第1章一元二次方程 中档题拓展训练 【11个考点40题专练】【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程 中档题拓展训练★★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程−配方法 四．解一元二次方程−公式法 五．解一元二次方程−因式分解法 六．换元法解一元二次方程 七．根的判别式 八．根与系数的关系 九．由实际问题抽象出一元二次方程 一十．一元二次方程的应用 一十一．配方法的应用 · 知识点梳理 · 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． · 换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． · 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 一．一元二次方程的定义 1．（2024春•禹会区校级月考）若关于的一元二次方程是一元二次方程，则　　． 二．一元二次方程的解 2．（2024春•长清区期末）关于的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 3．（2024春•霍邱县期末）若为方程的根，则多项式的值为 　　． 4．（2024春•海安市期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是 　　． 三．解一元二次方程−配方法 5．（2024春•沙坪坝区期末）一元二次方程配方后，可化为　　 A． B． C． D． 6．（2024春•石景山区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 7．（2024•蒸湘区一模）解方程：． 8．（2024春•中山区校级期末）（1）计算：； （2）． 四．解一元二次方程−公式法 9．（2024春•兴化市期末）欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以为圆心为半径画圆，交射线于点、．则该方程较大的根是　　 A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 10．（2024春•宁波期末）如表，通过以上方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， （1）的还原方程是 　　． （2）若，则代数式　　． 11．（2024春•罗湖区校级期末）（1）解方程：； （2）解不等式组． 五．解一元二次方程−因式分解法 12．（2024春•苏州期末）解方程： （1）； （2）． 六．换元法解一元二次方程 13．（2024春•雨花区期末）若实数、满足，则　　． 七．根的判别式 14．（2024•大连二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 15．（2024•易门县二模）关于一元二次方程根的情况，正确的是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根． 16．（2024春•贵池区期末）对于代数式，，，为常数），下列说法正确的有　　 ①若且，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 17．（2024春•霍邱县月考）下列方程中，没有实数根的是　　 A． B． C． D． 18．（2024春•雨花区期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 19．（2024•惠阳区校级三模）如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 20．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 　　． 21．（2024•槐荫区三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　　． 22．（2024•新疆）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 八．根与系数的关系 23．（2024春•海曙区期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B． C． D． 24．（2024•邯郸模拟）若，是方程的两个实数根，则的值为　　 A． B． C．4046 D．2023 25．（2024•建邺区一模）已知，是关于的方程的两个实数根，若，则　　． 26．（2024春•东港区校级月考）若，则以，为根的一元二次方程是 　　． 27．（2024春•沙坪坝区期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为 　　． 28．（2024•渠县校级模拟）在中，，于点，，、的长是方程的两根，则　　． 29．（2024•达州模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　　． 30．（2024春•仓山区期末）已知关于的一元二次方程． （1）若这个方程没有实数根，求的取值范围． （2）方程的两个根分别为，，若，求的值． 九．由实际问题抽象出一元二次方程 31．（2024春•宾阳县期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地尺，由题意可列方程为　　 A． B． C． D． 32．（2024•南明区校级二模）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有用户3万户，计划到2023年底全市用户数累计达到10万户．设全市用户这几年的平均增长率都为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 一十．一元二次方程的应用 33．（2024•调兵山市二模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为 　　（结果保留整数）． 34．（2024春•泰州期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，设这种纪念品每套上涨元． （1）平均每天的销售量为 　　套（用含的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 35．（2024春•界首市期末）国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，问这个小组一共有多少人？ 36．（2024春•长沙期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价4元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价多少元？ 一十一．配方法的应用 37．（2023秋•崇川区期末）已知，，满足，则的值是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 38．（2024春•张店区校级月考）已知，则的值为 　　． 39．（2024春•宁波期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； 探究问题： （2）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最值． 40．（2024春•扬州期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值 　　； （2）若代数式有最小值是6，求的值 　　； （3）判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； （4）已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 第1章一元二次方程 中档题拓展训练★★【11个考点40题专练】 【冲刺满分】2024-2025学年苏科版数学九年级上册 一．