第1章一元二次方程 基础题过关检测 【10个考点40题专练】【冲刺满分】2024—2025学年苏科版数学九年级上册

第1章一元二次方程 基础题过关检测★【10个考点40题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年苏科版数学九年级上册 一．一元二次方程的一般形式 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程−直接开平方法 四．解一元二次方程−配方法 五．解一元二次方程−因式分解法 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．由实际问题抽象出一元二次方程 九．一元二次方程的应用 一十．高次方程 · 知识点梳理 考点卡片 · 数学常识 数学常识 此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． · 实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． · 代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． · 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． · 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． · 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． · 高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． · 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． · 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 一．一元二次方程的一般形式 1．（2024•桂林二模）一元二次方程的一次项系数是 　　． 二．一元二次方程的解 2．（2023秋•高阳县期末）如果是一元二次方程的根，则代数式的值为　　 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 3．（2024春•瑶海区期末）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 　　． 4．（2024•芙蓉区校级模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值等于　 　． 5．（2024•抚州一模）如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是 　　（只写一个）． 三．解一元二次方程−直接开平方法 6．（2024春•淮北月考）方程的解是 　　． 7．（2023秋•信丰县期末）解方程． 四．解一元二次方程−配方法 8．（2024春•通州区期末）一元二次方程经过配方变形为，则的值为　　 A． B．1 C．4 D．9 9．（2024春•连江县期末）方程经过配方后，得到的方程是　　 A． B． C． D． 10．（2024•阳泉三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　 A． B． C． D． 11．（2024•辽宁模拟）（1）计算：； （2）解方程：． 五．解一元二次方程−因式分解法 12．（2024春•苏州期末）方程的根为　 　． 13．（2023秋•梁园区期末）解方程． （1）； （2）． 14．（2024•越秀区校级开学）用因式分解法解方程：． 15．（2024•旺苍县一模）选择适当的方法解方程； （1）； （2）． 六．根的判别式 16．（2024•南关区二模）关于的一元二次方程，其根的情况为　　 A．有两个相等的实数根 B．无实根 C．无法判断 D．有两个不相等的实数根 17．（2024•郑州三模）已知关于的方程有实数根，则的值有可能是　　 A． B． C． D． 18．（2024•南阳模拟）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 19．（2024•南阳一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是　　 A．2 B．1 C． D． 20．（2024•同心县模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 21．（2024春•赣榆区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有一个根是，求的值； （2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根． 22．（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 七．根与系数的关系 23．（2024•武汉模拟）已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　 A．2 B． C． D． 24．（2024春•青羊区校级月考）已知，是方程的两根，则　　． 25．（2024春•永修县校级月考）若、是关于的一元二次方程的两根，的值为 　　． 26．（2024•东兴区三模）若、是方程的两个实数根，则　 　． 27．（2024•冷水滩区校级模拟）已知菱形的对角线、的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 　　． 28．（2024•陇南模拟）已知，是方程的两个实数根，则的值是 　　． 29．（2024春•拱墅区校级期中）如果关于的方程为常数）有一个根是3，则另外一个根是 　　． 八．由实际问题抽象出一元二次方程 30．（2024春•兴宁区校级期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是　　 A． B． C． D． 31．（2024春•钱塘区期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则满足的方程是　　 A． B． C． D． 32．（2024•易门县二模）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 33．