第1章一元二次方程 培优题突破 讲义 2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程 培优题突破练习★★★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程−直接开平方法 三．解一元二次方程−公式法 四．解一元二次方程−因式分解法 五．换元法解一元二次方程 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．一元二次方程的应用 九．配方法的应用 一十．高次方程 一十一．无理方程 一十二．一元二次方程的整数根与有理根 · 知识点梳理 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． · 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． · 换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． · 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 一．一元二次方程的解 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 2．若是方程的一个根，则的值为　　． 3．（2018•郴州模拟）阅读下列材料： （1）关于的方程方程两边同时乘以得：即，， （2）；． 根据以上材料，解答下列问题： （1），则　　，　　，　　； （2），求的值． 二．解一元二次方程−直接开平方法 4．（2023春•龙口市期末）已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为　　 A．1，5 B．，3 C．，1 D．，5 三．解一元二次方程−公式法 5．（2022•路北区校级一模）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为　　 A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 四．解一元二次方程−因式分解法 6．（2024•禹城市模拟）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 五．换元法解一元二次方程 7．解方程，若设，则原方程可化为　 　． 六．根的判别式 8．（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 9．（2024春•九龙坡区校级期中）四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“”、“ ”、“ ”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有　　个． ①将得到的所有化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么； ③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 10．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 11．（2023春•西湖区校级期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的　　 A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 12．（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 13．（2017•仙居县模拟）对于实数，，定义运算“”： ，关于的方程恰好有三个实数根，则的取值范围是　　． 14．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数是方程的根，则的值为 　　． 15．（2015•成华区模拟）若实数、、满足，，，则的取值范围是　　． 16．（2013•锦江区模拟）若的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，当　　时，是等腰三角形；当　　时，是以为斜边的直角三角形． 17．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？ 七．根与系数的关系 18．（2013•雨花区校级自主招生）设，是方程的两个实根，实数，满足：，，则的值为　　 A．2005 B．2003 C． D． 19．（2021•武进区校级自主招生）设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 20．将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推．下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或2或5；③关于的方程为正整数）只有2个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 21．（2022•随县一模）已知：、是方程的两根，则　　． 22．（2021秋•临邑县期末）设关于的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数的取值是 　　． 23．（2023秋•江阳区校级期中）已知：关于的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求的值． 八．一元二次方程的应用 24．（2017秋•闵行区校级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空） 25．已知矩形的周长的平方与面积的比为．