1.3空间向量及其运算的坐标表示（七个重难点突破）-2024-2025学年高二第一学期数学重难点突破及易错点分析（人教A版）

1.3空间向量及其运算的坐标表示 一、空间点、向量的坐标运算 五、利用坐标运算解决垂直问题 二、空间向量坐标的线性运算 六、利用坐标运算解决模长问题 三、空间向量的数量积运算 七、利用坐标运算解决夹角问题 四、利用坐标运算解决平行问题 知识点1空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 重难点一 空间点、向量的坐标表示 【例1】在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 【例2】（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【变式1-2】已知点，，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为 . 【变式1-3】若△顶点，且，，则点C坐标是 . 知识点2空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 重难点二 空间向量坐标的线性运算 【例3】已知，求下列向量的坐标： (1)；(2)；(3)． 【例4】已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-1】已知，则 ． 【变式2-2】已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 【变式2-3】在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ． 重难点三 空间向量的数量积运算 【例5】已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【例6】已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求. 【变式3-1】已知，则 . 【变式3-2】向量，且向量与非零向量方向相反，则的取值范围是 ． 【变式3-3】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则 ．    知识点3空间向量在几何中的应用 向量运算 坐标表示 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: ①平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； ②几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； ③几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得． 重难点四 利用坐标运算解决平行问题 【例7】已知空间向量、，若，则 ． 【例8】已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知空间两点，，点在直线上运动，则 . 【变式4-2】在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 . 【变式4-3】已知向量，，求： (1)； (2)若，则的值； (3)若，则的值. 重难点五 利用坐标运算解决垂直问题 【例9】已知向量，，，则 ． 【例10】已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 【变式5-1】已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【变式5-2】空间三点，，，若与，都垂直，且，则的坐标为 . 【变式5-3】如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．    重难点六 利用坐标运算解决模长问题 【例11】在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（        ） A． B． C．3 D． 【例12】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】设，向量，，，且，，则 ． 【变式6-2】已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【变式6-3】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 重难点七 利用坐标运算解决夹角问题 【例13】若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【例14】已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【变式7-1】已知向量.若，则与的夹角为 . 【变式7-2】已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【变式7-3】如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 一、单选题 1．空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若，，共面，则x等于（    ） A． B．1 C．1或 D．1或0 3．与空间向量同向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（    ）      A． B． C． D． 5．在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（    ）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大 二、多选题 7．在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 8．棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 10．已知空间向量，，，则 ． 11．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 四、解答题 12．已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 13．已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 14．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3空间向量及其运算的坐标表示 一、空间点、向量的坐标运算 五、利用坐标运算解决垂直问题 二、空间向量坐标的线性运算 六、利用坐标运算解决模长问题 三、空间向量的数量积运算 七、利用坐标运算解决夹角问题 四、利用坐标运算解决平行问题 知识点1空间直角坐标系 1．空间直角坐标系 （1）在空间选定一点O和一个单位正交基底,以O为原点,分别以的方向为正方向,以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴,这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz. （2）相关概念： O叫做原点,都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面,它们把空间分成八个部分． 画空间直角坐标系时,一般使(或45°),. 2．空间向量的坐标表示 （1）空间点的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.