（2024春•庐阳区期末）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是　　 A． B． C． D． 九．一元二次方程的应用 34．（2024春•南通期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为　　 A． B． C． D． 35．（2024•柳州模拟）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多　　步． A．15 B．12 C．9 D．6 36．（2024春•道外区期末）某公司4月份的利润是100万元，要使6月份的利润达到121万元，则平均每月增长的百分率是　 　． 37．（2024•沅江市三模）在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 　　元． 38．（2024春•海曙区校级期中）根据以下素材，完成探索任务． 探索菜园土地规划和销售利润问题 素材1 某农民承包了一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成一个菜园．他设计了三种方案：如图①②③都是菜园的平面图．其中图①为矩形菜园，长不超过墙长；图②是两间矩形菜园，长也不超过墙长；图③是两间矩形菜园，的长超过墙长．设所有矩形菜园垂直于墙面的那条边长为． 素材2 某农民发现三种方案中用图①围成的矩形菜园面积最大，同时发现大棚蔬菜很有销售前景，市场需求量也很大，故农户采用了图①方式进行一年一季的大棚蔬菜种植．已知每平方米蔬菜的平均销售毛利润为400元，蔬菜大棚建造和维护大概需要2300元，期初需投入资金1000元，蔬菜成本费大概500元左右． 问题解决 任务1 解决菜园中垂直于墙面的那条边的长度对种植面积的影响 （1）请直接写出图③中的取值范围； （2）一开始，农民想利用图②方案种植大棚蔬菜．种植区域面积是，则此设计图是否符合要求？ 任务2 解决菜园种植的预期净利润问题 一年后，某农民大棚蔬菜种植预期净利润能否达到9000元？请说明理由． 39．（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 一十．高次方程 40．（2024•奉贤区二模）解方程组：． 第1章一元二次方程 基础题过关检测★【10个考点40题专练】 【冲刺满分】2024−2025学年苏科版数学九年级上册 【解析版】 一．一元二次方程的一般形式 二．一元二次方程的解 三．解一元二次方程−直接开平方法 四．解一元二次方程−配方法 五．解一元二次方程−因式分解法 六．根的判别式 七．根与系数的关系 八．由实际问题抽象出一元二次方程 九．一元二次方程的应用 一十．高次方程 知识点梳理 · 数学常识 数学常识 此类问题要结合实际问题来解决，生活中的一些数学常识要了解．比如给出一个物体的高度要会选择它合适的单位长度等等． 平时要注意多观察，留意身边的小知识． · 实数的运算 （1）实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方． （2）在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． 另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 【规律方法】实数运算的“三个关键” 1．运算法则：乘方和开方运算、幂的运算、指数（特别是负整数指数，0指数）运算、根式运算、特殊三角函数值的计算以及绝对值的化简等． 2．运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号里面的，在同一级运算中要从左到右依次运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算． 3．运算律的使用：使用运算律可以简化运算，提高运算速度和准确度． · 代数式求值 （1）代数式的值：用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果叫做代数式的值． （2）代数式的求值：求代数式的值可以直接代入、计算．如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值． 题型简单总结以下三种： ①已知条件不化简，所给代数式化简； ②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． · 二次根式的性质与化简 （1）二次根式的基本性质： ①≥0； a≥0（双重非负性）． ②（）2＝a （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）． ③＝|a|＝（算术平方根的意义） （2）二次根式的化简： ①利用二次根式的基本性质进行化简； ②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简． ＝•（a≥0，b≥0）＝（a≥0，b＞0） （3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1．常见题型：与分式的化简求值相结合． 2．解题方法： （1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简． （2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果． （3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式． · 一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．