则矩形的较长的一边与较短的一边的长度的比等于　 　． 26．两个连续奇数的积是143，则这两个连续奇数和是 　　． 27．（2019秋•平江县期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ 28．（2022秋•长沙期中）为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人． （1）求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数； （2）列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率． 29．（2021秋•天宁区校级月考）网络购物无疑已被越来越多的人所接受，对人们生活的影响不断加深．李先生是淘宝店主之一，进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件．如果每件提价1元出售，其销售量将减少20件．如果李先生的网店销售这批服装要获利12000元，并且投入尽量少，那么这种服装售价应为多少元？该网店进多少件这种服装？ 30．（2022秋•东台市期中）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． （1）几秒钟后，的面积等于？ （2）的面积可能等于吗？为什么？ 31．（2018秋•市南区期中）我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元． （1）求每张门票原定的票价； （2）在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？ 32．（2022秋•北票市期中）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． （1）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ （2）若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 33．（2021秋•东台市期末）如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 九．配方法的应用 34．（2022春•拱墅区月考）若为任意实数，且，则的最大值为　　 A．10 B．84 C．100 D．121 35．（2022秋•历下区期中）给定正实数，且．若实数，满足，那么的最大值与最小值的和是　　 A． B． C． D． 36．代数式有最　 　值，最值是　 　． 一十．高次方程 37．（2022•扬州一模）已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 一十一．无理方程 38．方程的解为 　　． 一十二．一元二次方程的整数根与有理根 39．若长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，则长方形的面积等于　　． 40．的解均为整数，则的所有可能值之和是　　． 第1章一元二次方程 培优题突破练习★★★【12个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 【解析版】 一．一元二次方程的解 二．解一元二次方程−直接开平方法 三．解一元二次方程−公式法 四．解一元二次方程−因式分解法 五．换元法解一元二次方程 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．一元二次方程的应用 九．配方法的应用 一十．高次方程 一十一．无理方程 一十二．一元二次方程的整数根与有理根 · 知识点梳理 · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． · 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． · 换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． · 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 一．一元二次方程的解 1．关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 【答案】 【分析】因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值． 【解答】解：， ， 或， ， ，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，． 2．若是方程的一个根，则的值为　2019　． 【答案】2019． 【分析】因为是方程的一个根，所以，所以，然后整体代入求值即可． 【解答】解：是方程的一个根， ， ． 原式 ． 故答案为：2019． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根据条件得，然后整体代入求值是解题的关键． 3．（2018•郴州模拟）阅读下列材料： （1）关于的方程方程两边同时乘以得：即，， （2）；． 根据以上材料，解答下列问题： （1），则　4　，　　，　　； （2），求的值． 【分析】（1）模仿例题利用完全平方公式即可解决． （2）模仿例题利用完全平方公式以及立方和公式即可． 【解答】解；（1）， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为4，14，194． （2）， ，， ． 【点评】本题考查一元一次方程的解、完全平方公式、立方和公式，解决问题的关键是灵活应用完全平方公式，记住两边平方不能漏项（利用完全平方公式整体平方），属于中考常考题型． 二．解一元二次方程−直接开平方法 4．