一元二次方程的定义 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程−配方法 四．解一元二次方程−公式法 五．解一元二次方程−因式分解法 六．换元法解一元二次方程 七．根的判别式 八．根与系数的关系 九．由实际问题抽象出一元二次方程 一十．一元二次方程的应用 一十一．配方法的应用 · 知识点梳理 · 一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义： 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． · 换元法解一元二次方程 1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． · 配方法的应用 1、用配方法解一元二次方程． 配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2＝（a±b）2 配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方． 2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值． 关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方． 3、配方法的综合应用． 一．一元二次方程的定义 1．（2024春•禹会区校级月考）若关于的一元二次方程是一元二次方程，则　3　． 【答案】3． 【分析】根据一元二次方程的定义解答． 【解答】解：方程是关于的一元二次方程， ， 解得， 故答案为：3． 【点评】本题考查了一元二次方程的意义以及绝对值，解答本题的关键要明确：判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 二．一元二次方程的解 2．（2024春•长清区期末）关于的一元二次方程有一个根是，若一次函数的图象经过第一、二、四象限，设，则的取值范围是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将代入关于的一元二次方程，得出关于，的等式，再由一次函数的图象经过第一、二、四象限，得出，的正负，最后用表示得出的范围，再用表示，得出的范围即可解决问题． 【解答】解：由题知， 将代入关于的方程得， ． 因为一次函数的图象经过第一、二、四象限， 所以，． 因为，且， 所以， 因为， 所以， 即． 同理可得，， 所以． 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的解及一次函数的性质，熟知一次函数的图象和性质及一元二次方程的解是解题的关键． 3．（2024春•霍邱县期末）若为方程的根，则多项式的值为 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将代入已知方程后即可求得所求代数式的值． 【解答】解：把代入，得 ， 则． 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．还考查了代数式求值． 4．（2024春•海安市期末）若是一元二次方程的一个根，则的值是 　4　． 【答案】4． 【分析】根据是一元二次方程的一个根，可以得到，然后变形即可得到所求式子的值． 【解答】解：是一元二次方程的一个根， ， ， ， 故答案为：4． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确方程的解一定使得原方程成立． 三．解一元二次方程−配方法 5．（2024春•沙坪坝区期末）一元二次方程配方后，可化为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据配方法可以将题目中的方程化为的形式． 【解答】解：， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解一元二次方程． 6．（2024春•石景山区期末）用配方法解一元二次方程，此方程可化为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后可得答案． 【解答】解：， ， 则， 即， 故选：． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法． 7．（2024•蒸湘区一模）解方程：． 【分析】根据配方法可以解答此方程． 【解答】解： ，； 【点评】本题考查解一元二次方程配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程的方法． 8．（2024春•中山区校级期末）（1）计算：； （2）． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）根据二次根式混合运算的计算法则进行计算； （2）用配方法解一元二次方程． 【解答】解：（1） ； （2）， ， ， ，， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程和二次根式的混合运算，解题的关键是根据配方法和计算法则来计算． 四．解一元二次方程−公式法 9．（2024春•兴化市期末）欧几里得的《几何原本》中记载了形如的方程根的图形解法：如图，画，使，，，以为圆心为半径画圆，交射线于点、．则该方程较大的根是　　 A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】 【分析】先根据公式法求出方程的较大根，再结合所给图形，发现此根所对应的线段即可． 【解答】解：由得， ， ，， ． 在中， ， ． ， 则较大的根为， ， ， 即该方程较大的根是的长度． 故选：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程公式法及勾股定理，熟知公式法解一元二次方程及勾股定理是解题的关键． 10．（2024春•宁波期末）如表，通过以上方法可将转化为方程，我们规定：方程称为的还原方程． 去分母， 移项， 两边平方， 整理， （1）的还原方程是 　　． （2）若，则代数式　　． 【答案】（1）； （2）5． 【分析】（1）先去分母、移项得到，再把方程两边平方，然后把方程整理为一般形式即可； （2）利用（1）方法得到，则，再用表示得到，然后利用降次的方法计算． 【解答】解：（1）， 去分母，， 移项，， 两边平方，， 整理，； 故答案为：； （2）， 移项，， 两边平方，， 整理，， ， ， ． 故答案为：5． 【点评】本题考查了解一元二次方程公式法：运用公式法解方程的逆过程还原方程，从而利用整体代入的方法计算代数式的值． 11．（2024春•罗湖区校级期末）（1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）用公式法解一元二次方程即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：（1） ，，， △， ； （2）， 解不等式①得， 解不等式②得， 所以不等式组的解集是：． 【点评】本题主要考查了解一元二次方程以及解一元一次不等式方程组．熟练掌握公式法解一元二次方程是关键． 五．解一元二次方程−因式分解法 12．（2024春•苏州期末）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【解答】解：（1）， ， 或， 解得，； （2）， 去分母得：， 解得：， 经检验是分式方程的解． 【点评】此题考查了解一元二次方程及解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 六．换元法解一元二次方程 13．（2024春•雨花区期末）若实数、满足，则　3　． 【答案】3． 【分析】设，则原方程换元为，可得，，即可求解． 【解答】解：设，则原方程换元为， 整理得：， ， 解得：，， 即或（不合题意，舍去）， ． 故答案为：3． 