在单位正交基底下与向量对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作,其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标． （2）空间向量的坐标 向量的坐标：在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量,作,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使.有序实数组(x,y,z)叫做在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,可简记作． 重难点一 空间点、向量的坐标表示 【例1】在正方体中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，分别求，，的坐标． 【答案】见解析. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系， 则，，，，， ∴，，. 【例2】（多选）如图，在正三棱柱中，已知的边长为2，三棱柱的高为的中点分别为，以为原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，则下列空间点及向量坐标表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】在等边中，，所以，则，，则. 故选：ABC 【变式1-1】（多选）已知正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，则（    ） A．点的坐标为（2，0，2） B． C．的中点坐标为（1，1，1） D．点关于y轴的对称点为（－2，2，－2） 【答案】BCD 【详解】根据题意可知点的坐标为，故A错误； 由空间直角坐标系可知： ,故B正确； 由空间直角坐标系可知：,故的中点坐标为（1，1，1），故C正确； 点坐标为，关于于y轴的对称点为（－2，2，－2），故D正确， 故选：BCD 【变式1-2】已知点，，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为 . 【答案】 【详解】由题设，，而，令，则， ∴，可得，即. 故答案为： 【变式1-3】若△顶点，且，，则点C坐标是 . 【答案】 【详解】由，，可得：， 又，同理可得：. 故答案为： 知识点2空间向量的运算及坐标的关系 设向量,那么 向量运算 坐标表示 加法 减法 数乘 数量积 重难点二 空间向量坐标的线性运算 【例3】已知，求下列向量的坐标： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） ． （2） ． （3）. 【例4】已知空间向量，若共面，则实数 （    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】因为不共线，共面， 所以存在一对有序实数，使， 所以， 所以，解得， 故选：A 【变式2-1】已知，则 ． 【答案】 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 【变式2-2】已知，，点P在线段AB上，且，则向量的坐标为 . 【答案】 【详解】因为点P在线段AB上，且， 所以，所以， 得， 因为，， 所以， 所以， 故答案为： 【变式2-3】在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为 ． 【答案】 【详解】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以． 故答案为: . 重难点三 空间向量的数量积运算 【例5】已知向量，，若，则实数等于（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】由题意知向量，，， 故， 故选：D 【例6】已知是长方体，，且E为侧面的中心，F为的中点，分别求. 【答案】16，0，2. 【详解】如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标系， 即有，0，，，0，，，4，，，0，， ，0，，，4，，，4，， ，0，，，2，， （1），4，，4，； （2），2，，0，； （3），2，，2，．    【变式3-1】已知，则 . 【答案】 【详解】由题意得，， 则. 故答案为： 【变式3-2】向量，且向量与非零向量方向相反，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：因为向量与非零向量方向相反向量， 所以，存在实数，使得， 所以，， 所以， 所以，的取值范围是 故答案为： 【变式3-3】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥为阳马，平面ABCD，且，，则 ．    【答案】3 【详解】以A为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，．因为，， 所以． 故答案为：3.    知识点3空间向量在几何中的应用 向量运算 坐标表示 共线 垂直 向量长度 向量夹角公式 利用空间向量基本定理解决几何问题的思路: ①平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； ②几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； ③几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用空间向量的坐标运算可以求得． 重难点四 利用坐标运算解决平行问题 【例7】已知空间向量、，若，则 ． 【答案】1 【详解】因为、且， 所以，则，即，解得， 所以. 故答案为： 【例8】已知空间向量，空间向量满足且，则＝（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵，且空间向量满足， ∴可设， 又，∴，得． ∴，故A正确. 故选：A. 【变式4-1】已知空间两点，，点在直线上运动，则 . 【答案】 【详解】解：依题意得，， 因为点P在直线上运动，则存在非零实数，使得， 得，则， 得，得， 故答案为： 【变式4-2】在空间直角坐标系中，，若三点共线，则 . 【答案】 【详解】由题得.， 因为三点共线，所以存在实数，使得， 即， 所以，解得，所以， 故答案为： 【变式4-3】已知向量，，求： (1)； (2)若，则的值； (3)若，则的值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 所以. （2）因为，， 所以，， 又因为，所以， 解得：. （3）因为，， 且，所以， 解得： 重难点五 利用坐标运算解决垂直问题 【例9】已知向量，，，则 ． 【答案】 【详解】由，， 则，， 又， 则， 即， 解得， 故答案为：. 【例10】已知空间三点，，，在直线OA上有一点H满足，则点H的坐标为 . 【答案】 【详解】设， 则， 由，即， 因为共线，故存在实数使得，即 所以，解得， 所以点H的坐标为. 故答案为： 【变式5-1】已知. (1)若，分别求λ与m的值； (2)若，且与垂直，求. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）因为， 所以设， 所以，解得， 所以，. （2）因为，且与垂直， 所以,化简得,解得. 故. 【变式5-2】空间三点，，，若与，都垂直，且，则的坐标为 . 【答案】或 【详解】， 设，则，解得或 所以的坐标为或. 故答案为：或 【变式5-3】如图，在长方体中，已知，，，若对角线上存在一点，使得，则的最大值是 ．    【答案】 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系：    ，，，. 在上，所以设，， 所以，所以. 所以，. 因为，所以， 即，令，则 令，则，所以， 所以二次函数开口向下，对称轴为：， 所以在处取得最大值为：. 所以的最大值是. 