（2023春•龙口市期末）已知一元二次方程的两根分别为，1，则方程的两根分别为　　 A．1，5 B．，3 C．，1 D．，5 【答案】 【分析】根据已知方程的解得出或，求出即可． 【解答】解：一元二次方程的两根分别为，1， 方程中或， 解得：或3， 即方程的两根分别为和3， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能根据已知方程的解得出或是解此题的关键． 三．解一元二次方程−公式法 5．（2022•路北区校级一模）定义表示不超过实数的最大整数，如，，，则方程的解为　　 A．0或 B．0或2 C．2或 D．0或或2 【答案】 【分析】根据，可得，分4种情况讨论：①时，解得；②时，解得或（舍；③时，解得或（舍；④时，方程无解． 【解答】解：，， ， ①时，，解得； ②时，，解得或（舍； ③时，，解得或（舍； ④时，方程无解； 综上所述：方程的解为或或， 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，理解取整的定义是解题的关键． 四．解一元二次方程−因式分解法 6．（2024•禹城市模拟）关于的方程的两个根，满足，且，则的值为　　 A． B．1 C．3 D．9 【答案】 【分析】因式分解法可求，，再根据，可得关于的方程，解方程可求的值． 【解答】解：， ， 或， ， ，， ， ， 解得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，关键是根据因式分解法求得，． 五．换元法解一元二次方程 7．解方程，若设，则原方程可化为　　． 【分析】因为平方中的数乘以，值不变，所以，可将换成，然后把代入方程，即可． 【解答】解：原方程可变形为： ， 原方程可化为：． 【点评】本题考查了换元法的运用，将原式化简成为含有的式子，再把代入即可． 六．根的判别式 8．（2023•南安市校级模拟）如图，是三条角平分线的交点，过作，分别交、于，两点，设，，，关于的方程　　 A．一定有两个相等实根 B．一定有两个不相等实根 C．有两个实根，但无法确定是否相等 D．无实根 【答案】 【分析】是三条角平分线的交点，过作，则得出，即可得出，再求出，，即可得出：，即可求解． 【解答】解：平分，， ，， ， ， ， 是的内角平分线的交点， ， 同理可得出：， ， ， ， 即：， 即△， 故选：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形判定与性质，根据已知得出是解题关键． 9．（2024春•九龙坡区校级期中）四个单项式依次为、、、，在每两个单项式之间添上“”、“ ”、“ ”中的某个运算符号将这四个单项式连接起来就能得到一个式子，记为（每两个单项式之间只能添加一个运算符号，并且每种运算符号都要用到一次）．比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到一个式子，记为；再比如，从左往右，在每两个单项式之间依次添上“”、“ ”、“ ”就得到另一个式子，记为；那么，下列说法中，正确的个数有　　个． ①将得到的所有化简后，总共只有三种不同结果； ②对于得到的每一个，令，就得到一个关于的方程，若所有关于的方程都有两个不相等的实数根，那么； ③当取一个确定值时，每个都能得到一个对应值，将这些对应值中最大的值记为，这样，对于每一个的确定值，都有一个值与之对应．那么的最小值为0． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】 【分析】①“”、“ ”、“ ”打乱顺序分6种情况进行讨论，并计算即可； ②根据△，分别求出每一个一元二次方程中的参数的取值范围； ③对于每个代数式进行配方即可求出最值． 【解答】解：，，，， ①； ； ； ； ； ； 或或，即共有三种不同结果， 故①符合题意； ②当，有两个不相等的实数根，则； 当，即有两个不相等的实数根，则△，； 当，即有两个不相等的实数根，则△，； ，方程都有两个不相等的实数根， 故②符合题意； ③；；， 的最小值为0， 故③符合题意； 综上，符合题意得有①②③，即3个， 故选：． 【点评】本题考查的是跟的判别式和正负数，利用一元二次方程跟的判别式判断跟的情况和配方法求最值是解题的关键． 10．（2022秋•江北区期末）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则 ⑤存在实数、，使得； 其中正确的　　 A．只有①②④ B．只有①②④⑤ C．①②③④⑤ D．只有①②③ 【答案】 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， ， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则， 若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或 或 故④正确． ⑤令，则存在实数、，使得；正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 11．（2023春•西湖区校级期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则． 其中正确的　　 A．只有①② B．只有①②④ C．①②③④ D．只有①②③ 【答案】 【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案． 【解答】解：①若，则是方程的解， 由一元二次方程的实数根与判别式的关系可知△，故①正确； ②方程有两个不相等的实根， △， ， 则方程的判别式△， 方程必有两个不相等的实根，故②正确； ③是方程的一个根， 则， ， 若，等式仍然成立， 但不一定成立，故③不正确； ④若是一元二次方程的根， 则由求根公式可得： 或， 或， ． 故④正确． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键． 