一次项系数b和常数项c可取任意实数，二次项系数a是不等于0的实数，这是因为当a＝0时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． · 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）． · 解一元二次方程-直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． · 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． · 解一元二次方程-公式法 （1）把x＝（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． · 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． · 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． · 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝，x1x2＝，反过来也成立，即＝﹣（x1+x2），＝x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． · 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． · 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． · 高次方程 （1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程． （2）高次方程的解法思想： 通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解． 对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理． 换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解． · 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． · 菱形的性质 （1）菱形的性质 ①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等； ③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角； ④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． （2）菱形的面积计算 ①利用平行四边形的面积公式． ②菱形面积＝ab．（a、b是两条对角线的长度） 一．一元二次方程的一般形式 1．（2024•桂林二模）一元二次方程的一次项系数是 　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程找出一次项系数即可． 【解答】解：一元二次方程的一次项系数是． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，能熟记一元二次方程的一般形式，其中、、为常数，是解此题的关键． 二．一元二次方程的解 2．（2023秋•高阳县期末）如果是一元二次方程的根，则代数式的值为　　 A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解的意义可得，从而可得，然后代入式子中进行计算，即可解答． 【解答】解：是一元二次方程的根， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3．（2024春•瑶海区期末）如果是方程的一个根，那么代数式的值为 　5　． 【答案】5． 【分析】先把代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案． 【解答】解：把代入方程，得到， 所以， 所以代数式； 故答案为：5． 【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 4．（2024•芙蓉区校级模拟）已知是方程的一个根，则代数式的值等于　1　． 【分析】因为是方程的一个根，所以可以把代入方程，就能求出代数式的值． 【解答】解：是方程的一个根， 把代入方程有： ， ． 故答案是1． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，求出代数式的值． 5．（2024•抚州一模）如果一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是 　（答案不唯一）　（只写一个）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】写出一个解为3的一元二次方程即可． 【解答】解：一元二次方程有一个解是3，那么这个一元二次方程可能是； 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的概念． 三．解一元二次方程−直接开平方法 6．（2024春•淮北月考）方程的解是 　，　． 【答案】，． 【分析】先移项，然后直接开平方法解一元二次方程即可求解． 【解答】解：， ， ， 解得：，， 故答案为：，． 【点评】本题考查了直接开方法求一元二次方程的解，把看作一个整体，整理出左平方，右常数是解题的关键． 7．（2023秋•信丰县期末）解方程． 【分析】根据直接开方法解方程即可． 【解答】解： ，． 【点评】本题考查了直接开方法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握直接开方法． 四．解一元二次方程−配方法 8．（2024春•通州区期末）一元二次方程经过配方变形为，则的值为　　 A． B．1 C．4 D．9 【答案】 【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握解一元二次方程配方法是解题的关键． 9．（2024春•连江县期末）方程经过配方后，得到的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】方程两边都加4，变形后即可得出选项． 【解答】解：， 配方得：， ． 故选：． 【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键，解一元二次方程的方法有直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等． 10．（2024•阳泉三模）用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【解答】解：， 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：． 【点评】本题主要考查了一元二次方程．熟知解一元二次方程的配方法是解题的关键． 11．（2024•辽宁模拟）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）； （2），． 