【点评】本题考查了换元法解一元二次方程，正确掌握换元法是解决本题的关键． 七．根的判别式 14．（2024•大连二模）关于一元二次方程根的情况，下列说法正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 【答案】 【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 15．（2024•易门县二模）关于一元二次方程根的情况，正确的是　　 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有且只有一个实数根 D．没有实数根． 【答案】 【分析】先计算出根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 16．（2024春•贵池区期末）对于代数式，，，为常数），下列说法正确的有　　 ①若且，则有两个相等的实数根； ②存在三个实数，使得； ③若与方程的解相同，则． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】 【分析】①根据判别式的值判断即可； ②根据一元二次方程的解，最多有两个不相等的实数根判断即可； ③求出，的值，判断即可． 【解答】解：①且， ，异号，△， 方程有不相等的实数根，故①错误； ②错误，不可能存在三个实数，满足，使得； ③由题意，，故，故③正确． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 17．（2024春•霍邱县月考）下列方程中，没有实数根的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用根的判别式或求出方程的解判断即可． 【解答】解：、由，可得，，本选项不符合题意； 、由，可得，本选项不符合题意； 、，可得，，本选项不符合题意； 、，即，△，方程无解，本选项符合题意． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的解法． 18．（2024春•雨花区期末）已知关于的一元二次方程，则下列关于该方程根的判断，正确的是　　 A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．实根的个数与的取值有关 D．没有实数根 【答案】 【分析】先计算出判别式的值，再根据非负数的性质判断△，然后利用判别式的意义对各选项进行判断． 【解答】解：△， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 19．（2024•惠阳区校级三模）如果关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 A． B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意知，△， 解得：， 方程是一元二次方程， ， 的取值范围是且， 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根． 20．（2024春•沙坪坝区校级期末）已知关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】根据一元二次方程的定义和△的意义得到且△，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得且△， 解得：，， 所以的范围为且． 故答案为：且． 【点评】本题考查了一元二次方程的根的判别式△：当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根． 21．（2024•槐荫区三模）已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 　且　． 【答案】且． 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式△，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：且． 故答案为：且． 【点评】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的实数根； ②当△时，方程有两个相等的实数根； ③当△时，方程无实数根． 22．（2024•新疆）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 　　． 【分析】根据当△时，方程有两个不相等的两个实数根可得△，再解即可． 【解答】解：由题意得： △， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了根的判别式，关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 八．根与系数的关系 23．（2024春•海曙区期末）已知，是方程的两个根，则的值为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题． 【解答】解：，是方程的两个根， ，， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 24．（2024•邯郸模拟）若，是方程的两个实数根，则的值为　　 A． B． C．4046 D．2023 【答案】 【分析】根据根与系数的关系先得出，即可． 【解答】解：，是方程的两个实数根， ， ． 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是关键． 25．（2024•建邺区一模）已知，是关于的方程的两个实数根，若，则　　． 【答案】． 【分析】利用根与系数的关系即可求出的值． 【解答】解：，是关于的方程的两个实数根， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 26．（2024春•东港区校级月考）若，则以，为根的一元二次方程是 　　． 【答案】． 【分析】设该方程为，利用一元二次方程根与系数的关系，可得，，再由，可得，即可求解． 【解答】解：设该方程为， ，， ， ， ， ，，即，， 该方程为， 以，为根的一元二次方程是． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 27．（2024春•沙坪坝区期末）一元二次方程的两根分别为和，则的值为 　0　． 【答案】0． 【分析】根据根与系数的关系可得出，此题得解． 【解答】解：的两根分别为和， ． 故答案为：0． 【点评】本题考查了根与系数的关系，熟知，是一元二次方程的两根时，是解题的关键． 28．（2024•渠县校级模拟）在中，，于点，，、的长是方程的两根，则　4　． 【答案】4． 【分析】证明，推出，可得结论． 【解答】解：如图， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， 、的长是方程的两根， ． 故答案为：4． 【点评】本题考查根与系数关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 29．（2024•达州模拟）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出，，代入求值即可． 【解答】解：，是一元二次方程的两个根， ，， 则， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 30．（2024春•仓山区期末）已知关于的一元二次方程． （1）若这个方程没有实数根，求的取值范围． （2）方程的两个根分别为，，若，求的值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系进行求解即可． 【解答】解：（1）方程没有实数根， △， ； （2）方程的两个根分别为，， ，， ， ， ， ． 【点评】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的相关知识并灵活应用是解题的关键． 九．由实际问题抽象出一元二次方程 31．