12．（2024•湖州一模）对于关于的一元二次方程的根的情况，有以下四种表述： ①当，，时，方程一定没有实数根； ②当，，时，方程一定有实数根； ③当，时，方程一定没有实数根； ④当，，时，方程一定有两个不相等的实数根． 其中表述正确的序号是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】 【分析】关于的一元二次方程的判别式为△，若△，则方程有两个不相等的实数根；△，则方程有两个相等的实数根；△，则方程无实数根，据此逐一判断即可． 【解答】解：①当，，时，满足，，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故①错误； ②，， ， ， ， △，即方程有两个不相等的实数根， 故②正确； ③当，，时，满足，， 此时△，即方程有两个不相等的实数根， 故③错误； ④，，， ，， △，即方程有两个相等的实数根， 故④错误； 综上，正确的是②， 故选：． 【点评】本题考查的是根的判别式和一元二次方程的解，利用一元二次方程根的判别式判断根的情况是解题的关键． 13．（2017•仙居县模拟）对于实数，，定义运算“”： ，关于的方程恰好有三个实数根，则的取值范围是　　． 【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，进而得出关于的一元一次不等式组，确定的取值范围． 【解答】解：由新定义的运算可得关于的方程为： （1）当时，即，时，有 ， 即：，①，其根为：是非正数， （2）当时，即，时，有 ， 即：，②，其根为：都是正数， 如果关于的方程恰好有三个实数根，那么方程①和方程②共有三个实数根， 因此，只有方程①有一个负根，而方程②有两个正根时符合题意， 故有：， 解得，， 故答案为：． 【点评】考查一元二次方程的根的判别式、一元一次不等式组和新定义的运算的理解，掌握一元二次方程根的判别式，理解新定义的运算的意义是解决问题的前提，得出不等式组求解是正确解答的关键， 14．（2023•沂源县一模）如果恰好只有一个实数是方程的根，则的值为 　或　． 【分析】分原方程是一元一次方程和一元二次方程两种情况讨论即可得到答案． 【解答】解：①当原方程是一个一元一次方程时，方程只有一个实数根， 则， 解得， ②如果方程是一元二次方程时，则方程有两个相等的实数根， 即△， 即： 解得：． 故答案为或． 【点评】本题考查了根的判别式，同时还考查了分类讨论思想，是一道好题． 15．（2015•成华区模拟）若实数、、满足，，，则的取值范围是　　． 【分析】有已知条件得到，，则利用根与系数的关系可把、为方程的两实数解，根据根的判别式的意义得到△，然后解不等式即可． 【解答】解：，， 把、为方程的两实数解， △， ． 故答案为． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的两个实数根；当△时，方程有两个相等的两个实数根；当△时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系． 16．（2013•锦江区模拟）若的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根，当　3或4　时，是等腰三角形；当　　时，是以为斜边的直角三角形． 【分析】（1）此题要分两种情况进行讨论，若时，把5代入方程即可求出的值，若时，则△，列出关于的方程，解出的值即可； （2）若是以为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，，再根据根与系数的关系求得的值即可． 【解答】解：（1）因为△， 所以方程总有两个不相等的实数根． 若时，5是方程的实数根，把代入原方程，得或． 无论取何值，△， ，故只能取3或4； （2）根据根与系数的关系：，， 则， 即， 解得或． 根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和且两根的积，解得， ． 故答案为：3或4；2． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系是：（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根．在解题的过程中注意不要忽视三角形的边长是正数这一条件 17．已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长，另两边长、恰好是这个方程的两个根，求此三角形的三边长？ 【分析】（1）计算方程的判别式大于等于0即可； （2）由等腰三角形的性质有、或三种情况，当或时，可知为方程的一个根，代入可求得的值，则可求得方程的根，可求得三边长；当时，可知方程有两个相等的实数根，由判别式等于0可求得，同样可求得方程的两根，可求得三角形的三边长． 【解答】（1）证明： 一元二次方程， △， 无论取何实数值，方程总有实数根； （2）解：为等腰三角形， 有、或三种情况， ①当或时，可知为方程的一个根， ，解得或， 当时，方程为，解得或， 三角形的三边长为4、6、6， 当时，方程为，解得或， 三角形的三边长为6、6、10， ②当时，则方程有两个相等的实数根， △，即，解得， 方程为，解得， 此时三角形三边为6、2、2，不满足三角形三边关系，舍去， 综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10． 还可采取以下方法： 由得到， 解得或， 当时，则，，此时，三角形的边长为6，6，4； 当时，则，，则，此时，三角形的边长为6，6，10； 当时，即，解得，则，此时，三角形的边长，2，2，6（构不成三角形，舍去） 综上可知三角形的三边为4、6、6或6、6、10． 【点评】本题主要考查方程根的判别式及等腰三角形的性质，掌握根的判别式与一元二次方程根的个数的关系是解题的关键． 七．根与系数的关系 18．（2013•雨花区校级自主招生）设，是方程的两个实根，实数，满足：，，则的值为　　 A．