【分析】（1）先算乘方及绝对值，再算乘法，最后算加法即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）， 移项得：， 配方得：， 即， 则， 解得：，． 【点评】本题考查实数的运算及解一元二次方程，熟练掌握相关运算法则及解方程的方法是解题的关键． 五．解一元二次方程−因式分解法 12．（2024春•苏州期末）方程的根为　，．　． 【分析】方程左边分解得到，则方程转化为两个一元一次方程或，解一元一次方程即可． 【解答】解：， 或， ，． 故答案为，． 【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程变形，使方程右边为0，然后把方程左边进行因式分解，于是一元二次方程转化为两个一元一次方程，解一元一次方程即可得到一元二次方程的解． 13．（2023秋•梁园区期末）解方程． （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）直接利用因式分解法解方程即可； （2）直接利用公式法解方程得出答案． 【解答】解：（1）， ， 则或， 解得：，； （2）， △， 则， 解得：，． 【点评】此题主要考查了公式法以及因式分解法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键． 14．（2024•越秀区校级开学）用因式分解法解方程：． 【答案】，． 【分析】利用平方差公式分解因式，然后移项，利用因式分解法求解即可． 【解答】解：， ， ， ， 或， 解得，． 【点评】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，熟练掌握各种方法是解答本题的关键． 15．（2024•旺苍县一模）选择适当的方法解方程； （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【分析】（1）先移项得到，然后利用因式分解法解方程； （2）整理后利用配方法解方程． 【解答】解：（1）， ， 或， 所以，； （2）． ， ， ， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程． 六．根的判别式 16．（2024•南关区二模）关于的一元二次方程，其根的情况为　　 A．有两个相等的实数根 B．无实根 C．无法判断 D．有两个不相等的实数根 【答案】 【分析】计算出方程的根的判别式，只要得到根的判别式的符号，即可作出判断． 【解答】解：，，， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的判别式，熟知△方程有两个不相等的实数根；△方程有两个相等的实数根；△方程没有实数根是解题的关键． 17．（2024•郑州三模）已知关于的方程有实数根，则的值有可能是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，再根据方程有实数根得出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【解答】解：关于的方程可化为， 方程有实数根， △，即△， 解得， ， 的值可能为． 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与△有如下关系：①当△时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△时，方程有两个相等的两个实数根；③当△时，方程无实数根是解题的关键． 18．（2024•南阳模拟）关于的一元二次方程的根的情况是　　 A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】 【分析】判断出判别式的值，可得结论． 【解答】解：对于一元二次方程， △， ， △， 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系： ①当△时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△时，方程无实数根． 19．（2024•南阳一模）若关于的一元二次方程有实数根，则的值不可能是　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】 【分析】根据方程有实数根结合根的判别式，即可得出△，解之即可得出的取值范围，再比照四个选项即可得出结论． 【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， △ 解得：． 故选：． 【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△时，方程有实数根”是解题的关键． 20．（2024•同心县模拟）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 　　． 【答案】． 【分析】由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，即可得判别式△，解方程可求得的值． 【解答】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， △， 解得：， 故答案为：． 【点评】此题考查了一元二次方程判别式的知识．此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的实数根，即可得△． 21．（2024春•赣榆区校级月考）已知关于的一元二次方程． （1）若该方程有一个根是，求的值； （2）求证：无论取什么值，该方程总有两个实数根． 【答案】（1）； （2）见解析． 【分析】（1）根据一元二次方程解的定义把代入原方程求出的值即可； （2）求出△即可证明结论． 【解答】（1）解：把代入中得：， 解得； （2）证明：由题意得，△ ， 无论取什么值，该方程总有两个实数根． 【点评】本题主要考查了一元二次方程解的定义，根的判别式，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 22．（2023秋•浦东新区期末）关于的一元二次方程，其根的判别式的值为9，求的值及这个方程的根． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据判别式以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：△， ， 该方程为：， 或 【点评】本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型． 