点A，连接； （2）延长至，使，连接，易得，根据垂直平分线的性质得出，即可推出为等边三角形，根据三线合一即可求证． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 已知：中，，． 求证：． 证明：延长至，使，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，则为等边三角形， ∴， ∵， ∴． 23. 端午节前，惠友超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示． 水果价钱 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 18 23 已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同． （1）求甲乙两种水果的进价； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，如果设将所有水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 【答案】（1）甲种水果进价为10元/千克，乙种水果进价为14元/千克 （2）购进甲种水果80千克，购进乙种水果20千克时，获得最大利润，最大利润是820元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出熟练关系，正确列出方程，不等式以及函数表达式． （1）根据“用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同”列出分式方程解答即可； （2）设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克，先根据“甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍”列出不等式，求出a的取值范围，再根据题意列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， ∴， 答：甲种水果进价为10元/千克，乙种水果进价为14元/千克． 【小问2详解】 解：设购进甲种水果a千克，则购进乙种水果千克， ， 解得：， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最大值，此时，， ∴购进甲种水果80千克，购进乙种水果20千克时，获得最大利润，最大利润是820元． 24. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为的中点． （1）观察猜想： 猜想①线段与的数量关系是___________； 猜想②与之间的关系是___________． （2）探究证明： 嘉嘉把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接发现（1）中猜想①②仍然成立．请你完成下面两个问题： ①证明：问题（1）中猜想①（线段与的数量关系）仍然成立； ②利用（1）中猜想②（与之间的关系），推断线段与的位置关系．（请写出推断过程） （3）拓展延伸：绕点在平面内自由旋转，若，直接写出面积的最大值． 【答案】（1）①；② （2）①见解析；②，过程见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）①利用三角形的中位线得出，，由，可得出，②根据，，得到，，由，即可得到结论； （2）①通过证明，得出，根据三角形的中位线定理，即可求证；②由①可得：，则，易得，根据，得出，即可得出结论； （3）先判断出最大时，的面积最大，而最大是，进而得出结论． 【小问1详解】 解：①∵，， ∴，即， ∵点M、P、N分别为的中点， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵点M、P、N分别为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 ①证明：由旋转可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∵点M、P、N分别为中点， ∴， ∴； ②由①可得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）知，是等腰直角三角形，， ∴最大时即最大时，面积最大， ∴面积最大时，点D在的延长线上，此时， ∵， 由勾股定理得：，， ∴， ∴， ∴的最大值． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于几何变换综合题，熟练掌握这些性质是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省保定市竞秀区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效，答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 一、选择题（本大题共12个小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　） A. 杯 B. 立 C. 比 D. 曲 2. 下列各式中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 4. 如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若a＜b，则下列变形正确的是( ) A. a－1b－1 B. C. －3a－3b D. 6. 若分式□运算结果为x，则在“□”中添加的运算符号为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 淇淇在活动课上将三角形剪掉一个角后得到四边形，则下列判断错误是（ ） A. 变成四边形后内角和增加了 B. 变成四边形后内角和增加了 C. 外角和没有发生变化 D. 若剪掉的角的度数是，则 8. 如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（ ） 嘉嘉：；淇淇： A. 只有嘉嘉的正确 B. 只有淇淇的正确 C. 两人的都正确 D. 两人的都不正确 9. 如图，于点于，且的延长线分别交，于点C，F．下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 平分 10. 如图所示，在平面直角坐标系中，顶点坐标是，顶点坐标是、则顶点的坐标是（ ） A B. C. D. 11. 如图，一个容量为的杯子中装有的水，先将6颗相同的小玻璃球放入这个杯中后，总体积变为，接着依次放入4个相同的小铁块，直到放入第4个后，发现有水溢出．若每个小玻璃球的体积是，每个小铁块的体积是．下面四个说法：①；②；③杯子中仅放入6个小铁块，水一定不会溢出；④杯子中仅放入12个小玻璃球，水一定会溢出，其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 12. 如图，在中，，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；（2）连接交于点，则下列结论中错误的是（ ） A. 垂直平分 B. 点不一定在的角平分线上 C. D. 若，则垂直平分 二、填空题（本大题共4个小题；每题3分，其中16题（1）1分，（2）2分，共12分．把答案写在题中横线上） 13. 分解因式：3x2﹣18x+27=________． 14. 琪琪在化简分式时得到的结果为，则？部分的代数式应该是___________． 15. 已知一次函数y＝k x+b（k、b是常数，且k≠0），x与y的部分对应值如下表所示，那么不等式k x+b＜0的解集是________． x ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 y 3 2 1 0 ﹣1 ﹣2 16. 如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后三点重合（即），点B与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，． （1）___________； （2）若，则___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式组，把解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的整数解． 18. 已知：． （1）化简； （2）从中选一个合适数作为的值，求的值． 19. 如图，在平面直角坐标系中，已知三个顶点坐标分别为，． （1）平移，得到，已知点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为______； （2）在图中画出，使与关于原点成中心对称； （3）与恰好关于点成中心对称，则点坐标为______；四边形的面积为______． 20. 如图，在中，E、F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）连接BD交EF于点O，当BE⊥EF且BE＝8，BF＝10时，求BD的长． 21. 一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：； 猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_____________整除． 验证： （1）若这个“对称数”是979，请通过计算验证小红的猜想； （2）设一个对称数的百位数字与个位数字均为，十位数字均为，请你通过推理说明小红的猜想是正确的． 22. 数学课上，欲证明命题：“在直角三角形中，如果一条直角边是斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于”． 老师仅给出了较短直角边，要求大家利用尺规作出以为直角的，并借助所作图形证明上述命题． （1）下面是嘉琪的部分作法及作出的部分图形，请你用尺规作图的方法在图2中完成后续作图；（只保留作图痕迹，不写作法，作图要用铅笔，如果笔迹太细、太轻，可以描重一些） （2）嘉琪依据（1）中作出的，写出了已知、求证和证明的过程，请你补充完整． 已知：中，，______________． 求证：______________． 证明：延长至，使，连接． 23. 端午节前，惠友超市为了满足人们的购物需求，计划购进甲、乙两种水果进行销售，经了解甲种水果和乙种水果的进价与售价如表所示． 水果价钱 甲 乙 进价（元/千克） 售价（元/千克） 18 23 已知用1000元购进甲种水果的重量与用1400元购进乙种水果的重量相同． （1）求甲乙两种水果的进价； （2）若超市购进这两种水果共100千克，其中甲种水果的重量不低于乙种水果重量的4倍，如果设将所有水果卖出会获利元，则超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少？ 24. 如图1，在中，，点D、E分别在边、上，，连接，点M、P、N分别为的中点． （1）观察猜想： 猜想①线段与的数量关系是___________； 猜想②与之间的关系是___________． （2）探究证明： 嘉嘉把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接发现（1）中猜想①②仍然成立．请你完成下面两个问题： ①证明：问题（1）中猜想①（线段与的数量关系）仍然成立； ②利用（1）中猜想②（与之间的关系），推断线段与的位置关系．（请写出推断过程） （3）拓展延伸：绕点在平面内自由旋转，若，直接写出面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$