2005 B．2003 C． D． 【答案】 【分析】由根与系数关系，，是方程的两个实根可得：，； 化简式子的值为：； 将，，，代入即可得出结果． 【解答】解：，是方程的两个实根可得：，， 故， ， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系以及利用已知条件对所求式子的化简，有一定难度，关键要掌握，是方程的两根时，，． 19．（2021•武进区校级自主招生）设关于的方程，有两个不相等的实数根、，且，那么实数的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方法1、根据一元二次方程的根的判别式，建立关于的不等式，求出的取值范围．又存在，即，，利用根与系数的关系，从而最后确定的取值范围． 方法2、由方程有两个实数根即可得出此方程是一元二次方程，而，可以看成是二次函数的图象与轴的两个交点在1左右两侧，由此得出自变量时，对应的函数值的符号，即可得出结论． 【解答】解：方法1、方程有两个不相等的实数根， 则且△， 由， 解得， ，， 又， ，， 那么， ， 即， 解得， 最后的取值范围为：． 故选． 方法2、由题意知，，令， 由于方程的两根一个大于1，一个小于1， 抛物线与轴的交点分别在1两侧， 当时，时，， ， （不符合题意，舍去）， 当时，时，， ， ， ， 故选：． 【点评】总结：1、一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△方程有两个不相等的实数根； （2）△方程有两个相等的实数根； （3）△方程没有实数根． 2、根与系数的关系为：，． 20．将代数式记为，代数式记为，现进行如下操作：记，；，；，以此类推．下列说法：①；②若，为正整数，为整数，则或2或5；③关于的方程为正整数）只有2个实数根；④当时，代数式取得最小值，其中正确的有　　个． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】 【分析】依据题意，根据所给条件和运算操作，找出数字的变化规律然后逐个进行分析判断即可得解． 【解答】解：由题意得，，， ，． ，， ，， ，， ， ， ，， ， ， 依次类推， ，， ，， ，故①正确； ， ， ， 为正整数，为整数，为整数， 或或， 解得或或，故②正确； 关于 的方程， 当时，， ， ， 整理，得， 即， △， 此时原方程有两个不相等的实数根； 当时，， ， ， 即， 整理，得， △， 此时原方程无实数根， 关于的方程为正整数）只有2个实数根，故③正确； ， 当时，取得最小值，故④错误． 故正确的结论有①②③共3个． 故选：． 【点评】本题考查算式变画规律探究，整式的运算，一元二次方程根的判别式，因式分解，理解题意，灵活运用相关知识是解题的关键． 21．（2022•随县一模）已知：、是方程的两根，则　7　． 【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系得出，，，，变形后代入，即可求出答案． 【解答】解：、是方程的两根， ，，，， ， 故答案为：7． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解． 22．（2021秋•临邑县期末）设关于的方程的两个实数根分别为，，若，那么实数的取值是 　9　． 【分析】根据根与系数的关系得，，由，推得，由得，由得，于是，从而得到，即，解方程即可求得结论． 【解答】解：关于的方程的两个实数根分别为，， ，， ， ，为异号， 即， 由得， 由得， ， ， ， ， 故答案为：9． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，能根据根与系数的关系与已知条件求得是解题的关键． 23．（2023秋•江阳区校级期中）已知：关于的一元二次方程 （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若的两边长是这个方程的两个实数根，第三边的长为5，求的值． 【分析】（1）先计算出△，然后根据判别式的意义即可得到结论； （2）先利用公式法求出方程的解为，，然后分类讨论，利用勾股定理构建方程即可解决问题； 【解答】解：（1）△， 方程有两个不相等的实数根； （2）解：一元二次方程的解为，即，， ， ． 不妨设，， 当是斜边时，，解得， 当5是斜边时，， 解得或（舍弃） 综合上述，的值为12或3． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．也考查了三角形三边的关系以及等腰三角形的性质． 八．一元二次方程的应用 24．（2017秋•闵行区校级期中）两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，则甲药品成本的年平均下降率　等于　乙药品成本的年平均下降率（用“大于”“小于”或“等于”填空） 【分析】设甲药品成本的年平均下降率为，乙药品成本的年平均下降率为，由题意得两个一元二次方程，化简后发现两个方程右边相等，故两方程左边相等，从而可得答案． 【解答】解：设甲药品成本的年平均下降率为，由题意得： 化简得：① 设乙药品成本的年平均下降率为，由题意得： 化简得：② 比较①②得： 或 或（不合题意，舍去） 故答案为：等于． 【点评】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，发现两个方程右边相等，从而得和的关系，从而避免解两个较为复杂计算的一元二次方程，是本题的简算方法． 25．已知矩形的周长的平方与面积的比为．则矩形的较长的一边与较短的一边的长度的比等于　　． 【分析】根据矩形的周长的平方与面积的比为得到相应的等式，整理为整式后，设矩形的较长的一边与较短的一边的长度的比为未知数，用求根公式求解即可． 【解答】解：设矩形的长、宽分别为、． 则，即． 两边都除以， 令，则． 解得． 故答案为：． 