辽宁省实验中学等校2023-2024学年高二下学期7月期末考试数学试题

2023—2024学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷 命题学校：辽宁省实验中学 命题人：马祥 樊本强 校对人：张鑫 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知函数，则（ ） A． B． C． D． 2．已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8，超过2年的概率为0.6，若一个这种元件使用到1年时还未失效，则这个元件使用寿命超过2年的概率为（ ） A．0.75 B．0.6 C．0.52 D．0.48 3．已知为等差数列的前n项和，，则（ ） A． B．85 C．170 D．340 4．已知命题p：，，则命题p的真假以及否定分别为（ ） A．真，：， B．真，：，或 C．假，：， D．假，：，或 5．已知随机变量，，，，且，若，则实数（ ） A．0 B．-1 C．1 D．2 6．集合的子集个数为（ ）（其中e为自然对数的底数） A．2 B．4 C．8 D．16 7．设数列满足，,，若对一切，，则实数m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知定义在R上的单调递增的函数满足：任意，有，，则下列结论错误的是（ ） A．当时， B．任意， C．存在非零实数T，使得任意， D．存在非零实数k，使得任意， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．等比数列的公比为q，则下列说法正确的是（ ） A．为等差数列 B．若且，则递增 C．为等比数列 D．为等比数列 10．甲乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则：如果在一轮比赛中一人投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如果一轮比赛中两人都投进或都没投进，则都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜，在每次投球中甲投进的概率为0.5，乙投进的概率为0.6，每次投球都是相互独立的，若规定两人起始分都为2分，记为“甲累计总分为i时，甲最终获胜”的概率，则（ ） A．一轮比赛中，甲得1分的概率为0.5 B．， C． D．为等差数列 11．已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．，使得在上单调递增 C．若为的极值点，则 D．，坐标平面上存在点P，使得有三条过点P的直线与的图象相切 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．从含有6件正品和4件次品的产品中任取3件，记X为所抽取的次品，则______． 13．已知实数x，y满足，则的最小值为______． 14．设高斯函数表示不超过x的最大整数（如，，），已知，,,则______；______． 四、解答题，本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）甲、乙两人对局比赛，甲赢得每局比赛的概率为，每局比赛没有平局． （1）若赛制为3局2胜，，求最终甲获胜的概率； （2）若赛制为5局3胜，记为“恰好进行4局比赛且甲获得最终胜利”的概率，求的最大值及此时p的值． 16．（15分）已知数列满足，，数列的前n项和为，且． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前n项和为． 18．（15分）目前AI技术蓬勃发展，某市投放了一批AI无人驾驶出租车为了了解不同年龄的人对无人驾驶出租车的使用体验，随机选取了100名使用无人驾驶出租车的体验者，让他们根据体验效果进行评分． （1）现将100名消费者的年龄划分为“青年”和“中老年”，评分划分为“好评”和“差评”，整理得到如下数据，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． 好评 差评 合计 青年 20 中老年 10 合计 40 100 （2）设消费者的年龄为x，对无人驾驶出租车的体验评分为y．若根据统计数据，用最小二乘法得到y关于x的线性回归方程为，且年龄x的方差为，评分y的方差为．求y与x的相关系数r，并据此判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关性强弱（当时，认为相关性强，否则认为相关性弱）． 附：，． 独立性检验中的，其中． 临界值表： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18．（17分）已知函数，． （1）求证：时，； （2）讨论的单调性； （3）求证：，恰有一个零点． 19．（17分）已知函数，定义：对给定的常数a，数列满足，，则称数列为函数的“—数列”．（为的导函数） （1）若函数，数列为函数的“—数列”，且，求的通项公式； （2）若函数，数列为函数的“—数列”，求证：； （3）若函数，正项数列为函数的“—数列”，已知,．记数列的前n项和为． 求证：当时，． 2023—2024学年度下学期期末考试高二年级数学科试卷 参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 D A B B C C A C ABD BC ABD 12． 13． 14．4285；2 四、解答题： 15．【解】（1）设前两局比赛甲赢为事件A，∴ 设前两局比赛甲赢一局且最后甲胜为事件B，∴ 甲胜的概率为 （2）恰进行4局比赛且甲最后胜，则前三局比赛甲赢两局，第四局甲赢 ∴，∴ 当，，∴在上为增函数 当，，∴在上为减函数 ∴，此时． 16．【解】（1）∵，∴，∴是以为首项，以1为公差的等差数列 ∴，∴ ∵，∴ ∴ 当，，符合上式．∴， （2）由（1）得 ∴ ∴ 作差： ∴ 17．【解】（1）根据题意可得2×2列联表如下： 好评 差评 合计 青年 20 30 50 中老年 40 10 50 合计 60 40 100 因为， 所以有99.9%的把握认为对无人驾驶出租车的评价与年龄有关． （2）因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以相关系数， 因为0.9>0.75，所以判断对无人驾驶出租车使用体验的评分与年龄的相关很强． 18．【解】（1）设，，则， 易知在上递增，在上递减， 所以，即． （2）定义域为，,, ①时，可知恒有，此时在上递增； ②时，可知时，；时，， 所以此时在和上递增，在上递减； ③时，同理可得在和上递增，在上递减． （3）由（2）： ①时，在上递增，因为，，所以此时恰有一个零点； ②时，因为的极小值为，又由（1）知，结合的单调性，可知此时也恰有一个零点； ③时，的极小值为， 又，结合的单调性，同样也恰有一个零点． 综上，，恰有一个零点． 【说明】用极限代替找点，过程合理，扣2分． 19．【解】（1），由题意，有， 则，又，所以是以2为首项、以为公比的等比数列， 所以，从而． （2）由题可得， ①设，， 可知当时，，递减，； 当时，，递增， 即时，有． 因为，所以，即，以此类推，可得； ②由时： 从而，即． 综上：． （3）先证的唯一性．令，则 ∵，∴． ∵，∴时，递增，递增，所以这样的是唯一的， 且当时，，递减；时，，递增． 下证：． 令，， 则，， ∵，∴，∴，递减，递增 ∴即． 取，得，即． 累加可得． 学科网（北京）股份有限公司 $$