（2024春•宾阳县期末）《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地尺，由题意可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设尺，则尺，在中，运用勾股定理即可列出方程． 【解答】解：设尺，则尺， 根据勾股定理得． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，勾股定理的应用，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 32．（2024•南明区校级二模）目前以等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2021年底有用户3万户，计划到2023年底全市用户数累计达到10万户．设全市用户这几年的平均增长率都为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设全市用户这几年的平均增长率都为，则2022年底有用户是万户，2023年底有用户是万户，即可得出答案． 【解答】解：设全市用户这几年的平均增长率都为，则2022年底有用户是万户，2023年底有用户是万户， 依题意得：， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十．一元二次方程的应用 33．（2024•调兵山市二模）根据物理学规律，如果把一个物体从地面以的速度竖直上抛（如图所示），那么物体经过离地面的高度（单位：为．根据上述规律，该物体落回地面所需要的时间约为 　2　（结果保留整数）． 【分析】由题意可知物体回落到地面，也就是说为0，建立方程求得答案即可． 【解答】解：， 落回地面时， 所以， 解得：（不合题意舍去），， 答：物体经过约2秒回落地面． 故答案为：2． 【点评】此题考查了一元二次方程的实际运用，理解题意，建立方程解决问题． 34．（2024春•泰州期末）某品牌纪念品每套成本为30元，当售价为40元时，平均每天的销售量为500套，经试销统计发现，如果该品牌纪念品售价每上涨1元，那么平均每天的销售量将减少10套．为了维护消费者利益，物价部门规定：该品牌纪念品售价不能超过进价的，设这种纪念品每套上涨元． （1）平均每天的销售量为 　　套（用含的代数式表示）； （2）商家想要使这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，求每套纪念品应定价多少元？ 【答案】（1）； （2）50元． 【分析】（1）由题意即可得出结论； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套，根据这种纪念品的销售利润平均每天达到8000元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，平均每天的销售量为套， 故答案为：； （2）设这种纪念品每套上涨元，则每套纪念品应定价为元，平均每天的销售量为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：每套纪念品应定价50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．（2024春•界首市期末）国庆节时，某班一个数学小组，为庆祝祖国华诞，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110张，问这个小组一共有多少人？ 【答案】11人． 【分析】设这个小组一共有人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【解答】解：设这个小组一共有人， 依题意得，， ， ， 解得，或（舍去）， 这个小组一共有11人． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键在于理解题意正确的列方程． 36．（2024春•长沙期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了促销，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若某天该商品每件降价4元，当天可获利多少元？ （2）为了减少库存，又要使商场日盈利达到2100元，则每件商品应降价多少元？ 【答案】每件商品应降价20元． 【分析】（1）根据“盈利单件利润销售数量”即可得出结论； （2）设每件商品应降价元，根据要使商场日盈利达到2100元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【解答】解：（1）由题意可知，（元； 答：某天该商品每件降价4元，当天可获利1748元； （2）设每件商品应降价元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：每件商品应降价20元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十一．配方法的应用 37．（2023秋•崇川区期末）已知，，满足，则的值是　　 A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】 【分析】依据题意，将变形为，从而，故可得，，，求出，，，再代入计算可以得解． 【解答】解：由题意，， ． ． ，，． ，，． ． 故选：． 【点评】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 38．（2024春•张店区校级月考）已知，则的值为 　8　． 【答案】8． 【分析】利用配方法即可解决问题． 【解答】解：， ， ， ， ， ． 故答案为：8． 【点评】本题考查配方法的应用、幂的有关性质等知识，解题的关键是学会用整体的思想思考问题，属于中考常考题型． 39．（2024春•宁波期末）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 解决问题： （1）已知10是“完美数”，请将它写成、是整数）的形式 　　； 探究问题： （2）已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个值，并说明理由． 拓展结论： （3）已知实数、满足，求的最值． 【答案】（1）； （2）8； （3）6． 【分析】（1）根据新定义求解； （2）先把代数式进行配方，再根据新定义求解； （3）先把代数式变式，再整体代入求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）8， 理由：， 为“完美数”， ， 解得：； （3）， ，即， ， 当时，最大，最大值为6． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式和非负数的性质是解题的关键． 40．（2024春•扬州期末）先阅读下面的例题，再按要求解答问题： 求代数式的最小值． 解：， ， 的最小值是1． 请利用以上方法，解答下列问题： （1）求代数式的最小值 　2　； （2）若代数式有最小值是6，求的值 　　； （3）判断代数式有最大值还是有最小值，并求出该最值； （4）已知，为任意值，试比较与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1）2； （2）； （3）有最大值，该最大值为12； （4）．理由见解答． 【分析】（1）先进行配方，再根据非负数的性质求解； （2）先进行配方，再根据非负数的性质列方程求解； （3）先进行配方，再根据非负数的性质求解； （4）根据作差法求解． 【解答】解：（1）， 故答案为：2； （2）， ， 解得：， 故答案为：； （3）， 有最大值，该最大值为12； （4）． 理由：， ． 【点评】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式及非负数的性质是解题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$