【点评】考查一元二次方程求根公式的应用；得到以矩形的较长的一边与较短的一边的长度的比为未知数的一元二次方程是解决本题的关键． 26．两个连续奇数的积是143，则这两个连续奇数和是 　24或　． 【答案】24或． 【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是143列出方程求解即可． 【解答】解：设这两个连续奇数为，， 根据题意， ，， 当时，； 当时，， ，． 答：两个连续奇数和是24或． 【点评】考查一元二次方程的应用；得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键． 27．（2019秋•平江县期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为？ 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为．根据矩形的面积公式建立方程求出其解就可以了． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为可以得出平行于墙的一边的长为 ，由题意得 ， 解得：，， 当时，（舍去），当时，． 答：所围矩形猪舍的长为、宽为． 【点评】本题考查了列一元二次方程解实际问题的运用，矩形的面积公式的运用及一元二次方程的解法的运用，解答时寻找题目的等量关系是关键． 28．（2022秋•长沙期中）为打造“文化九中，书香校园”，阜阳九中积极开展“图书漂流”活动，旨在让全体师生共建共享，校团委学生处在对上学期学生借阅登记簿进行统计时发现，在4月份有1000名学生借阅了名著类书籍，5月份人数比4月份增加，6月份全校借阅名著类书籍人数比5月份增加340人． （1）求6月份全校借阅名著类书籍的学生人数； （2）列方程求从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率． 【分析】（1）5月份借阅了名著类书籍的人数是，则6月份借阅了名著类书籍的人数为：5月份借阅了名著类书籍的人数人； （2）根据增长后的量增长前的量增长率）．设平均每年的增长率是，列出方程求解即可． 【解答】解：（1）由题意，得 5月份借阅了名著类书籍的人数是：（人， 则6月份借阅了名著类书籍的人数为：（人； （2）设平均增长率为． 解得： 答：从4月份到6月份全校借阅名著类书籍的学生人数的平均增长率为． 【点评】本题是一道数学应用题中的增长率问题的实际问题，考查了列一元二次方程解实际问题的运用及一元二次方程的解法的运用，解答中对结果验根是否符合题意是解答的关键． 29．（2021秋•天宁区校级月考）网络购物无疑已被越来越多的人所接受，对人们生活的影响不断加深．李先生是淘宝店主之一，进了一批服装，每件成本为50元，如果按每件60元出售，可销售800件．如果每件提价1元出售，其销售量将减少20件．如果李先生的网店销售这批服装要获利12000元，并且投入尽量少，那么这种服装售价应为多少元？该网店进多少件这种服装？ 【分析】设运动服提价为每件元，首先用代数式表示出每件的盈利，以及可销售的件数，根据每件的盈利销售的件数获利12000元，即可列方程求解． 【解答】解：设这批运动服提价为每件元，根据题意得：， 解这个方程得（舍去），， 当时，该商店应进这种服装400件； 答：这批服装售价为80元，该商店应进这种服装400件． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，在解答中要注意销量与每件服装的利润之间的关系． 30．（2022秋•东台市期中）如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． （1）几秒钟后，的面积等于？ （2）的面积可能等于吗？为什么？ 【分析】（1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【解答】解：（1）设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． （2）设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为△， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语“的面积等于”，找到等量关系是解决问题的关键． 31．（2018秋•市南区期中）我市某社会团体组织人员参观皇窑瓷展，主办方对团体购票实行优惠：在原定票价的基础上，每张降价40元，则按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元． （1）求每张门票原定的票价； （2）在展览期间，平均每天可售出个人票2000张，现主办方决定对个人购票也采取优惠措施，发现原定票价每降低2元，平均每天可多售出个人票40张，若要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低多少元？ 【分析】（1）根据题意，可以设每张门票的原定的票价是元，然后根据按原定票价需花费6000元购买门票，现在只花了4000元即可列出方程，本题得以解决； （2）根据题意，可以列出相应的方程，注意要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则说明在获得这些利润时，游客越少越容易控制． 【解答】解：（1）设每张门票的原定的票价是元， 解得， 经检验是原分式方程的解， 即每张门票的原定的票价是120元； （2）要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低元， ， 解得，，， 能有效控制游览人数， 时，购买的人数较少，可以较好的控制， 即要使平均每天的个人票收入达到241500元，且能有效控制游览人数，则票价应降低5元． 【点评】本题考查一元二次方程的应用，解答此类问题的关键是明确题意，列出相应的方程，注意在（1）中的分式方程要检验，（2）中要联系实际情况． 