七．根与系数的关系 23．（2024•武汉模拟）已知，是一元二次方程的两根，则的值是　　 A．2 B． C． D． 【答案】 【分析】先解方程可得，，再由，从而可得答案． 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ， ，， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及二次根式的化简，熟练掌握二次根式性质是根据． 24．（2024春•青羊区校级月考）已知，是方程的两根，则　　． 【答案】． 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到，，再根据根与系数的关系得到，然后把要求的式子进行变形，再代入计算即可． 【解答】解：是方程的根， ， ， ，是方程的两根， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，关键掌握若方程的两根为，，则，，也考查了一元二次方程的解． 25．（2024春•永修县校级月考）若、是关于的一元二次方程的两根，的值为 　2024　． 【答案】2024． 【分析】根据一元二次方程的解的意义和根与系数关系可得到，，将所求代数式变形代入求值即可． 【解答】解：、是关于的一元二次方程的两根， ，， ， ， 故答案为：2024 【点评】本题考查的是一元二次方程的解的定义和根与系数的关系，还有整体的思想，熟练掌握一元二次方程的解的定义和根与系数的关系是解本题的关键． 26．（2024•东兴区三模）若、是方程的两个实数根，则　4　． 【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，于是可化简为，然后再根据根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：方程的实数根， ， ， ， 、是方程的两个实数根， ， ． 故答案为4． 【点评】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了一元二次方程根的定义． 27．（2024•冷水滩区校级模拟）已知菱形的对角线、的长度是关于的方程的两个实数根，则此菱形的面积是 　27　． 【答案】27． 【分析】根据根与系数的关系得到，再根据菱形的面积等于对角线乘积的一半，即可得出结果． 【解答】解：菱形的对角线、的长度是关于的方程的两个实数根， ， 菱形的面积是， 故答案为：27． 【点评】本题考查根与系数的关系，以及菱形的性质，掌握根与系数的关系解题的关键． 28．（2024•陇南模拟）已知，是方程的两个实数根，则的值是 　5　． 【答案】5． 【分析】利用根与系数的关系求解即可． 【解答】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 故答案为：5． 【点评】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，． 29．（2024春•拱墅区校级期中）如果关于的方程为常数）有一个根是3，则另外一个根是 　　． 【答案】． 【分析】根据已知条件“方程的一个根是3”，一元二次方程的根与系数的关系求该方程的另一个根． 【解答】解：根据题意得， 令， 则， 解得：． 故答案为：． 【点评】本题考查的是一元二次方程的解，根据根与系数的关系可以求出方程的另一个根是解题关键． 八．由实际问题抽象出一元二次方程 30．（2024春•兴宁区校级期末）甲流病毒是一种传染性极强的急性呼吸道传染病，感染者的临床以发热、乏力、干咳为主要表现．在“甲流”初期，有1人感染了“甲流病毒”，如若得不到有效控制，经过两轮传染后共有225人感染了“甲流病毒”，设每轮传染中平均一个人传染了个人，则根据题意列出方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】由“每轮传染中平均一个人传染了个人”，可得出在第一轮及第二轮传染中的感染人数，结合“经过两轮传染后共有225人感染”，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：每轮传染中平均一个人传染了个人， 第一轮传染中有人被感染，第二轮传染中有人被感染． 根据题意得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 31．（2024春•钱塘区期末）金沙湖大剧院以形似水袖、飘飘而立，势如水形、绝美的颜值，成为金沙湖畔最具魅力的城市地标．如图，某摄影爱好者拍摄了一副长为，宽为的金沙湖大剧院风景照，现在风景画四周镶一条等宽的纸边，制成一幅矩形挂图．若要使整个挂图的面积是，设纸边的宽为，则满足的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】如果设纸边的宽为 ，那么挂图的长和宽应该为和，根据总面积即可列出方程． 【解答】解：设纸边的宽为 ，那么挂图的长和宽应该为和， 根据题意可得出方程为：， 故选：． 【点评】考查了一元二次方程的运用，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系． 32．（2024•易门县二模）“读万卷书，行万里路．”某校为了丰富学生的阅历知识，坚持开展课外阅读活动，学生人均阅读量从七年级的每年100万字增加到九年级的每年121万字．设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），如果设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为，根据题意即可列出方程求解． 【解答】解：设该校七至九年级人均阅读量年均增长率为， 根据题意得． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，掌握为增长率问题的一般形式为，为起始时间的有关数量，为终止时间的有关数量是解决问题的关键． 33．（2024春•庐阳区期末）某厂一月份生产某大型机器20台，计划二、三月份共生产90台，设二、三月份每月的平均增长率为，根据题意列出的方程是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设二、三月份每月的平均增长率为，则二月份生产某大型机器台，三月份生产某大型机器台，根据二、三月份共生产90台，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为，则二月份生产某大型机器台，三月份生产某大型机器台， 依题意，得：． 