故答案为： 重难点六 利用坐标运算解决模长问题 【例11】在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（        ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【详解】因点关于y轴的对称点为，， 则，故. 故选：C. 【例12】若，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知可得, 则 , , 所以， 所以. 故选:A. 【变式6-1】设，向量，，，且，，则 ． 【答案】3 【详解】解：，，， ， ， 解得：， 又， ， ， ， 故答案为：3． 【变式6-2】已知空间中三点，，，设，. (1)已知，求的值； (2)若，且∥，求的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由题知，， 所以， 因为， 所以. （2）因为∥， ， 所以，， 因为，所以，解得 ， 所以或. 【变式6-3】如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】   依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 重难点七 利用坐标运算解决夹角问题 【例13】若，，与的夹角为，则λ的值为 ． 【答案】/ 【详解】因为，，与的夹角为， 所以， 解得， 故答案为：. 【例14】已知空间中三点，设. (1)若，且，求向量； (2)求以为一组邻边的平行四边形的面积. 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由可得， 若，则， 又，所以，解得， 所以或. （2）由可得，， 所以，，， 所以，所以， 所以. 【变式7-1】已知向量.若，则与的夹角为 . 【答案】 【详解】， 又，， 而，故与的夹角为， 故答案为： 【变式7-2】已知空间三点，，，设，. (1)求，夹角的余弦值； (2)若与的夹角是钝角，求k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，，所以，， 所以， 即，夹角的余弦值为； （2），， 因为与的夹角是钝角，所以且与不共线， 当时，即，解得， 当与共线时，存在实数t，有，于是得， 解得，因此与不共线，则， 所以k的范围是. 【变式7-3】如图，在直三棱柱中，线段，，的中点分别为，，.已知，，.    (1)证明：； (2)求. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1） 由题意易知，，两两相互垂直，以A为坐标原点，，，分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.    则，，，，. 因为，， 所以，因此. （2） 因为，， 则，， 可得， 所以. 一、单选题 1．空间内有三点，，，则点到的中点的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由、可得， 故. 故选：C. 2．已知向量，，，若，，共面，则x等于（    ） A． B．1 C．1或 D．1或0 【答案】A 【详解】因为，，共面，所以，则，解得. 故选：A. 3．与空间向量同向的单位向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则， 所以与空间向量同向的单位向量为. 故选：C. 4．如图，在三棱锥中，平面，，且，则在方向上的投影向量为（    ）      A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵平面,， ∴,, 故以为坐标原点，所在直线为建立空间直角坐标系，令.    则， 则， ∴在方向上的投影向量，即在轴正方向上的投影向量为. 故选：C. 5．在棱长为的正四面体中，平面于，是的中点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如下图所示： 在正四面体中，平面于，则为等边三角形的中心， 且，， 因为平面，平面，所以，， 则， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如上图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， 对于A选项，，， 所以，，所以，，A对； 对于B选项，，， 所以，，B错； 对于C选项，，，C对； 对于D选项， ，即，D对. 故选：B. 6．如图，在正方形中，点，分别是线段，上的动点，且，与交于G，在与之间滑动，但与和均不重合．现将四边形沿直线折起，使平面平面，在从滑动到的过程中，的大小（    ）    A．先变小后变大 B．先变大后变小 C．不发生变化 D．由小变大 【答案】C 【详解】设正方形的边长为，， ，，，，， ，， ， 由面面垂直关系可知，即角度不会发生变化，所以C正确； 故选：C.    二、多选题 7．在空间直角坐标系中，给出以下结论：其中正确的是（　　） A．点关于原点的对称点的坐标为； B．点关于y轴对称的点的坐标是； C．点关于平面对称的点的坐标是； D．已知点与点，则AB的中点坐标是. 【答案】CD 【详解】A选项，点关于原点的对称点的坐标为，故A错误； B选项，点关于y轴对称的点的坐标是；故B错误； C选项，点关于平面对称的点的坐标是，故C正确； D选项，已知点与点，则AB的中点坐标是，故D正确. 故选：CD. 8．棱长为1的正四面体内有一点，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】如图将正四面体放进正方体中，则是正方体的中心， 又正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为， 所以，，，，，    所以，，， ， 所以，故A正确； 又，所以，故B正确； 因为，所以， 所以，故C正确； ，故D错误； 故选：ABC 三、填空题 9．若､，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是 . 【答案】 【详解】解：点､，为线段上一点，且， 所以， 设点的坐标为，则， 则，即， 解得，即； 故答案为：． 10．已知空间向量，，，则 ． 【答案】 【详解】因为， 又因为， 所以. 故答案为：. 11．已知点，，，，点在直线上运动，当取得最小值时，点的坐标是 ． 【答案】/ 【详解】由题设，，则，， 令，则，所以，则， 故， 所以 ， 故当时，取得最小值，此时坐标为. 故答案为： 四、解答题 12．已知点 (1)表示出，并求 (2)证明：与四点共面 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）,所以，故， （2）设， 解的， ，则共面 又因为为公共点，所以这四个点共面 13．已知空间三点，，． (1)求以和为邻边的平行四边形的面积； (2)试判别点与点，，是否共面？请说明理由． 【答案】(1) (2)共面，理由见详解 【详解】（1）由已知可得，，， ， 又，. 所以以为邻边的平行四边形的面积为. （2）由题，，，， 假设存在实数，使得， 则解得. ，即与是共面向量， 所以点与点共面. 14．如图，已知正三棱柱的各条棱长都相等，P为上的点.且求： (1)λ的值； (2)异面直线PC与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2). 【详解】（1）设正三棱柱的棱长为2，设AC的中点为O，连接， 因为为正三角形，故， 以AC的中点O为原点，为轴，以过点O和平行的直线为z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 于是，，， 因为，故，则， 故， 因为，所以， 即. （2） 由（1）知，所以，， 所以，， 所以， 由于异面直线所成角的范围为， 所以异面直线PC与所成角的余弦值是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$