32．（2022秋•北票市期中）如图，在矩形中，，，动点、分别以、的速度从点、同时出发，点从点向点移动． （1）若点从点移动到点停止，点随点的停止而停止移动，点、分别从点、同时出发，问经过多长时间、两点之间的距离是？ （2）若点沿着移动，点、分别从点、同时出发，点从点移动到点停止时，点随点的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？ 【分析】（1）如图，过点作于，设秒后，利用勾股定理得出即可． （2）分类讨论：①当点在上时；②当点在边上；③当点在边上时． 【解答】解：（1）过点作于．则根据题意，得 设秒后，点和点的距离是． ，即， ， ，； 经过或、两点之间的距离是； （2）连接．设经过后的面积为． ①当时，则， ，即， 解得； ②当时， ，，则 ， 解得，（舍去）； ③时， ，则 ， 解得（舍去）． 综上所述，经过4秒或6秒的面积为． 【点评】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解题关键． 33．（2021秋•东台市期末）如图，矩形空地的长为13米，宽为8米，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为28平方米，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？ 【分析】设人行道的宽度为米，根据矩形的面积和为28平方米列出一元二次方程求解即可． 【解答】解：设人行道的宽度为米，根据题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：人行道的宽为2米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，利用两块矩形的面积之和为得出等式是解题关键，属于基础题，比较简单． 九．配方法的应用 34．（2022春•拱墅区月考）若为任意实数，且，则的最大值为　　 A．10 B．84 C．100 D．121 【分析】利用配方法以及二次函数的性质即可解决问题； 【解答】解： ， ， 的最大值为100． 故选：． 【点评】本题考查配方法的应用、二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 35．（2022秋•历下区期中）给定正实数，且．若实数，满足，那么的最大值与最小值的和是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据完全平方公式得到，可得，求出的最大值为；再由完全平方公式得，可得，得到的最小值为，最后求和即可． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， 的最大值为， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， ， 故选：． 【点评】本题考查配方法的应用，熟练掌握完全平方公式的变形形式，完全平方公式与不等式的关系，灵活应该完全平方公式是解题的关键． 36．代数式有最　大　值，最值是　 　． 【分析】运用配方法把原式化为一个完全平方式与一个常数和的形式，根据平方的非负性解答即可． 【解答】解：， ， ， ， 时，代数式有最大值． 故答案为：． 【点评】本题考查的是配方法的应用，掌握运用配方法、理解完全平方式的概念是解题的关键． 一十．高次方程 37．（2022•扬州一模）已知、、为方程的三个实数根，则下列结论一定正确的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由可得则、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由此画出函数图象求解即可． 【解答】解：，当时，， ， 、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标， 由函数图象可知，，根据已知条件无法判定，， 故选：． 【点评】本题主要考查了反比例函数与二次函数综合，正确理解题意得到、、可以看作是抛物线与反比例函数的三个交点的横坐标是解题的关键． 一十一．无理方程 38．方程的解为 　　． 【答案】． 【分析】令，，则当时，，在方程两边分别平方，求解一元二次方程即可得出结论． 【解答】解：令，， 则当时，， 左右两边平方，得， 移项，得， 解得（舍去），． 方程得解为：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查无理方程，解一元二次方程等相关知识，得到当时，是解题关键． 一十二．一元二次方程的整数根与有理根 39．若长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，则长方形的面积等于　18或16　． 【分析】设长方形的长和宽为未知数，根据周长与面积相等列出方程，求正整数解后，相乘即为长方形的面积． 【解答】解：设长方形的长为，宽为， ， ， ， 或， 或， 故答案为18或16． 【点评】考查二次方程的整数解问题；把所得方程整理为用一个常数和含有其中一个字母的代数式的和表示另一个字母的形式是解决本题的突破点． 40．的解均为整数，则的所有可能值之和是　16　． 【答案】16． 【分析】先求出根的判别式，设根的判别式为为正整数），再分解因式得到，根据，的奇偶性相同，得到，或，或，或，，进一步即可求解． 【解答】解：， △， 设为正整数）， 则， ，的奇偶性相同， ，或，或，或，， 解得，或，或，或，， 则的所有可能值之和是． 故答案为：16． 【点评】本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，关键是设为正整数），得到，以及，的奇偶性相同． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$