故选：． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 九．一元二次方程的应用 34．（2024春•南通期末）某企业2021年职工人均收入10万元，2023年职工人均收入12.1万元，则人均收入的年平均增长率为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设人均收入的年平均增长率为，根据该企业2021年及2023年的人均收入，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设人均收入的年平均增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 35．（2024•柳州模拟）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？依题意得，长比宽多　　步． A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】 【分析】设长为步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，结合长不短于宽，可确定矩形田地的长，再将其代入中即可求出结论． 【解答】解：设长为步，则宽为步， 依题意得：， 解得：，． 又， ， ， ， 长比宽多6步． 故选：． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 36．（2024春•道外区期末）某公司4月份的利润是100万元，要使6月份的利润达到121万元，则平均每月增长的百分率是　　． 【分析】首先设平均每月增长的百分率是，根据题意可得4月份的利润是100万元月份的利润达到121万元，再解方程即可得到答案． 【解答】解：设平均每月增长的百分率是，由题意得： ， 解得：，（不合题意舍去）， 故答案为：． 【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 37．（2024•沅江市三模）在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 　50　元． 【答案】50． 【分析】设售价应定为元，按每件60元销售，每天可卖出20件，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件列出等式解答即可． 【解答】解：设售价应定为元，则每件的利润为元，日销售量为件， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为50元． 故答案为：50． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 38．（2024春•海曙区校级期中）根据以下素材，完成探索任务． 探索菜园土地规划和销售利润问题 素材1 某农民承包了一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成一个菜园．他设计了三种方案：如图①②③都是菜园的平面图．其中图①为矩形菜园，长不超过墙长；图②是两间矩形菜园，长也不超过墙长；图③是两间矩形菜园，的长超过墙长．设所有矩形菜园垂直于墙面的那条边长为． 素材2 某农民发现三种方案中用图①围成的矩形菜园面积最大，同时发现大棚蔬菜很有销售前景，市场需求量也很大，故农户采用了图①方式进行一年一季的大棚蔬菜种植．已知每平方米蔬菜的平均销售毛利润为400元，蔬菜大棚建造和维护大概需要2300元，期初需投入资金1000元，蔬菜成本费大概500元左右． 问题解决 任务1 解决菜园中垂直于墙面的那条边的长度对种植面积的影响 （1）请直接写出图③中的取值范围； （2）一开始，农民想利用图②方案种植大棚蔬菜．种植区域面积是，则此设计图是否符合要求？ 任务2 解决菜园种植的预期净利润问题 一年后，某农民大棚蔬菜种植预期净利润能否达到9000元？请说明理由． 【答案】任务一：（1）；（2）此设计图符合要求；任务二：农民大棚蔬菜种植净利润能达到9000元；理由见解析 【分析】任务一：（1）由“的长不超过墙长”，可得出的取值范围； （2）先求出此时的取值范围，根据种植的面积是，列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，即可得出符合要求； 任务二：先求出净利润能否达到9000元时，蔬菜的种植面积，然后根据蔬菜的种植面积求出的值，即可得出答案． 【解答】解：任务一：（1）根据题意得：， 解得：； （2）用图②方案种植大棚蔬菜时， 解得：， 种植区域面积是时，， 解得：，， ， 不符合题意舍去， 当时，种植区域的面积为， 故此设计图是否符合要求； 任务二：农民大棚蔬菜种植预期净利润能达到9000元；理由如下： 设当净利润达到9000元时，需要的种植面积为，根据题意得： ， 解得：， 根据题意得：图①围成的矩形菜园面积最大，此时， 解得：， 当种植面积为时，， 解得：，， ， 当时，净利润正好达到9000元， 故农民大棚蔬菜种植预期净利润能达到9000元． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意根据等量关系列出方程． 39．（2023秋•昭通期末）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成．请你计算一下活动场地的长和宽． 【分析】设活动场地垂直于墙的边长为米，则另一边长为米，根据长方形的面积计算公式结合活动场地的面积，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合即可确定的值． 【解答】解：设活动场地垂直于墙的边长为米，则另一边长为米， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当，，符合题意． 答：活动场地的长为14米，宽为13米． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 一十．高次方程 40．（2024•奉贤区二模）解方程组：． 【答案】原方程组的解为． 【分析】把代入②得，解得，即可求出的值，从而得到答案． 【解答】解：， 由①得：③， 把③代入②得：， 解得， ， 原方程组的解为． 【点评】本题考查解高次方程，解题的关键是把方程组“消元“，化为一元二次方程． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$